x n displaystyle sqrt n x Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie Es werden mathematische Symbole verwendet die im Artikel Liste mathematischer Symbole erlautert werden Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind Inhaltsverzeichnis 1 Bezeichner und Schreibweisen 2 Geometrie in der Ebene 2 1 Grundlagen 2 1 1 Winkel 2 1 2 Teilung einer Strecke 2 2 Flachen und Umfange 2 3 Dreiecksgeometrie 2 3 1 Ausgezeichnete Punkte 2 3 2 Satzgruppe des Pythagoras 2 3 3 Dreiecksungleichung 2 3 4 Kongruenz und Ahnlichkeitssatze 2 4 Strahlensatze 3 Geometrie der Korper 4 Trigonometrie 5 Analytische Geometrie 6 Literatur 7 EinzelnachweiseBezeichner und Schreibweisen BearbeitenIn den allermeisten Fallen gilt Punkte werden mit lateinischen Grossbuchstaben A B C displaystyle A B C ldots nbsp beschriftet Linien wie Geraden Strecken und Bogen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben a b c displaystyle a b c ldots nbsp beschriftet Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben a b g displaystyle alpha beta gamma ldots nbsp beschriftet Im Folgenden werden Winkel im Gradmass angegeben Geometrie in der Ebene BearbeitenGrundlagen Bearbeiten Winkel Bearbeiten Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln betragt immer 180 a b 180 displaystyle alpha beta 180 circ nbsp nbsp Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich gross a b displaystyle alpha beta nbsp nbsp Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich gross nbsp Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich gross nbsp Aussenwinkel Im Dreieck ist ein Aussenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel nbsp Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180 Die Summe der Innenwinkel in einem n displaystyle n nbsp Eck ist immer n 2 180 displaystyle n 2 cdot 180 circ nbsp Die Summe der Aussenwinkel betragt in einem konvexen n displaystyle n nbsp Eck stets 360 unabhangig von der Eckenzahl n displaystyle n nbsp Teilung einer Strecke Bearbeiten Verhaltnisteilung Um eine Strecke A B displaystyle AB nbsp in einem bestimmten Verhaltnis in n displaystyle n nbsp gleiche Teile zu teilen zeichnet man zunachst einen beliebigen Strahl von A displaystyle A nbsp aus der nicht parallel zu A B displaystyle AB nbsp ist Auf diesem trage man n displaystyle n nbsp mal eine beliebig lange Strecke ab Den erhaltenen Endpunkt C displaystyle C nbsp verbinde man mit B displaystyle B nbsp und zeichne die Parallelen zu B C displaystyle BC nbsp durch die bei der Unterteilung von A C displaystyle AC nbsp entstandenen Punkte Deren Schnittpunkte mit A B displaystyle AB nbsp teilen A B displaystyle AB nbsp in n displaystyle n nbsp gleiche Teile Flachen und Umfange Bearbeiten nbsp Ein Dreieck mit StandardbezeichnungDie Standardbezeichnung fur Dreiecke Eckpunkte A B displaystyle A B nbsp und C displaystyle C nbsp Die Ecke C displaystyle C nbsp ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels Seiten a displaystyle a nbsp ist die der Ecke A displaystyle A nbsp gegenuberliegende Seite entsprechendes gilt fur b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit a displaystyle a nbsp bezeichnet 1 Winkel a displaystyle alpha nbsp ist der Innen Winkel in Ecke A displaystyle A nbsp b displaystyle