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Vierzigeck Ein oder Tetrakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch vierzig Punk

Vierzigeck

Ein Vierzigeck oder Tetrakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch vierzig Punkte und deren vierzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Regelmäßiges Vierzigeck

Variationen Bearbeiten

Vierzigecke können eingeteilt werden in:

  • überschlagenes Vierzigeck
  • nicht überschlagenes Vierzigeck
  • konkaves Vierzigeck; mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°
  • konvexes Vierzigeck; alle Innenwinkel sind kleiner als 180°
  • gleichseitiges Vierzigeck; alle Seiten sind gleich lang
  • nach der Anzahl an Symmetrieachsen; es können maximal 40 sein
  • Sehnen-Vierzigeck; alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis
  • regelmäßiges Vierzigeck; alle Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel sind gleich groß und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis

Im Folgenden wird das regelmäßige Vierzigeck und das regelmäßige überschlagene Vierzigeck betrachtet.

Regelmäßiges Vierzigeck Bearbeiten

Das regelmäßige Vierzigeck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen () darstellbar ist.

Größen Bearbeiten

Größen eines regelmäßigen Vierzigecks
Innenwinkel

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Mathematische Zusammenhänge Bearbeiten

Innenwinkel Bearbeiten

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

Die Summe der Innenwinkel beträgt .

Zentriwinkel Bearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

Seitenlänge und Umkreisradius Bearbeiten

Das Vierzigeck ist in vierzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) , der Hypotenuse (Umkreisradius) und dem halben Zentriwinkel erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge wie folgt

durch Umformen erhält man den Umkreisradius

Inkreisradius Bearbeiten

Der Inkreisradius ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge des Vierzigecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius

Höhe Bearbeiten

Die Höhe eines regelmäßigen Vierzigecks ergibt sich aus der Verdopplung des Inkreisradius .

Flächeninhalt Bearbeiten

Die Fläche eines regelmäßigen n-Ecks berechnet sich aus dem Umkreisradius nach der Formel:

Für das Vierzigeck (n=40) also:

Der Winkel von 9° ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar und sein Sinus hat den Wert:

Eingesetzt ergibt sich:

Diagonalen Bearbeiten

Das Vierzigeck besitzt Diagonalen. Die Diagonalen haben 19 verschiedene Längen.

Länge L der Seite und der Diagonale über
N Seiten im Verhältnis zum Umkreisradius R
N L / R
11) 0,156918
2 0,312869
3 0,466891
4 0,618034
N L / R
5 0,765367
6 0,907981
7 1,044997
8 1,175571
N L / R
9 1,298896
10 1,414214
11 1,520812
12 1,618034
N L / R
13 1,705280
14 1,782013
15 1,847759
16 1,902113
N L / R
17 1,944740
18 1,975377
19 1,993835
20 2,000000

Konstruktion Bearbeiten

Ein regelmäßiges Vierzigeck kann allein, wie in Regelmäßiges Vierzigeck begründet, mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis Bearbeiten

Bild 1: Regelmäßiges Vierzigeck bei gegebenem Umkreis

Die Konstruktion im Bild 1 ist ähnlich der des Fünfecks bei gegebenem Umkreis. Darin ist die Strecke die Seitenlänge und der Winkel der Zentriwinkel des regelmäßigen Fünfecks.

Die gepunkteten Linien sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung.

Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers und dessen Halbierung im Mittelpunkt Nach dem Ziehen des Umkreises um durch wird die zu orthogonale Mittelachse eingezeichnet; Schnittpunkte sind und der erste Eckpunkt des entstehenden Vierzigecks. Es folgt die Halbierung der Strecke in , dabei ergeben sich die Schnittpunkte und auf dem Umkreis. Nun wird ein Kreisbogen um mit dem Radius ab gezogen, bis er die Strecke in schneidet. Der Punkt teilt somit die Strecke im Verhältnis des goldenen Schnitts. Es ist das Ergebnis aus der Teilung der Strecke in im goldenen Schnitt durch äußere Teilung. Nach dem Übertragen der Strecke – die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks – ab auf den Umkreis, ergibt sich der Eckpunkt Halbiert man nun den Winkel ergibt sich der Eckpunkt . Die Verbindung des Eckpunktes mit erzeugt die erste Seitenlänge des Vierzigecks. Jetzt noch die fehlenden Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis festlegen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Somit ist das regelmäßige Vierzigeck konstruiert.

