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Zwanzigeck Ein oder Ikosagon ist ein Polygon mit 20 Seiten und 20 Ecken Oft ist damit ein ebenes regelmäßiges gemeint be

Zwanzigeck

Ein Zwanzigeck oder Ikosagon ist ein Polygon mit 20 Seiten und 20 Ecken. Oft ist damit ein ebenes, regelmäßiges Zwanzigeck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Im Folgenden wird nur noch das regelmäßige Zwanzigeck und das regelmäßige überschlagene Zwanzigeck betrachtet.

Ein regelmäßiges Zwanzigeck

Winkel Bearbeiten

Der Mittelpunktswinkel beträgt

Seiten Bearbeiten

Die Seitenlänge im Vergleich zum Umkreisradius beträgt:

mit

Diagonalen Bearbeiten

Das Zwanzigeck besitzt 170 Diagonalen:

  • 20 Diagonalen über 2 (bzw. 18) Seiten
  • 20 Diagonalen über 3 (bzw. 17) Seiten
  • 20 Diagonalen über 4 (bzw. 16) Seiten
  • 20 Diagonalen über 5 (bzw. 15) Seiten
  • 20 Diagonalen über 6 (bzw. 14) Seiten
  • 20 Diagonalen über 7 (bzw. 13) Seiten
  • 20 Diagonalen über 8 (bzw. 12) Seiten
  • 20 Diagonalen über 9 (bzw. 11) Seiten
  • 10 Diagonalen über 10 Seiten

Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:

  • Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Zehnecks mit gleichem Umkreis:
  • Die Diagonale über drei Seiten:
  • Die Diagonale über vier Seiten entspricht der Seite eines Fünfecks mit gleichem Umkreis:
  • Die Diagonale über fünf Seiten entspricht der Seite eines Quadrats mit gleichem Umkreis:
  • Die Diagonale über sechs Seiten:
  • Die Diagonale über sieben Seiten:
  • Die Diagonale über acht Seiten:
  • Die Diagonale über neun Seiten:
  • Die Diagonale über zehn Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:

Fläche Bearbeiten

Die Fläche eines regelmäßigen Zwanzigecks mit der Seitenlänge und dem Umkreisradius wird durch die folgenden Formeln berechnet.

Konstruktion Bearbeiten

Das regelmäßige Zwanzigeck ist als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar, die hauptsächlichen Konstruktionsmerkmale werden bereits im Fünfeck bzw. im Zehneck verwendet.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis Bearbeiten

Die Konstruktion im Bild 1 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebenem Umkreis.

Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers und dessen Halbierung im Mittelpunkt Nach dem Ziehen des Umkreises um durch wird senkrecht zum Durchmesser die Mittelachse eingezeichnet; Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte und des entstehenden Zwanzigecks. Es folgt die Halbierung der Strecke in , dabei ergeben sich die Schnittpunkte und auf dem Umkreis. Nun wird ein Kreisbogen um mit dem Radius gezogen, bis er die Strecke in schneidet. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Noch einen kurzen Kreisbogen um mit dem Radius der den Umkreis im Eckpunkt schneidet, anschließend die Verbindung des Eckpunktes mit dem Punkt , jetzt auch zugleich dann ist die erste Seitenlänge des Zwanzigecks konstruiert. Abschließend die Seitenlänge fünfzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, das regelmäßige Zwanzigeck ist somit konstruiert.

Bild 1: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebenem Umkreis
Bild 2: Alternative Konstruktion des regelmäßigen Zwanzigecks
Anzahl der Konstruktionsschritte nahezu gleich denen im Bild 1

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge Bearbeiten

Die Konstruktion im Bild 3 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebener Seitenlänge. Die gepunkteten Linien sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge mit den ersten Eckpunkten (rechts) und bezeichnet. Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius um die Punkte und ; deren Schnittpunkte sind und Anschließend wird eine Halbgerade ab durch gezogen; sie halbiert die Seitenlänge in Eine Senkrechte auf ab schließt sich an und erzeugt den Schnittpunkt Verlängert man nun die Strecke über hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag und schlägt danach einen Kreisbogen um mit dem Radius , wird der Schnittpunkt auf der Verlängerung erzeugt. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Jetzt wird um ein Kreisbogen mit dem Radius geschlagen, der die senkrechte Halbgerade in schneidet. In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck entspricht der Winkel am Winkelscheitel dem Zentriwinkel eines regelmäßigen Zehnecks,

denn bei einer Seitenlänge gilt im rechtwinkligen Dreieck

mit eingesetzten Werten

daraus folgt für Winkel

somit ist der Winkel und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks.

