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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Rollen Begriffsklarung aufgefuhrt Das Rollen ist eine Bewegungs art runder Korper insbesondere von Radern bei der die Bewegungsarten Drehung und Verschiebung auf eine bestimmte Weise kombiniert werden Ein kreisrunder Korper der sich auf einer ebenen Flache geradlinig bewegt rollt genau dann wenn der Mittelpunkt wahrend einer Umdrehung einen Weg zurucklegt der seinem Umfang entspricht Wenn der Weg kleiner ist dann hat er Schlupf Bei Radern spricht man auch vom Durchdrehen falls der Weg null ist Wenn der Weg grosser ist dann gleitet der Korper Dies ist beispielsweise beim Bremsen von Fahrzeugen der Fall wenn die Rader blockieren Im Folgenden wird schlupfloses Rollen beschrieben Abrollen eines Rades mit Radius von einem Meter Umfang 2 r p displaystyle pi 6 28 m Ein Fixpunkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Brachistochrone welche zu den Zykloiden zahlt Der Beruhrpunkt also der Punkt an dem der Korper den Untergrund beruhrt bewegt sich wahrend einer Umdrehung des Korpers entlang eines Weges dessen Lange dem Umfang des Korpers entspricht Der Korper muss nicht kreisrund sein er kann beispielsweise auch elliptisch sein Die Weglange wird entlang des zuruckgelegten Weges gemessen also nicht entlang einer geraden Strecke Der Beruhrpunkt ist bei schlupflosen Rollbewegungen immer gleichzeitig der Momentanpol Mathematisch gilt die Rollbedingung die einen Zusammenhang angibt zwischen dem Winkel f displaystyle varphi im Bogenmass um den sich der Korper in einem bestimmten Zeitraum dreht dem Radius r displaystyle r des Korpers und dem zuruckgelegten Weg s displaystyle s s r f displaystyle s r cdot varphi Das Rollen tritt nicht nur bei Radern auf Auch die Kugeln in einem Kugellager rollen in den Ringen die Rollen in Flaschenzugen rollen bezuglich der Seile ebenso wie ein Jo Jo bezuglich der Schnur Physikalische Voraussetzung fur das Rollen ist Haftreibung zwischen dem rollenden Korper und der Unterlage Ohne Reibung wurde der Korper nur gleiten ohne sich zu drehen Die Beschleunigung von rollenden Korpern hangt nicht nur von ihrer Masse ab wie bei der rein translatorischen Bewegung sondern auch vom Tragheitsmoment Zwei Zylinder die auf einer schiefen Ebene herunterrollen erfahren verschiedene Beschleunigung wenn sie zwar dieselben Massen und ausseren Radien haben aber unterschiedliche Massenverteilungen haben beispielsweise bei einem massiven Aluminiumzylinder und einem gleich grossen hohlen Stahlzylinder siehe eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad Dies ist ein wichtiger Unterschied zum freien Fall bei dem die Beschleunigung von der Masse unabhangig ist Sowohl fur die geradlinige als auch fur die drehende Bewegung muss Arbeit verrichtet werden Bei rollenden Korpern stehen diese in einem festen Verhaltnis zueinander Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Voraussetzungen und Bedingungen 3 Kinematik 3 1 Geeignete Bezugs und Koordinatensysteme 3 2 Rollen in einer Ebene 3 2 1 Position 3 2 2 Geschwindigkeit und Beschleunigung des Mittelpunktes 3 2 3 Geschwindigkeit beliebiger Punkte 3 3 Rollen auf einer Ebene 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenBesonders bekannt ist die Rollbewegung bei Fahrzeugradern wie sie bei Fahrradern oder Autos vorkommt Hier rollen annahernd kreisrunde Korper auf einer meist ebenen Oberflache Gleiches gilt auch fur auf dem Boden rollende Flaschen oder auf einem Tisch rollende Weinglaser beispielsweise wenn sie umgestossen werden Auf einer schiefen Ebene 1 rollen Kugeln oder Zylinder alleine unter der Wirkung der Schwerkraft nach unten Dies kommt vor allem bei Experimenten vor Galilei beispielsweise nutzte sie zur Untersuchung der Bewegungsgesetze Die Bewegung der Rollen in einem Flaschenzug kann als Rollbewegung aufgefasst werden bei der die Rollen auf dem Seil abrollen