Das Siebeneck nach Archimedes (auch bekannt als Siebeneck im Kreise) bezeichnet das Konstruktionsverfahren von Archimedes für ein regelmäßiges Siebeneck. Die bekannte Darstellung der Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) ist der überlieferten Ausarbeitung von Thabit ibn Qurra nachempfunden.
- Als Ansatz dient: Die Strecke ist gleich der Seitenlänge eines Siebenecks, wenn die beiden Dreiecke und den gleichen Flächeninhalt haben.
Vom Grundsatz her gibt es dafür zwei mögliche Vorgehensweisen. Eine davon beginnt mit dem Bestimmen des Teilungspunktes der Seite eines beliebigen Quadrats . Durch den im Weiteren erzeugten Schnittpunkt wird eine Halbgerade ab dem Eckpunkt durch gezogen, bis diese die Verlängerung der Strecke im Punkt schneidet. Die somit erzeugten Dreiecke und besitzen den gleichen Flächeninhalt (siehe Abschnitt Bestimmen des Teilungspunktes ), sodass gilt:
Die andere Möglichkeit ist, man beginnt mit einem beliebigen Quadrat , verlängert anschließend die Quadratseite und zieht schließlich, mithilfe eines markierten Lineals, eine Halbgerade ab dem Punkt bis sie die Verlängerung von im Punkt so schneidet, dass die Bedingung der Flächengleichheit der beiden (grünen) Dreiecke erfüllt ist (siehe Abschnitt Konstruktion von Archimedes).
Diese beiden Möglichkeiten sowie eine zusätzliche, die den Punkt ermittelt (siehe Abschnitt Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals), werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert. Allerdings ist dies – wie bei jedem regelmäßigen Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und (unmarkiertem) Lineal exakt darstellbar, wohl aber zum Beispiel mit einem Hilfsmittel zur Dreiteilung des Winkels, einem markierten Lineal. Wurde die Seitenlänge auf diese Art und Weise ermittelt, können anschließend, durch eine einfache weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge, Siebenecke als Konstruktion mit Zirkel und unmarkiertem Lineal bestimmt werden.
Geschichte Bearbeiten
In der Geschichte der Mathematik ist zum regelmäßigen Siebeneck wenig zu finden, insbesondere zu der Archimedes (287–212 v. Chr.) zugeschriebenen und im Folgenden beschriebenen Konstruktion aus seinem Buch über das „Siebeneck im Kreise …“. Das in griechischer Sprache verfasste Werk ist nur mehr in Abschriften vorhanden.
„In der Tat geschieht dieses Archimedischen Buches durch verschiedene arabische Gelehrte Erwähnung, die selbst Abhandlungen über das reguläre Siebeneck schrieben. Sämtliche dieser arabischen Texte sind uns erhalten, und so ist es möglich, den Anteil des Archimedes an der Lösung des Siebeneckproblems in etwa festzustellen.“
Erst rund 1100 Jahre später, sprich im 9. Jahrhundert, hat Thabit ibn Qurra (826–901) das Werk von Archimedes – er nannte es „Buch des Archimedes“ – ins Arabische übersetzt und somit den Beweis der Konstruktion von Archimedes für die Nachwelt erhalten (siehe Abschnitt Beweis zu Punkt D). Das Buch des Archimedes zählt zu den ältesten arabischen Übersetzungen. Thabit ibn Qurra hatte viel Mühe aufgebracht, um die von „verständnislosen Abschreibern entstellten Sätze und Figuren“ aus dem Griechischen zu übertragen. Letztendlich vergingen nochmals rund 1100 Jahre, bis Carl Schoy (1877–1925) das Buch des Archimedes, das davon handelt, den Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen, ins Deutsche übertrug. Schoy erhielt wertvolle Unterstützung von dem in Kairo lebenden Max Meyerhof, der ihm alle arabischen Schriften über das Siebeneck überließ.
