Als Regelkreis wird der dynamische Wirkungsablauf zwischen Regler und Regelstrecke zur Beeinflussung der Regelgröße in einem geschlossenen System bezeichnet, bei dem diese Größe fortlaufend gemessen und mit der Führungsgröße verglichen wird.
Wesentlich hierbei ist die Gegenkopplung (= negative Rückkopplung) des aktuellen Wertes der Regelgröße an den Regler , der einer Abweichung von der Führungsgröße kontinuierlich entgegenwirkt. Eine konstante Führungsgröße bezeichnet man als Sollwert.
Ein aufgetrennter Gegenkopplungskreis innerhalb eines Regelkreises führt zur statischen Instabilität, wenn mindestens ein integral wirkendes System in der Gesamtstrecke wirkt. Ohne I-System stellt sich die Ausgangsgröße auf die Gesamtverstärkung ein.
Es ist Aufgabe des Reglers, das Zeitverhalten der Regelgröße bezüglich ihres dynamischen Verhaltens gemäß vorgegebener Anforderungen festzulegen. Zur Erfüllung widersprechender Anforderungen wie gutes Führungs- und Störverhalten sind gegebenenfalls aufwändigere Regelkreisstrukturen erforderlich.
Für die Auslegung eines Regelkreises mit einem Regler ist das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich. Bei begrenzten, nichtlinearen und totzeitbehafteten Systemen empfiehlt sich die Anwendung der numerischen Berechnung. Die klassischen grafischen Regler-Entwurfsmethoden (Bode-Diagramm, Ortskurve des Frequenzgangs, Wurzelortsverfahren) haben lediglich eine didaktisch informative Bedeutung.
Ein stabiler Regelkreis kann bei Parameteränderungen instabil werden, selbst wenn die einzelnen Bestandteile des Regelkreises für sich genommen stabil sind. Andererseits kann sich ein Regelkreis mit einem optimierten Regler auch stabil verhalten, wenn ein einzelnes Regelkreiselement instabil ist.
Regelkreise findet man neben der Technik in vielen Bereichen: Biologie, Ökologie, Volkswirtschaften, Qualitätsmanagement, Unternehmensstrukturen, Linguistik und andere.
Siehe auch Hauptartikel Regelungstechnik, Artikel Regler, Artikel Regelstrecke
Regelkreise außerhalb der Technik Bearbeiten
Biologische Regelkreise Bearbeiten
Den Begriff des Regelkreises gebraucht man in der Biologie, um Vorgänge in lebenden Organismen zur Aufrechterhaltung einer Homöostase darzustellen. Regelkreise sind demnach nicht immer nur rein technische Modelle, sondern ein allgemeines Organisationsprinzip, das auch unter Begriffen wie Selbstregulation und Systemtheorie zu verstehen ist. Es gibt sowohl relativ einfache als auch komplexere auf physiologischer Ebene innerhalb der Organsysteme von höheren Lebewesen, die durch negative Rückkopplung zu ihrer Homöostase beitragen, bis hin zu den hochkomplexen Regelkreisen innerhalb von Lebensgemeinschaften auf der Ebene der Ökologie. Beispiele:
- Endprodukthemmung bei der Enzymaktivität in Zellen und Geweben.
- Regulierung des Wasserhaushaltes bei Pflanzen
- Regulation der Atmung (ein auf Chemorezeptoren beruhender humoraler Regelkreis)
- Regulierung des Sauerstoffgehaltes des Blutes
- Thermoregulation: Gleichwarme Tiere benötigen zum Überleben eine bestimmte Körpertemperatur, die in einem Toleranzband variiert, diesen aber nicht verlassen sollte. Das Nervensystem von jedem gleichwarmen Tier beinhaltet daher einen Temperatur-Regelkreis mit entsprechenden Rezeptoren als Sensoren und Blutgefäßen, die sich weiten und verengen können, sowie Muskeln als Stelleinrichtungen, bei Menschen auch veränderliche Transpiration.
- Regulierung des Wasserhaushaltes und des Säure-Basen-Haushalts durch die Niere.
- Puls-Regulierung: Zur ausreichenden Versorgung der Zellen mit Sauerstoff und Energie ist eine ausreichende Blutzirkulation erforderlich, die von der körperlichen Belastung abhängt. Dafür sorgt u. a. die Regulation der Herzfrequenz und des Herzminutenvolumens durch das vegetative Nervensystem.
- Blutdruck-Regulation: Bei zu niedrigem Blutdruck ist keine ausreichende Blutzirkulation und Versorgung der Zellen mit Sauerstoff und Energie möglich. Ein zu hoher Blutdruck schädigt die Organe. Deshalb gibt es bei Tieren und Menschen eine Blutdruckregulation.
- Regulierung der Menge des einfallenden Lichtes ins Auge durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung der Pupille sowie die Adaption anderer Sinnesorgane (Weber-Fechner-Gesetz).
- Regulierung des Blutspiegels zahlreicher Hormone (z. B. im thyreotropen Regelkreis).
- Regulation der Nahrungsaufnahme durch Hunger und Sättigung.
- Regulation des Blutzuckerspiegels: Der Blutzucker stellt die Energieversorgung des Organismus sicher und wird der körperlichen Belastung angepasst.
- Regulierung der Populationsdichte durch Räuber-Beute-Beziehungen.
- Auch im Artenschutz gibt es einen Regelkreis, Sollwert ist hier der günstige Erhaltungszustand von Populationen.
Ökonomische Regelkreise Bearbeiten
Aus dem Bereich der Ökonomie sind zu nennen:
- Preisbildung in Märkten.
- Marktregulierung des Staates.
- Spinnwebtheorem, Schweinezyklus.
Führungsorientierte Regelkreise Bearbeiten
- Regelkreis der Unternehmensführung
- Regelkreis der Personalführung
Qualitätskreis Bearbeiten
Aus dem Bereich des Qualitätsmanagements gibt es den Qualitätskreis, darauf basieren Qualitätsmanagementsysteme gemäß dem Regelwerk DIN EN ISO 9001:2015.
Linguistische Regelkreise Bearbeiten
Im Artikel Linguistische Synergetik wird dargestellt, dass die Quantitative Linguistik Regelkreise auf verschiedenen Sprachebenen (Morphologie (Linguistik), Schrift, Syntax und anderen) entwickelt hat, die teils auch über die Sprachebenen hinaus wirken beziehungsweise diese miteinander verbinden.
Regelkreise in der Technik Bearbeiten
Einführung Bearbeiten
Ein realer Regelkreis besteht aus mehreren Einzelkomponenten der Regelstrecke und des Reglers, die jeweils ein bestimmtes Zeitverhalten haben. Während die Regelstrecke meist als ein technisches System vorliegt, ist zur mathematischen Behandlung des geschlossenen Regelkreises eine Systemanalyse der Regelstrecke erforderlich, aus der sich ein mathematisches Modell bestimmen lässt. Das Modell sollte weitgehend dem Zeitverhalten der realen Regelstrecke entsprechen. Die Beobachtung eines Signalverlaufs an einem Übertragungssystem für ein gegebenes Eingangssignal beginnt bei und endet für den Verlauf des Ausgangssignals mit .
In Verbindung mit dem Regelstreckenmodell kann ein Regler parametriert werden, der für den geschlossenen Regelkreis nach der Schließbedingung die Stabilität sichert. Allgemein können die Parameter des Reglers bei komplizierteren Regelstrecken nicht optimal von Hand eingestellt werden. Industrielle Regelprozesse mit Fehlanpassungen des Reglers können infolge aufschaukelnder Amplituden der Regelgröße Zerstörungen der Anlagen herbeiführen.
Durch moderne Elektronik gelingt die Realisierung beliebig komplexer Reglerstrukturen mit vertretbarem wirtschaftlichem Aufwand. Vielfach werden anstelle analoger Regler digitale Regler verwendet und eventuell mit digitalen Mess- und Stellgliedern kombiniert. Die Digitalsignale sind Wert- und zeitdiskrete Signale. Diese Regelkreise verhalten sich wie analoge Regelkreise, wenn die Auflösung und Abtastrate hoch genug ist.
