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Dreißigeck Das oder Triakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch dreißig Eckpu

Dreißigeck

Das Dreißigeck oder Triakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch dreißig Eckpunkte und deren dreißig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Regelmäßiges Dreißigeck

Variationen Bearbeiten

Das Dreißigeck ist darstellbar als:

  • konkaves Dreißigeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
  • konvexes Dreißigeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Dreißigeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnendreißigeck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
  • regelmäßiges Dreißigeck: Es ist bestimmt durch dreißig Punkte, die auf einem virtuellen oder realen Kreis liegen. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Dreißigeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der dreißig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.

Regelmäßiges Dreißigeck Bearbeiten

Das regelmäßige Dreißigeck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen () darstellbar ist.

Größen Bearbeiten

Die Größen und deren allgemeine Formeln sind in Fünfzehneck, Mathematische Zusammenhänge ausführlich beschrieben.

Größen eines regelmäßigen Dreißigecks
Innenwinkel

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis Bearbeiten

Bild 1: Dreißigeck, ohne Konstruktion des Fünfzehnecks

Im ersten Moment scheint es naheliegend, zuerst eine Seitenlänge des Fünfzehnecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschließend den Zentriwinkel zu halbieren, um die Seitenlänge des Dreißigecks zu erhalten. Sieht man jedoch auf die Zeichnung des Fünfzehnecks, ist gut erkennbar, die Mittelachse ist bereits eine Winkelhalbierende zwischen den Eckpunkten und Folglich wären die Strecken sowie bereits Seitenlängen und der Winkel der Zentriwinkel eines Dreißigecks. Es bedarf also stattdessen nur der Seitenlänge des Fünfecks um den Zentriwinkel sowie die erste Seitenlänge des Dreißigecks zu finden. Die nun folgende Konstruktion (siehe Bild 1) nutzt diese Möglichkeit.

Es beginnt mit dem Ziehen des Kreises um den Mittelpunkt dem Einzeichnen der Mittelachse und der Orthogonalen Es folgt die Halbierung der Strecke in dabei ergeben sich die ersten Eckpunkte und des entstehenden Dreißigecks. Der Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius schließt sich an; der Schnittpunkt auf ist Nun schlägt man einen kurzen Kreisbogen um den Eckpunkt mit dem Radius , bis er den Umkreis in schneidet. Die Strecke ist die gesuchte Seitenlänge des Dreißigecks mit dessen Zentriwinkel Nun die Seitenlänge in den Zirkel nehmen, die restlichen Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Das regelmäßige Dreißigeck ist somit fertiggestellt.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge Bearbeiten

Die Konstruktion im Bild 2 ist nahezu gleich der des Fünfzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge mit den ersten Eckpunkten (links) bzw. bezeichnet, anschließend verlängert man die Strecke über hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag. Es folgt ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt die Orthogonale und der Kreisbogen um ebenfalls mit dem Radius dabei entstehen die Schnittpunkte und Nun wird eine Halbgerade ab durch gezeichnet; sie halbiert die Seitenlänge in Der nächste Kreisbogen mit dem Radius wird um gezogen, dabei ergibt sich der Schnittpunkt auf der Verlängerung. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt.

Jetzt wird um ein Kreisbogen mit dem Radius geschlagen, der die Halbgerade in schneidet. Die damit erzeugte Strecke entspricht dem Umkreisradius eines Fünfzehnecks. Die Berechnung des Umkreisradius ist im Artikel Fünfzehneck ausführlich beschrieben. Die Strecke in den Zirkel genommen und um einen kurzen Kreisbogen durch die Halbgerade gezogen, ergibt den Mittelpunkt des Umkreises eines nicht eingezeichneten Fünfzehnecks mit dessen Zentriwinkel

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius der die Halbgerade in schneidet. Wegen ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel am Winkelscheitel halb so groß, als der Zentriwinkel eines Fünfzehnecks. Aufgrund dessen ist der Mittelpunkt des gesuchten Dreißigecks mit dessen Zentriwinkel Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt ziehen, die Seitenlänge 29-mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Dreißigeck konstruiert.