Konstruktion von Archimedes Bearbeiten
In einem Quadrat mit beliebiger Seitenlänge wird eine Halbgerade ab dem Punkt gezogen, bis sie die Verlängerung der Quadratseite im Punkt schneidet. Für die dabei entstehenden Dreiecke gilt:
Die geometrische Konstruktion von Archimedes beruht hauptsächlich auf das Bestimmen der Streckenlänge . Hierzu nutzte er, so wird überliefert, die Konstruktionsmethode Einschiebung (Neusis). Sie entspricht in der Algebra der Lösung einer kubischen Gleichung. Die Art und Weise, wie er diese Einschiebung durchführte, um den maßgebenden Punkt theoretisch exakt zu erhalten, ist nicht überliefert. Alhazen, ein arabischer Mathematiker (965–1040), war der Meinung, dass eine Lösung nur mithilfe der Kegelschnitte möglich sei.
„Es gründet Archimedes die Konstruktion des Siebenecks auf das Quadrat, das er zuerst behandelt; aber wir wissen nicht, wie wir das Quadrat auf die Eigenschaft hinarbeiten sollen, welche seine Vorschrift enthält. Und dies ist uns nicht klar, weil die Hinarbeitung des Quadrates auf die Eigenschaft, welche die Bedingung (der Lösung) enthält, nur mittels Kegelschnitte möglich ist. Aber der Autor (Archimedes) gibt in seinem Buche, in dem er das Siebeneck behandelt, keinen Hinweis auf sie, und er sah nicht, daß er in seinem Buche das vermengte, was nicht gleichartig war.“
„Carl Schoy“
Im Jahr 1992 schreibt Christoph J. Scriba den Aufsatz „Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen“ in Amphora, einer Festschrift für Hans Wußing zu seinem 65. Geburtstag. Darin zitiert er Johannes Tropfke aus dessen Werk Die Siebeneckabhandlung des Archimedes:
„Aber diese Beziehung mit dem Schneiden eines Quadrates durch
eine Transversale – ein glänzender Einfall, der Bewunderung
verdient, dessen Entstehung man leider nicht mehr verfolgen
kann.“
Eine Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals, dessen Kante um den Punkt so gedreht ist, dass eine Strecke die Bedingung liefert, die Dreiecke und haben gleich große Flächeninhalte, ist offensichtlich nicht zielführend. Dies ist so, weil für jede Einschiebung die Voraussetzung besteht, dass der für die Markierung des Lineals erforderliche Abstand der beiden Marken konstruierbar ist. Die z. B. hierfür relevanten Streckenlängen oder erfüllen diese Bedingung nicht. Eine Möglichkeit der Einschiebung auf eine andere Art und Weise wird in Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals beschrieben.
Die folgenden Ausführungen, dargestellt in moderner Sprache, lehnen sich an die Beschreibung von Thabit ibn Qurra an, die im Wesentlichen aus zwei Schritten besteht. Als ersten Schritt (Bild 1) wird zur Vorüberlegung eine Prinzipskizze der Strecke mit ihren Teilungspunkten und angefertigt. Darin sei die Seitenlänge des Quadrates, und zugleich soll gelten:
Im zweiten Schritt (Bild 2) erweitert man die soeben erstellte Prinzipskizze. Hierzu wird zuerst über die Strecke mithilfe das gleichschenklige Dreieck errichtet. Verbindet man nun den Punkt mit ergibt sich das ebenfalls gleichschenklige Dreieck Nach Thabit ibn Qurra haben – bei exakt bestimmtem Teilungspunkt und Endpunkt – die Winkel an den Scheiteln und jeweils die Winkelweite und an den Scheiteln (Supplementwinkel, Nebenwinkel) und jeweils die Winkelweite Somit ist der Winkel der Zentriwinkel des Siebenecks.
Bestimmen des Teilungspunktes D Bearbeiten
Es bedarf dazu mindestens eines zusätzlichen Hilfsmittels, wie z. B. einer Parabel oder einer Parabel und Hyperbel oder des im Folgenden ermittelten Funktionsgraphen. Die Dreiecke und sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
Für eine exakte Konstruktion (Bild 3) zeichnet man zuerst das Quadrat mit der beliebigen Seitenlänge und verlängert anschließend über hinaus. Um die Dreiecke und mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Teilungspunkt zu bestimmen. Der fehlende Punkt ist anschließend mithilfe eines Lots von mit Fußpunkt und einer Halbgeraden ab durch den erzeugten Kreuzungspunkt zu finden.