beta nbsp der Winkel in Ecke B displaystyle B nbsp und g displaystyle gamma nbsp der Winkel in Ecke C displaystyle C nbsp Figur Flacheninhalt A Umfang U Bemerkung WeiteresDreieckAllgemeines Dreieck 1 2 g h 1 2 b c sin a displaystyle frac 1 2 gh frac 1 2 bc sin alpha nbsp a b c 4 R k r displaystyle frac abc 4R k cdot r nbsp k k a k b k c displaystyle sqrt k k a k b k c nbsp a b c displaystyle a b c nbsp Letztere Flachenformel wird als Satz des Heron bezeichnet k displaystyle k nbsp ist der halbe Umfang R displaystyle R nbsp der Umkreisradius und r displaystyle r nbsp der Inkreisradius Gleichseitiges Dreieck 1 4 a 2 3 displaystyle frac 1 4 a 2 sqrt 3 nbsp 3 a displaystyle 3 cdot a nbsp Alle Seiten sind gleich lang Alle Winkel sind gleich gross 60 Hohenlinien Symmetrieachsen Winkelhalbierende Seitenhalbierende MittennormaleGleichschenkliges Dreieck 1 2 c a 2 1 4 c 2 displaystyle frac 1 2 c sqrt a 2 frac 1 4 c 2 nbsp 2 a c displaystyle 2a c nbsp Zwei Seiten sind gleich lang Schenkel a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp die dritte Seite heisst Basis c displaystyle c nbsp Die beiden Basiswinkel a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp sind gleich gross Die Hohenlinie durch C displaystyle C nbsp halbiert den Winkel g displaystyle gamma nbsp und die Basis c displaystyle c nbsp Rechtwinkliges Dreieck 1 2 a b displaystyle frac 1 2 ab nbsp a b c displaystyle a b c nbsp g a b 90 displaystyle gamma alpha beta 90 circ nbsp Hypotenuse langste Seite Seite gegenuber dem 90 Winkel Katheten Seiten die den rechten Winkel bilden Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras s u ViereckQuadrat a 2 displaystyle a 2 nbsp 4 a displaystyle 4 cdot a nbsp Diagonale d a 2 displaystyle d a cdot sqrt 2 nbsp Rechteck a b displaystyle a cdot b nbsp 2 a b displaystyle 2 cdot a b nbsp Diagonale d a 2 b 2 displaystyle d sqrt a 2 b 2 nbsp Raute Rhombus 1 2 e f a 2 sin a displaystyle frac 1 2 ef a 2 cdot sin alpha nbsp 4 a displaystyle 4 cdot a nbsp e f displaystyle e f nbsp Diagonalen a displaystyle alpha nbsp beliebiger Innenwinkel Parallelogramm a h a displaystyle a cdot h a nbsp 2 a b displaystyle 2 cdot a b nbsp h a displaystyle h a nbsp ist die Hohe zur Seite a displaystyle a nbsp Trapez m h 1 2 a c h displaystyle m cdot h frac 1 2 a c cdot h nbsp a b c d displaystyle a b c d nbsp a c displaystyle a c nbsp parallele Seiten m 1 2 a c displaystyle m tfrac 1 2 a c nbsp Mittelliniesymmetrischer Drachen Deltoid 1 2 e f displaystyle frac 1 2 ef nbsp 2 a b displaystyle 2 cdot a b nbsp e f displaystyle e f nbsp Diagonalen Sehnenviereck s a s b s c s d displaystyle sqrt s a s b s c s d nbsp e a b c d 4 R f a d b c 4 R displaystyle frac e cdot ab cd 4R frac f cdot ad bc 4R nbsp a b c d displaystyle a b c d nbsp Viereck mit Umkreis R displaystyle R nbsp Umkreisradius 1 4 A a b c d a c b d a d b c displaystyle frac 1 4A sqrt ab cd ac bd ad bc nbsp s displaystyle s nbsp halber Umfang e f displaystyle e f nbsp Diagonalen e a c b d a d b c a b c d displaystyle e sqrt frac ac bd ad bc ab cd nbsp f a b c d a c b d a d b c displaystyle f sqrt frac ab cd ac bd ad bc nbsp Tangentenviereck r a c r b d displaystyle r cdot a c r cdot b d nbsp a b c d displaystyle a b c d