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge Bearbeiten

Bild 2: Regelmäßiges Vierzigeck bei gegebener Seitenlänge

F. A. Hegenberg stellt im Jahr 1822 in seinem Werk Vollständiges Lehrbuch der reinen Elementar–Mathematik, Zweiter Theil, im Kapitel Konstruktionen der Linien und ebenen Figuren, Aufgaben und deren Auflösungen u. a. auch zum Vierzigeck.

Unter § 776 stellt er die Aufgabe zu einem Polygon mit Seiten:

„Es ist die Seite AB (Fig.405. [nicht einsehbar] ) eines regulären Polygons von n Seiten gegeben; man soll das Polygon konstruiren.“

und zeigt dazu im darauffolgenden zweiten Absatz deren Auflösung:

„Soll daher ein reguläres Polygon konstruirt werden, dessen Seite gegeben ist, so braucht man nur über die gegebene Seite ein gleichschenkelichtes Dreieck zu verzeichnen, in welchem der Winkel an der Grundlinie dem halben Winkel am Umfange des verlangten Polygons gleich ist.“

Die Konstruktion im Bild 2 ähnelt der des Zwanzigecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge mit den ersten Eckpunkten (rechts) und bezeichnet, anschließend wird die Seitenlänge über hinaus verlängert. Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius um die Punkte und ; deren Schnittpunkte sind und Anschließend wird eine Halbgerade ab durch gezogen; sie halbiert die Seitenlänge in Eine Senkrechte auf ab schließt sich an und erzeugt den Schnittpunkt Danach wird ein Kreisbogen um mit dem Radius gezogen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt auf der Verlängerung. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Jetzt wird um ein Kreisbogen mit dem Radius geschlagen, der die Halbgerade in schneidet. In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck entspricht der Winkel am Winkelscheitel dem Zentriwinkel (hier mit bezeichnet) eines regelmäßigen Zehnecks,

denn bei einer Seitenlänge gilt im rechtwinkligen Dreieck

mit eingesetzten Werten

daraus folgt für Winkel

somit ist der Winkel und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks.

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius ; er schneidet in die Halbgerade, die ab durch verläuft. Wegen ist nach dem Zentriwinkelsatz die Winkelweite am Winkelscheitel des gleichschenkligen Dreiecks halb so groß als die Winkelweite am Winkelscheitel des gleichschenkligen Dreiecks Ein weiterer Kreisbogen, dieses Mal um den Punkt mit dem Radius , der dieselbe Halbgerade in schneidet, erzeugt demzufolge am Winkelscheitel den Zentriwinkel des Vierzigecks.

Jetzt noch den Umkreis um den Mittelpunkt ziehen, die noch fehlenden Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis festlegen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Somit ist das regelmäßige Vierzigeck konstruiert.

Regelmäßiges überschlagenes Vierzigeck Bearbeiten

Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der vierzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur sieben regelmäßige Vierzigstrahlsterne.

