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Casimir Operator Der auch Casimir Invariante benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir wird im mathematischen Teilgebiet

Casimir-Operator

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition Bearbeiten

Angenommen, ist eine -dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

irgendeine Basis von und

sei die Dualbasis von hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z. B. der Killingform) auf . Das quadratische Casimir-Element ist das durch die Formel

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra . Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra liegt.

Sei eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum . Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante der durch

gegebene lineare Operator auf .

Anwendungen Bearbeiten

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit zugehöriger Lie-Algebra auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , so werden die Elemente von durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf beschrieben. Sei die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf . In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der -invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf .

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Literatur Bearbeiten

  • James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
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Der Casimir Operator auch Casimir Invariante benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhullenden Algebra einer Lie Algebra Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator der eine Casimir Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist Definition BearbeitenAngenommen g displaystyle mathfrak g nbsp ist eine n displaystyle n nbsp dimensionale halbeinfache Lie Algebra Sei X i i 1 n displaystyle X i i 1 n nbsp irgendeine Basis von g displaystyle mathfrak g nbsp und X i i 1 n displaystyle X i i 1 n nbsp sei die Dualbasis von g displaystyle mathfrak g nbsp hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform z B der Killingform auf g displaystyle mathfrak g nbsp Das quadratische Casimir Element W displaystyle Omega nbsp ist das durch die Formel W i 1 n X i X i displaystyle Omega sum i 1 n X i X i nbsp gegebene Element der universellen einhullenden Algebra U g displaystyle U mathfrak g nbsp Obschon sich die Definition des Casimir Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie Algebra bezieht ist es einfach zu zeigen dass das erzeugte Element W displaystyle Omega nbsp davon unabhangig ist Daruber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform die in der Definition benutzt wurde dass das Casimir Element mit allen Elementen der Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhullenden Algebra U g displaystyle U mathfrak g nbsp liegt Sei r displaystyle rho nbsp eine beliebige Darstellung der Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp auf einem gegebenenfalls unendlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir Invariante r W displaystyle rho Omega nbsp der durch r W i 1 n r X i r X i displaystyle rho Omega sum i 1 n rho X i rho X i nbsp gegebene lineare Operator auf V displaystyle V nbsp Anwendungen BearbeitenEin Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis Operiert eine zusammenhangende Lie Gruppe G displaystyle G nbsp mit zugehoriger Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp so werden die Elemente von g displaystyle mathfrak g nbsp durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf M displaystyle M nbsp beschrieben Sei r displaystyle rho nbsp die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf M displaystyle M nbsp In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir Invariante der G displaystyle G nbsp invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf M displaystyle M nbsp Man kann noch allgemeinere Casimir Invarianten definieren dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo Differentialoperatoren in der Fredholm Theorie Literatur BearbeitenJames E Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 2 uberarbeitete Auflage Graduate Texts in Mathematics 9 Springer Verlag New York 1978 ISBN 0 387 90053 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Casimir Operator amp oldid 188981223