nbsp Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius r displaystyle r nbsp Es gilt a c b d displaystyle a c b d nbsp PolygoneRegelmassiges Polygon n r u 2 sin 360 n 2 displaystyle frac n cdot r mathrm u 2 cdot sin frac 360 circ n 2 nbsp n r i 2 tan 180 n displaystyle n cdot r mathrm i 2 cdot tan frac 180 circ n nbsp n l k 2 cot 180 n 4 displaystyle frac n cdot l mathrm k 2 cdot cot frac 180 circ n 4 nbsp 2 n r u sin 180 n displaystyle 2 cdot n cdot r mathrm u cdot sin frac 180 circ n nbsp 2 n r i tan 180 n displaystyle 2 cdot n cdot r mathrm i cdot tan frac 180 circ n nbsp n l k displaystyle n cdot l mathrm k nbsp n displaystyle n nbsp Anzahl der Ecken r u displaystyle r u nbsp Radius des Umkreises d h Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke r i displaystyle r i nbsp Radius des Inkreises d h Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte l k displaystyle l k nbsp Kantenlange einer Seite des PolygonsKreisKreis nbsp p r 2 1 4 p d 2 displaystyle pi cdot r 2 1 over 4 cdot pi cdot d 2 nbsp 2 p r p d displaystyle 2 cdot pi cdot r pi cdot d nbsp Es bezeichnet p 3 141 59 displaystyle pi 3 14159 ldots nbsp die Kreiszahl Kreisring p R 2 r 2 displaystyle pi cdot R 2 r 2 nbsp 2 p R r displaystyle 2 cdot pi cdot R r nbsp R displaystyle R nbsp Aussenradius r displaystyle r nbsp InnenradiusKreisausschnitt nbsp p r 2 a 360 1 2 r 2 f displaystyle pi cdot r 2 cdot alpha over 360 circ frac 1 2 r 2 cdot varphi nbsp 1 2 b r displaystyle frac 1 2 cdot b cdot r nbsp p r a 180 2 r r f 2 displaystyle pi cdot r cdot alpha over 180 circ 2r r varphi 2 nbsp b p r a 180 r f f a p 180 displaystyle pi cdot r cdot alpha over 180 circ r cdot varphi quad varphi alpha cdot frac pi 180 circ nbsp Winkel im Bogenmass Kreisabschnitt Segment nbsp 1 2 r 2 f sin f displaystyle frac 1 2 r 2 cdot varphi sin varphi nbsp r 2 2 2 cos f displaystyle r cdot left 2 sqrt 2 2 cos varphi right nbsp f a p 180 displaystyle varphi alpha cdot frac pi 180 circ nbsp Winkel im Bogenmass KegelschnitteEllipse p a b displaystyle pi ab nbsp 1 4 p D d displaystyle frac 1 4 pi cdot D cdot d nbsp 4 a 0 p 2 1 e 2 sin t 2 d t 4 a E e displaystyle 4a int limits 0 frac pi 2 sqrt 1 varepsilon 2 sin t 2 mathrm d t 4a E varepsilon nbsp Menge der Punkte fur die die Summe der beiden Abstande zu zwei gegebenen Punkten Brennpunkten konstant 2 a displaystyle 2a nbsp ist Der Umfang lasst sich nicht mit elementaren Funktionen angeben Elliptisches Integral D d grosser und kleiner Durchmesser Kartesische Koordinaten x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp Hyperbel Keine geschlossene Flache Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte fur die die absolute Differenz der Abstande zu den Brennpunkten konstant 2a ist Kartesische Koordinaten x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp Parabel Keine geschlossene Flache Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt dem Brennpunkt und einer speziellen Geraden der Leitgeraden l konstant ist Kartesische Koordinaten y 2 2 p x displaystyle y 2 2px nbsp Dreiecksgeometrie Bearbeiten Ausgezeichnete Punkte Bearbeiten nbsp Seitenhalbierende und SchwerpunktSeitenhalbierende Schwerlinien teilen einander im Verhaltnis 2 1 schneiden sich in einem Punkt dem Schwerpunkt S des Dreiecks teilen die