Gleiches gilt fur die Bewegung eines Jo Jos 2 das bezuglich der Schnur an der es hangt eine Rollbewegung vollfuhrt Auch in einigen Maschinen kommt sie vor Die Kugeln in einem Kugellager 3 rollen sowohl auf dem inneren als auch auf dem ausseren Ring ab Entsprechendes gilt fur alle anderen Walzlager In einem Planetengetriebe 4 bewegen sich mehrere Zahnrader Bei einer der moglichen Betriebsarten steht das mittlere Rad das Sonnenrad und die anderen Rader die Planetenrader rollen um es herum Auch bei zwei Zahnradern mit ortsfesten Achsen 5 liegt eine Rollbewegung vor Man kann sich eines der beiden Zahnrader als feststehend denken das andere rollt dann auf dem Umfang ab ahnlich wie beim Planetengetriebe Bei manchen Verzahnungsarten rollen die einzelnen sich beruhrenden Zahne aufeinander ab was als Walzbewegung bezeichnet wird Voraussetzungen und Bedingungen BearbeitenVoraussetzung fur die Rollbewegung ist Haftreibung zwischen dem rollenden Korper und dem Untergrund Wenn keine Reibung vorhanden ist dann dreht sich der Korper auf der Stelle falls nur ein Drehmoment auf das Rad wirkt oder er wird ohne Drehung verschoben falls nur eine Kraft auf seinen Schwerpunkt wirkt Der erste Fall zeigt sich naherungsweise beim Anfahren mit Autos auf spiegelblanker Eisflache Die Haftkraft wird hervorgerufen durch eine Kraft die senkrecht zum Untergrund liegt Die Normalkraft Bei einer horizontalen Unterlage entspricht die Normalkraft der Gewichtskraft sofern keine weiteren Krafte wirken Bei Sportwagen wird die Anpresskraft durch Spoiler erhoht was auch die Haftung zwischen Rad und Strasse erhoht An der Beruhrstelle zwischen dem Korper und dem Untergrund tritt beim Rollen keine Relativbewegung auf was eine Haftreibung bedingt Wenn die Antriebskraft bei Fahrzeugen zu gross ist dann tritt statt der Haftreibung Gleitreibung auf und das Rad dreht durch 6 Der Widerstand des gesamten Rades gegenuber der Rollbewegung wird durch die Rollreibung hervorgerufen Diese entsteht bereits durch minimale Verformungen des Rades aufgrund der Anpresskraft auf den Untergrund und durch Verformung des Untergrundes Ohne diese Anpresskraft verschwindet zwar die Rollreibung aber auch die Haftreibung sodass der Korper nicht mehr rollen kann Wenn ein Rad das perfekt kreisrund ist auf eine Oberflache gedruckt wird die absolut eben ist dann entsteht am Beruhrpunkt theoretisch ein Druck der jeden realen Korper verformt Das Phanomen wird als Hertzsche Pressung 7 bezeichnet und ist insbesondere bei steifen Korpern wichtig die sich nur wenig verformen wie Eisenbahnrader oder Kugeln eines Kugellagers Die Reifen von Autos und Fahrradern sind ublicherweise mit Luft gefullt und verformen sich starker sodass es zu einer ausgepragten Beruhrflache kommt dem Reifenlatsch Seine Flache entspricht bei Autos etwa dem einer Postkarte Diese Rader rollen dann nicht auf einem Radius der ihrem unverformten Aussenradius entspricht Die Entfernung zwischen Radmittelpunkt und Strassenoberflache ist der statische Halbmesser Statischer Radius des Rades Ein Punkt auf der Oberflache der Autoreifens bewegt sich dann zunachst auf einem Radius der dem unverformten Radius entspricht bis er auf die Strasse trifft Dann verringert sich der Radius allmahlich bis auf den statischen Halbmesser Das Rollen eines Autorades kann jedoch auch modellhaft beschrieben werden mit der Bewegung eines starren Korpers Fur diesen soll gelten dass er wahrend einer Umdrehung einen Weg zurucklegt der seinem Radius entspricht Der Radius der unverformten Rades ist zu gross der statische Halbmesser zu klein Stattdessen wird der experimentell ermittelte dynamische Halbmesser benutzt 8 Kinematik Bearbeiten nbsp Die Kombination aus Verschiebung Translation und Rotation ergibt die Rollbewegung Die Kinematik ist ein Teil der Mechanik der sich nur mit den Grossen Zeit Ort Geschwindigkeit und Beschleunigung befasst Krafte Massen und davon abgeleitete Grossen