Für die Auslegung eines Reglers in der Technik ist das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich. Bei Mehrgrößensystemen (MIMO) eignet sich die Reglerauslegung mit der Zustandsraumdarstellung, bei nichtlinearen und totzeitbehafteten Eingrößensystemen (SISO) empfiehlt sich die numerische Berechnung. Die klassischen grafischen Regler-Entwurfsmethoden (Bode-Diagramm, Ortskurve des Frequenzgangs, Wurzelortsverfahren) haben lediglich didaktisch informative Bedeutung.
Die häufigsten mathematischen Systembeschreibungen sind die Differentialgleichung , die Übertragungsfunktion , der Frequenzgang und die zeitdiskrete Differenzengleichung.
Ziel der mathematischen Beschreibungen von Regelkreisgliedern ist die Berechnung des dynamischen Eingangs-Ausgangsverhalten von Einzelkomponenten, geschlossenen Regelkreisen und deren Stabilität.
Wegen geforderter Gütekriterien (Regelgüte) des Einschwingvorgangs der Regelgröße ist die heuristische Methode „Versuch und Irrtum“ in der offline-Simulation des Regelkreises meist üblich.
Simulation des Eingangs-Ausgangsverhaltens eines Regelkreises Bearbeiten
Leider verhalten sich einzelne Komponenten der meisten technischen Regelstrecken nichtlinear. Die Übertragungsfunktion und deren algebraische Berechnung darf nur für lineare Übertragungssysteme angewendet werden.
Hinweis: Die Systembeschreibung mit einer gewöhnlichen Differenzialgleichung (GDGL) kann für lineare und nichtlineare DGL mit konstanten Koeffizienten mittels numerischer Verfahren leicht berechnet werden. Dagegen sind Systembeschreibungen dynamischer Systeme mit statischen Nichtlinearitäten wie Begrenzung, Hysterese, Totzone (Schaltregler) Unikate, die nur numerisch mit logischen Definitionen annäherungsweise berechnet werden können.
Der geöffnete Regelkreis wird geschlossen durch die Beziehung als Eingangsgröße des Reglers, der mit seinem Zeitverhalten das gewünschte Verhalten des Regelkreises bestimmt.
Differenzengleichungen oder eine Kette von Differenzengleichungen, die mehrere hintereinander geschaltete Elementarsysteme beschreiben, lassen die Ausgangsgröße algebraisch für einen kleinen Zeitschritt in Abhängigkeit vom Eingangssignal errechnen. Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv über viele Berechnungsfolgen in je kleinen konstanten Zeitintervallen. Die Form der Gesamtlösung ist damit tabellarisch.
Die typische Form einer rekursiven Differenzengleichung üblicher Regelkreisglieder (Linearfaktoren) lautet:
Dabei ist die Eingangsgröße, ein kleines Zeitintervall und die Systemzeitkonstante. Die Folge beschreibt eine endliche Zahl der Folgeglieder.
Differenzengleichungen der zeitabhängigen Systemkomponenten können aus gewöhnlichen Differentialgleichungen abgeleitet werden, in dem die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Nichtlineare Übertragungssysteme können z. B. durch logische Anweisungen wie IF-THEN-ELSE-Anweisungen oder Tabellen beschrieben werden.
Siehe Artikel Gewöhnliche Differenzialgleichung
Siehe Artikel Differenzengleichung (Differenzenverfahren)
Digitale Regler Bearbeiten
Digitale Regelung bedeutet, dass das Eingangssignal eines dynamischen Systems oder eines Teilsystems zu bestimmten diskreten Zeitpunkten abgetastet, zeitsynchron berechnet und als digitales Ausgangssignal ausgegeben wird. Andere Begriffe bezeichnen diesen Vorgang als „zeitdiskrete Regelung“ oder auch als „Abtastregelung“.
Digitale Regler werden durch Mikrocomputer realisiert. Sie verarbeiten für das gewünschte Regelverhalten des Gesamtsystems geeignete Differenzengleichungen.
Da es sich bei den Regelstrecken um meist gegebene analoge Systeme handelt, benötigt die Schnittstelle der Strecke über einen DA-Wandler ein analoges Eingangssignal.
Vorteile: Einmaliger Hardware-Entwicklungsaufwand, einfache parametrische System-Änderungen per Software, Realisierung komplexere Reglerstrukturen, Multitasking.
Nachteile: Der Einsatz eines digitalen Reglers lohnt wegen des erhöhten technischen Aufwandes nur bei größeren Fertigungsstückzahlen.
Siehe Artikel Digitaler Regler und Z-Transformation.
Grundlagen Regelkreismodell Bearbeiten
Dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern als Eingrößen- und Mehrgrößensysteme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und global-proportional, -integral und -differenzial verhalten. Systeme mit konzentrierten Parametern (Feder-Masse-System) haben im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Parametern (Wärmefluss im homogenen Medium) keine räumliche Ausdehnung.
Die Aufgabe eines mathematischen Modells eines realen dynamischen Prozesses oder eines noch zu projektierenden technischen Prozesses dient dem Erkennen und der Vorhersage des Systemverhaltens.
Das mathematische Modell eines Regelkreises beschreibt alle äußeren Einflussgrößen wie Störgrößen und Eingangssignale auf den geschlossenen Wirkungsablauf des Regelkreises. Das Verhalten der Ausgangsgrößen wie die Regelgrößen sowie auch interessante Zwischengrößen (Stellgrößen) als Funktion der Eingangssignale und der Parameter von Regler und Regelstrecke sind von besonderem Interesse.
Je nach Lastenheft der regelungstechnischen Aufgabenstellung ist für die Bestimmung eines geeigneten Reglers das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich.
Mathematische Modelle können bei einfachen linearen physikalischen Systemen durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung exakt eine Regelstrecke beschreiben (= Theoretische Modellbildung).
In den meisten Anwendungsfällen haben Übertragungssysteme (Regelstrecken) auch nichtlineare Komponenten und sind totzeitbehaftet. Für solche Systeme wird experimentell durch geeignete Testsignale die Systemantwort aufgezeichnet und ein mathematisches Modell gesucht, das den gemessenen Verlauf der Ausgangsgröße y(t) reproduziert (= Experimentelle Prozessanalyse). Ein derartig definiertes Modell ist durch Anwendung numerischer Verfahren einfach berechenbar. Sind nichtlineare Teilsysteme im Gesamtsystem enthalten, müssen diese getrennt erfasst und durch Wertetabellen definiert werden.
Global-proportionale Regelstrecken höherer Ordnung mit Totzeit lassen sich relativ genau durch PT2-Tt-Glieder beschreiben. Global-integrale Regelstrecken lassen sich ebenso durch PT2-Tt-I-Glieder beschreiben.
Zum Modellverständnis eines dynamischen Systems müssen die wichtigsten Begriffe der inneren Systemspeicher verstanden werden.
Details siehe Artikel Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)!
Der einschleifige Regelkreis Bearbeiten
Das Analysieren von Funktionen verlangt, die Regelkreisteile einzeln zu betrachten. So beschreibt der Begriff offener Regelkreis (Offene Schleife) das Verhalten von Regler und Regelstrecke ohne Rückkopplung. Der Vorgang des Schließens (also das Hinzuschalten der Rückführung) wird in einigen Fällen separat betrachtet.
Übertragungsfunktionen des Regelkreises Bearbeiten
Das Übertragungsverhalten von linearen Regelkreissystemen (Lineares zeitinvariantes System, LZI-System) wird allgemein durch Differentialgleichungen (siehe auch Lineare gewöhnliche Differentialgleichung) beschrieben. Eine große Vereinfachung der Berechnung der Systeme ergibt sich dann, wenn die Lösung der Differentialgleichung nicht im Zeitbereich, sondern im Bildbereich (s-Bereich) mittels Laplace-Transformation vorgenommen wird. Die Systemberechnung bezieht sich dann auf einfache algebraische Operationen. Voraussetzung ist, dass es sich bei dem System um ein LZI-System handelt und die Anfangsbedingungen Null sind.
Die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems ist das Verhältnis der Laplace-transformierten Ausgangsgröße Y(s) zur Laplace-transformierten Eingangsgröße U(s) mit s als Laplace-Variable.
