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Algebraische Unabhängigkeit In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaft von Elementen

Algebraische Unabhängigkeit

In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaft von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.

Definition Bearbeiten

Seien eine Körpererweiterung und Elemente von . Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom in Variablen und Koeffizienten in , d. h. , so dass

dann heißen algebraisch abhängig. Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.

Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen von erweitert werden, indem man eine Menge algebraisch abhängig nennt, wenn sie eine algebraisch abhängige endliche Teilmenge hat.

Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches den Begriff der linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d. h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome mit Koeffizienten im Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente heißt Transzendenzbasis, ihre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad der Erweiterung.

Zusammenhang mit algebraischen Elementen Bearbeiten

Ist eine Körpererweiterung, so ist ein Element aus genau dann über dem Körper algebraisch abhängig, wenn es ein algebraisches Element über ist, denn nach Definition ist es genau dann Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus . Damit ist ein Element aus genau dann algebraisch unabhängig über , wenn es ein transzendentes Element über ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Zueinander bezüglich der Multiplikation inverse Elemente sind stets algebraisch abhängig, da sie Nullstellen des Polynoms sind.
  • Die reellen Zahlen und (mit der Kreiszahl pi) sind algebraisch abhängig über den rationalen Zahlen , denn sie erfüllen mit und die Polynomgleichung .
  • Ebenso sind und die imaginäre Einheit algebraisch abhängig über , denn mit und gilt . Das liegt natürlich daran, dass die Menge allein schon algebraisch abhängig ist. Obwohl und algebraisch abhängig sind, gehört weder zu noch zu .

Beispiele von komplexen Zahlen, die über algebraisch unabhängig sind, sind schwerer zu finden, obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele (genauer: kontinuum-viele) über algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Man vermutet aber, dass und es sind. Leicht ist es dagegen, Beispiele in anderen Körpern zu finden:

  • Im rationalen Funktionenkörper in zwei Unbestimmten und über den rationalen Zahlen sind die Elemente und algebraisch unabhängig, denn nach Definition dieses Körpers ist das einzige Polynom in zwei Variablen, das an der Stelle gleich 0 ist, das Nullpolynom.

Algebraische Unabhängigkeit von berühmten Konstanten Bearbeiten

Es ist nicht bekannt, ob und algebraisch unabhängig sind. 1996 bewies jedoch Juri Walentinowitsch Nesterenko, dass:

  • , , und Γ(1/4) algebraisch unabhängig sind über .
  • und Γ(1/3) algebraisch unabhängig sind über .
  • Für alle positiven Ganzzahlen sind die Zahlen algebraisch unabhängig über .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Karpfinger, Meyberg: Algebra. 2013, 23.1.1.
  2. Karpfinger, Meyberg: Algebra. 2013, 31.2.
  3. Yuri I. Manin und A. A. Panchishkin: Introduction to Modern Number Theory. In: Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 2. Auflage. Band 49, 2007, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396, S. 61.
  4. Nesterenko, Yuri V: Modular Functions and Transcendence Problems. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. Band 322, Nr. 10, 1996, S. 909–914.