Es sei und sodass gilt:
Daraus ergibt sich für
Gleichung eingesetzt in ergibt:
Gleichung multipliziert mit und anschließend dividiert durch ergibt:
daraus folgt die kubische Gleichung
Die Funktion hat im Intervall zwei Nullstellen . Es gilt Die dritte Nullstelle liegt außerhalb des Intervalls .
Wenn als Koordinatenursprung festgelegt wird, sind die kartesischen Koordinaten des relevanten Punktes des Funktionsgraphen
Beweis zu Punkt D Bearbeiten
Seitenlänge , ist die kleinste Diagonale
Als Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion von Archimedes soll die folgende Teilung des Kreises in sieben gleich lange Bögen dienen.
Auf eine Gerade werden die Strecken mit den gegebenen Längen , und abgetragen, anschließend das gleichschenklige Dreieck mit eingezeichnet sowie die Punkte mit und mit verbunden. Nach dem Bestimmen des Umkreismittelpunktes mithilfe der beiden Senkrechten auf durch sowie auf durch wird der Umkreis eingezeichnet. Es folgen die Verlängerungen der Strecken und , bis sie in bzw. den Umkreis schneiden. Nun wird mit verbunden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt der sogleich mit verbunden wird. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises ergibt sich aus der Halbierung der Strecke in und der anschließenden Senkrechten zu in .
Aus der Darstellung (Bild 4) ist zu entnehmen ( Kreisbogen):
Somit sind
dies bedeutet, die vier Punkte und liegen auf demselben Kreis mit Mittelpunkt Wegen Kongruenz (drei Seiten gleich lang) der Dreiecke
und aus der Ähnlichkeit (W:W:W-Satz) von
Des Weiteren gilt:
also ist jeder der Bögen
Somit ist der Kreis in sieben gleich lange Teile geteilt, was zu beweisen war.
Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM Bearbeiten
Das nebenstehende Bild zeigt eine alternative Lösung. Darin wird der Punkt anstatt des Punktes bestimmt. Die Dreiecke und sowie die Punkte und sind nicht Teil der Lösung, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
Für eine exakte Konstruktion zeichnet man zuerst das Quadrat mit der beliebigen Seitenlänge und verlängert über hinaus. Um die Dreiecke und mit gleich großen Flächeninhalten zu erhalten, reicht es, den Punkt zu bestimmen. Abschließend wird die Verbindungslinie von Punkt bis Punkt eingetragen.
Gesucht ist eine Funktion , deren Graph die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems in schneidet (Nullstelle) und somit die Strecke erzeugt.
Sei dann ist die Länge der Strecke gleich dem Längenverhältnis der kleinsten Diagonale zur Seitenlänge des regelmäßigen Siebenecks (siehe hierzu Bild 4: Beweis durch Kreisteilung).
Dies führt über die kubische Gleichung
schließlich zur Funktion
mit deren dritten Nullstelle in Für allgemeine ergibt sich aufgrund linearer Skalierung entsprechend:
Bestimmen des Punktes M mithilfe eines markierten Lineals Bearbeiten
Wie im Abschnitt Konstruktion von Archimedes erläutert, gibt es keine Überlieferung, wie er ein markiertes Lineal in seiner speziellen Neusis-Konstruktion nutzte, um den Punkt zu erhalten.
Nichtsdestotrotz gibt es die Möglichkeit der Einschiebung (Bild 6) mithilfe der bereits bekannten Methode für ein Siebeneck mit gegebener Seitenlänge von David Johnson Leisk (auch Crockett Johnson genannt). In seiner Veröffentlichung aus dem Jahr 1975 beschreibt er den Lösungsweg zum Bestimmen der Hälfte des Zentriwinkels mithilfe eines Quadrats und z. B. des gleichschenkligen Dreiecks . Die Weiterführung liefert den Umkreismittelpunkt des Siebenecks.
