Die Orthodrome griech orthos fur gerade dromos fur Lauf ist die kurzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberflache Dieser Artikel wurde auf der Qualitatssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen Dies geschieht um die Qualitat der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen Bitte hilf mit die Mangel dieses Artikels zu beseitigen und beteilige dich bitte an der Diskussion Artikel eintragen Die Orthodrome ist eine Geodate fur den speziellen Fall einer Kugeloberflache Die Orthodrome ist immer ein Teilstuck eines Grosskreises In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome um die geringste Flugstrecke zurucklegen zu konnen Die umgangssprachlich haufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung ist Luftlinie Orthodrome auf der Erdkugel zwischen Los Angeles und LondonDer kurzeste Weg auf der Kugeloberflache zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 1 1 Strecke 1 2 Kurswinkel und rechtweisende Kurse 1 3 Nordlichster Punkt 2 Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin Tokio 2 1 Winkelberechnung 2 2 Streckenberechnung 3 Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde 3 1 Berechnungsbeispiel Berlin Tokio 4 Loxodrome 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 QuellenBerechnung BearbeitenGrundlage fur die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der spharischen Trigonometrie Verwendete Variablen Bedeutungϕ displaystyle phi nbsp Geographische Breitel displaystyle lambda nbsp Geographische LangeA ϕ A l A displaystyle A phi A lambda A nbsp AnfangspunktB ϕ B l B displaystyle B phi B lambda B nbsp EndpunktP N ϕ N l N displaystyle P N phi N lambda N nbsp Nordlichster Punkt der Orthodromea displaystyle alpha nbsp Kurswinkel bei Ab displaystyle beta nbsp Kurswinkel bei Bz displaystyle zeta nbsp Zentriwinkel Strecke AB ausgedruckt als Winkel Dabei ist l displaystyle lambda nbsp in Richtung Westen negativ Richtung Osten positiv ϕ displaystyle phi nbsp ist positiv fur Breiten der Nordhemisphare und negativ auf der Sudhalbkugel Strecke Bearbeiten Als Winkel lasst sich die Strecke folgendermassen angeben z arccos sin ϕ A sin ϕ B cos ϕ A cos ϕ B cos l B l A displaystyle zeta arccos left sin phi A cdot sin phi B cos phi A cdot cos phi B cdot cos lambda B lambda A right nbsp Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen muss z displaystyle zeta nbsp noch mit dem Erdradius rund 6 370 km multipliziert werden fur z displaystyle zeta nbsp im Bogenmass falls z displaystyle zeta nbsp in Grad angegeben ist muss noch zusatzlich mit p 180 displaystyle pi 180 nbsp multipliziert werden Der Winkel z displaystyle zeta nbsp kann uber das Skalarprodukt der Ortsvektoren von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp berechnet werden Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme fur Sinus und Kosinus Alternativ kann die Formel hergeleitet werden indem der Seiten Kosinussatz der spharischen Trigonometrie auf das aus den Punkten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird Kurswinkel und rechtweisende Kurse Bearbeiten Kurswinkela arccos sin ϕ B sin ϕ A cos z cos ϕ A sin z displaystyle alpha arccos left frac sin phi B sin phi A cdot cos zeta cos phi A cdot sin zeta right nbsp b arccos sin ϕ A sin ϕ B cos z cos ϕ B sin z displaystyle beta arccos left frac sin phi A sin phi B cdot cos zeta cos phi B cdot sin zeta right nbsp Die beiden Parameter a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp lassen sich auch direkt aus den Breiten und Langengraden ϕ A displaystyle phi A nbsp bzw ϕ B displaystyle phi B nbsp und l A displaystyle lambda A nbsp bzw l B displaystyle lambda B nbsp bestimmen a arccos cos ϕ A sin ϕ B cos l A l B cos ϕ B sin ϕ A 1 cos l A l B cos ϕ A cos ϕ B sin ϕ A sin ϕ B 2 displaystyle alpha arccos left frac cos phi A cdot sin phi B cos lambda A lambda B