Das amalgamierte freie Produkt von Gruppen G i displaystyle G i nach der Gruppe U displaystyle U oder das freie Produkt der Gruppen G i displaystyle G i mit der amalgamierten Untergruppe U displaystyle U ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion Dabei wird das freie Produkt der Gruppen G i displaystyle G i gebildet die alle eine zur Gruppe U displaystyle U isomorphe Untergruppe enthalten Uber die Gruppenisomorphie zu U displaystyle U werden die einzelnen Elemente der verschiedenen Untergruppen miteinander identifiziert und dadurch die Untergruppen amalgamiert so viel wie verschmolzen Die Gruppenverknupfung wird entsprechend angepasst sodass das Ergebnis eine Gruppe ist die dem freien Produkt der G i displaystyle G i bis auf Identifikation uber U displaystyle U isomorpher Elemente entspricht Inhaltsverzeichnis 1 Definition konstruktiv 1 1 Voraussetzungen 1 2 Aquivalenzrelation 1 3 Gruppen Verknupfung 1 4 Amalgamiertes Produkt 2 Eigenschaften 3 Weblinks 4 Literatur 5 Einzelnachweise und FussnotenDefinition konstruktiv BearbeitenVoraussetzungen Bearbeiten Sei I 1 2 n n N displaystyle I mathrel 1 2 ldots n n in mathbb N nbsp eine Indexmenge und G i i I displaystyle G i i in I nbsp eine Familie von Gruppen Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe U i displaystyle U i nbsp die isomorph zu einer weiteren Gruppe U displaystyle U nbsp sei Der zugehorige Gruppenisomorphismus der diese Isomorphie vermittelt sei mit f i U i U displaystyle varphi i colon U i xrightarrow cong U nbsp bezeichnet Fur ein beliebiges t N displaystyle t in mathbb N nbsp sei dann ein Wort uber den G i displaystyle G i nbsp eine Hintereinanderschreibunga 1 a 2 a t displaystyle qquad a 1 a 2 ldots a t nbsp von Elementen aus den G i displaystyle G i nbsp Das Wort sei entweder leer fur t 0 displaystyle t 0 nbsp dann geschrieben 1 displaystyle 1 nbsp oder ϵ displaystyle epsilon nbsp oder fur jedes i 1 t displaystyle i 1 ldots t nbsp gebe es ein j i I displaystyle j i in I nbsp sodass gelte a i G j i displaystyle a i in G j i nbsp D h die Gruppen der Familie G i i I displaystyle G i i in I nbsp kommen unter den a i displaystyle a i nbsp in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft auch wiederholt vor Im Folgenden schreiben wir sowohl fur das leere Wort wie auch fur die neutralen Elemente 1 j displaystyle 1 j nbsp der Gruppen G j displaystyle G j nbsp ohne Unterschied 1 displaystyle 1 nbsp Aquivalenzrelation Bearbeiten Analog zum Vorgehen bei der Bildung des gewohnlichen freien Produktes der Gruppen G i displaystyle G i nbsp betrachten wir Worter aus Elementen aus den G i displaystyle G i nbsp und definieren sogenannte elementare Aquivalenzen A1 A3 zwischen ihnen A1 und A2 entstammen der Konstruktion des gewohnlichen freien Produktes A3 bewirkt die Amalgamierung Vorbemerkung fur A3 Wir sagen zwei Elemente u j U j G j displaystyle u j in U j subseteq G j nbsp und u k U k G k displaystyle u k in U k subseteq G k nbsp mit j k I displaystyle j k in I nbsp seien einander zugehorig falls sie vermittels der Isomorphismen f j displaystyle varphi j nbsp und f k displaystyle varphi k nbsp zwischen U j displaystyle U j nbsp U k displaystyle U k nbsp und U displaystyle U nbsp demselben u U displaystyle u in U nbsp entsprechen d h falls f k u k u f j u j displaystyle varphi k u k u varphi j u j nbsp gilt A1 Neutrale Elemente konnen weggelassen werden Falls a i 1 displaystyle a i 1 nbsp dann sei a 1 a i 1 a i a i 1 a t displaystyle a 1 ldots a i 1 color RawSienna a i a i 1 ldots a t nbsp elementar aquivalent zu a 1 a i 1 a i 1 a i a t displaystyle a 1 ldots overset color RawSienna a i diagup overset uparrow a i 1 a i 1 ldots a t nbsp A2 Zwei Elemente konnen durch ihr Produkt ersetzt werden Falls a i displaystyle a i nbsp und a i 1 displaystyle a i 1 nbsp aus derselben Gruppe G j displaystyle G j nbsp sind und a i a i 1 a displaystyle a i a i 1 a nbsp in G j displaystyle G j nbsp gilt dann sei a 1 a i a i 1 a t displaystyle a 1 ldots color RawSienna a i a i 1 ldots a t nbsp elementar aquivalent zu a 1 a a t displaystyle a 1 ldots color RawSienna a ldots a t nbsp A3 Elemente konnen durch zugehorige Elemente ersetzt werden Falls a i u j U j G j displaystyle a i u j in U j subseteq G j nbsp und b i u k U k G k displaystyle b i u k