Die Übertragungsfunktion eines dynamischen linearen zeitinvarianten Systems:
ist in der Regelungstechnik die am meisten dargestellte Beschreibung für das Eingangs-Ausgangsverhalten von Regelkreisgliedern.
Die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens.
Beispiel einer Übertragungsfunktion der Polynomdarstellung und der Zerlegung in die Pol-Nullstellen-Darstellung mit reellen Linearfaktoren:
Mittels der Nullstellenbestimmung können die Polynome der Übertragungsfunktion in eine Produktform (Linearfaktoren) im Zähler und Nenner gebracht werden. Die Produktdarstellung im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion ist mathematisch identisch mit der Polynomdarstellung.
Die Pole (Nullstellen des Nenners) oder Nullstellen (Nullstellen des Zählers) sind entweder Null, reell oder konjugiert komplex.
Durch die Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome in Pole und Nullstellen ergibt sich die faktorielle Darstellung der Übertragungsfunktion, d. h. in die 3 möglichen Grundsysteme im komplexen Frequenzbereich (s-Bereich, s-Ebene):
jeweils in Kombinationen im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion stehend.
(Siehe Regelstrecke#Charakterisierung der Regelstrecken)
Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) der Übertragungsfunktion sind gleichzeitig die Lösungen des Systems, was noch ausführlich gezeigt wird.
Liegt die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke oder ein angenähertes Modell der Regelstrecke vor, kann relativ einfach ein passender Regler bestimmt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass durch eine bestimmte Kreisverstärkung sich eine hohe Stellgröße u(t) ergeben kann, die die Regelstrecke nicht verarbeiten kann. Es tritt eine Begrenzung der Stellgröße ein und die Übertragungsfunktion des offenen oder geschlossenen Regelkreises ist nicht mehr gültig.
Die Signalbegrenzung ist ein Effekt von mehreren in realistischen Regelstrecken vorkommenden nichtlinearen Systemen. Dies gilt auch für Totzeitsysteme und Systeme mit nichtlinearer Kennlinie. Sie können nicht mit der Übertragungsfunktion behandelt werden. Für Totzeit-Systeme gibt es wohl eine transzendente Übertragungsfunktion:
die einer Übertragungsfunktion G(s) multiplikativ angehängt werden kann, sich aber nicht für die algebraische Berechnung mit der Übertragungsfunktion eignet.
Ebenso sind verschiedene klassische Methoden der Stabilitätsbetrachtung für die genannten Effekte ungültig.
Anforderungen an einen Regelkreis Bearbeiten
- Der Regelkreis muss stabil sein.
- Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten und Störverhalten aufweisen.
- Der Regelkreis soll sich robust verhalten.
Diese dargestellten Anforderungen sind nur durch einen Kompromiss der Reglerparameter zu erfüllen. Bei hohen Anforderungen z. B. an das Führungsverhalten und/oder Störverhalten sind aufwändigere Reglerstrukturen erforderlich.
Führungsverhalten eines Regelkreises Bearbeiten
Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten haben, d. h. nach Vorgabe einer Führungsgröße W(s) bzw. Führungsgrößenänderung (Sollwertänderung) wird ein bestimmtes dynamisches Verhalten erwünscht, mit dem die Regelgröße sich dem Sollwert der Führungsgröße annähert. Neben dem dynamischen Verhalten interessiert die stationäre Genauigkeit. Typisches Eingangs-Testsignal ist der Einheitssprung. (Siehe Tabelle Testsignale)
Unter dem Begriff Sollwert versteht man einen bestimmten Wert der Führungsgröße. Ist die Führungsgröße eine zeitabhängige Größe, muss der Regelkreis bzw. die Regelgröße ein gutes Folgeverhalten zeigen. Typisches Eingangstestsignal ist die Anstiegsfunktion. (Siehe Tabelle Testsignale.)
Standardmäßig setzt sich der Regelkreis G(s) (siehe Signalflussalgebra) aus den Übertragungsfunktionen des Reglers GR(s) und der Strecke GS(s) zusammen. Hat die messtechnische Erfassung der Regelgröße ein Zeitverhalten, das berücksichtigt werden muss, dann erhält der Zweig der Rückführung der Regelgröße die messtechnische Einrichtung mit der Übertragungsfunktion GM(s).
- Die Führungs-Übertragungsfunktion des Regelkreises lautet gemäß der Schließbedingung mit negativer Kopplung (Gegenkopplung):
Störverhalten eines Regelkreises Bearbeiten
Der Regelkreis soll ein gutes Störverhalten zeigen. Der Einfluss der Störgröße soll gering sein. Der Angriffsort der Störgrößen ist häufig die Regelgröße. Der Angriffsort kann aber auch innerhalb der Regelstrecke oder am Eingang der Regelstrecke liegen. Für die Beschreibung des Störverhaltens f(t) müssen der Angriffspunkt und der Störsignalverlauf der Störgröße bekannt sein. Der ungünstigste Fall des Störsignals d(t) liegt vor, wenn es sprungartig additiv auf den eingeschwungenen Zustand der Regelgröße y(t) wirkt. Die Polarität der Störung kann positiv oder negativ sein. Je nach der Dynamik des Regelkreises wird die Störabweichung mehr oder weniger schnell ausgeregelt. Besitzt der offene Regelkreis ein I-Glied, wird eine konstante Störgröße im stationären Zustand vollständig ausgeregelt.
- Die Störgröße D(s) wirkt auf den Ausgang der Regelstrecke Y(s)
- Die Störgröße D(s) wirkt auf den Eingang U(s) der Regelstrecke
Begriffe zur Beschreibung der Dynamik Bearbeiten
- Regelkreis-Gesamtverstärkung (auch Kreisverstärkung, P-Verstärkung)
- Einschwingen (auch Übergangsverhalten, Transientes Verhalten)
- Sollwertfolge
- Folgeverhalten
- Trajektorienfolge:
- Trajektorenfolge mit Anpassung an das dynamische System:
- Störsignal beliebiger Form mit Anpassung an das dynamische System
- Großsignalverhalten
- Gütekriterien (Regelgüte, Integralkriterien, Güte des Regelverhaltens)
- Modell der Regelstrecke und des Regelkreises
Stabilität des Regelkreises Bearbeiten
Die verschiedenen klassischen grafischen Verfahren der Stabilitätsbestimmung beziehen sich meist darauf, am offenen Regelkreis – bestehend aus der Regelstrecke und dem Regler – festzustellen, ob der geschlossene Regelkreis stabil ist. Schon das Vorhandensein einer Totzeit, die häufig in den Regelstrecken vorkommt, lässt einige dieser Verfahren versagen.
Ein Verfahren der Bestimmung der Stabilität im Frequenzbereich (s-Bereich) bezieht sich auf die Lage der Pole und Nullstellen des Regelkreises in der s-Ebene. Wenn der Übertragungsfaktor, die Pole und Nullstellen des Regelkreises bekannt sind, ist das Verhalten des Regelkreises vollständig beschrieben. Dieses Verfahren eignet sich aber auch nur für lineare zeitinvariante Systeme ohne Totzeit.
Liegt eine Begrenzung der Stellgröße vor, kann lediglich festgestellt werden, ob der Regelkreis stabil ist. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Stellgrößenbegrenzung mindestens einen ca. 2 bis 3-fachen Wert der maximalen Führungsgröße zulässt.
Eine weitere Methode die Auswahl und Parametrierung eines Reglers vorzunehmen, ist die Simulation eines Regelkreises – also eines Modells aus Regler und Regelstrecke – durch numerische Behandlung zeitdiskretisierter Übertragungssysteme.
In Verbindung mit logischen Operatoren (Logischer Operator) und Tabellen können auch gemischte LZI- und nichtlineare zeitunabhängige Systeme berechnet werden.
Es gibt verschiedene Definitionen und Begriffe der Stabilität:
Interne Stabilität Bearbeiten
Wenn die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises vorliegt:
Die Pole einer Übertragungsfunktion bestimmen die Stabilität und die Geschwindigkeit der Systembewegung. Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Amplituden des Systems.
Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole in der linken s-Halbebene haben. |
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Externe Stabilität (BIBO-Stabilität) Bearbeiten
Wenn die Hardware eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises oder eines genauen Modells mit dem Eingangs- und Ausgangssignal vorliegt:
Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn jedes beliebige beschränkte Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft. (Siehe BIBO-Stabilität) |
Stabilität in Abhängigkeit von den Kenngrößen der Regeleinrichtung Bearbeiten
Dazu gibt es eine Vielzahl von mathematischen und grafischen Verfahren.
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Stabilitätsbedingung mit der Ortskurve des Frequenzgangs Bearbeiten
Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile. Nach Nyquist lautet die Stabilitätsbedingung:
Wird beim Durchlaufen der Ortskurve des offenen Regelkreises Fo(jω) in Richtung steigender Werte von ω der kritische Punkt (−1; j0) auf der linken (negativen) Seite der Achse der Realteile nicht umschlungen bzw. berührt, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Aus praktischen Erwägungen sollte der kritische Punkt (−1; j0) auf (−0{,}5; j0) verlegt werden, um eine gewisse Stabilitätsreserve zu erzielen.
Stabilitätsbedingung im Bode-Diagramm mit dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist Bearbeiten
Im Gegensatz zur Ortskurve des Frequenzgangs werden beim Bode-Diagramm Betrag und Phasenwinkel in zwei getrennten Diagrammen aufgetragen, als Amplitudengang und Phasengang. Das Bode-Diagramm hat einen logarithmischen Maßstab. Beim Amplitudengang ist der Betrag F(jω) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse aufgetragen. Beim Phasengang ist der Phasenwinkel (linear) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse (logarithmisch) aufgetragen.
Die Vorteile dieses Verfahrens sind das unmittelbare Einzeichnen der Asymptoten als Geraden des Amplitudengangs, die bequeme Multiplikation durch logarithmische Addition, das direkte Ablesen der Zeitkonstanten und das schnelle Erkennen der Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Bei regulären Systemen ist der Phasengang aus dem Amplitudengang berechenbar und braucht nicht unbedingt gezeichnet zu werden.
Das Stabilitätskriterium ist aus dem Stabilitätskriterium von Nyquist abgeleitet:
Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung φ vom Ausgangs- zum Eingangssignal des offenen Kreises bei der Kreisverstärkung K = 1 und φ > −180° beträgt. Die Dämpfung des geschlossenen Kreises wird umso günstiger, je größer der Phasenabstand zu der −180°-Linie beträgt. Diesen Abstand, der oberhalb der −180°-Linie liegt, nennt man Phasenrand oder auch Phasenreserve und sollte bei etwa 50° ± 10° liegen.
Das Nyquist-Stabilitätskriterium ist eines der wenigen Stabilitätskriterien, das auch für Systeme mit einer Totzeit benutzt werden kann.
Stabilität mit der Wurzelortskurve Bearbeiten
Bei der Betrachtung des offenen zum geschlossenen Regelkreises werden die Nullstellen des Nenners der rational gebrochenen Funktion anstatt mit Polen mit Wurzeln bezeichnet.
Die Wurzelortskurve (siehe auch Wurzelortskurvenverfahren) ist eine grafische Darstellung der Lage der Pol- und Nullstellen der komplexen Führungs-Übertragungsfunktion Fo(s) eines offenen Regelkreises. In Abhängigkeit von einem Parameter, meist von der Kreisverstärkung des offenen Regelkreises, lässt sich durch die Wurzelortskurve auf die Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises schließen. Das dynamische Verhalten des geschlossenen Regelkreises ist von der Polverteilung abhängig, die wieder von der Wahl der Parameter des Reglers bestimmt wird.
Die graphische Darstellung erfolgt in der s-Ebene (), der Realteil wird auf der Abszisse, der imaginäre Teil auf der Ordinate aufgetragen. Für die relativ aufwändige Konstruktion der Wurzelortskurve gibt es mehrere Regeln. Wenn alle Pole und Nullstellen in der linken s-Halbebene liegen, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Befinden sich ein Pol oder mehrere Pole in der rechten Halbebene, ist das System instabil. Das Wurzelortsverfahren lässt sich nicht auf Systeme mit Totzeiten anwenden.
Hurwitz-Kriterium Bearbeiten
Diese Stabilitätsprüfung wurde von Routh und Hurwitz entwickelt, ist aber durch Hurwitz (Hurwitz-Kriterium) bekannt geworden. Das Hurwitz-Kriterium liefert Aussagen über die Stabilität des geschlossenen Kreises auch ohne explizite Berechnung der Polstellen; die Kenntnis der homogenen Differentialgleichung oder der charakteristischen Differentialgleichung genügt. Die charakteristische Differentialgleichung ist identisch mit dem gleich Null gesetzten Nennerpolynom der Führungsübertragungsfunktion oder der Störübertragungsfunktion :
Bedingungen für das Stabilitätskriterium:
- Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises muss bekannt sein.
- Für die Stabilität des Systems ist erforderlich, dass alle Koeffizienten vorhanden sind und gleiches Vorzeichen haben.
- Die „Hurwitz“-Determinanten Di müssen alle > 0 sein.
- Ein Regelkreis mit Totzeitglied kann nicht behandelt werden.
Bewertung bekannter Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf Bearbeiten
Für eine realistische Regelstrecke bestehend aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit Systemen, die sich nicht mit linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen (Gewöhnliche Differentialgleichung) beschreiben lassen, ergeben sich für die Parametrierung der Regler folgende Einschränkungen für die angegebenen Stabilitätsverfahren.
Bezeichnungen der Übertragungssysteme:
- LZI = lineare zeitinvariante Systeme (Lineares zeitinvariantes System)
- LZV = lineare zeitvariante Systeme
- Tt = Totzeitglied (Totzeit (Regelungstechnik))
- Begrenzung eines Signals
- Nichtlineare Kennlinie (Nichtlineares System)
- MIMO = Mehrgrößensysteme, (MIMO: Multiple Input Multiple Output)
Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf | Zeit- invarianz | Zeit- varianz | Tot- zeit | Begren- zung | Nicht- linear | MIMO | Bemerkungen |
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Stabilität nach Einstellanweisungen (Ziegler-Nichols und andere) | ja | — | — | — | — | — | Für Grobeinstellung bedingt geeignet |
Bode-Diagramm + Nyquist | ja | — | ja | — | — | — | Phasenrandempfehlung: ca. 50° |
Ortskurve des Frequenzgangs | ja | — | ja | — | — | — | Kritischer Punkt: (-1; j0) Abstand |
Hurwitz-Kriterium | ja | — | — | — | — | — | Alle Koeffizienten a müssen vorhanden sein und ein gleiches Vorzeichen haben. Die „Hurwitz“-Determinanten Di müssen alle > 0 sein. |
Verallgemeinertes Nyquist-Kriterium | ja | — | ja | — | — | — | Aus Übertragungsfunktion wird bestimmt: = Anzahl der Pole mit positivem Realteil, = Anzahl der Pole auf der imaginären Achse. Winkeländerung |
Wurzelortsverfahren | ja | — | — | — | — | — | Wurzelortskurve in linker s-Halbebene |
Inverse Laplace-Transformation | ja | — | — | — | — | — | Geschlossener Verlauf y(t), aufwendige trigonometrische Berechnung bei Schwingverhalten. |
Zustandsraum Zustandsstabilität | ja | ja | 1) | ja | ja | ja | Gute mathematische Kenntnisse erforderlich. |
Numerische zeitdiskrete Verfahren: käufliche Programme oder Differenzengleichungen | ja | ja | ja | ja | ja | ja | Geschlossener Verlauf der Ausgangsfolge . k = Berechnungsfolge; Δt = diskrete Zeit, Systemparameter sind beliebig zu ändern. |
Bedeutung der Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems Bearbeiten
Das Übertragungsverhalten eines Übertragungssystems im Frequenzbereich wie auch im Zeitbereich wird von den Koeffizienten und dem Grad der Übertragungsfunktion bestimmt. Die Produktdarstellung einer Übertragungsfunktion in nicht mehr aufspaltbare Grundsysteme G(s) erfordert die Bestimmung der Pole und Nullstellen des Zählerpolynoms (Polynom) und des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion.
