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Vivianisches Fenster Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve benannt nach dem italienischen Mathematiker und Phy

Vivianisches Fenster

Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve, benannt nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani, ist eine 8-förmige Kurve auf einer Kugel, die man als Schnittkurve der Kugel (Radius ) und einem die Kugel berührenden Zylinder mit Radius erzeugen kann. (S. Bild).

Viviani-Fenster: Schnitt einer Kugel mit einem berührenden Zylinder
Die hellblaue Halbkugelfläche ist quadrierbar

Viviani stellte 1692 die Aufgabe, aus einer Halbkugel (Radius ) zwei Fenster so herauszuschneiden, dass der Rest der Halbkugelfläche „quadrierbar“ ist. Dabei bedeutet quadrierbar: Man kann mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren. Es stellt sich heraus (s. unten), dass der fragliche Flächeninhalt ist.

Senkrechter Zylinder

Analytische Beschreibung Bearbeiten

Um die Quadrierbarkeit möglichst einfach zeigen zu können, wird hier angenommen, dass

Der Zylinder berührt die Kugel im Punkt

Eigenschaften der Kurve Bearbeiten

Grund-, Auf- und Seitenrisse Bearbeiten

Grund, -Auf- und Seitenriss

Durch Elimination von bzw. bzw. aus den Gleichungen ergibt sich: Die orthogonale Projektion der Kurve auf die

Parameterdarstellung Bearbeiten

Zur Parameterdarstellung und Inhaltsbestimmung

Stellt man die Kugel mit Kugelkoordinaten

dar und setzt erhält man die Kurve

Man prüft leicht nach, dass diese Kurve nicht nur auf der Kugel liegt, sondern auch die Zylindergleichung erfüllt. Diese Kurve ist allerdings nur die eine Hälfte (rot) der Viviani-Kurve, nämlich der Teil von links unten nach rechts oben. Den anderen Teil (grün, von rechts unten nach links oben) erhält man über die Beziehung

Mit Hilfe dieser Parameterdarstellung lässt sich die Aufgabe von Viviani leicht lösen.

Quadrierbarkeit der Restfläche Bearbeiten

Den Inhalt des rechten oberen Viertels des vivianischen Fensters (s. Bild) erhält man mittels eines Oberflächenintegrals:

Der gesamte Flächeninhalt des von der vivianischen Kurve eingeschlossenen Fläche ist also und

  • der Inhalt der Halbkugel-Oberfläche () ohne dem Inhalt des vivianischen Fensters ist , also gleich dem Quadrat des Kugeldurchmessers.

Beziehung zu anderen Kurven Bearbeiten

Vivianische Kurve als Schnitt der Kugel mit einem Kegel (rosa)

Subtrahiert man von der Kugelgleichung 2× die Zylindergleichung und führt quadratische Ergänzung durch, erhält man die Gleichung

Diese Gleichung beschreibt einen senkrechten Kreiskegel mit der Spitze im Punkt , dem Doppelpunkt der vivianischen Kurve. Also gilt