Dreiecksflache in je zwei gleich grosse Teilflachen Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Mittennormalen Mittelpunkt des Umkreises nbsp Winkelhalbierende und InkreisSchnittpunkt der Winkelhalbierenden Mittelpunkt des Inkreises nbsp HohenHohenlinien schneiden einander in einem Punkt H dem Hohenschnittpunkt des Dreiecks Die Hohe hc ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c rechter Winkel bei D Satzgruppe des Pythagoras Bearbeiten Satz des Pythagoras Im rechtwinkligen Dreieck ist die Flache des Quadrats uber der Hypotenuse gleich der Summe der Flachen der Quadrate uber den Katheten Sind a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp die Langen der Katheten und c displaystyle c nbsp die Lange der Hypotenuse dann gilt a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp 2 dd Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat uber einer Kathete flachengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt a 2 p c b 2 q c displaystyle a 2 p cdot c b 2 q cdot c nbsp dd Hohensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat uber der Hohe auf der Hypotenuse flachengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt h 2 q p displaystyle h 2 q cdot p nbsp 2 dd nbsp Dreiecksungleichung Bearbeiten Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets grosser als die dritte Seite Kongruenz und Ahnlichkeitssatze Bearbeiten Zwei Dreiecke sind kongruent bzw deckungsgleich wenn sie ubereinstimmen in drei Seiten sss zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel sws zwei Seiten und dem Gegenwinkel der langeren Seite Ssw einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln wsw Zwei Dreiecke sind ahnlich wenn drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhaltnis haben zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhaltnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel ubereinstimmen zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhaltnis haben und die Gegenwinkel der langeren Seiten ubereinstimmen zwei Winkel ubereinstimmenStrahlensatze Bearbeiten Strahlensatz Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhaltnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles Strahlensatz Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhaltnis wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehorigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl Geometrie der Korper BearbeitenKorper Volumen V Oberflache O Bemerkungen WeiteresPrismenParallelepiped Spat nbsp G h displaystyle G cdot h nbsp 2 a h a b h b c h c displaystyle 2 cdot ah a bh b ch c nbsp Quader nbsp a b c displaystyle a cdot b cdot c nbsp 2 a b a c b c displaystyle 2 cdot ab ac bc nbsp Raumdiagonalenlange a 2 b 2 c 2 displaystyle sqrt a 2 b 2 c 2 nbsp AllgemeinesPrisma A G h displaystyle A G cdot h nbsp 2 A G A M displaystyle 2A G A M nbsp A M displaystyle A M nbsp MantelflacheSaulenRundsaule Zylinder p r 2 h displaystyle pi cdot r 2 cdot h nbsp 2 p r r h displaystyle 2 pi r cdot r h nbsp Hohlzylinder p R 2 h p r 2 h displaystyle pi R 2 h pi r 2 h nbsp p h R r R r displaystyle pi h R r R r nbsp 2 p R r h R 2 r 2 displaystyle 2 pi R r h R 2 r 2 nbsp R r displaystyle R r nbsp Aussen InnenradiusM aussen 2 p R h displaystyle M text aussen 2 pi Rh