Die Pole des Nennerpolynoms sind gleichzeitig die Lösung des Systems. Die Pole bestimmen unter anderem die Stabilität des Systems. Wegen der Wichtigkeit der Begriffe Pole und Nullstellen ist deren Verhalten in den folgenden Kapiteln dargestellt.
Die allgemeine Darstellung einer Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion eines Übertragungssystems mit dem Ausgangssignal und dem Eingangssignal lautet:
Mittels der Übertragungsfunktion wird das Verhalten des Systems aus den Eingangs- und Ausgangssignalen beschrieben.
Das Übertragungsverhalten eines Übertragungssystems wird bestimmt von:
- der Struktur der Übertragungsfunktion, d. h. Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms,
- den Koeffizienten der Polynome
Die Polynomdarstellung – im Gegensatz zur Produktdarstellung – der Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems ergibt sich:
- durch die Laplace-Transformation einer gewöhnlichen Differentialgleichung, die das Übertragungssystem beschreibt, oder
- wenn die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises Go(s) in Produktdarstellung der Schließbedingung unterzogen wird mit
Den Nenner der Übertragungsfunktion
bezeichnet man als „charakteristische Gleichung“ oder auch als „charakteristisches Polynom“. Das charakteristische Polynom ist identisch mit dem Nennerpolynom des Regelkreises.
Die Kenntnis der Nullstellen eines Polynoms ist sehr wichtig für die Überführung des Polynoms in die Produktdarstellung und für die Beurteilung der Stabilität eines Übertragungssystems wie folgt:
- Definition Nullstellen und Pole
- Die Bestimmung der Nullstellen und Pole der Polynome einer Übertragungsfunktion erlaubt die Produktdarstellung.
- Mit der Kenntnis der Pole der charakteristischen Gleichung ergibt sich die Lösung des Übertragungssystems im Zeitbereich. Die Übertragungsfunktion in Produktdarstellung führt bei einem gegebenen Eingangssignal über die Laplace-Transformation direkt zu einer Lösung im Zeitbereich.
- Die Pole einer Übertragungsfunktion – im Gegensatz zu den Nullstellen – treten im Zeitbereich nur im Exponenten der e-Funktionen auf.
- Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion beeinflussen nicht die Stabilität des Systems und nicht die Geschwindigkeit der Systembewegung. Sie haben aber einen erheblichen Einfluss auf die Amplitude der Systemantwort.
- Für den geschlossenen Regelkreis muss die Übertragungsfunktion aus Stabilitätsgründen immer einen Pol mehr aufweisen, als Nullstellen vorhanden sind.
- Für die Bestimmung der Pole und Nullstellen von Übertragungsfunktionen kann man sich fertiger Rechenprogramme für Übertragungsfunktionen bis 4. Ordnung bedienen. Derartige Programme findet man auch im Internet unter dem Suchbegriff „Nullstellen von Polynomen“.
Bedeutung der Pole und Nullstellen für die Stabilität des Regelkreises Bearbeiten
- Nur negative Pole eines Übertragungssystems bedeuten, dass das System stabil ist. 1 Pol im Ursprung () bedeutet Grenzstabilität. 2 Pole im Ursprung () bedeutet Instabilität.
- Liegt ein negativer Pol einer Übertragungsfunktion nahe am Ursprung (Imaginäre Achse) und weit von den Nullstellen entfernt, so ist sein Einfluss groß. Ein kleiner Wert des Betrages des Pols bedeutet eine große Zeitkonstante.
- Liegt ein negativer Pol einer Übertragungsfunktion in der Nähe oder direkt auf einer negativen Nullstelle, so heben sie sich in ihrer Wirkung weitgehend auf. (Pol-Nullstellenkompensation).
- Als Polpaare bezeichnet man die konjugiert komplexen Pole eines Schwingungssystems 2. Ordnung (PT2-Glied), die einen realen und imaginären Anteil enthalten. Sie entstehen natürlich in speichernden technischen Systemen durch Energieaustausch (z. B. Feder-Massesystem) einer Regelstrecke oder durch reale Pole innerhalb eines offenen Regelkreises, der mit einer bestimmten kritischen Kreisverstärkung K geschlossen wird. Weitere zusätzliche Pole, die in der linken s-Halbebene links von den Polen und entfernt liegen, haben wenig Einfluss.
- Polpaare mit negativem Realteil und Imaginärteil verursachen im Zeitbereich einen gedämpften oszillierenden Signalverlauf
- Polpaare mit verschwindendem kleinen Imaginärteil gegenüber dem negativen Realteil verursachen im Zeitbereich einen aperiodischen Signalverlauf
- Polpaare mit verschwindendem kleinem Realteil gegenüber dem Imaginärteil verursachen im Zeitbereich einen rein sinusförmig schwingenden Signalverlauf
- Pole oder Polpaare mit positivem Realteil verursachen im Zeitbereich Instabilität durch monoton zunehmenden Signalverlauf bzw. zunehmend schwingende Signalamplitude
- Instabile Pole in der rechten s-Halbebene im offenen Regelkreis dürfen nicht durch positive Nullstellen kompensiert werden, anderenfalls entsteht Instabilität.
- Pol-Nullstellenkompensation
Einfluss nichtlinearer Übertragungssysteme auf den Regelkreis Bearbeiten
Nichtlineare Übertragungssysteme wie Signalbegrenzungen und Systeme mit nichtlinearer Kennlinie können nicht durch lineare gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. Deshalb können sie auch nicht wie LZI-Systeme behandelt werden. Je nach Größe bzw. Einfluss dieser Systeme kann die Regelgröße y(t) erheblich von einem gewünschten Verhalten abweichen, wenn diese Einflüsse nicht berücksichtigt werden. Möchte man für einen einschleifigen Regelkreis mit nichtlinearen Systemen den geschlossenen Verlauf der Regelgröße y(t) als Funktion der Führungsgröße oder Störgröße über die ganze Einschwingzeit betrachten, dann eignet sich dafür die Anwendung von numerischen zeitdiskreten Verfahren mit Hilfe im Handel verfügbarer Rechenprogramme oder mit eigenen Programmen durch Benutzung von Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Befehlen. Dies gilt auch für die Berechnung von Kombinationen von LZI-Systemen mit logischen Operatoren für die Behandlung der nichtlinearen Systeme.
- Totzeitsysteme
- Signalbegrenzung der Stellgröße
- Wind-Up-Effekt
- Zeitunabhängige Systeme mit nichtlinearer Kennlinie
Reglerentwurf für lineare zeitinvariante Systeme Bearbeiten
Die wichtigste Aufgabe des Reglers aus der Sicht des Führungsverhaltens ist die Regelgröße optimal – d. h. schnell und möglichst schwingungsfrei – auf das Niveau des Sollwertes zu bringen.
Liegt die Beschreibung der Regelstrecke als lineares zeitinvariantes Übertragungssystem in Produktdarstellung vor, kann relativ einfach ein geeigneter Regler bestimmt werden. Zur Vereinfachung des offenen Regelkreises werden PT1-Glieder der Strecke gegen PD-Glieder des Reglers gekürzt (Pol-Nullstellenkompensation).
Mit Hilfe der Gleichung für das Schließen des Regelkreises ergibt sich die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises in Polynomdarstellung.
Dank der bekannten Ergebnisse der Systemanalyse von Übertragungssystemen lassen sich relativ einfach die Polynome der Übertragungsfunktionen von Regelstrecken oder Regelkreisen auf drei faktorielle Grundformen mittels der Nullstellenverfahren (Bestimmung der Nullstellen von Polynomen) darstellen (siehe Artikel Regelstrecke#Charakterisierung der Regelstrecken).
Eine dieser drei Grundformen ist das PT2-Schwingungsglied, das immer bei regulären Systemen ab zwei PT1-Gliedern mit zunehmender Kreisverstärkung des geschlossenen Regelkreises entsteht. Aus dem gewünschten Dämpfungsgrad des Schwingungsgliedes kann die Kreisverstärkung errechnet werden. Der Wert des Dämpfungsgrades entscheidet, ob die Sprungantwort der Regelgröße aperiodisch , gedämpft schwingend oder zunehmend schwingend verläuft.