Konstruktionsbeschreibung Bearbeiten
Es beginnt mit dem Quadrat mit der Seitenlänge und der Diagonalen . Es folgen der Kreisbogen um mit dem Radius und die Mittelsenkrechte der Strecke . Nun wird das Lineal mit der Markierung der Seitenlänge so platziert, dass ein Endpunkt der Markierung auf der Mittelsenkrechten, der zweite auf dem Kreisbogen liegt und die Kante des Lineals durch den Punkt verläuft. Die Bezeichnung der so gefundenen Punkte und sowie die Verbindungen des Punktes mit und schließen sich an. Somit ergibt sich am Winkelscheitel die Hälfte des Zentriwinkels .
Weiter geht es mit der Halbierung der Strecke in und dem Errichten einer Orthogonalen (Senkrechten) auf in mit Schnittpunkt auf der Mittelsenkrechten. Anschließend um den Umkreis des Dreiecks mit dem Radius ziehen; der Schnittpunkt ist . Ab dem Punkt trägt man einmal in Richtung die Seitenlänge des Quadrates auf dem Kreis ab; es ergibt den Schnittpunkt . Nun bedarf es noch einer Verlängerung der Strecke ab und einer Halbgeraden ab durch , bis sie die Verlängerung ab im gesuchten Punkt trifft.
Beweis zu Punkt M Bearbeiten
Ein möglicher Beweis (Bild 7) besteht darin, zu zeigen, dass das Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist. Mit anderen Worten:
Die Sehne des Kreises und die Strecke müssen gleich lang sein.
Im gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln ist die Sehne eine Diagonale über zwei Seiten eines Siebenecks mit dem Innenwinkel . Die Seitenlänge ergibt sich aus:
Ergebnis der Berechnung der Streckenlänge aus dem Abschnitt Bestimmen des Endpunktes M der Strecke AM:
daraus folgt
Was zu beweisen war.
Bestimmen des Punktes M mithilfe zweier Zickzacklinien in einem gleichschenkligen Dreieck Bearbeiten
Archibald H. Finlay veröffentlichte 1959 in The Mathematical Gazette unter dem Titel 2863. Zig-Zag-paths einen Kreis mit acht speziellen Kreissektoren, die unterschiedliche Zickzacklinien beinhalten. Ein Kreissektor zeigt ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Zentriwinkel eines Vierzehnecks, den beiden Basiswinkeln mit je sowie zwei sich kreuzende, vom Dreieck umschriebene Zickzacklinien mit sieben gleich langen Geradenabschnitten.
Das Zusammenspiel des Dreiecks mit Seitenlänge des Quadrates und den beiden Zickzacklinien, ermöglicht das Finden des Punktes der Strecke . Es ist vorteilhaft, die Konstruktion (Bild 8) mittels einer Dynamischen-Geometrie-Software zu erstellen. Für eine Konstruktion auf Papier gäbe es z. B. auch die Möglichkeit, den beweglichen Winkelschenkel durch einen Papierstreifen zu ersetzen, oder man nimmt dazu – für eine pragmatische Lösung – einfach sieben gleich lange Zahnstocher. Die weitere Vorgehensweise wäre gleich wie die im Folgenden beschriebene bzw. wie die in der Animation (Bild 8) gezeigte.
Vorgehensweise
Nach der Konstruktion des Quadrates und dem Einzeichnen der Diagonalen wird die Seite des Quadrates mittels einer Halbgeraden über hinaus verlängert. Dies ergibt den feststehenden Winkelschenkel des späteren Winkels . Eine nun folgende zweite Halbgerade ab dem Scheitel , sprich, der bewegliche Winkelschenkel, schließt einen Winkel mit noch unbestimmter Winkelweite ein.