Die „Sterne“ mit den Symbolen {40/2} und {40/38} sind regelmäßige Zwanzigecke, {40/4} und {40/36} regelmäßige Zehnecke, {40/5} und {40/35} regelmäßige Achtecke, {40/8} und {40/32} regelmäßige Fünfecke, {40/10} und {40/30} regelmäßige Vierecke. Die Sterne mit den Symbolen {40/6} und {40/34}, {40/14} und {40/26} sowie {40/18} und {40/22} sind regelmäßige Zwanzigstrahlsterne, {40/12} und {40/28} sind regelmäßige Zehnstrahlsterne, {40/15} und {40/25} regelmäßige Achtstrahlsterne und schließlich {40/16} und {40/24} regelmäßige Pentagramme.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. F. A. Hegenberg: Vollständiges Lehrbuch der reinen Elementar–Mathematik, Zweiter Theil. Theodor Christian Friedrich Enslin, 1822, Online-Kopie (Google) S. 381, § 776, Deckblatt; abgerufen am 20. April 2018
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Vierzigeck oder Tetrakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch vierzig Punkte und deren vierzig Verbindungen namens Strecken Seiten oder Kanten Regelmassiges Vierzigeck Inhaltsverzeichnis 1 Variationen 2 Regelmassiges Vierzigeck 2 1 Grossen 3 Mathematische Zusammenhange 3 1 Innenwinkel 3 2 Zentriwinkel 3 3 Seitenlange und Umkreisradius 3 4 Inkreisradius 3 5 Hohe 3 6 Flacheninhalt 4 Diagonalen 5 Konstruktion 5 1 Konstruktion bei gegebenem Umkreis 5 2 Konstruktion bei gegebener Seitenlange 6 Regelmassiges uberschlagenes Vierzigeck 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseVariationen BearbeitenVierzigecke konnen eingeteilt werden in uberschlagenes Vierzigeck nicht uberschlagenes Vierzigeck konkaves Vierzigeck mindestens ein Innenwinkel ist grosser als 180 konvexes Vierzigeck alle Innenwinkel sind kleiner als 180 gleichseitiges Vierzigeck alle Seiten sind gleich lang nach der Anzahl an Symmetrieachsen es konnen maximal 40 sein Sehnen Vierzigeck alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis regelmassiges Vierzigeck alle Seiten sind gleich lang alle Innenwinkel sind gleich gross und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen UmkreisIm Folgenden wird das regelmassige Vierzigeck und das regelmassige uberschlagene Vierzigeck betrachtet Regelmassiges Vierzigeck BearbeitenDas regelmassige Vierzigeck ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen 40 2 3 5 displaystyle 40 2 3 cdot 5 nbsp darstellbar ist Grossen Bearbeiten Grossen eines regelmassigen VierzigecksInnenwinkel a n 2 n 180 38 40 180 a 171 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 38 40 cdot 180 circ alpha amp 171 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 40 m 9 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 40 mu amp 9 circ end aligned nbsp Seitenlange a R 2 sin 180 40 a 0 156 918 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 40 right a amp approx 0 156918 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 40 R a 0 156 918 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 40 right R amp approx frac a 0 156918 end aligned nbsp Inkreisradius r R cos 180 40 r 0 996 917 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac 180 circ 40 right r amp approx 0 996917 cdot R end aligned nbsp Hohe h 2 r h 1 993 834 R displaystyle begin aligned h amp 2 cdot r h amp approx 1 993834 cdot R end aligned nbsp Flacheninhalt A R 2 5 2 2 5 1 2 5 5 A 3 128 6893 R 2 displaystyle begin aligned A amp R 2 cdot frac 5 2 left sqrt 2 cdot left sqrt 5 1 right 2 cdot sqrt 5 sqrt 5 right A amp approx 3 1286893 cdot R 2 end aligned nbsp Mathematische Zusammenhange BearbeitenInnenwinkel Bearbeiten Der Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen In der allgemeinen Formel fur regelmassige Polygone steht die Variable n displaystyle n nbsp fur die Anzahl der Eckpunkte des Polygons In diesem Fall ist fur die Variable die Zahl 40 displaystyle 40 nbsp einzusetzen a n 2 n 180 40 2 40 180 38 40 180 171 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ frac 40 2 40 cdot 180 circ frac 38 40 cdot 180 circ 171 circ nbsp Die Summe der Innenwinkel