cdot cos phi B cdot sin phi A sqrt 1 cos lambda A lambda B cdot cos phi A cdot cos phi B sin phi A cdot sin phi B 2 right nbsp b arccos cos ϕ B sin ϕ A cos l A l B cos ϕ A sin ϕ B 1 cos l A l B cos ϕ A cos ϕ B sin ϕ A sin ϕ B 2 displaystyle beta arccos left frac cos phi B cdot sin phi A cos lambda A lambda B cdot cos phi A cdot sin phi B sqrt 1 cos lambda A lambda B cdot cos phi A cdot cos phi B sin phi A cdot sin phi B 2 right nbsp rechtweisende Kurse A Br w K A a displaystyle rwK A alpha nbsp r w K B 180 b displaystyle rwK B 180 circ beta nbsp rechtweisende Kurse B Ar w K B 360 b displaystyle rwK B 360 circ beta nbsp r w K A 180 a displaystyle rwK A 180 circ alpha nbsp Nordlichster Punkt Bearbeiten nbsp In einer gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildetBerechnung des nordlichsten Punkts einer Orthodrome fur einen Anfangspunkt A und einen Anfangs Kurswinkel a ϕ N arccos sin a A cos ϕ A displaystyle phi N arccos left sin alpha A cdot cos phi A right nbsp l N l A sgn a A arccos tan ϕ A tan ϕ N displaystyle lambda N lambda A operatorname sgn alpha A cdot left arccos left frac tan phi A tan phi N right right nbsp Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin Tokio BearbeitenGeographische Koordinaten der Anfangs und Endpunkte Berlin 52 31 0 N 52 517 13 24 0 E 13 40 Tokio 35 42 0 N 35 70 139 46 0 E 139 767 Winkelberechnung Bearbeiten ϕ A 52 517 displaystyle phi A 52 517 circ nbsp l A 13 40 displaystyle lambda A 13 40 circ nbsp ϕ B 35 70 displaystyle phi B 35 70 circ nbsp l B 139 767 displaystyle lambda B 139 767 circ nbsp z arccos sin ϕ A sin ϕ B cos ϕ A cos ϕ B cos l B l A arccos sin 52 517 sin 35 70 cos 52 517 cos 35 70 cos 139 767 13 40 arccos 0 793 53 0 583 54 0 608 53 0 812 08 0 592 96 arccos 0 170 0 80 212 displaystyle begin aligned zeta amp arccos Big sin phi A sin phi B cos phi A cos phi B cos lambda B lambda A Big amp arccos Big sin 52 517 circ sin 35 70 circ cos 52 517 circ cos 35 70 circ cos 139 767 circ 13 40 circ Big amp arccos 0 79353 cdot 0 58354 0 60853 cdot 0 81208 cdot 0 59296 amp arccos 0 1700 amp 80 212 circ end aligned nbsp bzw z 1 400 displaystyle zeta 1 400 nbsp im BogenmassStreckenberechnung Bearbeiten Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40 000 km bzw dem Radius 6366 km ausgegangen L z 360 40 000 k m 80 212 360 40 000 k m 8912 k m displaystyle begin aligned L amp frac zeta 360 circ cdot 40 000 mathrm km amp frac 80 212 circ 360 circ cdot 40 000 mathrm km amp 8912 mathrm km end aligned nbsp Oder fur z displaystyle zeta nbsp im Bogenmass L z 6366 k m 8912 k m displaystyle begin aligned L amp zeta cdot 6366 mathrm km amp 8912 mathrm km end aligned nbsp Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverstandlich nur zwei Naherungen Die tatsachliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84 Referenzellipsoids zu 8941 2 km genauer berechnet werden also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0 26 im Vergleich zur zweiten Naherung Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde BearbeitenMit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden siehe dazu auch Thaddeus Vincenty Dabei wird keine Kugel sondern das WGS84 Ellipsoid zugrunde gelegt Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoids verwendet werden mussen die Parameter a displaystyle a nbsp Radius und f displaystyle f nbsp Abplattung angepasst werden Seien ϕ A displaystyle phi A nbsp und l A displaystyle lambda A nbsp die geografische Breite und Lange von Standort A ϕ B displaystyle phi B nbsp und l B displaystyle lambda B nbsp die geografische Breite und Lange von Standort B im Gradmass Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt Abplattung der Erde f 1 298 257 223 563 displaystyle f frac 1 298 257 223 563 nbsp Aquatorradius der Erde a 6378 137 k m displaystyle a 6378 137 mathrm km nbsp F ϕ A ϕ B 2 displaystyle F frac