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius , der die Halbgerade, die ab durch verläuft, in und in schneidet. Wegen ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel am Winkelscheitel halb so groß, als der Zentriwinkel des Zehnecks. Aufgrund dessen ist der Mittelpunkt des gesuchten Zwanzigecks mit dessen Zentriwinkel Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt ziehen, die Seitenlänge sechzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Zwanzigeck konstruiert.

Regelmäßige überschlagene Zwanzigecke Bearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes Zwanzigecke ergibt sich, wenn beim Verbinden der zwanzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur drei regelmäßige Zwanzigstrahlsterne, auch Ikosagramme genannt.

Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {20/2} und {20/18} sind regelmäßige Zehnecke, die mit den Schläfli-Symbolen {20/4} und {20/16} sind Fünfecke, die mit den Schläfli-Symbolen {20/5} und {20/15} sind Quadrate. Der Stern mit den Schläfli-Symbolen {20/6} und {20/14} ist ein Zehnstrahlstern, auch Dekagramm genannt.

Vorkommen Bearbeiten

  • Gasometer Wuppertal-Heckinghausen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Henry Green: Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II. In: books.google.de. London: Simpkin, Marshall,& CO., im Jahr 1861, S. 116, abgerufen am 10. Februar 2018.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Zwanzigeck oder Ikosagon ist ein Polygon mit 20 Seiten und 20 Ecken Oft ist damit ein ebenes regelmassiges Zwanzigeck gemeint bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen Im Folgenden wird nur noch das regelmassige Zwanzigeck und das regelmassige uberschlagene Zwanzigeck betrachtet Ein regelmassiges Zwanzigeck Inhaltsverzeichnis 1 Winkel 2 Seiten 3 Diagonalen 4 Flache 5 Konstruktion 5 1 Konstruktion bei gegebenem Umkreis 5 2 Konstruktion bei gegebener Seitenlange 6 Regelmassige uberschlagene Zwanzigecke 7 Vorkommen 8 EinzelnachweiseWinkel BearbeitenDer Mittelpunktswinkel betragt a 360 20 18 displaystyle alpha frac 360 circ 20 18 circ nbsp Seiten BearbeitenDie Seitenlange im Vergleich zum Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp betragt a 2 r u sin a 2 displaystyle a 2 cdot r u cdot sin frac alpha 2 nbsp a 2 r u sin 9 displaystyle a 2 cdot r u cdot sin 9 circ nbsp mit sin 9 1 1 4 10 2 5 2 displaystyle sin 9 circ sqrt frac 1 frac 1 4 sqrt 10 2 sqrt 5 2 nbsp Diagonalen BearbeitenDas Zwanzigeck besitzt 170 Diagonalen 20 Diagonalen uber 2 bzw 18 Seiten 20 Diagonalen uber 3 bzw 17 Seiten 20 Diagonalen uber 4 bzw 16 Seiten 20 Diagonalen uber 5 bzw 15 Seiten 20 Diagonalen uber 6 bzw 14 Seiten 20 Diagonalen uber 7 bzw 13 Seiten 20 Diagonalen uber 8 bzw 12 Seiten 20 Diagonalen uber 9 bzw 11 Seiten 10 Diagonalen uber 10 SeitenDie Langen im Verhaltnis zum Umkreisradius betragen Die Diagonale uber zwei Seiten entspricht der Seite eines Zehnecks mit gleichem Umkreis s 2 r u sin 18 2 r u 1 4 5 1 r u 0 618 033989 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 18 circ 2 cdot r u cdot frac 1 4 left sqrt 5 1 right approx r u cdot 0 618033989 nbsp Die Diagonale uber drei Seiten s 2 r u sin 27 r u 0 907 980999 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 27 circ approx r u cdot 0 907980999 nbsp Die Diagonale uber vier Seiten entspricht der Seite eines Funfecks mit gleichem Umkreis s 2 r u sin 36 r u 5 5 2 r u 1 175 5705 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 36 circ r u cdot sqrt frac 5 sqrt 5 2 approx r u cdot 1 1755705 nbsp Die Diagonale uber funf Seiten entspricht der Seite eines Quadrats mit gleichem Umkreis s 2 r u sin 45 r u 2 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 45 circ r u cdot sqrt 2 nbsp Die Diagonale uber sechs Seiten s 2 r u sin 54 r u 1 2 1 5 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 54 circ r u cdot frac 1 2 left 1 sqrt 5 right nbsp