Das 51 Eck oder Pentakontahenagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch einundfunfzig Punkte und deren einundfunfzig Verbindungen namens Strecken Seiten oder Kanten Regelmassiges 51 EckDas regelmassige 51 Eck ist ein nicht uberschlagenes Polygon mit 51 gleich langen Seiten auf einem gemeinsamen Umkreis Es ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen 51 2 0 3 17 displaystyle 51 2 0 cdot 3 cdot 17 darstellbar ist Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmassige 51 Eck Inhaltsverzeichnis 1 Grossen 2 Innenwinkel 3 Zentriwinkel 4 Seitenlange und Umkreisradius 5 Inkreisradius 6 Hohe 7 Flacheninhalt 8 Konstruktion 8 1 Voruberlegungen 8 2 Konstruktionsbeschreibung 9 Vorkommen 10 Literatur 11 Weblinks 12 EinzelnachweiseGrossen BearbeitenGrossen eines regelmassigen 51 EcksInnenwinkel a n 2 n 180 49 51 180 a 172 941 176 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 49 51 cdot 180 circ alpha amp approx 172 941176 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 51 m 7 058 823 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 51 mu amp approx 7 058823 circ end aligned nbsp Seitenlange a R 2 sin 180 51 a 0 123 1218 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right a amp approx 0 1231218 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 51 R a 0 123 121 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right R amp approx frac a 0 123121 end aligned nbsp Inkreisradius r R cos 180 51 r 0 998 103 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac 180 circ 51 right r amp approx 0 998103 cdot R end aligned nbsp Hohe h R r R 1 cos 180 51 h 1 998 103 R displaystyle begin aligned h amp R r R cdot left 1 cos left frac 180 circ 51 right right h amp approx 1 998103 cdot R end aligned nbsp Flacheninhalt A 51 R 2 sin 180 51 cos 180 51 A 3 133 651 R 2 displaystyle begin aligned A amp 51 cdot R 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right cdot cos left frac 180 circ 51 right A amp approx 3 133651 cdot R 2 end aligned nbsp Innenwinkel BearbeitenDer Innenwinkel a displaystyle alpha nbsp wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen In der allgemeinen Formel fur regelmassige Polygone steht die Variable n displaystyle n nbsp fur die Anzahl der Eckpunkte des Polygons In diesem Fall ist fur die Variable die Zahl 51 displaystyle 51 nbsp einzusetzen a n 2 n 180 51 2 51 180 49 51 180 172 941 176 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ frac 51 2 51 cdot 180 circ frac 49 51 cdot 180 circ approx 172 941176 circ nbsp Zentriwinkel BearbeitenDer Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien R displaystyle R nbsp eingeschlossen In der allgemeinen Formel ist fur die Variable n displaystyle n nbsp die Zahl 51 displaystyle 51 nbsp einzusetzen m 360 n 360 51 7 058 823 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 51 approx 7 058823 circ nbsp Seitenlange und Umkreisradius BearbeitenDas 51 Eck ist in einundfunfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar Aus der Halfte eines solchen Teildreiecks sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete halbe Seitenlange a 2 displaystyle frac a 2 nbsp der Hypotenuse Umkreisradius R displaystyle R nbsp und dem halben Zentriwinkel m 2 displaystyle frac mu 2 nbsp erhalt man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlange a displaystyle a nbsp wie folgt a R 2 sin m 2 R 2 sin 180 51 a 0 123 1218 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac mu 2 right amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right a amp approx 0 1231218 cdot R end aligned nbsp durch Umformen erhalt man den Umkreisradius R