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Einundzwanzigeck Ein auch 21 Eck oder Ikosihenagon ist ein Polygon mit 21 Seiten und 21 Ecken Regelmäßiges 21 Eck Inhalt

Einundzwanzigeck

Ein Einundzwanzigeck, auch 21‐Eck oder Ikosihenagon, ist ein Polygon mit 21 Seiten und 21 Ecken.

Regelmäßiges 21‐Eck

Regelmäßiges 21‐Eck Bearbeiten

Das regelmäßige 21‐Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte gedanklich auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon, sodass ein regelmäßiges 21‐Eck allein mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar ist.

Diagonalen Bearbeiten

Allgemein gilt für die Anzahl der Diagonalen in einem ‐Eck

somit besitzt das 21‐Eck 189 Diagonalen. Für jede der 21 Ecken, an der eine Diagonale anfangen kann, gibt es 18 mögliche Endpunkte. Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden, damit keine Diagonale doppelt gezählt wird.

So ergeben sich die genannten Diagonalen.

Größen Bearbeiten

Größen eines regelmäßigen 21‐Ecks
Innenwinkel

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Mathematische Zusammenhänge Bearbeiten

Innenwinkel Bearbeiten

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seiten der Länge eingeschlossen.

Zentriwinkel Bearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Länge eingeschlossen.

Seitenlänge Bearbeiten

Die Seitenlänge errechnet sich zu

Umkreisradius Bearbeiten

Der Radius des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel für die Seitenlänge zu

Inkreisradius Bearbeiten

Der Inkreisradius ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius und der Grundlinie gleich der Seitenlänge :

Höhe Bearbeiten

Die Höhe eines regelmäßigen 21‐Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius :

Flächeninhalt Bearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu . Für die Berechnung des 21‐Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge und des Inkreisradius herangezogen, worin für die Höhe eingesetzt wird:

Geometrische Konstruktionen Bearbeiten

Ein regelmäßiges 21‐Eck ist, wie im gleichnamigen Absatz begründet, nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Verwendet man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel wie z. B. den Tomahawk zur exakten Dreiteilung (Trisektion) eines Winkels oder ein spezielles Kurvenlineal mit der Kurvenform der archimedischen Spirale bzw. der Quadratrix des Hippias für die Teilung des 90-Grad-Winkels in gleich große Winkelweiten, ist eine exakte Lösung machbar.

Um den Tomahawk für die Bestimmung des Zentriwinkels nutzen zu können, bedarf es dafür zuerst einer evtl. komplizierten Konstruktion mindestens einer geeigneten Winkelweite, wie im Beispiel Siebeneck von Andrew M. Gleason zu sehen ist.

Dagegen bietet sowohl die archimedische Spirale als auch die Quadratrix des Hippias einen einfachen und kurzen Weg – er führt über die Teilung einer Strecke in gleich lange Teile und die anschließende Projektion von vier dieser Teile in die gewählte Kurve − zum Auffinden des gesuchten Zentriwinkels.

Bei vorgegebenem Umkreis Bearbeiten

Die Konstruktion des 21‐Ecks bei vorgegebenem Umkreis (Bild 1) nutzt als Konstruktionselement, wie auch im Dreizehneck zu sehen ist, die Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel.

Nach dem Zeichnen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung :

wird die Strecke in einundzwanzig gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkel des 21‐Ecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Einundzwanzigstel der Strecke kann nur ein Einundzwanzigstel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Einundzwanzigstels, d. h. der Teilungspunkt der Strecke zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ab bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt . Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel durch bis zum Umkreis.

Somit ergibt sich der Zentriwinkel und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt . Die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen 21‐Ecks mit vorgegebenem Umkreis.

Bild 1: Regelmäßiges 21‐Eck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzlichem Hilfsmittel
Bild 2: Regelmäßiges 21‐Eck mit vorgegebener Seitenlänge (GH), mit der Quadratrix des Hippias und der zentrischen Streckung bzw. der Ähnlichkeit der zwei Dreiecke und zueinander.