betragt n 2 180 38 180 6840 displaystyle n 2 cdot 180 circ 38 cdot 180 circ 6840 circ nbsp Zentriwinkel Bearbeiten Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien R displaystyle R nbsp eingeschlossen In der allgemeinen Formel ist fur die Variable n displaystyle n nbsp die Zahl 40 displaystyle 40 nbsp einzusetzen m 360 n 360 40 9 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 40 9 circ nbsp Seitenlange und Umkreisradius Bearbeiten Das Vierzigeck ist in vierzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar Aus der Halfte eines solchen Teildreiecks sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete halbe Seitenlange a 2 displaystyle frac a 2 nbsp der Hypotenuse Umkreisradius R displaystyle R nbsp und dem halben Zentriwinkel m 2 displaystyle frac mu 2 nbsp erhalt man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlange a displaystyle a nbsp wie folgt a R 2 sin m 2 R 2 sin 180 40 a 0 156 918 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac mu 2 right amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 40 right a amp approx 0 156918 cdot R end aligned nbsp durch Umformen erhalt man den Umkreisradius R displaystyle R nbsp R a 2 sin 180 40 R a 0 156 918 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 40 right R amp approx frac a 0 156918 end aligned nbsp Inkreisradius Bearbeiten Der Inkreisradius r displaystyle r nbsp ist die Hohe eines Teildreiecks senkrecht zur Seitenlange a displaystyle a nbsp des Vierzigecks Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlange verwendet gilt fur den Inkreisradius r displaystyle r nbsp r R cos m 2 R cos 180 40 r 0 996 917 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac mu 2 right R cdot cos left frac 180 circ 40 right r amp approx 0 996917 cdot R end aligned nbsp Hohe Bearbeiten Die Hohe h displaystyle h nbsp eines regelmassigen Vierzigecks ergibt sich aus der Verdopplung des Inkreisradius r displaystyle r nbsp h 2 r displaystyle h 2 cdot r nbsp h 1 993 834 R displaystyle h approx 1 993834 cdot R nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Die Flache eines regelmassigen n Ecks berechnet sich aus dem Umkreisradius R displaystyle R nbsp nach der Formel A n R 2 2 sin 360 n displaystyle A n cdot frac R 2 2 cdot sin left frac 360 circ n right nbsp Fur das Vierzigeck n 40 also A 20 R 2 sin 9 displaystyle A 20 cdot R 2 cdot sin 9 circ nbsp Der Winkel von 9 ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar und sein Sinus hat den Wert sin 9 1 8 2 5 1 2 5 5 displaystyle sin 9 circ frac 1 8 cdot left sqrt 2 cdot left sqrt 5 1 right 2 cdot sqrt 5 sqrt 5 right nbsp Eingesetzt ergibt sich A 20 R 2 1 8 2 5 1 2 5 5 displaystyle A 20 cdot R 2 cdot frac 1 8 cdot left sqrt 2 cdot left sqrt 5 1 right 2 cdot sqrt 5 sqrt 5 right nbsp A R 2 5 2 2 5 1 2 5 5 displaystyle A R 2 cdot frac 5 2 left sqrt 2 cdot left sqrt 5 1 right 2 cdot sqrt 5 sqrt 5 right nbsp A 3 128 6893 R 2 displaystyle A approx 3 1286893 cdot R 2 nbsp Diagonalen BearbeitenDas Vierzigeck besitzt 40 40 3 2 740 displaystyle frac 40 40 3 2 740 nbsp Diagonalen Die Diagonalen haben 19 verschiedene Langen Lange L der Seite und der Diagonale uberN Seiten im Verhaltnis zum Umkreisradius RN L R11 0 1569182 0 3128693 0 4668914 0 618034 N L R5 0 7653676 0 9079817 1 0449978 1 175571 N L R9 1 29889610 1 41421411 1 52081212 1 618034 N L R13 1 70528014 1 78201315 1 84775916 1 902113 N L R17 1 94474018 1 97537719 1 99383520 2 0000001 Seite des Vierzigecks Konstruktion BearbeitenEin regelmassiges Vierzigeck kann allein wie in Regelmassiges Vierzigeck begrundet mit Zirkel und Lineal konstruiert werden Konstruktion bei gegebenem Umkreis Bearbeiten nbsp Bild 1 Regelmassiges Vierzigeck bei gegebenem UmkreisDie Konstruktion im Bild 1 ist ahnlich der des Funfecks bei gegebenem Umkreis Darin ist die Strecke E F displaystyle overline EF nbsp die Seitenlange und der Winkel G M E 72 displaystyle GME 72 circ nbsp der Zentriwinkel des regelmassigen Funfecks Die gepunkteten Linien sind fur