Es geht weiter mit den zwei sich kreuzenden Zickzacklinien, d. h. mit dem Eintragen der vorerst fünf Seitenlängen – eine ist die Quadratseite. Beginnend mit der ersten Zickzacklinie beim Scheitel wird zuerst auf dem beweglichen Winkelschenkel die Länge abgetragen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Es folgt, wieder mithilfe , das vorläufige Bestimmen der Punkte und . Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte und der zweiten Zickzacklinie eingetragen. Die siebte Länge (rot, Grundlinie des gesuchten Dreiecks ) wird nahe auf dem feststehenden Winkelschenkel platziert.
Um das Dreieck zu erhalten, bedarf es noch der Verbindung der Grundlinie der Länge (rot) mit den Endpunkten und der beiden Zickzacklinien. Die Animation (Bild 8) zeigt ein Beispiel, wie dies erreicht werden kann.
Mit dem fertiggestellten Dreieck ist der Punkt so platziert, dass die Dreiecke und nun den gewünschten gleichen Flächeninhalt haben.
Weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge Bearbeiten
Umkreis gegeben Bearbeiten
Siehe hierzu Bild 9.
Ausgehend von den konstruierten Punkten und zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel die Halbgerade mit der Winkelweite Es folgt das Abtragen des gegebenen Umkreisradius auf die Halbgerade ab dabei ergibt sich der Mittelpunkt des Umkreises. Nun zieht man um den Umkreis des gesuchten Siebenecks mit dem Radius Schneidet der Umkreis die Strecke in so ist die Seitenlänge hiermit gefunden. Schneidet der Umkreis die Strecke nicht, wird ab die Halbgerade gezogen, bis sie den Umkreis in schneidet und so die Seitenlänge liefert. Abschließend werden die Seitenlänge fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.
Seitenlänge gegeben Bearbeiten
Siehe hierzu Bild 10.
Ausgehend von den konstruierten Punkten und zieht man zuerst ab dem Winkelscheitel die Halbgerade mit der Winkelweite Nun soll die gegebene Seitenlänge bestimmt werden. Ist die Seitenlänge wird sie auf abgetragen. Andernfalls ist zuvor ab die Halbgerade zu ziehen, um drauf platzieren zu können. Nach dem Einzeichnen eines Kreisbogens mit dem Radius um , bis die Strecke in geschnitten wird, zieht man eine Linie ab durch auf die Halbgerade . Dabei ergibt sich der Schnittpunkt sowie das Dreieck . Wegen Ähnlichkeit der Dreiecke entspricht der am Eckpunkt eingeschlossene Winkel dem Zentriwinkel des Siebenecks und dem Mittelpunkt des gesuchten Umkreises. Abschließend werden der Umkreis um mit dem Radius gezogen, die Seitenlänge fünfmal gegen den Uhrzeigersinn abgetragen und die noch fehlenden Seiten des Siebenecks eingezeichnet.
Literatur Bearbeiten
- Johannes Tropfke: Die Siebeneckabhandlung des Archimedes, The University of Chicago Press Journals, Osiris Band 1.
- Christoph J. Scriba: Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen. Kap. 3: Die Siebeneckskonstruktion nach Archimedes. In: Amphora. Festschrift für Hans Wußing zu seinem 65. Geburtstag, S. 677–692, 1992, Springer Basel AG, ISBN 978-3-0348-9696-2.
- J. L. Berggren: (PDF) §4 Abu Sahl al-Quhi über das regelmäßige Siebeneck. (Nicht mehr online verfügbar.) spektrum.de, 2011, S. 83–89, archiviert vom am 20. August 2021; abgerufen am 18. Juni 2023.
- Jan P. Hogendijk: Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon. Kap. 4: Arabic Constructions of the Regular Heptagon. In: JSTOR Journal. Article in Archive for History of Exact Sciences, Band.30, Nr. 3/4 (1984), S. 217 ff., Springer.
- Christian Marinus Taisbak: Analysis of the So-called “Lemma of Archimedes” for Constructing a Regular Heptagon. Wiley Online Library, Centaurus, Juli 1993, Band 36, S. 191–199.