Bei vorgegebener Seitenlänge Bearbeiten

Die Konstruktion des 21‐Ecks bei vorgegebener Seitenlänge wie im (Bild 2) dargestellt, ist quasi die Weiterführung der Konstruktion des 21‐Ecks Bei vorgegebenem Umkreis (Bild 1). Sie nutzt ebenfalls als Konstruktionselement die Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel. Die vorgegebene Seitenlänge ist, je nach Betrachtungsweise, als zentrische Streckung des Umkreises des 21‐Ecks mit sogenanntem negativen Streckungsfaktor bzw. als geometrische Ähnlichkeit zweier Dreiecke eingearbeitet.

Bei Berücksichtigung, dass die Punkte und im Bild 2 den Punkten und im Bild 1 entsprechen, kann die Konstruktionsbeschreibung des 21‐Ecks Bei vorgegebenem Umkreis vollständig übernommen werden.

Es bedarf nun lediglich einer Winkelhalbierenden des Zentriwinkels darauf eines Kreises mit dem Durchmesser gleich der gegebenen Seitenlänge um Punkt und schließlich zweier Parallelen zu je eine ab und bis zu den Winkelschenkeln des Zentriwinkels.

Die sich somit ergebenden Schnittpunkte und sind die ersten beiden Eckpunkte und die Strecke der exakte Umkreisradius des 21‐Ecks mit vorgegebener Seitenlänge.

Regelmäßige überschlagene 21‐Ecke Bearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes 21‐Eck ergibt sich, wenn beim Verbinden der einundzwanzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur fünf regelmäßige Einundzwanzigstrahlsterne.