die Konstruktion nicht erforderlich sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers A B displaystyle overline AB nbsp und dessen Halbierung im Mittelpunkt M displaystyle M nbsp Nach dem Ziehen des Umkreises um M displaystyle M nbsp durch A displaystyle A nbsp wird die zu A B displaystyle overline AB nbsp orthogonale Mittelachse eingezeichnet Schnittpunkte sind D displaystyle D nbsp und der erste Eckpunkt E 1 displaystyle E 1 nbsp des entstehenden Vierzigecks Es folgt die Halbierung der Strecke A M displaystyle overline AM nbsp in H displaystyle H nbsp dabei ergeben sich die Schnittpunkte F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp auf dem Umkreis Nun wird ein Kreisbogen um H displaystyle H nbsp mit dem Radius H E 1 displaystyle HE 1 nbsp ab E 1 displaystyle E 1 nbsp gezogen bis er die Strecke M B displaystyle overline MB nbsp in J displaystyle J nbsp schneidet Der Punkt J displaystyle J nbsp teilt somit die Strecke M B displaystyle overline MB nbsp im Verhaltnis des goldenen Schnitts Es ist das Ergebnis aus der Teilung der Strecke A J displaystyle overline AJ nbsp in M displaystyle M nbsp im goldenen Schnitt durch aussere Teilung Nach dem Ubertragen der Strecke E 1 J displaystyle overline E 1 J nbsp die Seitenlange eines regelmassigen Funfecks ab B displaystyle B nbsp auf den Umkreis ergibt sich der Eckpunkt E 39 displaystyle E 39 nbsp Halbiert man nun den Winkel E 1 M E 39 displaystyle E 1 ME 39 nbsp ergibt sich der Eckpunkt E 40 displaystyle E 40 nbsp Die Verbindung des Eckpunktes E 1 displaystyle E 1 nbsp mit E 40 displaystyle E 40 nbsp erzeugt die erste Seitenlange a displaystyle a nbsp des Vierzigecks Jetzt noch die fehlenden Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis festlegen und abschliessend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden Somit ist das regelmassige Vierzigeck konstruiert Konstruktion bei gegebener Seitenlange Bearbeiten nbsp Bild 2 Regelmassiges Vierzigeck bei gegebener SeitenlangeF A Hegenberg stellt im Jahr 1822 in seinem Werk Vollstandiges Lehrbuch der reinen Elementar Mathematik Zweiter Theil im Kapitel Konstruktionen der Linien und ebenen Figuren Aufgaben und deren Auflosungen u a auch zum Vierzigeck Unter 776 stellt er die Aufgabe zu einem Polygon mit n displaystyle n nbsp Seiten Es ist die Seite AB Fig 405 nicht einsehbar eines regularen Polygons von n Seiten gegeben man soll das Polygon konstruiren und zeigt dazu im darauffolgenden zweiten Absatz deren Auflosung Soll daher ein regulares Polygon konstruirt werden dessen Seite gegeben ist so braucht man nur uber die gegebene Seite ein gleichschenkelichtes Dreieck zu verzeichnen in welchem der Winkel an der Grundlinie dem halben Winkel am Umfange des verlangten Polygons gleich ist 1 Die Konstruktion im Bild 2 ahnelt der des Zwanzigecks bei gegebener Seitenlange Zuerst werden die Enden der Seitenlange a displaystyle a nbsp mit den ersten Eckpunkten E 1 displaystyle E 1 nbsp rechts und E 40 displaystyle E 40 nbsp bezeichnet anschliessend wird die Seitenlange a displaystyle a nbsp uber E 1 displaystyle E 1 nbsp hinaus verlangert Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius a displaystyle a nbsp um die Punkte E 1 displaystyle E 1 nbsp und E 40 displaystyle E 40 nbsp deren Schnittpunkte sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Anschliessend wird eine Halbgerade ab B displaystyle B nbsp durch A displaystyle A nbsp gezogen sie halbiert die Seitenlange a displaystyle a nbsp in C displaystyle C nbsp Eine Senkrechte auf E 1 E 40 displaystyle overline E 1 E 40 nbsp ab E 1 displaystyle E 1 nbsp schliesst sich an und erzeugt den Schnittpunkt D displaystyle D nbsp Danach wird ein Kreisbogen um C displaystyle C nbsp mit dem Radius E 40 D displaystyle E 40 D nbsp gezogen dabei ergibt sich der Schnittpunkt F displaystyle F nbsp auf der Verlangerung Die Strecke E 40 F displaystyle overline E 40 F nbsp ist somit nach dem goldenen Schnitt mit ausserer Teilung geteilt Jetzt wird um E 40 