Bei Regelstrecken mit nichtregulären Systemen (instabiles T1-Glied) oder instabile Regelstrecken mit zwei I-Gliedern wird der geschlossene Regelkreis mit einem geeigneten Regler mit steigender Kreisverstärkung stabil.
Prinzipielle Methode der Parametrierung für eine LZI-Regelstrecke Bearbeiten
- Die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke kann als Polynom im Nenner und Zähler vorliegen. Sie kann in die Produktdarstellung überführt werden durch Berechnung der Pole und Nullstellen.
- Dominante PT1-Glieder der Regelstrecke können durch PD-Glieder des Reglers – soweit vorhanden – kompensiert werden, d. h. gleiche Zahlenwerte mit gleichem Vorzeichen der Pole und Nullstellen haben damit keine Wirkung mehr. Für die Stabilität des Regelkreises ist jeweils ein Pol mehr erforderlich als Nullstellen innerhalb der Übertragungsfunktion vorhanden sind.
- Die Dynamik des Reglers muss auf das Verhalten der Regelgröße angepasst werden. Ist eine Regeldifferenz zugunsten schnellerer Dynamik erlaubt, kann auf ein I-Glied des Reglers verzichtet werden.
- Damit der Regelkreis geschlossen werden kann, muss die Kreisverstärkung bestimmt werden.
- Mit der Schließbedingung des Regelkreises kann ein geschätzter Wert für eingesetzt werden. Damit entsteht ein Nennerpolynom höheren Grades, entsprechend der Anzahl der Pole des offenen Regelkreises. Der Unterschied zum offenen Regelkreis besteht darin, dass das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises ab einer bestimmten Kreisverstärkung PT2-Schwingungsglieder der Normalform
Tabelle der Übertragungsfunktionen des offenen und geschlossenen Regelkreises Bearbeiten
Die nachstehend aufgeführte Tabelle mit der Spalte „Offener Regelkreis“ bezieht sich auf das Produkt der Übertragungsfunktionen Regelstrecke und Regler des offenen (aufgeschnittenen) Regelkreises, bei dem bereits eine Pole-Nullstellenkompensation vorgenommen worden ist und dominante PT1-Glieder der Strecke kompensiert wurden.
Die in der Spalte der Übertragungsfunktionen des offenen Regelkreises aufgeführten Beispiele gelten für viele Anwendungen. Sind die Parameter des offenen Kreises bekannt, kann durch Einsetzen von das Einschwingverhalten der Regelgröße für den geschlossenen Regelkreis bestimmt werden. Alle Faktoren der einzelnen Übertragungselemente sind in der Kreisverstärkung zusammengefasst.
Die ersten 3 Anwendungsbeispiele enthalten Übertragungsfunktionen des offenen und geschlossenen Regelkreises 2. und 3. Grades.
Regelkreise höheren Grades (oder Ersatzmodelle mit dominantem Verzögerungsglied und Totzeitglied), fordern je nach Abstand der dominanten Zeitkonstante zu den restlichen Zeitkonstanten der Regelstrecke immer weitere Reduzierungen der Kreisverstärkung, damit der Regelkreis für ein gewolltes Einschwingverhalten der Regelgröße eine geringe Überschwing-Amplitude zeigt. Eine geringe Kreisverstärkung bedeutet eine größere Regeldifferenz. Mit einem I-Glied im offenen Regelkreis wird die Regeldifferenz im statischen Zustand gleich Null, gleichzeitig bedeutet dies wegen der zusätzlichen Phasenverschiebung eine weitere Reduzierung der Kreisverstärkung. Deshalb ist die Kreisverstärkung häufig < 1, wenn bei gegebenen Regelstrecken höheren Grades – oder mit Totzeit – der Regler oder die Strecke einen I-Anteil hat.
Regelkreise mit instabilen Komponenten der Regelstrecke wie das instabile PT1-Glied oder eine Regelstrecke mit zwei I-Gliedern werden in Verbindung mit einem PD1-Glied mit steigender Kreisverstärkung stabil.
Regelstrecken mit Totzeit siehe Abschnitt #Reglerentwurf für eine Modellregelstrecke mit Totzeit und Totzeitregelstrecken
Anmerkung: Die Berechnung des geschlossenen Regelkreises erfolgt numerisch mit Differenzengleichungen der einzelnen Komponenten und vereinfacht sich, wenn die einzelnen Komponenten des offenen Regelkreises herangezogen werden und die Schließbedingung mit vollzogen wird. Gründe dafür sind Stellgrößenbegrenzungen und Totzeitglieder, welche durch Übertragungsfunktionen nicht beschrieben werden können.
Typ | Offener Regelkreis (bearbeitet mit Pole-Nullstellenkompensation) | Geschlossener Regelkreis | Geschlossener Regelkreis Sprungantwort y(t) bei u(t) = 1 |
---|---|---|---|
1 | Reihenschaltung PT1-Glied + I-Glied: Pole: | Polynom: | |
2 | Reihenschaltung 2 PT1-Glieder: Pole: | Koeffizienten: a2 = T1 * T2 / (K+1); a1 = (T1+T2) / (K+1) | |
3 | Reihenschaltung 2 PT1-Glieder + I-Glied: Pole: | Koeffizienten: a3 = T1 * T2 / K; a2 = (T1+T2) / K; a1 = 1 / K | |
4 | Reihenschaltung 2 I-Glieder + PD1-Glied: Pole: ; Nullstelle: | ||
5 | Reihenschaltung Instab. T1-Glied + I-Glied + PD1-Glied: Pole: ; Nullstelle: Positive Pole dürfen nicht kompensiert werden! |
Entwurf eines Reglers durch Polzuweisung in der s-Ebene Bearbeiten
Das nachfolgend beschriebene Entwurfsverfahren besteht darin, dass Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises in bestimmte Bereiche des Pol-Nullstellen-Diagramms (siehe auch Polvorgabe im Zustandsraum) zugewiesen werden, um bestimmte Güteanforderungen festzulegen. Dabei wird vorausgesetzt, dass ein dominantes Schwingungsglied (PT2-Glied) vorliegt, evtl. vorhandene zusätzliche Pole weit genug vom dominanten Polpaar entfernt in der linken s-Halbebene liegen und deshalb wenig Einfluss haben.
Aufgabe eines Reglers ist nun, die zugewiesene Lage der Pole zu erfüllen.
Es wird davon ausgegangen, es handelt sich im Idealfall um die Führungsübertragungsfunktion 2. Ordnung mit konjugiert komplexen (Komplexe Zahl) Polen. Die allgemeine Darstellung der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises als PT2-Glied lautet:
Der Dämpfungsgrad (Dämpfung) lautet:
Die Überschwingzeit ist definiert als die Zeit vom Start des Eingangssprungs bis zum Scheitelwert der ersten Halbwelle der Überschwingung der Regelgröße . ist damit ein Maß für die Schnelligkeit der Regelung.
Zur Bestimmung der Pole:
wird das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion umgeformt:
Die Größen und haben folgende Einflüsse auf das Schwingungsverhalten der Regelgröße:
- Dämpfungsgrad
- Realteil des Polpaares
- Imaginärteil des Polpaares
Strategie der Polzuweisung für einen gegebenen offenen Regelkreis:
Ausgangssituation: Es liegt eine Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises vor und die Anzahl der verfügbaren PD-Glieder (Nullstellen) des Reglers für die Pol-Nullstellenkompensation sind verbraucht. Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises 2. oder höherer Ordnung (mit I-Anteil) ist gegeben. Der geschlossene Regelkreis soll bezüglich des Führungsverhaltens optimal schnell und überschwingungsarm regeln. Weil in diesem Fall nur der Parameter der Kreisverstärkung zur Verfügung steht, ist es Ermessenssache, ob man einer guten Dämpfung oder einer kurzen Überschwingzeit den Vorrang gibt.
- In der linken s-Halbebene senkrecht zur realen Achse kann ein Wert eingetragen werden, der eine Mindest-Systemgeschwindigkeit repräsentiert. Dieser Absolutwert für ist abhängig von der Größe der Zeitkonstanten der PT1-Glieder des offenen Regelkreises. Der Betrag dieses Wertes sollte nicht unterschritten werden. Für einen gegebenen offenen Regelkreis und einen gegebenen Dämpfungsbereich ist der Spielraum für eine Mindestsystemgeschwindigkeit gering. Parameter ist nur die Kreisverstärkung .
