Dieser Artikel behandelt die ganzen Zahlen des Euler Dreiecks Zu anderen nach Euler benannten Zahlen und Zahlenfolgen siehe Eulersche Zahlen Begriffsklarung Zum Eulerschen Dreieck in der Kugelgeometrie siehe Kugeldreieck Die nach Leonhard Euler benannte Euler Zahl An k in der Kombinatorik auch geschrieben als E n k displaystyle E n k oder n k displaystyle textstyle bigl langle n atop k bigr rangle ist die Anzahl der Permutationen Anordnungen von 1 n displaystyle 1 ldots n in denen genau k displaystyle k Elemente grosser als das vorhergehende sind die also genau k displaystyle k Anstiege enthalten Aquivalent dazu ist die Definition mit kleiner statt grosser und Abstiege statt Anstiege Nach einer anderen Definition ist die Euler Zahl a n k displaystyle a n k die Anzahl der Permutationen von 1 n displaystyle 1 ldots n mit genau k displaystyle k maximalen monoton ansteigenden Abschnitten wodurch der zweite Parameter gegenuber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist a n k A n k 1 displaystyle a n k A n k 1 Inhaltsverzeichnis 1 Euler Dreieck 2 Eigenschaften 3 Euler Polynome 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseEuler Dreieck BearbeitenWie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck konnen die Euler Zahlen im Euler Dreieck angeordnet werden erste Zeile n 1 displaystyle n 1 nbsp erste Spalte k 0 displaystyle k 0 nbsp Folge A008292 in OEIS 1 1 1 1 4 1 1 11 11 1 1 26 66 26 1 1 57 302 302 57 1 1 120 1191 2416 1191 120 1 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 1 1 Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden daruberstehenden berechnen A n k n k A n 1 k 1 k 1 A n 1 k displaystyle A n k n k A n 1 k 1 k 1 A n 1 k nbsp fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp mit A 0 0 1 displaystyle A 0 0 1 nbsp und A 0 k 0 displaystyle A 0 k 0 nbsp fur k 0 displaystyle k not 0 nbsp Auch die Konvention A 0 1 1 displaystyle A 0 1 1 nbsp und A 0 k 0 displaystyle A 0 k 0 nbsp fur k 1 displaystyle k not 1 nbsp ware sinnvoll sie ist bei der alternativen Definition ublich Eigenschaften BearbeitenDirekt aus der Definition folgen A n 0 1 displaystyle A n 0 1 nbsp und A n n 1 k A n k displaystyle A n n 1 k A n k nbsp fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp und k 0 n A n k n displaystyle sum k 0 n A n k n nbsp fur n 0 displaystyle n geq 0 nbsp wobei A n n 0 displaystyle A n n 0 nbsp gesetzt wird Aus den Binomialkoeffizienten konnen die Euler Zahlen mit der Formel A n k i 0 k 1 i n 1 i k 1 i n displaystyle A n k sum i 0 k 1 i binom n 1 i k 1 i n nbsp fur n k 0 displaystyle n k geq 0 nbsp berechnet werden insbesondere A n 1 2 n n 1 displaystyle A n 1 2 n n 1 nbsp Folge A000295 in OEIS A n 2 3 n 2 n n 1 1 2 n n 1 displaystyle A n 2 3 n 2 n n 1 tfrac 1 2 n n 1 nbsp Folge A000460 in OEIS und A n 3 4 n 3 n n 1 2 n 1 2 n n 1 1 6 n 1 n n 1 displaystyle A n 3 4 n 3 n n 1 2 n tfrac 1 2 n n 1 tfrac 1 6 n 1 n n 1 nbsp Folge A000498 in OEIS Es gilt die Worpitzky Identitat Worpitzky 1883 1 k 0 n A n k x k n x n displaystyle sum k 0 n A n k binom x k n x n nbsp fur n 0 displaystyle n geq 0 nbsp wobei x displaystyle x nbsp eine Variable und x k n displaystyle tbinom x k n nbsp ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist Eine erzeugende Funktion fur A n k displaystyle A n k nbsp ist n 0 k 0 n A n k t n n x k x 1 x e x 1 t displaystyle sum n 0 infty sum k 0 n A n k frac t n n x k frac x 1 x e x 1 t nbsp Eine Beziehung zu den Bernoulli Zahlen b m displaystyle beta m nbsp wird durch die alternierende Summe k 0 m 1 1 k A m 1 k 2 