displaystyle E 40 nbsp ein Kreisbogen mit dem Radius E 40 F displaystyle overline E 40 F nbsp geschlagen der die Halbgerade in G displaystyle G nbsp schneidet In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck E 40 E 1 G displaystyle E 40 E 1 G nbsp entspricht der Winkel am Winkelscheitel G displaystyle G nbsp dem Zentriwinkel hier mit m displaystyle mu nbsp bezeichnet eines regelmassigen Zehnecks denn bei einer Seitenlange a 1 displaystyle a 1 nbsp gilt im rechtwinkligen Dreieck E 40 C G displaystyle E 40 CG nbsp sin 1 2 m a 2 1 2 5 2 a 2 1 2 5 2 displaystyle begin aligned sin left frac 1 2 mu right amp frac frac a 2 frac 1 2 frac sqrt 5 2 frac a 2 cdot left frac 1 2 frac sqrt 5 2 right end aligned nbsp mit eingesetzten Werten sin m 2 0 5 1 2 5 2 displaystyle begin aligned sin left frac mu 2 right amp frac 0 5 frac 1 2 frac sqrt 5 2 end aligned nbsp daraus folgt fur Winkel m 2 displaystyle frac mu 2 nbsp m 2 arcsin 0 5 1 2 5 2 18 displaystyle begin aligned frac mu 2 amp arcsin left frac 0 5 frac 1 2 frac sqrt 5 2 right 18 circ end aligned nbsp somit ist der Winkel m 36 displaystyle mu 36 circ nbsp und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt G displaystyle G nbsp mit dem Radius E 40 G displaystyle overline E 40 G nbsp er schneidet in H displaystyle H nbsp die Halbgerade die ab B displaystyle B nbsp durch A displaystyle A nbsp verlauft Wegen E 40 G G H displaystyle overline E 40 G overline GH nbsp ist nach dem Zentriwinkelsatz die Winkelweite am Winkelscheitel H displaystyle H nbsp des gleichschenkligen Dreiecks E 40 E 1 H displaystyle E 40 E 1 H nbsp halb so gross 18 displaystyle left 18 circ right nbsp als die Winkelweite m 36 displaystyle mu 36 circ nbsp am Winkelscheitel G displaystyle G nbsp des gleichschenkligen Dreiecks E 40 E 1 G displaystyle E 40 E 1 G nbsp Ein weiterer Kreisbogen dieses Mal um den Punkt H displaystyle H nbsp mit dem Radius E 40 H displaystyle overline E 40 H nbsp der dieselbe Halbgerade in M displaystyle M nbsp schneidet erzeugt demzufolge am Winkelscheitel M displaystyle M nbsp den Zentriwinkel m 9 displaystyle mu 9 circ nbsp des Vierzigecks Jetzt noch den Umkreis um den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp ziehen die noch fehlenden Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis festlegen und abschliessend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden Somit ist das regelmassige Vierzigeck konstruiert Regelmassiges uberschlagenes Vierzigeck BearbeitenEs ergibt sich wenn beim Verbinden der vierzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur sieben regelmassige Vierzigstrahlsterne Die Sterne mit den Symbolen 40 2 und 40 38 sind regelmassige Zwanzigecke 40 4 und 40 36 regelmassige Zehnecke 40 5 und 40 35 regelmassige Achtecke 40 8 und 40 32 regelmassige Funfecke 40 10 und 40 30 regelmassige Vierecke Die Sterne mit den Symbolen 40 6 und 40 34 40 14 und 40 26 sowie 40 18 und 40 22 sind regelmassige Zwanzigstrahlsterne 40 12 und 40 28 sind regelmassige Zehnstrahlsterne 40 15 und 40 25 regelmassige Achtstrahlsterne und schliesslich 40 16 und 40 24 regelmassige Pentagramme Regelmassige Vierzigstrahlsterne nbsp 40 3 40 37 displaystyle left 40 3 right left 40 37 right nbsp nbsp 40 7 40 33 displaystyle left 40 7 right left 40 33 right nbsp nbsp 40 9 40 31 displaystyle left 40 9 right left 40 31 right nbsp nbsp 40 11 40 29 displaystyle left 40 11 right left 40 29 right nbsp nbsp 40 13 40 27 displaystyle left 40 13 right left 40 27 right nbsp nbsp 40 17 40 23 displaystyle left 40 17 right left 40 23 right nbsp nbsp 40 19 40 21 displaystyle left 40 19 right left 40 21 right nbsp Weblinks BearbeitenVierzigeckiges Walter Payton s Roundhouse Former Einzelnachweise Bearbeiten F A Hegenberg Vollstandiges Lehrbuch der reinen Elementar Mathematik Zweiter Theil Theodor Christian Friedrich Enslin 1822 Online Kopie Google S 381 776 Deckblatt abgerufen am 20 April 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vierzigeck amp oldid 233560482