nbsp M innen 2 p r h displaystyle M text innen 2 pi rh nbsp PyramideAllgemeinePyramide 1 3 A G h displaystyle frac 1 3 A G h nbsp A G A M displaystyle A G A M nbsp Pyramidenstumpf 1 3 h A G A G A D A D displaystyle frac 1 3 h left A G sqrt A G A D A D right nbsp A G A D A M displaystyle A G A D A M nbsp A G displaystyle A G nbsp GrundflacheA D displaystyle A D nbsp DeckflacheKegelKreiskegel 1 3 p r 2 h displaystyle frac 1 3 cdot pi cdot r 2 cdot h nbsp nur fur senkrechte Kegel r p r s displaystyle r cdot pi cdot r s nbsp Zusammenhang von Radius Hohe und Seitenhohe s 2 r 2 h 2 displaystyle s 2 r 2 h 2 nbsp gerader Kegelstumpf 1 3 p h r 1 2 r 1 r 2 r 2 2 displaystyle frac 1 3 pi h r 1 2 r 1 r 2 r 2 2 nbsp A G A D A M displaystyle A G A D A M nbsp p r 2 2 p r 1 2 p s r 1 r 2 displaystyle pi r 2 2 pi r 1 2 pi s r 1 r 2 nbsp s M a n t e l l i n i e r 2 r 1 2 h 2 displaystyle s mathrm Mantellinie sqrt r 2 r 1 2 h 2 nbsp r 1 r 2 displaystyle r 1 r 2 nbsp RadienPlatonische KorperTetraeder 1 12 a 3 2 displaystyle frac 1 12 a 3 sqrt 2 nbsp a 2 3 displaystyle a 2 sqrt 3 nbsp Hexaeder Wurfel a 3 displaystyle a 3 nbsp 6 a 2 displaystyle 6 cdot a 2 nbsp Raumdiagonalenlange a 3 displaystyle a sqrt 3 nbsp Oktaeder 1 3 a 3 2 displaystyle frac 1 3 a 3 sqrt 2 nbsp 2 a 2 3 displaystyle 2a 2 sqrt 3 nbsp Dodekaeder 1 4 a 3 15 7 5 displaystyle frac 1 4 a 3 15 7 sqrt 5 nbsp 3 a 2 25 10 5 displaystyle 3a 2 sqrt 25 10 sqrt 5 nbsp Ikosaeder 5 12 a 3 3 5 displaystyle frac 5 12 a 3 3 sqrt 5 nbsp 5 a 2 3 displaystyle 5a 2 sqrt 3 nbsp Kugel und KugelteileKugel 4 3 p r 3 1 6 p d 3 displaystyle 4 over 3 cdot pi cdot r 3 1 over 6 cdot pi cdot d 3 nbsp 4 p r 2 p d 2 displaystyle 4 cdot pi cdot r 2 pi cdot d 2 nbsp Kugelkalotte Kugelmutze Kugelkappe 2 r p h displaystyle 2 cdot r cdot pi cdot h nbsp Kugelsegment Kugelabschnitt h 2 p 3 3 r h displaystyle h 2 cdot pi over 3 cdot 3r h nbsp 2 r p h r 2 p displaystyle 2 cdot r cdot pi cdot h rho 2 pi nbsp mit r 2 h 2 r h displaystyle rho 2 h cdot 2r h nbsp Kugelzone Kugelschicht 1 6 p h 3 a 2 3 b 2 h 2 displaystyle frac 1 6 pi cdot h 3 cdot a 2 3 cdot b 2 h 2 nbsp p 2 r h a 2 b 2 displaystyle pi cdot 2 cdot r cdot h a 2 b 2 nbsp mit 2 a displaystyle 2 cdot a nbsp Durchmesser des unteren Schnittkreises und 2 b displaystyle 2 cdot b nbsp Durchmesser des oberen SchnittkreisesDrehkorperEllipsoid 4 3 p a b c displaystyle frac 4 3 cdot pi cdot a cdot b cdot c nbsp Halbachsen a b cTorus 2 p 2 R r 2 displaystyle 2 pi 2 cdot R cdot r 2 nbsp 4 p 2 R r displaystyle 4 pi 2 cdot R cdot r nbsp siehe auch Eulerscher Polyedersatz Prinzip von CavalieriTrigonometrie Bearbeitensiehe Trigonometrie Formelsammlung TrigonometrieAnalytische Geometrie Bearbeitensiehe Analytische Geometrie Formelsammlung analytische GeometrieLiteratur BearbeitenLothar Papula Mathematische Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausfuhrlichen Integraltafel 11 uberarb Auflage Wiesbaden 2014 ISBN 978 3 8348 1913 0 Einzelnachweise Bearbeiten Papula Mathematische Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler 2014 S 28 a b Papula Mathematische Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler 2014 S 26 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formelsammlung Geometrie amp oldid 227998304