- In der linken s-Halbebene werden symmetrisch zur realen Achse zwei Winkelstrahlen für die gewünschte Dämpfung eingetragen. Es empfiehlt sich ein Winkelbereich z. B. für einen unteren und oberen Dämpfungswert festzulegen, also 4 Winkelstrahlen.
- Der offene Regelkreis wird mit dem Parameter der Kreisverstärkung der Schließbedingung unterzogen. Für verschiedene Werte von werden die Pole bestimmt. Dazu bedient man sich am einfachsten mit einem Rechenprogramm zur Ermittlung von Nullstellen aus Polynomen.
Für die Pole, deren Imaginär-Anteile innerhalb des zulässigen oberen und unteren Winkelbereichs konstanter Dämpfung liegen, kann die zugehörige Kreisverstärkung gewählt und festgelegt werden.
Fazit: Der Reglerentwurf mit Hilfe der Polzuweisung ist eine sehr interessante Methode. Die etwas aufwendige Bestimmung der Pole bei Polynomen 3. und 4. Ordnung kann bei Anwendung eines Rechners erheblich vereinfacht werden. Wenn aber ein Rechner zur Verfügung steht, dann kann bei Anwendung von Simulationen mit digitalen zeitdiskreten Rechenprogrammen erheblich einfacher der geschlossene Verlauf der Regelgröße in Abhängigkeit von einem Test-Eingangssignal berechnet und graphisch dargestellt werden.
Reglerentwurf mit der inversen Laplace-Transformation Bearbeiten
Ist die Übertragungsfunktion eines linearen dynamischen Systems oder eines geschlossenen Regelkreises gegeben, kann mittels der inversen Laplace-Transformation mit einem definierten Eingangs-Testsignal der Verlauf der Ausgangsgröße bzw. die Regelgröße errechnet und graphisch dargestellt werden. Dabei bedient man sich einer in jedem Fachbuch der Regelungstechnik vorhandenen Laplace-Transformationstafel, welche für viele Formen der Produktdarstellung einer Übertragungsfunktion im s-Bereich die korrespondierende Funktion im Zeitbereich darstellt.
Die Ausgangsgröße eines dynamischen Systems im s-Bereich lautet:
Die Ausgangsgröße eines dynamischen Systems des Zeitbereichs für ein Übertragungssystem im s-Bereich lautet:
Testsignale zur Berechnung der Systemantwort:
Testsignal | Zeitbereich | Testsignal im s-Bereich | Systemantwort |
---|---|---|---|
Impulsfunktion | Normierter Impuls = | Gewichtsfunktion | |
Sprungfunktion | Einheitssprung für | Übergangsfunktion | |
Anstiegsfunktion | Gradient: | Rampenantwort |
Die grafische Darstellung der Sprungantwort (Übergangsfunktion) eines dynamischen Systems ist die häufigste bekannte Darstellung des System-Zeitverhaltens. Wird als Suchbegriff die korrespondierende Zeitfunktion in den Laplace-Korrespondenztabellen gefunden, kann durch Einsetzen verschiedener Werte für das Systemverhalten für ein gegebenes Eingangssignal grafisch dargestellt werden.
Beispiel der Anwendung der Laplace-Korrespondenztabelle für ein dynamisches System mit reellen Polen
Es ist darauf zu achten, dass manche Korrespondenztabellen im s-Bereich in der Pol-Nullstellen- Darstellung oder Zeitkonstanten-Darstellung definiert sind. Verstärkungsfaktoren werden nicht transformiert und sind im s-Bereich und Zeitbereich identisch. Gegeben: Übertragungsfunktion für zwei PT1-Glieder in Reihenschaltung: Eingangssignal: Sprungfunktion U(s) = 1/s Gesucht: Zeitverhalten der Systemausgangsgröße : Lösung: Übergangsfunktion (Sprungantwort) Die nachfolgende Gleichung für ergibt sich aus der Korrespondenztabelle: |
Anmerkung: Die Anwendung der inversen Laplace-Transformation fordert bei gedämpft schwingenden Systemen viel Rechenarbeit mit trigonometrischen und exponentiellen Funktionen.
Reglerentwurf mittels Einstellregeln (Heuristische Verfahren) Bearbeiten
Die von Ziegler-Nichols bereits in den 1940er Jahren experimentell durchgeführten Einstellregeln beziehen sich auf die Sprungantwort einer Regelstrecke und definieren sie durch Anlegen einer Tangente am Wendepunkt als Strecke mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied. 1952 wurden von Chien, Hrones und Reswick die Einstellregeln (Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)) erweitert für aperiodisches Verhalten der Sprungantworten der Regelgröße und für gedämpft schwingendes Verhalten mit 20 % Überschwingen. Zusätzlich erfolgt für beide Gruppen noch die Aufteilung in Führungsverhalten und Störverhalten. Diese Einstellregeln werden gelegentlich auch mit Faustformeln bezeichnet.
Die als Ersatzregelstrecke definierte PT1-Tt-Modell-Regelstrecke
eignet sich je nach Art und Ordnung der Originalregelstrecke nur bedingt mit den vorgegebenen Einstelldaten für die Parametrierung. Als Modell-Regelstrecke für eine Optimierung eines Regelkreises ist sie zu ungenau.
Ferner eignet sich diese PT1-Tt-Modell-Regelstrecke nicht für LZI-Systeme mit einer Totzeit.
Siehe Verhalten eines Regelkreises mit einem parametrierten Regler nach Einstellregeln laut grafischer Darstellung im Kapitel „Reglerentwurf für eine Modellregelstrecke mit Totzeit“
Reglerentwurf für eine Modellregelstrecke mit Totzeit und Totzeitregelstrecken Bearbeiten
Totzeitsysteme gehören zwar zu den linearen Systemen, sie können aber nicht durch Differenzialgleichungen beschrieben werden.
Seit der Kenntnis der sogenannten heuristischen Regler-Einstellverfahren wie z. B. die von Ziegler-Nichols existiert der Begriff der „Regelbarkeit“ einer (ungenauen) Ersatzregelstrecke mit dem Verhältnis Anstiegszeit zu Ersatztotzeit. Dabei wird die „Regelbarkeit“ diese Ersatzregelstrecke mit steigender Ersatztotzeit im Verhältnis zur Anstiegszeit als schwierig dargestellt. Tatsächlich ist die Regelung einer Regelstrecke mit großem Totzeitanteil genau so einfach zu regeln wie bei kleinem Totzeitanteil, jedoch ist die Dynamik des Regelkreises mit steigender Totzeit ungünstig. Abhilfe sind Regler mit Spezialstrukturen wie z. B. das Verfahren des Smith-Prädiktors.
Enthält die Regelstrecke neben PT1-Gliedern eine im Verhältnis zu einer dominanten Zeitkonstante nennenswerte Totzeit t, ist ein I-Glied innerhalb des Regelkreises notwendig. Eine aus reiner Totzeit bestehende Regelstrecke kann nur – abgesehen von Spezialreglern – durch einen I-Regler geregelt werden.
Die Regelung einer Regelstrecke mit reiner Totzeit mit einem I-Regler weist eine Besonderheit auf, dass die Kreisverstärkung
bei festem für alle Totzeiten zu gleicher Dämpfung führt. Wählt man
beträgt das Überschwingen ca. ü = 4 %, was einer Dämpfung von ca. D = 0,7 entspricht.
Es liegt nahe, diese Beziehung für Regelstrecken mit PT1- und Totzeit-Systemen zu nutzen, in dem die Regelstrecke durch ein Modell mit = Ersatztotzeit und 2 PT1-Gliedern mit gleichen Zeitkonstanten
ersetzt wird. Der zugehörige passende Regler ist:
Dieses Modell ist für einen PID-Regler geeignet, indem die beiden PD-Glieder des Reglers die beiden PT1-Glieder des Regelstreckenmodells kompensieren. Es ist auch für Regelstrecken mit PT1-Gliedern und Totzeit-Gliedern geeignet.