Die Diagonale uber sieben Seiten s 2 r u sin 63 r u 1 782 01305 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 63 circ approx r u cdot 1 78201305 nbsp Die Diagonale uber acht Seiten s 2 r u sin 72 r u 1 2 10 2 5 r u 1 902 11303 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 72 circ r u cdot frac 1 2 sqrt 10 2 sqrt 5 approx r u cdot 1 90211303 nbsp Die Diagonale uber neun Seiten s 2 r u sin 81 r u 1 975 37668 displaystyle s 2 cdot r u cdot sin 81 circ approx r u cdot 1 97537668 nbsp Die Diagonale uber zehn Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises s 2 r u displaystyle s 2 cdot r u nbsp Flache BearbeitenDie Flache eines regelmassigen Zwanzigecks mit der Seitenlange a displaystyle a nbsp und dem Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp wird durch die folgenden Formeln berechnet A 5 a 2 1 5 5 2 5 31 568 7 a 2 displaystyle A 5a 2 left 1 sqrt 5 sqrt 5 2 sqrt 5 right approx 31 5687a 2 nbsp A 5 2 r u 2 5 1 displaystyle A frac 5 2 r u 2 left sqrt 5 1 right nbsp Konstruktion BearbeitenDas regelmassige Zwanzigeck ist als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar die hauptsachlichen Konstruktionsmerkmale werden bereits im Funfeck bzw im Zehneck verwendet Konstruktion bei gegebenem Umkreis Bearbeiten Die Konstruktion im Bild 1 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebenem Umkreis 1 Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers A B displaystyle overline AB nbsp und dessen Halbierung im Mittelpunkt M displaystyle M nbsp Nach dem Ziehen des Umkreises um M displaystyle M nbsp durch A displaystyle A nbsp wird senkrecht zum Durchmesser A B displaystyle overline AB nbsp die Mittelachse eingezeichnet Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte E 6 displaystyle E 6 nbsp und E 16 displaystyle E 16 nbsp des entstehenden Zwanzigecks Es folgt die Halbierung der Strecke A M displaystyle overline AM nbsp in F displaystyle F nbsp dabei ergeben sich die Schnittpunkte C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp auf dem Umkreis Nun wird ein Kreisbogen um F displaystyle F nbsp mit dem Radius F E 6 displaystyle FE 6 nbsp gezogen bis er die Strecke A B displaystyle overline AB nbsp in G displaystyle G nbsp schneidet Die Strecke A G displaystyle overline AG nbsp ist somit nach dem goldenen Schnitt mit ausserer Teilung geteilt Noch einen kurzen Kreisbogen um E 6 displaystyle E 6 nbsp mit dem Radius E 6 G displaystyle E 6 G nbsp der den Umkreis im Eckpunkt E 2 displaystyle E 2 nbsp schneidet anschliessend die Verbindung des Eckpunktes E 2 displaystyle E 2 nbsp mit dem Punkt B displaystyle B nbsp jetzt auch zugleich E 1 displaystyle E 1 nbsp dann ist die erste Seitenlange a displaystyle a nbsp des Zwanzigecks konstruiert Abschliessend die Seitenlange a displaystyle a nbsp funfzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden das regelmassige Zwanzigeck ist somit konstruiert nbsp Bild 1 Regelmassiges Zwanzigeck bei gegebenem Umkreis nbsp Bild 2 Alternative Konstruktion des regelmassigen Zwanzigecks Anzahl der Konstruktionsschritte nahezu gleich denen im Bild 1 Konstruktion bei gegebener Seitenlange Bearbeiten nbsp Bild 3 Regelmassiges Zwanzigeck bei gegebener Seitenlange Animation sieheDie Konstruktion im Bild 3 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebener Seitenlange Die gepunkteten Linien sind fur die Konstruktion nicht erforderlich sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung Zuerst werden die Enden der Seitenlange a displaystyle a nbsp mit den ersten Eckpunkten E 1 displaystyle E 1 nbsp rechts und E 20 displaystyle E 20 nbsp bezeichnet Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius a displaystyle a nbsp um die Punkte E 1 displaystyle E 1 nbsp und E 20 displaystyle E 20 nbsp deren Schnittpunkte sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Anschliessend wird eine Halbgerade ab B displaystyle B nbsp durch A