wie Energie und Leistung bleiben unberucksichtigt Das Rollen stellt eine Kombination dar aus der Drehbewegung Rotation und der geraden Bewegung Translation Beim Rollen werden beide auf eine bestimmte Art kombiniert Der rollende Korper legt wahrend einer Umdrehung einen Weg zuruck der seinem Umfang entspricht Ausserdem hat der rollende Korper an den Punkten an denen er den Untergrund beruhrt keine Relativgeschwindigkeit zu ihm Ein Punkt auf einem Rad setzt zu einem bestimmten Zeitpunkt auf der Strasse auf und hebt danach wieder ab ohne zwischendurch uber die Strasse zu rutschen oder zu schleifen Ein Kreisel dessen Achse senkrecht auf dem Boden steht rollt also auch dann nicht wenn er wahrend einer Umdrehung um den Umfang verschoben wird denn der Beruhrpunkt hat eine Relativgeschwindigkeit gegenuber dem Boden Die Drehachse darf nicht senkrecht auf der Unterlage stehen Ausserdem muss es uberhaupt eine Beruhrung geben zwischen dem rollenden Korper und dem Untergrund Wenn beispielsweise ein Fahrrad kopfuber auf Lenker und Sattel steht wie beim Radwechsel ublich dann rollt das Hinter oder Vorder Rad auch dann nicht wenn es wahrend einer Umdrehung einen passenden Weg zurucklegt beispielsweise durch gleichzeitiges Verschieben des ganzen Fahrrades Es rollt nicht auf dem Untergrund Geeignete Bezugs und Koordinatensysteme Bearbeiten Die Rollbewegung kann in einem Bezugssystem beschrieben werden bei dem die Umgebung stillsteht und sich nur der rollende Korper bewegt Moglich ist es ebenfalls den rollenden Korper als unbewegt anzusehen Dann bewegt sich aber die gesamte Umgebung Sinnvoll ist es die Rollbewegung in Gedanken in die zwei Komponenten Drehung und Verschiebung aufzuspalten Die Verschiebung des Mittelpunktes des Korpers wird in einem Bezugssystem beschrieben das gegenuber der Umgebung ruht Zur Beschreibung ist das allgemein gebrauchliche Koordinatensystem mit x y Koordinaten geeignet Kartesisches Koordinatensystem im Raum x y z Koordinaten Die Drehung eines beliebigen Punktes um den Mittelpunkt wird in einem Bezugssystem beschrieben dessen Ursprung zu jedem Zeitpunkt im Mittelpunkt des Korpers liegt Es bewegt sich also mit dem Korper mit Zur Beschreibung werden in der Ebene Polarkoordinaten verwendet Im Raum Kugel oder Zylinderkoordinaten Rollen in einer Ebene Bearbeiten Die einfachste Form der Rollbewegung ergibt sich wenn ein Rad mit konstantem Radius immer aufrecht auf einem ebenen Untergrund steht und sich nur in gerader Linie fortbewegt beispielsweise beim Geradeausfahren mit einem Fahrrad Das Rad bewegt sich dann in einer Ebene Mathematisch kann es als Bewegung in der xy Ebene beschrieben werden Position Bearbeiten Die Position eines Rades dass auf der x Achse rollt kann auf zwei prinzipiell verschiedene Weisen angegeben werden Durch die Angabe der x displaystyle x nbsp Koordinate des Mittelpunkts oder des Beruhrpunkts Durch die Angabe eines Winkels f displaystyle varphi nbsp kleines griechisches Phi der die Umdrehungen angibt In diesem Fall kann der Winkel auch grosser als 360 sein Bei zwei vollen Umdrehungen ist er beispielsweise 2 360 720 Er kann auch negativ werden Eine der beiden Angaben ist dabei schon ausreichend denn die andere kann bei bekanntem Radius r displaystyle r nbsp des Rades berechnet werden Es gilt die Rollbedingung x r f displaystyle x r cdot varphi nbsp Wenn sich der Mittelpunkt um den Weg D x displaystyle Delta x nbsp weiterbewegt dann dreht sich auch das Rad um den Winkel D f displaystyle Delta varphi nbsp weiter Es gilt D x r D f displaystyle Delta x r cdot Delta varphi nbsp Ein Korper der innerhalb einer Ebene rollt hat somit genau einen Freiheitsgrad Rotation und Translation sind nicht unabhangig voneinander Dennoch ist es haufig zweckmassig beide Angaben gleichzeitig zu nutzen Geschwindigkeit und Beschleunigung des Mittelpunktes Bearbeiten Die Anderung des Ortes des Mittelpunktes in einem bestimmten Zeitintervall