Die „Sterne“ mit den Symbolen {21/3} und {21/18} sind regelmäßige Siebenecke, {21/6} und {21/15} sowie {21/9} und {21/12} sind regelmäßige Heptagramme, {21/7} und {21/14} sind gleichseitige Dreiecke.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Einundzwanzigeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Rieke Deimer: Die Quadratrix. In: Mathematik / Algebraische Geometrie, Ausgewaehlte hoehere Kurven WS2016-17. Universität Mainz, 6. Januar 2017, abgerufen am 8. September 2018.
  2. Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner, 2003, S. 45–48. Seite 46 ff. Quadratrix (Auszug (Google)), abgerufen am 8. September 2018.
  3. Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5. Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme. S. 279 ff., abgerufen am 8. September 2018.
  4. Friedhelm Kürpig Oliver Niewiadomski: Grundlehre Geometrie Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen; Verlag Friedr. Vieweg & Sohn, 1992 Seite 61 Zentrische Streckung (Auszug (Google)), abgerufen am 8. September 2018.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Einundzwanzigeck auch 21 Eck oder Ikosihenagon ist ein Polygon mit 21 Seiten und 21 Ecken Regelmassiges 21 Eck Inhaltsverzeichnis 1 Regelmassiges 21 Eck 2 Diagonalen 3 Grossen 4 Mathematische Zusammenhange 4 1 Innenwinkel 4 2 Zentriwinkel 4 3 Seitenlange 4 4 Umkreisradius 4 5 Inkreisradius 4 6 Hohe 4 7 Flacheninhalt 5 Geometrische Konstruktionen 5 1 Bei vorgegebenem Umkreis 5 2 Bei vorgegebener Seitenlange 6 Regelmassige uberschlagene 21 Ecke 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseRegelmassiges 21 Eck BearbeitenDas regelmassige 21 Eck bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte gedanklich auf einem gemeinsamen Umkreis liegen ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon sodass ein regelmassiges 21 Eck allein mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar ist Diagonalen BearbeitenAllgemein gilt fur die Anzahl d n displaystyle d n nbsp der Diagonalen in einem n displaystyle n nbsp Eck d n n n 3 2 displaystyle d n frac n left n 3 right 2 nbsp somit besitzt das 21 Eck 189 Diagonalen Fur jede der 21 Ecken an der eine Diagonale anfangen kann gibt es 18 mogliche Endpunkte Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden damit keine Diagonale doppelt gezahlt wird So ergeben sich die genannten 21 18 2 189 displaystyle frac 21 cdot 18 2 189 nbsp Diagonalen Grossen BearbeitenGrossen eines regelmassigen 21 EcksInnenwinkel a 180 360 n 180 360 21 a 162 857142 displaystyle begin aligned alpha amp 180 circ frac 360 circ n 180 circ frac 360 circ 21 alpha amp 162 overline 857142 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 21 m 17 142857 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 21 mu amp 17 overline 142857 circ end aligned nbsp Seitenlange a 2 R sin 180 21 a 0 298 085 R displaystyle begin aligned a amp 2R cdot sin frac 180 circ 21 a amp approx 0 298085 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 21 R a 0 298 085 3 354 753 a displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin frac 180 circ 21 R amp approx frac a 0 298085 approx 3 354753 cdot a end aligned nbsp Inkreisradius r R cos 180 21 r 0 988 831 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos frac 180 circ 21 r amp approx 0 988831 cdot R end aligned nbsp Hohe h R r R 1 cos 180 21 h 1 988 831 R displaystyle begin aligned h amp R r R cdot left 1 cos frac 180 circ 21 right h amp approx 1 988831 cdot R end aligned nbsp Flacheninhalt A 21 R 2 sin 180 21 cos 180 21 A 3 094 929 R 2 displaystyle begin aligned A amp 21 cdot R 2 cdot sin frac 180 circ 21 cdot cos frac 180 circ 21 A amp approx 3 094929 cdot R 2 end aligned nbsp Mathematische Zusammenhange BearbeitenInnenwinkel Bearbeiten Der Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp wird von zwei benachbarten Seiten der Lange a displaystyle a nbsp eingeschlossen a 180 360 n 180 360 21 162 6 7 displaystyle alpha 180 circ frac 360 circ n 180 circ frac 360 circ 21 162 tfrac 6 7 circ nbsp Zentriwinkel Bearbeiten Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Lange R displaystyle R nbsp eingeschlossen m 360 n 360 21 17 1 7 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 21 17 tfrac 1 7 circ nbsp Seitenlange Bearbeiten Die Seitenlange a displaystyle a nbsp errechnet sich zu a 2 R sin 180 21 displaystyle a 2R cdot sin frac 180 circ 