phi A phi B 2 nbsp G ϕ A ϕ B 2 displaystyle G frac phi A phi B 2 nbsp l l A l B 2 displaystyle l frac lambda A lambda B 2 nbsp Zunachst wird der grobe Abstand D ermittelt S sin G 2 cos l 2 cos F 2 sin l 2 displaystyle S sin G 2 cdot cos l 2 cos F 2 cdot sin l 2 nbsp C cos G 2 cos l 2 sin F 2 sin l 2 displaystyle C cos G 2 cdot cos l 2 sin F 2 cdot sin l 2 nbsp w arctan S C displaystyle w arctan sqrt frac S C nbsp D 2 w a displaystyle D 2 cdot w cdot a nbsp Dabei ist w displaystyle w nbsp im Bogenmass einzusetzen Der Abstand D displaystyle D nbsp wird durch die Faktoren H 1 displaystyle H 1 nbsp und H 2 displaystyle H 2 nbsp korrigiert T S C w displaystyle T frac sqrt S cdot C w nbsp H 1 3 T 1 2 C displaystyle H 1 frac 3 cdot T 1 2 cdot C nbsp H 2 3 T 1 2 S displaystyle H 2 frac 3 cdot T 1 2 cdot S nbsp Der Abstand s displaystyle s nbsp in Kilometern berechnet sich abschliessend wie folgt s D 1 f H 1 sin F 2 cos G 2 f H 2 cos F 2 sin G 2 displaystyle s D cdot left 1 f cdot H 1 cdot sin F 2 cdot cos G 2 f cdot H 2 cdot cos F 2 cdot sin G 2 right nbsp Berechnungsbeispiel Berlin Tokio Bearbeiten ϕ A 52 516 666666666667 l A 13 400 ϕ B 35 700 l B 139 766 666666666667 f 0 003 35281066474748 a 6378 137 k m F 44 108 333333333333 G 8 408 333333333333 l 63 183 333333333333 S 0 414 98261872684 C 0 585 01738127316 w 0 699 965690768276 D 8928 954 1420394 k m T 0 703 91883329502 H 1 0 950 19099899696 H 2 3 749 26124548527 s 8941 202 50458698 k m displaystyle begin array lcl phi A amp amp 52 516666666666667 circ lambda A amp amp 13 400 circ phi B amp amp 35 700 circ lambda B amp amp 139 766666666666667 circ f amp amp 0 00335281066474748 a amp amp 6378 137 mathrm km F amp amp 44 108333333333333 circ G amp amp 8 408333333333333 circ l amp amp 63 183333333333333 circ S amp amp 0 41498261872684 C amp amp 0 58501738127316 w amp amp 0 699965690768276 D amp amp 8928 9541420394 mathrm km T amp amp 0 70391883329502 H 1 amp amp 0 95019099899696 H 2 amp amp 3 74926124548527 s amp amp 8941 20250458698 mathrm km end array nbsp Der Abstand s displaystyle s nbsp ist also auf etwa 50 m genau zu 8 941 2 km bestimmt worden Loxodrome Bearbeiten nbsp Gegenuberstellung von Loxodrome rot und Orthodrome blau in Mercatorkarte mit Weglangen in Kilometern Weg Lox Orth Diff NY MO 8359 km 7511 km 10 1 NY DA 6207 km 6150 km 0 0 9 DA MO 6596 km 6509 km 0 1 3 nbsp Loxodromeverlangerung relativ zur Orthodrome entlang des 50 Breitengrades in Prozent Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser da sie die Meridiane immer im gleichen Winkel kreuzt man also den einmal eingestellten Kompass Kurs einfach beibehalten kann Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich langer als eine Orthodrome Bei hoher Breite und bei Entfernungen unterhalb von 30 Langengraden liegt der relative Langenunterschied bei weniger als 1 Danach steigt er deutlich an Eine Reise entlang des 50 Breitengrades uber 180 Langengrade ist 45 langer als der Weg uber einen Grosskreis der dann uber den Pol verlauft Siehe auch BearbeitenGeodatische Linie Geodate AbweitungWeblinks BearbeitenBerechnung von Entfernung und Anfangskurs fur beliebige Rotationsellipsoide englisch Great Circle Mapper Great Circle mapper including ETOPS ranges englisch Erweitertes Messwerkzeug mit Vergleich von Orthodrome und Loxodrome zwischen zwei Punkten auf OSM Weltkarte Entfernungsberechnung zwischen zwei Orten der Erde auf Basis einer idealen Kugel mit einem Radius von 6378 388 km Ausfuhrliche Grosskreisberechnung fur die Praxis englisch Orthodrome und Loxodrome Distanz Anfangs und Endkurs Mischsegeln Etmal MeridianschnittpunkteQuellen BearbeitenFormel zur genaueren Abstandsberechnung J Meeus Astronomical Algorithms 2 Auflage Willmann Bell Richmond 2000 ISBN 0 943396 61 1 S 85 Loxodrome Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Orthodrome amp oldid 238760517