displaystyle R nbsp R a 2 sin 180 51 R a 0 123 1218 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right R amp approx frac a 0 1231218 end aligned nbsp Inkreisradius BearbeitenDer Inkreisradius r displaystyle r nbsp ist die Hohe eines Teildreiecks senkrecht zur Seitenlange a displaystyle a nbsp des 51 Ecks Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlange verwendet gilt fur den Inkreisradius r displaystyle r nbsp r R cos m 2 R cos 180 51 r 0 998 103 R displaystyle begin aligned r amp R cdot cos left frac mu 2 right R cdot cos left frac 180 circ 51 right r amp approx 0 998103 cdot R end aligned nbsp Hohe BearbeitenDie Hohe h displaystyle h nbsp eines regelmassigen 51 Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius r displaystyle r nbsp und Umkreisradius R displaystyle R nbsp h R r R R cos 180 51 R 1 cos 180 51 displaystyle h R r R R cdot cos left frac 180 circ 51 right R cdot left 1 cos left frac 180 circ 51 right right nbsp h 1 998 103 R displaystyle h approx 1 998103 cdot R nbsp Flacheninhalt BearbeitenDer Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein A D 1 2 a h a displaystyle A Delta frac 1 2 a cdot h a nbsp Fur die Berechnung des 51 Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlange a displaystyle a nbsp und des Inkreisradius r displaystyle r nbsp herangezogen worin r displaystyle r nbsp fur die Hohe h a displaystyle h a nbsp eingesetzt wird a R 2 sin 180 51 displaystyle a R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right nbsp h a r R cos 180 51 displaystyle h a r R cdot cos left frac 180 circ 51 right nbsp daraus folgt fur die Flache eines Teildreiecks A D 1 2 R 2 sin 180 51 R cos 180 51 displaystyle begin aligned A Delta amp frac 1 2 cdot R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right cdot R cdot cos left frac 180 circ 51 right end aligned nbsp zusammengefasst ergibt sich A D R 2 sin 180 51 cos 180 51 displaystyle A Delta R 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right cdot cos left frac 180 circ 51 right nbsp A D 0 061 4441 R 2 displaystyle A Delta approx 0 0614441 cdot R 2 nbsp und fur die Flache des gesamten 51 Ecks A 51 A D 51 R 2 sin 180 51 cos 180 51 displaystyle A 51 cdot A Delta 51 cdot R 2 cdot sin left frac 180 circ 51 right cdot cos left frac 180 circ 51 right nbsp A 3 133 651 R 2 displaystyle A approx 3 133651 cdot R 2 nbsp Konstruktion BearbeitenWie oben in Regelmassiges 51 Eck beschrieben ist das 51 Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen 3 displaystyle 3 nbsp und 17 displaystyle 17 nbsp ergibt kann das regelmassige 51 Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen 3 displaystyle 3 nbsp bzw 17 displaystyle 17 nbsp werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt ubereinander gelegt so wie dies z B Johannes Kepler in seinem Werk WELT HARMONIK in der Konstruktion des Funfzehnecks aufzeigt 1 Als Basis fur die Konstruktion kann prinzipiell eine der drei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewahlt werden Aus Grunden des sehr geringen erforderlichen Aufwands wird die Methode von Duane W DeTemple 2 aus dem Jahr 1991 verwendet Voruberlegungen Bearbeiten nbsp Bild 1 Siebzehneck nach DeTemple Voruberlegungen gepunktete Linien In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W DeTemple Bild 1 ist gut erkennbar die Mittelsenkrechte ab Q displaystyle Q nbsp schneidet nicht nur den Kreisbogen c 2 displaystyle c 2 nbsp sondern auch den Umkreis Wird dieser Schnittpunkt als P 34 displaystyle P 34 nbsp markiert liegt er direkt neben dem Eckpunkt P 11 displaystyle P 11 nbsp Damit ergibt sich der Zentriwinkel P 34 O P 0 displaystyle