Diagonalen Bearbeiten

Bild 3: Dreißigeck,
Diagonalen bis (Durchmesser)

Jedes Dreißigeck besitzt 405 Diagonalen. Für jede der 30 Ecken, an der eine Diagonale anfangen kann, gibt es 27 mögliche Endpunkte. Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden, damit keine Diagonale doppelt gezählt wird. So ergeben sich die genannten Diagonalen. Davon sind aber nur verschieden lang. Allgemein wird mit diejenige Diagonale bezeichnet, die über Seiten des Polygons verläuft, demzufolge verläuft z. B. die Diagonale über vierzehn Seiten.

Goldener Schnitt Bearbeiten

Da 5 der Ecken des regelmäßigen Dreißigecks ein regelmäßiges Fünfeck bilden, stehen die Diagonale über 12 Seiten und die Diagonale im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander.

Außerdem findet sich dieses Verhältnis bei mit , diese Diagonalen sind Teil eines regelmäßigen Zehnecks, und bei mit . ist eine Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks und hat somit die gleiche Länge wie der Umkreisradius des Dreißigecks. Also bildet auch mit den Goldenen Schnitt als Verhältnis.

Andere Verhältnisse Bearbeiten

Die Diagonale steht zu im Verhältnis .

Vorkommen Bearbeiten

Wiener Riesenrad im Minimundus
mit 30 Ecken und 15 Waggons
  • Das Wiener Riesenrad besitzt die Form eines regelmäßigen Dreißigecks. Obwohl seit 1945 nur 15 Waggons eingehängt sind, wurde es ursprünglich für 30 Waggons gebaut.
  • Der Grundriss des Zirkus Sarrasani ist ein regelmäßiges Dreißigeck.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Dreißigeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  • Regelmäßiges Dreißigeck, Mathematik alpha