in U k subseteq G k nbsp mit j k I displaystyle j k in I nbsp und die Elemente u j displaystyle u j nbsp und u k displaystyle u k nbsp einander zugehorig sind dann sei a 1 a i 1 a i a i 1 a t displaystyle a 1 ldots a i 1 color RawSienna a i a i 1 ldots a t nbsp elementar aquivalent zu a 1 a i 1 b i a i 1 a t displaystyle a 1 ldots a i 1 color RawSienna b i a i 1 ldots a t nbsp Auf Grundlage der elementaren Aquivalenzen erklaren wir wortweise Aquivalenz G displaystyle G nbsp sei die Menge aller Worter uber den G i displaystyle G i nbsp Zwei Worter x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp aus G displaystyle G nbsp seien wortweise aquivalent falls es eine Folgex 1 x 2 x m displaystyle qquad x 1 x 2 ldots x m nbsp von Wortern aus G displaystyle G nbsp mit m N displaystyle m in mathbb N nbsp x 1 x displaystyle x 1 mathrel x nbsp und x m y displaystyle x m mathrel y nbsp gibt in welcher je zwei aufeinanderfolgende Glieder elementar aquivalent sind Wir schreiben dann x y displaystyle x sim y nbsp Die wortweise Aquivalenz entspricht der transitiven Hulle bzw der reflexiv transitiven Hulle der elementaren Aquivalenz Gruppen Verknupfung Bearbeiten Fur x G displaystyle x in G nbsp sei x y G y x displaystyle qquad x y in G mid y sim x nbsp die Menge aller zu x displaystyle x nbsp aquivalenten Worter in G displaystyle G nbsp x displaystyle x nbsp heisst Aquivalenzklasse von x displaystyle x nbsp Mit G displaystyle G sim nbsp sprich Ge nach Tilde bezeichnen wir die Menge aller moglichen Aquivalenzklassen von Elementen x G displaystyle x in G nbsp sie heisst Quotientenmenge von G displaystyle G nbsp nach der Aquivalenzrelation displaystyle sim nbsp Auf der Menge G displaystyle G nbsp ist durch die Hintereinanderschreibung von Wortern x a 1 a t displaystyle x a 1 ldots a t nbsp und y b 1 b s displaystyle y b 1 ldots b s nbsp eine Verknupfungx y a 1 a t b 1 b s displaystyle qquad xy mathrel a 1 ldots a t b 1 ldots b s nbsp gegeben Wir ubertragen diese Verknupfung in naturlicher Weise auf G displaystyle G sim nbsp indem wir definieren x y x y displaystyle qquad x ast y mathrel xy nbsp D h das Produkt der Aquivalenzklassen wird definiert als die Aquivalenzklasse des Produktes x y displaystyle xy nbsp der beiden Reprasentanten x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp Dieses Produkt wird auch das kanonische 1 Produkt auf G displaystyle G sim nbsp genannt Amalgamiertes Produkt Bearbeiten Die Quotientenmenge G displaystyle G sim nbsp bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe G displaystyle left G sim ast right nbsp sie heisst das amalgamierte Produkt der Gruppen G i displaystyle G i nbsp oder das freie Produkt der Gruppen G i displaystyle G i nbsp mit der amalgamierten Untergruppe U displaystyle U nbsp Man spricht vom nichttrivialen amalgamierten Produkt zweier Gruppen G 1 displaystyle G 1 nbsp und G 2 displaystyle G 2 nbsp wenn U G 1 displaystyle U not G 1 nbsp und U G 2 displaystyle U not G 2 nbsp Beleg Eigenschaften BearbeitenDas amalgamierte Produkt von zwei Gruppen G 1 displaystyle G 1 nbsp und G 2 displaystyle G 2 nbsp mit einer gemeinsamen Untergruppe U displaystyle U nbsp ist ein Beispiel fur ein Pushout Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw ein Spezialfall des amalgamierten Produktes da jedes freie Produkt vermoge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe 1 displaystyle 1 nbsp 2 seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary amalgamieren Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenLiteratur BearbeitenHall Marshall The theory of groups Macmillan New York 1959 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten kanonisch bedeutet soviel wie dass das Produkt im Kanon der Mathematik d h z B in der Leit Literatur der Mathematik gewohnlich so definiert wird und in diesem Sinne als musterhafte verbindliche und oder verlassliche Konvention gelten kann Der Begriff entstammt dem Kirchenrecht und seiner Bezeichnung als kanonisches Recht Die Untergruppen 1 displaystyle 1 nbsp sind trivialerweise alle isomorph zu jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1 Man wahle eine beliebige Gruppe U 1 displaystyle U 1 nbsp als Amalgamierungsgruppe Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Amalgamiertes Produkt amp oldid 235403286