displaystyle A nbsp gezogen sie halbiert die Seitenlange a displaystyle a nbsp in C displaystyle C nbsp Eine Senkrechte auf E 1 E 20 displaystyle overline E 1 E 20 nbsp ab E 1 displaystyle E 1 nbsp schliesst sich an und erzeugt den Schnittpunkt D displaystyle D nbsp Verlangert man nun die Strecke E 20 E 1 displaystyle overline E 20 E 1 nbsp uber E 1 displaystyle E 1 nbsp hinaus um ca den gleichen Langenbetrag und schlagt danach einen Kreisbogen um C displaystyle C nbsp mit dem Radius E 20 D displaystyle E 20 D nbsp wird der Schnittpunkt F displaystyle F nbsp auf der Verlangerung erzeugt Die Strecke E 20 F displaystyle overline E 20 F nbsp ist somit nach dem goldenen Schnitt mit ausserer Teilung geteilt Jetzt wird um E 20 displaystyle E 20 nbsp ein Kreisbogen mit dem Radius E 20 F displaystyle overline E 20 F nbsp geschlagen der die senkrechte Halbgerade in G displaystyle G nbsp schneidet In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck E 20 E 1 G displaystyle E 20 E 1 G nbsp entspricht der Winkel am Winkelscheitel G displaystyle G nbsp dem Zentriwinkel m displaystyle mu nbsp eines regelmassigen Zehnecks denn bei einer Seitenlange a 1 displaystyle a 1 nbsp gilt im rechtwinkligen Dreieck E 20 C G displaystyle E 20 CG nbsp sin m 2 a 2 1 2 5 2 a 2 1 2 5 2 displaystyle begin aligned sin frac mu 2 amp frac frac a 2 frac 1 2 frac sqrt 5 2 frac a 2 cdot left frac 1 2 frac sqrt 5 2 right end aligned nbsp mit eingesetzten Werten sin m 2 1 2 1 2 5 2 displaystyle begin aligned sin frac mu 2 amp frac frac 1 2 frac 1 2 frac sqrt 5 2 end aligned nbsp daraus folgt fur Winkel m 2 displaystyle frac mu 2 nbsp m 2 arcsin 1 2 1 2 5 2 18 displaystyle begin aligned frac mu 2 amp arcsin left frac frac 1 2 frac 1 2 frac sqrt 5 2 right 18 circ end aligned nbsp somit ist der Winkel m 36 displaystyle mu 36 circ nbsp und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt G displaystyle G nbsp mit dem Radius E 20 G displaystyle overline E 20 G nbsp der die Halbgerade die ab B displaystyle B nbsp durch A displaystyle A nbsp verlauft in O displaystyle O nbsp und in H displaystyle H nbsp schneidet Wegen E 20 G G O G H displaystyle overline E 20 G overline GO overline GH nbsp ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel m displaystyle mu nbsp am Winkelscheitel O displaystyle O nbsp halb so gross als der Zentriwinkel m displaystyle mu nbsp des Zehnecks Aufgrund dessen ist O displaystyle O nbsp der Mittelpunkt des gesuchten Zwanzigecks mit dessen Zentriwinkel 18 displaystyle 18 circ nbsp Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt O displaystyle O nbsp ziehen die Seitenlange a displaystyle a nbsp sechzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden danach ist das regelmassige Zwanzigeck konstruiert Regelmassige uberschlagene Zwanzigecke BearbeitenEin regelmassiges uberschlagenes Zwanzigecke ergibt sich wenn beim Verbinden der zwanzig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur drei regelmassige Zwanzigstrahlsterne auch Ikosagramme genannt Die Sterne mit den Schlafli Symbolen 20 2 und 20 18 sind regelmassige Zehnecke die mit den Schlafli Symbolen 20 4 und 20 16 sind Funfecke die mit den Schlafli Symbolen 20 5 und 20 15 sind Quadrate Der Stern mit den Schlafli Symbolen 20 6 und 20 14 ist ein Zehnstrahlstern auch Dekagramm genannt Regelmassige Zwanzigstrahlsterne nbsp 20 3 20 17 displaystyle left 20 3 right left 20 17 right nbsp nbsp 20 7 20 13 displaystyle left 20 7 right left 20 13 right nbsp nbsp 20 9 20 11 displaystyle left 20 9 right left 20 11 right nbsp Vorkommen BearbeitenGasometer Wuppertal HeckinghausenEinzelnachweise Bearbeiten Henry Green Euclid s Plane Geometry Books III VI Practically Applied or Gradations in Euclid Part II In books google de London Simpkin Marshall amp CO im Jahr 1861 S 116 abgerufen am 10 Februar 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zwanzigeck amp oldid 230159357