P 34 OP 0 nbsp mit der Winkelweite 120 displaystyle 120 circ nbsp eines gleichseitigen Dreiecks der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks P 0 O P 1 displaystyle P 0 OP 1 nbsp geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist Folglich gilt fur Zentriwinkel 8 1 displaystyle theta 1 nbsp des Kreissektors O P 11 P 0 displaystyle OP 11 P 0 nbsp 8 1 6 17 360 127 058 8235294117647 displaystyle theta 1 frac 6 17 cdot 360 circ 127 0588235294117647 ldots circ nbsp Zentriwinkel 8 2 displaystyle theta 2 nbsp des Kreissektors O P 11 P 34 displaystyle OP 11 P 34 nbsp 8 2 6 17 360 120 7 058 8235294117647 displaystyle theta 2 frac 6 17 cdot 360 circ 120 circ 7 0588235294117647 ldots circ nbsp wegen Zentriwinkel m displaystyle mu nbsp des 51 Ecks m 360 51 7 058 8235294117647 displaystyle mu frac 360 circ 51 7 0588235294117647 ldots circ nbsp gilt auch 8 2 m displaystyle theta 2 mu nbsp Somit ist die Strecke P 11 P 34 displaystyle overline P 11 P 34 nbsp eine Seitenlange a displaystyle a nbsp und P 34 displaystyle P 34 nbsp ein Eckpunkt des gesuchten 51 Ecks Die Position des Eckpunktes P 34 displaystyle P 34 nbsp des 51 Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlangen a A displaystyle a A nbsp die im Zentriwinkel 120 displaystyle 120 circ nbsp enthalten sind a A 120 7 058 8235294117647 17 displaystyle a A frac 120 circ 7 0588235294117647 17 nbsp daraus folgt ausgehend von dem nicht mitgezahlten Eckpunkt P 0 displaystyle P 0 nbsp entspricht der im Uhrzeigersinn 17 Eckpunkt dem Eckpunkt P 34 displaystyle P 34 nbsp der gegen den Uhrzeigersinn abgezahlt ist Der 17 Eckpunkt des 51 Ecks liegt demnach bezogen auf die Mittelachse Q P 0 displaystyle overline QP 0 nbsp genau gegenuber dem 34 Eckpunkt Konstruktionsbeschreibung Bearbeiten Die im Vergleich zum Original geanderten Bezeichner im Bild 2 entsprechen denen der heute ublichen nbsp Bild 2 Erweiterung der Konstruktion des 17 Ecks nach Duane W DeTemple zur Konstruktion des 51 Ecks durch Erganzung der Ecken des gleichseitigen Dreiecks P 0 displaystyle P 0 nbsp P 17 displaystyle P 17 nbsp P 34 displaystyle P 34 nbsp und Abtragen der dann noch fehlenden PunkteZeichnen einer Geraden x displaystyle x nbsp analytisch eine X Achse und bestimmen eines Punktes M 1 displaystyle M 1 nbsp darauf den spateren Mittelpunkt des Polygons analytisch ein Koordinatenursprung Zeichnen eines Kreises als Umkreis analytisch ein Einheitskreis C 1 displaystyle C 1 nbsp um M 1 displaystyle M 1 nbsp Es ergeben sich zwei Schnittpunkte den Eckpunkt P 0 displaystyle P 0 nbsp des Polygons und der Gegenpunkt B displaystyle B nbsp Errichten der Senkrechten y displaystyle y nbsp analytisch eine Y Achse auf der Gerade x displaystyle x nbsp in M 1 displaystyle M 1 nbsp Es ergibt sich der Schnittpunkt Y 0 displaystyle Y 0 nbsp Halbierung der Strecke B M 1 displaystyle overline BM 1 nbsp in M 2 displaystyle M 2 nbsp Errichten der Senkrechte auf der Geraden in M 2 displaystyle M 2 nbsp Die beiden Schnittpunkte mit C 1 displaystyle C 1 nbsp sind die Eckpunkte P 17 displaystyle P 17 nbsp und P 34 displaystyle P 34 nbsp des 51 Ecks Zeichnen des Kreisbogens C 2 displaystyle C 2 nbsp um M 2 displaystyle M 2 nbsp mit dem Radius M 2 P 0 displaystyle overline M 2 P 0 nbsp Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist M C c 1 displaystyle M Cc1 nbsp Nun wird um M C c 1 displaystyle M Cc1 nbsp der erste Carlyle Kreis C C 1 displaystyle C C1 nbsp durch den Punkt Y 0 displaystyle Y 0 nbsp gezogen die Schnittpunkte sind X C c 1 1 displaystyle X Cc1 1 nbsp und X C c 1 2 displaystyle X Cc1 2 nbsp Die Strecke M 1 X C c 1 1 displaystyle