Literatur Bearbeiten

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In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhangigkeit eine Eigenschaft von Elementen einer transzendenten Korpererweiterung welche besagt dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkorper erfullen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang mit algebraischen Elementen 3 Beispiele 4 Algebraische Unabhangigkeit von beruhmten Konstanten 5 Einzelnachweise 6 LiteraturDefinition BearbeitenSeien L K displaystyle L K nbsp eine Korpererweiterung und v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp Elemente von L displaystyle L nbsp Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom f displaystyle f nbsp in n displaystyle n nbsp Variablen und Koeffizienten in K displaystyle K nbsp d h f K X 1 X n 0 displaystyle f in K lbrack X 1 ldots X n rbrack setminus 0 nbsp so dass f v 1 v n 0 displaystyle f v 1 ldots v n 0 nbsp dann heissen v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp algebraisch abhangig Existiert kein solches Polynom dann heissen die Elemente algebraisch unabhangig 1 Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen M displaystyle M nbsp von L displaystyle L nbsp erweitert werden indem man eine Menge M displaystyle M nbsp algebraisch abhangig nennt wenn sie eine algebraisch abhangige endliche Teilmenge hat Ahnlich zum in Vektorraumen verwendeten Konzept der Linearkombination lineares homogenes Polynom welches den Begriff der linearen Unabhangigkeit liefert betrachtet man manchmal bei Korpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente d h beliebige gebrochenrationale Polynome mit Koeffizienten im Grundkorper Ein maximales System algebraisch unabhangiger Elemente heisst Transzendenzbasis ihre Machtigkeit heisst Transzendenzgrad der Erweiterung Zusammenhang mit algebraischen Elementen BearbeitenIst L K displaystyle L K nbsp eine Korpererweiterung so ist ein Element aus L displaystyle L nbsp genau dann uber dem Korper K displaystyle K nbsp algebraisch abhangig wenn es ein algebraisches Element uber K displaystyle K nbsp ist denn nach Definition ist es genau dann Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus K displaystyle K nbsp Damit ist ein Element aus L displaystyle L nbsp genau dann algebraisch unabhangig uber K displaystyle K nbsp wenn es ein transzendentes Element uber K displaystyle K nbsp ist Beispiele BearbeitenZueinander bezuglich der Multiplikation inverse Elemente sind stets algebraisch abhangig da sie Nullstellen des Polynoms X Y 1 displaystyle XY 1 nbsp sind Die reellen Zahlen p 1 displaystyle pi 1 nbsp und p 2 displaystyle pi 2 nbsp mit der Kreiszahl pi sind algebraisch abhangig uber den rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp denn sie erfullen mit X p 1 displaystyle X pi 1 nbsp und Y p 2 displaystyle Y pi 2 nbsp die Polynomgleichung Y X 1 2 0 displaystyle Y X 1 2 0 nbsp Ebenso sind p displaystyle pi nbsp und die imaginare Einheit i displaystyle i nbsp algebraisch abhangig uber Q displaystyle mathbb Q nbsp denn mit X p displaystyle X pi nbsp und Y i displaystyle Y i nbsp gilt 0 X Y 2 1 0 displaystyle 0 cdot X Y 2 1 0 nbsp Das liegt naturlich daran dass die Menge i displaystyle i nbsp allein schon algebraisch abhangig ist Obwohl p displaystyle pi nbsp und i displaystyle i nbsp algebraisch abhangig sind gehort weder p displaystyle pi nbsp zu Q i displaystyle mathbb Q i nbsp noch i displaystyle i nbsp zu Q p displaystyle mathbb Q pi nbsp Beispiele von komplexen Zahlen die uber Q displaystyle mathbb Q nbsp algebraisch unabhangig sind sind schwerer zu finden obwohl es bewiesenermassen unendlich viele genauer kontinuum viele uber Q displaystyle mathbb Q nbsp algebraisch unabhangige komplexe Zahlen gibt Man vermutet aber dass e displaystyle e nbsp und p displaystyle pi nbsp es sind Leicht ist es dagegen Beispiele in anderen Korpern zu finden Im rationalen Funktionenkorper Q X Y displaystyle mathbb Q X Y nbsp in zwei Unbestimmten X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp uber den rationalen Zahlen sind die Elemente X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp algebraisch unabhangig denn nach Definition dieses Korpers ist das einzige Polynom in zwei Variablen das an der Stelle X Y displaystyle X Y nbsp gleich 0 ist das Nullpolynom Ein grosseres Beispiel findet man im Funktionenkorper K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp Hier sind alle elementarsymmetrischen Polynome s 1 s n displaystyle sigma 1 ldots sigma n nbsp algebraisch unabhangig 2 Algebraische Unabhangigkeit von beruhmten Konstanten BearbeitenEs ist nicht bekannt ob p displaystyle pi nbsp und e displaystyle e nbsp algebraisch unabhangig sind 1996 bewies jedoch Juri Walentinowitsch Nesterenko dass p displaystyle pi nbsp e p displaystyle e pi nbsp und G 1 4 algebraisch unabhangig sind uber Q displaystyle mathbb Q nbsp 3 e p 3 displaystyle e pi sqrt 3 nbsp und G 1 3 algebraisch unabhangig sind uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Fur alle positiven Ganzzahlen n displaystyle n nbsp sind die Zahlen e p n displaystyle e pi sqrt n nbsp algebraisch unabhangig uber Q displaystyle mathbb Q nbsp 4 Einzelnachweise Bearbeiten Karpfinger Meyberg Algebra 2013 23 1 1 Karpfinger Meyberg Algebra 2013 31 2 Yuri I Manin und A A Panchishkin Introduction to Modern Number Theory In Encyclopaedia of Mathematical Sciences 2 Auflage Band 49 2007 ISBN 978 3 540 20364 3 ISSN 0938 0396 S 61 Nesterenko Yuri V Modular Functions and Transcendence Problems In Comptes Rendus de l Academie des Sciences Serie I Band 322 Nr 10 1996 S 909 914 Literatur BearbeitenA B Shidlovskii Algebraic independence In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 8274 3011 3 Kap 23 doi 10 1007 978 3 8274 3012 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraische Unabhangigkeit amp oldid 230744503