- Wilbur R. Knorr: On Archimedes’ Construction of the Regular Heptagon. Wiley Online Library, Centaurus, Oktober 1989, Band 32, S. 257–271.
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Jan P. Hogendijk: Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon. Kap. 2.4: The Greek origin of the construction. In: JSTOR Journal. Article in Archive for History of Exact Sciences, Band.30, Nr. 3/4 (1984), S. 211, Springer
- ↑ Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 74, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
- ↑ H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch „Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 80.
- ↑ Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 85 (Abschnitt: Übersetzung), Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 16. Mai 2023.
- Christoph J. Scriba: Einige Bemerkungen zu antiken Konstruktionen, J. TROPFKE schrieb in [TROPFKE 1936], S. 684 „über diese archimedische Konstruktion.“
- J. L. Berggren: (PDF) §4 Abu Sahl über das regelmäßige Siebeneck. (Nicht mehr online verfügbar.) archive.org, 20. August 2021, S. 83, archiviert vom am 20. August 2021; abgerufen am 22. Oktober 2021.
- H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch „Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81.
- ↑ H.-W. Alten, A. Djafari Naini, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen. 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch „Einschiebung“ von Archimedes. Springer–Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-43554-9, S. 81–82.
- Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 84 ff., Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
- 3 Nullstellen des Funktionsgraphen. Wolfram Alpha, abgerufen am 13. Juli 2020.
- ↑ Carl Schoy: Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abuʼl-Raiḥân Muḥ. Ibn Aḥmad al-Bîrûnî dargestellt nach Al-qânûn al-masʻûdî, Hannover, Orient-Buchhandlung Heinz Lafaire, 1927, S. 83, Digitalisat (PDF; 4,2 MB) auf Jan P. Hogendijk, University of Utrecht, Department of Mathematics; abgerufen am 14. Oktober 2019.
- OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7) is the length ratio (smallest diagonal)/side in the regular 7-gon (heptagon).
- OEIS COMMENTS, An algebraic integer of degree 3 with minimal polynomial x3 - x2 - 2x + 1.
- OEIS COMMENTS, rho(7):= 2*cos(Pi/7)
- Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 17–19, abgerufen am 19. Dezember 2021.
- Archibald H. Finlay: 2863. Zig-Zag paths. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Cambridge University Press, 3. November 2016, S. 199, abgerufen am 25. Januar 2022.
- Crockett Johnson: A Construction for a Regular Heptagon. (PDF) In: The Mathematical Gazette. Florida Atlantic University, März 1975, S. 19–20, abgerufen am 10. März 2022.
- Eric W. Weisstein: Regular Heptagon. In: The Mathematical Gazette. MathWorld, A Wolfram Web Resource, abgerufen am 21. Juni 2023.
Anmerkungen Bearbeiten
- Ein regelmäßiges Vieleck, sprich n-Eck oder Polygon, ist nach Carl Friedrich Gauß nur dann konstruierbar: Wenn das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
- Jan P. Hogendijk: „Die Zuschreibung an Archimedes erfolgt auch durch die arabischen Gelehrten Abu‘l-Jud, Al-Sijzi, Al-Kuhi, Al-Saghani, Al-Shanni, Ibn al-Haytham und Kamal Al-Din ibn Yunus. Der Name Archimedes und sogar der Name des Übersetzers Thabit ibn Qurra könnten jedoch von einem Schreiber dem Text hinzugefügt worden sein“ [Übersetzung].
- In der Literatur findet man häufig auch 836 A.D. als Geburtsjahr.
- Die Bezeichnungen der Punkte sind dem Buch von H.-W. Alten 4000 Jahre Algebra, Geschichte–Kulturen–Menschen, S. 81 entnommen.
- ↑ Das Dreieck ABC in A Construction for a Regular Heptagon wird durch den Zentriwinkel des Vierzehnecks und die Seitenlänge des Quadrates bestimmt. Es müsste daher richtig heißen auf S. 20, Ende des letzten Absatzes: If AY equals BF then AX is BA, XY is AF, YB is AE.