overline M 1 X Cc1 1 nbsp wird halbiert Man erhalt M C c 2 displaystyle M Cc2 nbsp Zeichnen eines zweiten Carlyle Kreises C C 2 displaystyle C C2 nbsp um M C c 2 displaystyle M Cc2 nbsp durch Y 0 displaystyle Y 0 nbsp Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte X C c 2 1 displaystyle X Cc2 1 nbsp und X C c 2 2 displaystyle X Cc2 2 nbsp letzterer nicht eingezeichnet da er nicht weiter benotigt wird Die Strecke M 1 X C c 1 2 displaystyle overline M 1 X Cc1 2 nbsp wird halbiert Man erhalt M C c 3 displaystyle M Cc3 nbsp Zeichnen eines dritten Carlyle Kreises C C 3 displaystyle C C3 nbsp um M C c 3 displaystyle M Cc3 nbsp durch Y 0 displaystyle Y 0 nbsp Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte X C c 3 1 displaystyle X Cc3 1 nbsp und X C c 3 2 displaystyle X Cc3 2 nbsp letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet da er nicht weiter benotigt wird Abtragen der Strecke M 1 X C c 2 1 displaystyle overline M 1 X Cc2 1 nbsp auf y displaystyle y nbsp von Y 0 displaystyle Y 0 nbsp aus ab Man erhalt Punkt Y 1 displaystyle Y 1 nbsp Verbinden der Punkte Y 1 displaystyle Y 1 nbsp und X C c 3 1 displaystyle X Cc3 1 nbsp mit einer Strecke Halbieren der Strecke Y 1 X C c 3 1 displaystyle overline Y 1 X Cc3 1 nbsp Man erhalt Punkt M C c 4 displaystyle M Cc4 nbsp Zeichnen eines vierten Carlyle Kreises C C 4 displaystyle C C4 nbsp um M C c 4 displaystyle M Cc4 nbsp durch Y 0 displaystyle Y 0 nbsp Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte X C c 4 1 displaystyle X Cc4 1 nbsp und X C c 4 2 displaystyle X Cc4 2 nbsp letzterer nicht beschriftet da er nicht weiter benotigt wird Zeichnen eines Kreisbogens um X C c 4 1 displaystyle X Cc4 1 nbsp mit dem Umkreisradius M 1 B displaystyle overline M 1 B nbsp Die Schnittpunkte mit dem Umkreis C 1 displaystyle C 1 nbsp sind die zwei zu P 0 displaystyle P 0 nbsp benachbarten Punkte des 17 Ecks und damit die Punkte P 3 displaystyle P 3 nbsp und P 48 displaystyle P 48 nbsp des 51 Ecks Durch wiederholtes Abtragen der Strecke P 0 P 3 displaystyle overline P 0 P 3 nbsp auf dem Umkreis C 1 displaystyle C 1 nbsp beginnend mit P 0 displaystyle P 0 nbsp erhalt man die fehlenden Punkte eines regelmassigen 17 Ecks Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17 Ecks Durch wiederholtes Abtragen der Strecke P 0 P 3 displaystyle overline P 0 P 3 nbsp auf dem Umkreis C 1 displaystyle C 1 nbsp ausgehend von den Punkten P 17 displaystyle P 17 nbsp blau und P 34 displaystyle P 34 nbsp rot erhalt man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51 Ecks welche miteinander zum 51 Eck verbunden werden konnen Vorkommen BearbeitenArchitektur nbsp RWE Turm in EssenDer Querschnitt des RWE Turms in Essen ist ein regelmassiges 51 Eck Literatur BearbeitenH Maser Die Teilung des Kreises Artikel 365 in Carl Friedrich Gauss Untersuchungen uber hohere Arithmetik Verlag von Julius Springer Berlin 1889 Gottinger Digitalisierungszentrum Universitat Gottingen abgerufen am 15 Marz 2018 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons 85 Eck Album mit Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Johannes Kepler WELT HARMONIK XLIV Satz Seite des Funfzehnecks Seite 44 In Google Books R OLDENBURG VERLAG 2006 ubersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939 S 401 abgerufen am 21 Februar 2018 Duane W DeTemple Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions Memento vom 11 August 2011 im Internet Archive The American Mathematical Monthly Vol 98 No 2 Feb 1991 S 101 104 JSTOR 2323939 aufgerufen am 16 Februar 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title 51 Eck amp oldid 225627277