  • Die vivianische Kurve ergibt sich auch sowohl beim Schnitt

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, S. 97.
  2. K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 250.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve benannt nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani ist eine 8 formige Kurve auf einer Kugel die man als Schnittkurve der Kugel Radius r displaystyle r und einem die Kugel beruhrenden Zylinder mit Radius r 2 displaystyle r 2 erzeugen kann 1 2 S Bild Viviani Fenster Schnitt einer Kugel mit einem beruhrenden ZylinderDie hellblaue Halbkugelflache ist quadrierbarViviani stellte 1692 die Aufgabe aus einer Halbkugel Radius r displaystyle r zwei Fenster so herauszuschneiden dass der Rest der Halbkugelflache quadrierbar ist Dabei bedeutet quadrierbar Man kann mit Zirkel und Lineal ein flachengleiches Quadrat konstruieren Es stellt sich heraus s unten dass der fragliche Flacheninhalt 4 r 2 displaystyle 4r 2 ist Senkrechter ZylinderInhaltsverzeichnis 1 Analytische Beschreibung 2 Eigenschaften der Kurve 2 1 Grund Auf und Seitenrisse 2 2 Parameterdarstellung 2 3 Quadrierbarkeit der Restflache 3 Beziehung zu anderen Kurven 4 EinzelnachweiseAnalytische Beschreibung BearbeitenUm die Quadrierbarkeit moglichst einfach zeigen zu konnen wird hier angenommen dass die Kugel durch die Gleichung x 2 y 2 z 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 r 2 nbsp beschrieben wird und der Zylinder senkrecht steht und der Gleichung x 2 y 2 r x 0 displaystyle x 2 y 2 rx 0 nbsp genugt Der Zylinder beruhrt die Kugel im Punkt r 0 0 displaystyle r 0 0 nbsp Eigenschaften der Kurve BearbeitenGrund Auf und Seitenrisse Bearbeiten nbsp Grund Auf und SeitenrissDurch Elimination von x displaystyle x nbsp bzw y displaystyle y nbsp bzw z displaystyle z nbsp aus den Gleichungen ergibt sich Die orthogonale Projektion der Kurve auf die x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene ist der Kreis mit der Gleichung x r 2 2 y 2 r 2 2 displaystyle x tfrac r 2 2 y 2 tfrac r 2 2 nbsp x displaystyle x nbsp z displaystyle z nbsp Ebene die Parabel mit der Gleichung x 1 r z 2 r displaystyle x tfrac 1 r z 2 r nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp Ebene die algebraische Kurve mit der Gleichung z 4 r 2 y 2 z 2 0 displaystyle z 4 r 2 y 2 z 2 0 nbsp Parameterdarstellung Bearbeiten nbsp Zur Parameterdarstellung und InhaltsbestimmungStellt man die Kugel mit Kugelkoordinaten x r cos 8 cos f y r cos 8 sin f z r sin 8 p 2 8 p 2 p f p displaystyle begin array cll x amp amp r cdot cos theta cdot cos varphi y amp amp r cdot cos theta cdot sin varphi z amp amp r cdot sin theta qquad qquad tfrac pi 2 leq theta leq tfrac pi 2 pi leq varphi leq pi end array nbsp dar und setzt f 8 displaystyle varphi theta nbsp erhalt man die Kurve x r cos 8 cos 8 y r cos 8 sin 8 z r sin 8 p 2 8 p 2 displaystyle begin array cll x amp amp r cdot cos theta cdot cos theta y amp amp r cdot cos theta cdot sin theta z amp amp r cdot sin theta qquad qquad tfrac pi 2 leq theta leq tfrac pi 2 end array nbsp Man pruft leicht nach dass diese Kurve nicht nur auf der Kugel liegt sondern auch die Zylindergleichung erfullt Diese Kurve ist allerdings nur die eine Halfte rot der Viviani Kurve namlich der Teil von links unten nach rechts oben Den anderen Teil grun von rechts unten nach links oben erhalt man uber die Beziehung f 8 displaystyle color green varphi theta nbsp Mit Hilfe dieser Parameterdarstellung lasst sich die Aufgabe von Viviani leicht losen Quadrierbarkeit der Restflache Bearbeiten Den Inhalt des rechten oberen Viertels des vivianischen Fensters s Bild erhalt man mittels eines Oberflachenintegrals O K u g r 2 cos 8 d 8 d f r 2 0 p 2 0 8 cos 8 d f d 8 r 2 p 2 1 displaystyle iint O Kug r 2 cos theta mathrm d theta mathrm d varphi r 2 int 0 pi 2 int 0 theta cos theta mathrm d varphi mathrm d theta r 2 frac pi 2 1 nbsp Der gesamte Flacheninhalt des von der vivianischen Kurve eingeschlossenen Flache ist also 2 p r 2 4 r 2 displaystyle 2 pi r 2 4r 2 nbsp und der Inhalt der Halbkugel Oberflache 2 p r 2 displaystyle 2 pi r 2 nbsp ohne dem Inhalt des vivianischen Fensters ist 4 r 2 displaystyle 4r 2 nbsp also gleich dem Quadrat des Kugeldurchmessers Beziehung zu anderen Kurven BearbeitenDer Aufriss s oben ist eine Lemniskate von Gerono Die vivianische Kurve ist ein Spezialfall einer Clelia Kurve Bei einer Clelia Kurve ist f c 8 displaystyle varphi c theta nbsp nbsp Vivianische Kurve als Schnitt der Kugel mit einem Kegel rosa Subtrahiert man von der Kugelgleichung 2 die Zylindergleichung und fuhrt quadratische Erganzung durch erhalt man die Gleichung x r 2 y 2 z 2 displaystyle x r 2 y 2 z 2 nbsp Diese Gleichung beschreibt einen senkrechten Kreiskegel mit der Spitze im Punkt r 0 0 displaystyle r 0 0 nbsp dem Doppelpunkt der vivianischen Kurve Also gilt Die vivianische Kurve ergibt sich auch sowohl beim Schnitta der Kugel mit dem Kegel mit der Gleichung x r 2 y 2 z 2 displaystyle x r 2 y 2 z 2 nbsp als auch beim Schnitt b des Zylinders mit diesem Kegel Einzelnachweise Bearbeiten Kuno Fladt Analytische Geometrie spezieller Flachen und Raumkurven Springer Verlag 2013 ISBN 3322853659 9783322853653 S 97 K Strubecker Vorlesungen der Darstellenden Geometrie Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1967 S 250 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vivianisches Fenster amp oldid 192158850