21 nbsp Umkreisradius Bearbeiten Der Radius R displaystyle R nbsp des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel fur die Seitenlange a displaystyle a nbsp zu R a 2 csc 180 21 displaystyle R frac a 2 cdot csc frac 180 circ 21 nbsp Inkreisradius Bearbeiten Der Inkreisradius r displaystyle r nbsp ist die Hohe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius R displaystyle R nbsp und der Grundlinie gleich der Seitenlange a displaystyle a nbsp r R cos m 2 R cos 180 21 displaystyle begin aligned r amp R cdot cos frac mu 2 R cdot cos frac 180 circ 21 end aligned nbsp Hohe Bearbeiten Die Hohe h displaystyle h nbsp eines regelmassigen 21 Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius r displaystyle r nbsp und Umkreisradius R displaystyle R nbsp h R r R R cos 180 21 R 1 cos 180 21 displaystyle h R r R R cdot cos frac 180 circ 21 R cdot left 1 cos frac 180 circ 21 right nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu A D 1 2 a h a displaystyle A Delta tfrac 1 2 a cdot h a nbsp Fur die Berechnung des 21 Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlange a displaystyle a nbsp und des Inkreisradius r displaystyle r nbsp herangezogen worin r displaystyle r nbsp fur die Hohe h a displaystyle h a nbsp eingesetzt wird a 2 R sin 180 21 displaystyle a 2R cdot sin frac 180 circ 21 nbsp h a r R cos 180 21 displaystyle h a r R cdot cos frac 180 circ 21 nbsp daraus folgt fur die Flache eines Teildreiecks A D 1 2 2 R sin 180 21 R cos 180 21 displaystyle A Delta frac 1 2 cdot 2R cdot sin frac 180 circ 21 cdot R cdot cos frac 180 circ 21 nbsp zusammengefasst ergibt sich A D R 2 sin 180 21 cos 180 21 displaystyle A Delta R 2 cdot sin frac 180 circ 21 cdot cos frac 180 circ 21 nbsp und fur die Flache des ganzen 21 Ecks A 21 A D 21 R 2 sin 180 21 cos 180 21 displaystyle A 21 A Delta 21 R 2 cdot sin frac 180 circ 21 cdot cos frac 180 circ 21 nbsp Geometrische Konstruktionen BearbeitenEin regelmassiges 21 Eck ist wie im gleichnamigen Absatz begrundet nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar Verwendet man jedoch ein zusatzliches Hilfsmittel wie z B den Tomahawk zur exakten Dreiteilung Trisektion eines Winkels oder ein spezielles Kurvenlineal mit der Kurvenform der archimedischen Spirale bzw der Quadratrix des Hippias fur die Teilung des 90 Grad Winkels in n displaystyle n nbsp gleich grosse Winkelweiten ist eine exakte Losung machbar Um den Tomahawk fur die Bestimmung des Zentriwinkels nutzen zu konnen bedarf es dafur zuerst einer evtl komplizierten Konstruktion mindestens einer geeigneten Winkelweite wie im Beispiel Siebeneck von Andrew M Gleason zu sehen ist Dagegen bietet sowohl die archimedische Spirale als auch die Quadratrix des Hippias einen einfachen und kurzen Weg er fuhrt uber die Teilung einer Strecke in n displaystyle n nbsp gleich lange Teile und die anschliessende Projektion von vier dieser Teile in die gewahlte Kurve zum Auffinden des gesuchten Zentriwinkels Bei vorgegebenem Umkreis Bearbeiten Die Konstruktion des 21 Ecks bei vorgegebenem Umkreis Bild 1 nutzt als Konstruktionselement wie auch im Dreizehneck zu sehen ist die Quadratrix des Hippias als zusatzliches Hilfsmittel Nach dem Zeichnen des Quadrates z B mit der Seitenlange 1 displaystyle 1 nbsp und der Konstruktion der speziellen Kurve der sogenannten Quadratrix des Hippias 1 mit der Parameterdarstellung g p p R 2 displaystyle gamma colon pi pi to mathbb R 2 nbsp 2 3 g t x t y t t cot p 2 t t 0 t 1 displaystyle gamma t begin pmatrix x t y t end pmatrix begin pmatrix t cot left frac pi 2 t right t end pmatrix quad 0 leq t leq 1 nbsp wird die Strecke C O displaystyle overline CO nbsp in einundzwanzig gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt Aus Grunden der Ubersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt Der Zentriwinkel des 21 Ecks ergibt sich aus m 360 21 displaystyle mu tfrac 360 circ 21 nbsp aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab gt 0 displaystyle gt 0 circ nbsp bis 90 displaystyle leq 90 circ nbsp in gleich grosse Winkel Daraus folgt ein Einundzwanzigstel der Strecke C O displaystyle overline CO nbsp kann nur ein Einundzwanzigstel des Winkels 90 displaystyle 90 circ nbsp erzielen Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels m displaystyle mu nbsp aus dem Umkreis mit seinen 360 displaystyle 360 circ nbsp das Vierfache eines Einundzwanzigstels d