m 2 m 1 m b m displaystyle sum k 0 m 1 1 k A m 1 k frac 2 m 2 m 1 m beta m nbsp fur m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp hergestellt Euler Polynome Bearbeiten nbsp Euler Zahlen als Koeffizienten von Euler Polynomen 2 Das Euler Polynom A n x displaystyle A n x nbsp ist definiert durch A n x k 0 n 1 A n k x k displaystyle A n x sum k 0 n 1 A n k x k nbsp also A 0 x A 1 x 1 displaystyle A 0 x A 1 x 1 nbsp A 2 x 1 x displaystyle A 2 x 1 x nbsp A 3 x 1 4 x x 2 displaystyle A 3 x 1 4x x 2 nbsp A 4 x 1 11 x 11 x 2 x 3 displaystyle A 4 x 1 11x 11x 2 x 3 nbsp A 5 x 1 26 x 66 x 2 26 x 3 x 4 displaystyle A 5 x 1 26x 66x 2 26x 3 x 4 nbsp A 6 x 1 57 x 302 x 2 302 x 3 57 x 4 x 5 displaystyle A 6 x 1 57x 302x 2 302x 3 57x 4 x 5 nbsp A 7 x 1 120 x 1191 x 2 2416 x 3 1191 x 4 120 x 5 x 6 displaystyle A 7 x 1 120x 1191x 2 2416x 3 1191x 4 120x 5 x 6 nbsp Aus den entsprechenden Gleichungen fur die Euler Zahlen erhalt man die Rekursionsformel A n 1 x 1 n x A n x x 1 x A n x displaystyle A n 1 x 1 n x A n x x 1 x A n prime x nbsp und die erzeugende Funktion n 0 A n x t n n x 1 x e x 1 t displaystyle sum n 0 infty A n x frac t n n frac x 1 x e x 1 t nbsp Die Euler Polynome kommen im Zahler der geschlossenen Darstellung gewisser Potenzreihen vor k 0 k 1 n x k 1 n 2 n x 3 n x 2 4 n x 3 A n x 1 x n 1 displaystyle sum k 0 infty k 1 n x k 1 n 2 n x 3 n x 2 4 n x 3 ldots frac A n x 1 x n 1 nbsp fur n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp und x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp Spezialfalle n 0 k 0 x k 1 x x 2 x 3 A 0 x 1 x 1 1 x displaystyle n 0 sum k 0 infty x k 1 x x 2 x 3 ldots frac A 0 x 1 x frac 1 1 x nbsp geometrische Reihe n 1 k 0 k 1 x k 1 2 x 3 x 2 4 x 3 A 1 x 1 x 2 1 1 x 2 displaystyle n 1 sum k 0 infty k 1 x k 1 2x 3x 2 4x 3 ldots frac A 1 x 1 x 2 frac 1 1 x 2 nbsp n 2 k 0 k 1 2 x k 1 4 x 9 x 2 16 x 3 A 2 x 1 x 3 1 x 1 x 3 displaystyle n 2 sum k 0 infty k 1 2 x k 1 4x 9x 2 16x 3 ldots frac A 2 x 1 x 3 frac 1 x 1 x 3 nbsp usw Literatur BearbeitenL Euler Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques 1749 Memoires de l academie royale des sciences et belles lettres 17 1768 S 83 106 franzosisch Euler Zahlen als Koeffizienten auf S 85 David P Roselle Permutations by number of rises and successions Proceedings of the AMS 19 1968 S 8 16 englisch Ronald L Graham Donald E Knuth Oren Patashnik Concrete mathematics a foundation for computer science Addison Wesley Reading 1988 2 Auflage 1994 ISBN 0 201 55802 5 S 267 272 englisch Knuths Webseite zum Buch mit Errata Concrete Mathematics Second Edition Kenneth H Rosen John G Michaels et al Hrsg Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics CRC Press LLC 1999 ISBN 0 8493 0149 1 englisch Friedrich Hirzebruch Eulerian polynomials PDF Datei 96 kB Munster Journal of Mathematics 1 2008 S 9 14 englisch Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Eulerian Number Euler s Number Triangle und Worpitzky s Identity in MathWorld englisch Permutations Order Notation in der NIST Digital Library of Mathematical Functions englisch Eulerian polynomials von Peter Luschny 18 August 2010 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Julius Worpitzky Studien uber die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen Journal fur die reine und angewandte Mathematik 94 1883 S 203 232 Leonhard Euler Institutiones calculi differentialis Teil 2 Academia imperialis scientiarum Petropolitanae 1755 S 485 486 lateinisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euler Zahlen amp oldid 233460077