entspricht der Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp Die Anderung des Winkels im selben Zeitintervall entspricht der Winkelgeschwindigkeit w displaystyle omega nbsp kleines griechisches Omega Es gilt v r w displaystyle v r cdot omega nbsp Statt der Winkelgeschwindigkeit kann auch die Drehzahl n displaystyle n nbsp verwendet werden die die Anzahl der Umdrehungen in einem Zeitraum angibt Es gilt w 2 p n displaystyle omega 2 cdot pi cdot n nbsp Die Anderung der Geschwindigkeit des Mittelpunktes in einem bestimmten Zeitintervall entspricht der Beschleunigung a displaystyle a nbsp und die Anderung der Winkelgeschwindigkeit im selben Zeitintervall entspricht der Winkelbeschleunigung a displaystyle alpha nbsp Es gilt a r a displaystyle a r cdot alpha nbsp Geschwindigkeit beliebiger Punkte Bearbeiten nbsp Geschwindigkeiten im ruhenden Bezugssystem nbsp Geschwindigkeitsverteilung auf der MittelsenkrechtenBei einem rollenden Korper hat jeder Punkt des Korpers eine andere Geschwindigkeit und Beschleunigung bezuglich des Untergrundes Dies betrifft sowohl den Betrag als auch die Richtung beider Grossen Bei einem Fahrrad bewegt sich beispielsweise der vorderste Punkt des Rades schrag nach unten und der hinterste Punkt bewegt sich schrag nach oben siehe Bild Der Betrag ihrer Geschwindigkeiten entspricht aber dem 2 fachen des Mittelpunktes denn die Diagonale in einem Quadrat hat die 2 fache Lange der Seiten Der unterste Punkt des Rades wo es die Strasse beruhrt hat eine Geschwindigkeit von null bezuglich der Strasse und der oberste Punkt bewegt sich nach vorne mit der doppelten Mittelpunktsgeschwindigkeit Der Betrag der Geschwindigkeiten hangt vom Bezugssystem ab Wenn der Ursprung des Koordinatensystems sich im Mittelpunkt des Rades befindet und sich mit ihm mitbewegt aber nicht mitrotiert dann erscheint die Rollbewegung wie eine Reine Drehung um den Ursprung und jeder Punkt auf dem Umfang des Rades hat dieselbe Geschwindigkeit v r w r 2 p n displaystyle v r cdot omega r cdot 2 cdot pi cdot n nbsp Rollen auf einer Ebene Bearbeiten Erfahrungsgemass kann man mit einem Fahrrad nicht nur in gerader Linie vor und zuruckfahren sondern durch geeignete Lenkmanover jeden beliebigen Ort einer Ebene erreichen Die Lage des Beruhrpunktes wird ublicherweise mit der x und y Koordinate in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben Ausserdem mussen noch drei Winkel angegeben werden 9 Ein Winkel der angibt wie weit sich der Korper um seine Achse gedreht hat Bei einem Fahrradreifen kann beispielsweise die Position des Ventils angegeben werden Ein Winkel der angibt in welche Richtung die Achse des Korpers zeigt Bei einem Fahrrad beispielsweise die Stellung des Lenkers Ein Winkel der die Lage der Achse zum Untergrund angibt Beim Radfahren in gerader Richtung verlauft diese parallel zum Boden Bei Kurvenfahrten lehnt sich der Fahrer aber in die Kurve und der Winkel andert sich Siehe auch BearbeitenGyroskopischer Effekt erklart warum rollende Munzen nicht umfallen Epizykloide geometrische Figuren die durch das Abrollen von Kreisen auf grosseren Kreisen entstehenEinzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Mechanik 1 Klassische Mechanik Springer 10 Auflage 2013 S 307 332 Honerkamp Romer Klassische Theoretische Physik Springer 4 Auflage 2012 S 62 Muller slany Aufgaben zur Technischen Mechanik Springer 2015 S 250 Muller slany Aufgaben zur Technischen Mechanik Springer 2015 S 203 Gross Hauger Wall Technische Mechanik 3 Kinetik Springer 13 Auflage S 282 f Dankert Dankert Technische Mechanik Springer 7 Auflage 2013 S 465 573 f 570 Dankert Dankert Technische Mechanik Springer 7 Auflage 2013 S 294 Breuer Rohrbach Kerl Fahrzeugdynamik Springer 2015 S 7 f Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Mechanik 2 Analytische Mechanik Springer 9 Auflage 2014 S 12 47 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rollen amp oldid 225642416