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Triacontagon. In: WolframMathWorld. Abgerufen am 13. März 2018.
  2. Ing. Ludw. Fischer: Moderner Zirkus. Mitteilungen aus verschiedenen Fachgebieten. In: kobv.de – Kooperativer Bibliotheksverbund Berlin-Brandenburg. Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins Nr. 23, 1913, S. 410–411, PDF-Datei: Seite 58–59, abgerufen am 11. März 2018.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Dreissigeck oder Triakontagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch dreissig Eckpunkte und deren dreissig Verbindungen namens Strecken Seiten oder Kanten Regelmassiges Dreissigeck Inhaltsverzeichnis 1 Variationen 2 Regelmassiges Dreissigeck 2 1 Grossen 3 Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis 4 Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlange 5 Diagonalen 5 1 Goldener Schnitt 5 2 Andere Verhaltnisse 6 Vorkommen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseVariationen BearbeitenDas Dreissigeck ist darstellbar als konkaves Dreissigeck in dem mindestens ein Innenwinkel grosser als 180 ist konvexes Dreissigeck in dem alle Innenwinkel kleiner als 180 sind Ein konvexes Dreissigeck kann regelmassig oder unregelmassig sein Sehnendreissigeck in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen aber die Seitenlangen moglicherweise ungleich sind regelmassiges Dreissigeck Es ist bestimmt durch dreissig Punkte die auf einem virtuellen oder realen Kreis liegen Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken auch Seiten oder Kanten genannt verbunden regelmassiges uberschlagenes Dreissigeck Es ergibt sich wenn beim Verbinden der dreissig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur drei regelmassige Dreissigstrahlsterne Die Sterne mit den Symbolen 30 2 und 30 28 sind regelmassige Funfzehnecke 30 3 und 30 27 regelmassige Zehnecke 30 5 und 30 25 regelmassige Sechsecke 30 6 und 30 24 regelmassige Funfecke 30 10 und 30 20 gleichseitige Dreiecke Die Sterne mit den Symbolen 30 4 und 30 26 30 8 und 30 22 sowie 30 14 und 30 16 sind regelmassige Funfzehnstrahlsterne 30 9 und 30 21 regelmassige Zehnstrahlsterne und schliesslich 30 12 und 30 18 regelmassige Pentagramme Regelmassige uberschlagene Dreissigecke nbsp 30 7 30 23 displaystyle left 30 7 right left 30 23 right nbsp nbsp 30 11 30 19 displaystyle left 30 11 right left 30 19 right nbsp nbsp 30 13 30 17 displaystyle left 30 13 right left 30 17 right nbsp Regelmassiges Dreissigeck BearbeitenDas regelmassige Dreissigeck ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen 30 2 1 3 5 displaystyle 30 2 1 cdot 3 cdot 5 nbsp darstellbar ist Grossen Bearbeiten Die Grossen und deren allgemeine Formeln sind in Funfzehneck Mathematische Zusammenhange ausfuhrlich beschrieben Grossen eines regelmassigen Dreissigecks 1 Innenwinkel a n 2 n 180 28 30 180 168 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 28 30 cdot 180 circ amp 168 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 30 m 12 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 30 mu amp 12 circ end aligned nbsp Seitenlange a R 1 4 6 5 5 5 1 sin 12 sin 84 R R 2 sin 180 30 0 209 0569 R displaystyle begin aligned a amp R cdot frac 1 4 cdot left sqrt 6 cdot left 5 sqrt 5 right sqrt 5 1 right amp frac sin 12 circ sin 84 circ cdot R amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 30 right approx 0 2090569 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 1 2 2 5 15 6 5 sin 84 sin 12 a a 2 sin 180 30 4 783 386 a displaystyle begin aligned R amp a cdot frac 1 2 cdot left 2 sqrt 5 sqrt 15 6 cdot sqrt 5 right amp frac sin 84 circ sin 12 circ cdot a amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 30 right approx 4 783386 cdot a end aligned nbsp Inkreisradius r a 1 4 15 3 3 2 25 11 5 sin 2 84 sin 12 a 4 757 182 a displaystyle begin aligned r amp a cdot frac 1 4 cdot left sqrt 15 3 cdot sqrt 3 sqrt 2 cdot sqrt 25 11 cdot sqrt 5 right amp frac sin 2 84 circ sin 12 circ cdot a approx 4 757182 cdot a end aligned nbsp Hohe h 2 r 9 514 364 a displaystyle begin aligned h amp 2 cdot r approx 9 514364 cdot a end aligned nbsp Flacheninhalt A a 2 15 4 15 3 3 2 25 11 5 15 sin 2 84 sin 12 a 2 71 357 733 a 2 