h der Teilungspunkt 4 displaystyle 4 nbsp der Strecke C O displaystyle overline CO nbsp zur Konstruktion des Zentriwinkels m displaystyle mu nbsp genutzt Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu A 1 O displaystyle overline A 1 O nbsp ab 4 displaystyle 4 nbsp bis zur Kurve der Quadratrix dabei ergibt sich der Punkt D displaystyle D nbsp Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel O displaystyle O nbsp durch D displaystyle D nbsp bis zum Umkreis Somit ergibt sich der Zentriwinkel m displaystyle mu nbsp und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt A 2 displaystyle A 2 nbsp Die Lange der Strecke A 1 A 2 displaystyle overline A 1 A 2 nbsp ist die exakte Seitenlange a displaystyle a nbsp des regelmassigen 21 Ecks mit vorgegebenem Umkreis nbsp Bild 1 Regelmassiges 21 Eck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusatzlichem Hilfsmittel nbsp Bild 2 Regelmassiges 21 Eck mit vorgegebener Seitenlange GH mit der Quadratrix des Hippias und der zentrischen Streckung bzw der Ahnlichkeit der zwei Dreiecke A O E displaystyle AOE nbsp und A 1 O A 2 displaystyle A 1 OA 2 nbsp zueinander Bei vorgegebener Seitenlange Bearbeiten Die Konstruktion des 21 Ecks bei vorgegebener Seitenlange a displaystyle a nbsp wie im Bild 2 dargestellt ist quasi die Weiterfuhrung der Konstruktion des 21 Ecks Bei vorgegebenem Umkreis Bild 1 Sie nutzt ebenfalls als Konstruktionselement die Quadratrix des Hippias als zusatzliches Hilfsmittel Die vorgegebene Seitenlange a displaystyle a nbsp ist je nach Betrachtungsweise als zentrische Streckung des Umkreises des 21 Ecks 4 mit sogenanntem negativen Streckungsfaktor bzw als geometrische Ahnlichkeit zweier Dreiecke eingearbeitet Bei Berucksichtigung dass die Punkte A displaystyle A nbsp und E displaystyle E nbsp im Bild 2 den Punkten A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp im Bild 1 entsprechen kann die Konstruktionsbeschreibung des 21 Ecks Bei vorgegebenem Umkreis vollstandig ubernommen werden Es bedarf nun lediglich einer Winkelhalbierenden w h displaystyle wh nbsp des Zentriwinkels m displaystyle mu nbsp darauf eines Kreises mit dem Durchmesser G H displaystyle overline GH nbsp gleich der gegebenen Seitenlange a displaystyle a nbsp um Punkt F displaystyle F nbsp und schliesslich zweier Parallelen zu w h displaystyle wh nbsp je eine ab G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp bis zu den Winkelschenkeln des Zentriwinkels Die sich somit ergebenden Schnittpunkte A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp sind die ersten beiden Eckpunkte und die Strecke O A 1 displaystyle overline OA 1 nbsp der exakte Umkreisradius des 21 Ecks mit vorgegebener Seitenlange Regelmassige uberschlagene 21 Ecke BearbeitenEin regelmassiges uberschlagenes 21 Eck ergibt sich wenn beim Verbinden der einundzwanzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur funf regelmassige Einundzwanzigstrahlsterne Die Sterne mit den Symbolen 21 3 und 21 18 sind regelmassige Siebenecke 21 6 und 21 15 sowie 21 9 und 21 12 sind regelmassige Heptagramme 21 7 und 21 14 sind gleichseitige Dreiecke Regelmassige Einundzwanzigstrahlsterne nbsp 21 2 21 19 displaystyle left 21 2 right left 21 19 right nbsp nbsp 21 4 21 17 displaystyle left 21 4 right left 21 17 right nbsp nbsp 21 5 21 16 displaystyle left 21 5 right left 21 16 right nbsp nbsp 21 8 21 13 displaystyle left 21 8 right left 21 13 right nbsp nbsp 21 10 21 11 displaystyle left 21 10 right left 21 11 right nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Einundzwanzigeck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Rieke Deimer Die Quadratrix In Mathematik Algebraische Geometrie Ausgewaehlte hoehere Kurven WS2016 17 Universitat Mainz 6 Januar 2017 abgerufen am 8 September 2018 Hans Wolfgang Henn Elementare Geometrie und Algebra Verlag Vieweg Teubner 2003 S 45 48 Seite 46 ff Quadratrix Auszug Google abgerufen am 8 September 2018 Horst Hischer Mathematik in der Schule 32 1994 5 Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt 2 Losung klassischer Probleme S 279 ff abgerufen am 8 September 2018 Friedhelm Kurpig Oliver Niewiadomski Grundlehre Geometrie Begriffe Lehrsatze Grundkonstruktionen Verlag Friedr Vieweg amp Sohn 1992 Seite 61 Zentrische Streckung Auszug Google abgerufen am 8 September 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einundzwanzigeck amp oldid 217901228