Die Lagrange Dichte L displaystyle mathcal L nach dem Mathematiker Joseph Louis Lagrange spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern Sie beschreibt die Dichte der Lagrange Funktion L displaystyle L in einem Volumenelement Daher ist die Lagrange Funktion definiert als das Integral der Lagrange Dichte uber dem betrachteten Volumen L d 3 r L d x d y d z L ϕ ϕ t ϕ x ϕ y ϕ z t displaystyle L int mathrm d 3 r mathcal L iiint mathrm d x mathrm d y mathrm d z mathcal L left phi frac partial phi partial t frac partial phi partial x frac partial phi partial y frac partial phi partial z t right mit dem betrachteten Feld ϕ x y z t displaystyle phi x y z t Der eigentliche Zweck der Lagrange Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen So wie man die Lagrange Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhalt kann man die Lagrange Gleichungen fur Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip fur Felder erhalten Herleitung Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung L ϕ i t L ϕ i t j 1 3 x j L ϕ i x j L ϕ i m L m ϕ i 0 displaystyle frac partial mathcal L partial phi i frac partial partial t frac partial mathcal L partial frac partial phi i partial t sum j 1 3 frac partial partial x j frac partial mathcal L partial frac partial phi i partial x j frac partial mathcal L partial phi i partial mu frac partial mathcal L partial partial mu phi i 0 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel 2 Anwendung in der Relativitatstheorie 3 Literatur 4 EinzelnachweiseBeispiel Bearbeiten nbsp Beispielhafte Losung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite String in 3 Dimensionen Parameter E m 1 displaystyle E mu 1 nbsp Animation lauft mit 10 der tatsachlichen Geschwindigkeit Fur eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich fur die Lagrange Dichte L 1 2 m ϕ t 2 E ϕ x 2 displaystyle mathcal L frac 1 2 left mu left frac partial phi partial t right 2 E left frac partial phi partial x right 2 right nbsp In diesem Beispiel bedeuten ϕ ϕ x t displaystyle phi phi x t nbsp die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage Feldvariable m displaystyle mu nbsp die lineare Massendichte E displaystyle E nbsp den ElastizitatsmodulMit dieser Lagrange Dichte ergibt sich L ϕ 0 displaystyle frac partial mathcal L partial phi 0 nbsp L ϕ t m ϕ t displaystyle frac partial mathcal L partial frac partial phi partial t mu frac partial phi partial t nbsp L ϕ x E ϕ x displaystyle frac partial mathcal L partial frac partial phi partial x E frac partial phi partial x nbsp Damit ergibt sich fur die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite E 2 ϕ x 2 m 2 ϕ t 2 0 displaystyle E frac partial 2 phi partial x 2 mu frac partial 2 phi partial t 2 0 nbsp Anwendung in der Relativitatstheorie BearbeitenAnwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgange uber die Lagrange Dichte statt uber die Lagrange Funktion vor allem in relativistischen Vorgangen Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange Funktion gewunscht dann ist die Wirkung uber S d 4 x g L displaystyle S int mathrm d 4 x sqrt g mathcal L nbsp definiert wobei g displaystyle g nbsp die Determinante des metrischen Tensors ist 1 Damit ist die Lagrange Funktion ein Lorentz Pseudoskalar also invariant unter Lorentz Transformationen L x m L x m L x m displaystyle mathcal L x mu mathcal L x mu mathcal L x mu nbsp mit x m L m n x n displaystyle x mu Lambda mu nu x nu nbsp wobei L m n displaystyle Lambda mu nu nbsp der Lorentz Transformationstensor ist Literatur BearbeitenFranz Schwabl Lagrange Dichte In Ders Quantenmechanik fur Fortgeschrittene QM II Springer Berlin 2005 ISBN 978 3 540 28865 7 S 281ff Einzelnachweise Bearbeiten Clinton L Lewis Explicit gauge covariant Euler Lagrange equation In American Journal of Physics Band 77 2009 S 839 doi 10 1119 1 3153503 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lagrange Dichte amp oldid 227145853