displaystyle begin aligned A amp a 2 cdot frac 15 4 cdot left sqrt 15 3 cdot sqrt 3 sqrt 2 cdot sqrt 25 11 cdot sqrt 5 right amp 15 cdot frac sin 2 84 circ sin 12 circ cdot a 2 approx 71 357733 cdot a 2 end aligned nbsp Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis Bearbeiten nbsp Bild 1 Dreissigeck ohne Konstruktion des FunfzehnecksIm ersten Moment scheint es naheliegend zuerst eine Seitenlange des Funfzehnecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschliessend den Zentriwinkel m displaystyle mu nbsp zu halbieren um die Seitenlange des Dreissigecks zu erhalten Sieht man jedoch auf die Zeichnung des Funfzehnecks ist gut erkennbar die Mittelachse A B displaystyle overline AB nbsp ist bereits eine Winkelhalbierende zwischen den Eckpunkten E 3 displaystyle E 3 nbsp und E 4 displaystyle E 4 nbsp Folglich waren die Strecken A E 3 displaystyle overline AE 3 nbsp sowie A E 4 displaystyle overline AE 4 nbsp bereits Seitenlangen und der Winkel E 3 M A displaystyle E 3 MA nbsp der Zentriwinkel eines Dreissigecks Es bedarf also stattdessen nur der Seitenlange des Funfecks um den Zentriwinkel sowie die erste Seitenlange des Dreissigecks zu finden Die nun folgende Konstruktion siehe Bild 1 nutzt diese Moglichkeit Es beginnt mit dem Ziehen des Kreises k 1 displaystyle k 1 nbsp um den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp dem Einzeichnen der Mittelachse A B displaystyle overline AB nbsp und der Orthogonalen M C displaystyle overline MC nbsp Es folgt die Halbierung der Strecke A M displaystyle overline AM nbsp in D displaystyle D nbsp dabei ergeben sich die ersten Eckpunkte E 5 displaystyle E 5 nbsp und E 25 displaystyle E 25 nbsp des entstehenden Dreissigecks Der Kreisbogen um den Punkt D displaystyle D nbsp mit dem Radius C D displaystyle overline CD nbsp schliesst sich an der Schnittpunkt auf A B displaystyle overline AB nbsp ist F displaystyle F nbsp Nun schlagt man einen kurzen Kreisbogen um den Eckpunkt E 25 displaystyle E 25 nbsp mit dem Radius C F displaystyle overline CF nbsp bis er den Umkreis in E 1 displaystyle E 1 nbsp schneidet Die Strecke A E 1 displaystyle overline AE 1 nbsp ist die gesuchte Seitenlange a displaystyle a nbsp des Dreissigecks mit dessen Zentriwinkel m 12 displaystyle mu 12 circ nbsp Nun die Seitenlange a displaystyle a nbsp in den Zirkel nehmen die restlichen Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und abschliessend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden Das regelmassige Dreissigeck ist somit fertiggestellt Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlange Bearbeiten nbsp Bild 2 Regelmassiges Dreissigeck bei gegebener SeitenlangeDie Konstruktion im Bild 2 ist nahezu gleich der des Funfzehnecks bei gegebener Seitenlange Zuerst werden die Enden der Seitenlange a displaystyle a nbsp mit den ersten Eckpunkten E 1 displaystyle E 1 nbsp links bzw E 2 displaystyle E 2 nbsp bezeichnet anschliessend verlangert man die Strecke E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp uber E 1 displaystyle E 1 nbsp hinaus um ca den gleichen Langenbetrag Es folgt ein Kreisbogen mit dem Radius E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp um den Punkt E 1 displaystyle E 1 nbsp die Orthogonale E 1 A displaystyle overline E 1 A nbsp und der Kreisbogen um E 2 displaystyle E 2 nbsp ebenfalls mit dem Radius E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp dabei entstehen die Schnittpunkte B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp Nun wird eine Halbgerade ab C displaystyle C nbsp durch B displaystyle B nbsp gezeichnet sie halbiert die Seitenlange a displaystyle a nbsp in D displaystyle D nbsp Der nachste Kreisbogen mit dem Radius A D displaystyle AD nbsp wird um D displaystyle D nbsp gezogen dabei ergibt sich der Schnittpunkt F displaystyle F nbsp auf der Verlangerung Die Strecke E 2 F displaystyle overline E 2 F nbsp ist somit nach dem goldenen Schnitt mit ausserer Teilung geteilt Jetzt wird um E 2 displaystyle E 2 nbsp ein Kreisbogen mit dem Radius E 2 F displaystyle overline E 2 F nbsp geschlagen der die Halbgerade in G displaystyle G nbsp schneidet Die damit erzeugte Strecke C G displaystyle overline CG nbsp entspricht dem Umkreisradius eines Funfzehnecks Die Berechnung des Umkreisradius C G displaystyle overline CG nbsp ist im Artikel Funfzehneck ausfuhrlich beschrieben Die Strecke C G displaystyle overline CG nbsp in den Zirkel genommen und um E 2 displaystyle E 2 nbsp einen kurzen Kreisbogen durch die Halbgerade gezogen ergibt den Mittelpunkt H displaystyle H nbsp des Umkreises eines nicht eingezeichneten Funfzehnecks mit dessen Zentriwinkel m 1 24 displaystyle mu 1 24 circ nbsp Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt H displaystyle H nbsp mit dem Radius E 1 H displaystyle overline E 1 H nbsp der die Halbgerade in M displaystyle M nbsp schneidet Wegen E 1 H H M displaystyle overline E 1 H overline HM nbsp ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel m displaystyle mu nbsp am Winkelscheitel M displaystyle M nbsp halb so gross als der Zentriwinkel m 1 displaystyle mu 1 nbsp eines Funfzehnecks Aufgrund dessen ist M displaystyle M nbsp der Mittelpunkt des gesuchten Dreissigecks mit dessen Zentriwinkel m 12 displaystyle mu 12 circ nbsp Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp ziehen die Seitenlange a displaystyle a nbsp 29 mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden danach ist das regelmassige Dreissigeck konstruiert Diagonalen Bearbeiten nbsp Bild 3 Dreissigeck Diagonalen d 2 displaystyle d 2 nbsp bis d 15 displaystyle d 15 nbsp Durchmesser Jedes Dreissigeck besitzt 405 Diagonalen Fur jede der 30 Ecken an der eine Diagonale anfangen kann gibt es 27 mogliche Endpunkte Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden damit keine Diagonale doppelt gezahlt wird So ergeben sich die genannten 30 27 2 405 displaystyle tfrac 30 cdot 27 2 405 nbsp Diagonalen Davon sind aber nur 30 2 2 14 displaystyle left lfloor tfrac 30 2 2 right rfloor 14 nbsp verschieden lang Allgemein wird mit d n displaystyle d n nbsp diejenige Diagonale bezeichnet die uber n displaystyle n nbsp Seiten des Polygons verlauft demzufolge verlauft z B die Diagonale d 14 displaystyle d 14 nbsp uber vierzehn Seiten Goldener Schnitt Bearbeiten Da 5 der Ecken des regelmassigen Dreissigecks ein regelmassiges Funfeck bilden stehen die Diagonale uber 12 Seiten d 12 displaystyle d 12 nbsp und die Diagonale d 6 displaystyle d 6 nbsp im Verhaltnis des Goldenen Schnittes zueinander Ausserdem findet sich dieses Verhaltnis bei d 5 displaystyle d 5 nbsp mit d 3 displaystyle d 3 nbsp diese Diagonalen sind Teil eines regelmassigen Zehnecks und bei d 9 displaystyle d 9 nbsp mit d 5 displaystyle d 5 nbsp d 5 displaystyle d 5 nbsp ist eine Seitenlange des regelmassigen Sechsecks und hat somit die gleiche Lange wie der Umkreisradius R displaystyle R nbsp des Dreissigecks Also bildet R displaystyle R nbsp auch mit d 9 displaystyle d 9 nbsp den Goldenen Schnitt als Verhaltnis Andere Verhaltnisse Bearbeiten Die Diagonale d 10 displaystyle d 10 nbsp steht zu d 5 displaystyle d 5 nbsp im Verhaltnis 3 displaystyle sqrt 3 nbsp Vorkommen Bearbeiten nbsp Wiener Riesenrad im Minimundus mit 30 Ecken und 15 WaggonsDas Wiener Riesenrad besitzt die Form eines regelmassigen Dreissigecks Obwohl seit 1945 nur 15 Waggons eingehangt sind wurde es ursprunglich fur 30 Waggons gebaut Der Grundriss des Zirkus Sarrasani ist ein regelmassiges Dreissigeck 2 Siehe auch BearbeitenSehnenvieleck Regelmassiges PolygonLiteratur BearbeitenH Maser Die Teilung des Kreises Artikel 365 in Carl Friedrich Gauss Untersuchungen uber hohere Arithmetik Verlag von Julius Springer Berlin 1889 Gottinger Digitalisierungszentrum Universitat Gottingen abgerufen am 15 Marz 2018 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Dreissigeck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Regelmassiges Dreissigeck Mathematik alphaEinzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Triacontagon In WolframMathWorld Abgerufen am 13 Marz 2018 Ing Ludw Fischer Moderner Zirkus Mitteilungen aus verschiedenen Fachgebieten In kobv de Kooperativer Bibliotheksverbund Berlin Brandenburg Zeitschrift des osterreichischen Ingenieur und Architekten Vereins Nr 23 1913 S 410 411 PDF Datei Seite 58 59 abgerufen am 11 Marz 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreissigeck amp oldid 219637701