Übrig bleibt die transzendente Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises mit
mit für eine Dämpfung von ca. D = 0,7.
Damit sind alle Parameter des Reglers für das Modell und für die reale Regelstrecke bekannt.
(Siehe Artikel Regelstrecke#Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke).
Regelung im Zustandsraum (Übersichtsdarstellung) Bearbeiten
Siehe auch Kapitel Regelstrecke im Zustandsraum
Regelkreis im Zustandsraum Bearbeiten
Die Zustandsraumdarstellung ist eine von mehreren bekannten Formen der Systembeschreibung eines dynamischen Übertragungssystems. Sie bezieht sich auf ein Zustandsraummodell, welches meist ein Schema der Regelungsnormalform oder der Beobachtungsnormalform beschreibt.
Das Zustandsraummodell symbolisiert die überführte Differenzialgleichung n-ter Ordnung in n-gekoppelte Zustands-Differentialgleichungen erster Ordnung. Dabei werden sämtliche Beziehungen der Zustandsgrößen (= Zustandsvariablen), der Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen in Form von Matrizen und Vektoren dargestellt.
Die Zustandsvariablen eines linearen dynamischen Übertragungssystems beschreiben den inneren Bewegungsablauf des Systems. Sie repräsentieren physikalisch den Energiegehalt der in einem dynamischen System enthaltenen Speicherelemente. Sie bedeuten z. B. Spannung an einem Kondensator, Strom in einer Induktivität, bei einem Feder-Massesystem die potentiellen und kinetischen Energieanteile.
Nach dem Signalflussplan der Regelungsnormalform kann mit Hilfe der zurückgeführten Zustandsvariablen ein dynamisch vorteilhafter Zustands-Regelkreis gebildet werden, der ohne Matrizendarstellung mittels numerischer Berechnung aller vorliegenden Signalgrößen simuliert werden kann.
Weil die Signalinformationen der Zustandsvariablen der Regelstrecke frühzeitiger zur Verfügung stehen als bei der Ausgangsrückführung, ist das dynamische Verhalten des Regelkreises besser als ein Regelkreis mit Ausgangsrückführung. Mit einem Zustandsregler lassen sich hohe Anforderungen an die Regelgüte erfüllen.
Für eine gegebene Regelstrecke können in der Praxis nicht immer alle Zustandsvariablen gemessen werden. Abhilfe geben Beobachter durch Rekonstruktion der Zustandsvariablen, wenn die Strecke beobachtbar ist. Bei der Regelung im Zustandsraum handelt es sich immer um ein wirtschaftliches Kosten-Nutzen-Problem.
Zustandsregler im Zustandsregelkreis Bearbeiten
Das Grundprinzip des Zustandsreglers ist die Rückführung der inneren Informationen des Prozesses, also die Rückführung der Zustandsvariablen. Deshalb kann die Zustandsregelung als eine Erweiterung des Prinzips der Kaskadenregelung angesehen werden.
Simulationen eines Zustandsregelkreises können mit einem guten Modell der Regelstrecke an einem programmierbaren Rechner einfach durchgeführt werden. Die Beschreibung des Signalflussplanes der Regelstrecke und des Reglers im Zustandsraum kann sowohl in Form von Matrizen als auch mit der numerischen zeitdiskreten Berechnung erfolgen. Je nach Höhe der Ordnung der Differentialgleichung werden alle Zustandsgrößen einem Zustandsregler zugeführt, der auf den Eingang des Zustandsraummodells der Regelstrecke wirkt.
Der lineare Zustandsregler bewertet die einzelnen Zustandsvariablen der Regelstrecke mit Faktoren und summiert die so entstandenen Zustandsprodukte zu einem Soll-Istwert-Vergleich.
Es handelt sich bei diesem Zustandsregler nicht um einen P-Regler, wenngleich ein solcher Eindruck laut Signalflussplan entstehen könnte. Die mit dem Regler zurückgeführten Zustandsvariablen mit Bewertungsfaktoren durchlaufen noch einmal die Rechenschaltung zur Lösung der Differenzialgleichung mit n Integratoren und bilden neue Kreisvariablen, wodurch differenzierendes Verhalten entsteht. Deshalb entspricht die Wirkung der zurückgeführten Zustandsgrößen je nach Höhe der Ordnung n der Differenzialgleichung der Strecke der eines -Reglers.
Als Entwurfsstrategie für die Bestimmung der Bewertungsfaktoren des Zustandsreglers gilt die Polzuweisung (Polvorgabe) des geschlossenen Regelkreises. Auch empirische Einstellungen eines Modellregelkreises sind leicht möglich. Durch die Hintereinanderschaltung der Integratoren ist nur die Zustandsvariable eine stationäre Größe, wenn die Eingangsgröße konstant ist. Alle anderen Zustandsvariablen – eine stabile Regelstrecke vorausgesetzt – streben gegen den Wert null. Nach Einstellung und Optimierung des Faktors k1 ergibt sich ein stabiler Regelkreis bestimmter Dämpfung mit einem Proportionalfehler der Regelgröße gegenüber . Die anderen Faktoren der Zustandsvariablen werden hintereinander beispielsweise zur Optimierung des Übergangsverhaltens eingestellt.
Ein Vorfilter vor dem Soll-Ist-Vergleich korrigiert den statischen Fehler zwischen und . Durch Einfügen eines überlagerten PI-Reglers verschwinden die Nachteile des einfachen Zustandsreglers. Das Vorfilter wird dann nicht mehr benötigt.
Regelkreis mit unstetigen Reglern Bearbeiten
Unstetige Regler haben nur gestufte Ausgangssignale. Diese schaltenden Regler sind kostengünstig bei der Regelung der Temperatur, des Druckes und des Niveaus von Flüssigkeiten.
Der Zweipunktregler hat als Stellgröße 2 Zustände, beispielsweise („Ein“, „Aus“). Er ist nur für proportional wirkende Regelstrecken geeignet, weil dieser Regler eine Regelgröße durch ständiges Ein- und Ausschalten auf das gewünschte Niveau regelt. Mit steigender Hysterese des Reglers wird die Schaltfrequenz reduziert.
Der Dreipunktregler hat 3 Zustände der Stellgröße. Zum Beispiel („Vorwärts“, „Stop“, „Rückwärts“). Er wird für integral wirkende Regelstrecken wie beispielsweise motorische Stellantriebe verwendet.
Unterschiede der Entwurfsstrategie der stetigen und unstetigen Regler Bearbeiten
Stetige Regler werden so dimensioniert, dass die PD-Glieder des Reglers die PT1-Glieder der Regelstrecke kompensieren. Das gewünschte Einschwingverhalten des Regelkreises wird über die P-Verstärkung des Reglers eingestellt.
Das Zeitverhalten der Regelgröße kann über die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises für jedes Laplace-transformierte Eingangs-Testsignal algebraisch berechnet werden.
Stetige Regler verhalten sich linear, wenn keine Stellgrößenbegrenzung auftritt. Eine hohe P-Verstärkung und die PD-Glieder des Reglers verursachen immer hohe Stellgrößen. Stoßen die Stellgrößen in der Praxis an ihre physikalische Grenze, wirkt der Regler als nichtlineares Übertragungsglied. Übliche Berechnungen mit der Übertragungsfunktion sind dann nicht mehr gültig.
Bei einem unstetigen Regler tritt dieses Verhalten der Stellgrößenbegrenzung nicht auf. Es existieren nur bekannte Stellgrößen u(t) mit dem Wert UMAX, Null oder -UMAX. Die maximale Führungsgröße w(t) des Regelkreises muss stets kleiner sein, als die maximale Stellgröße UMAX des Reglers.
Weil der ideale Zweipunktregler theoretisch eine unendlich hohe Verstärkung hat, stellt sich die Schaltfrequenz für die Stellgröße u(t) im Regelkreis automatisch ein.
Beim Entwurf des unstetigen Reglers für einen Regelkreis wird die Schaltfrequenz und das Einschwingverhalten der Regelgröße durch die Parameter der Hysterese, Totzone und zeitabhängigen Rückführung eingestellt.
Regelkreis mit Zweipunktreglern Bearbeiten
Zur Funktionsweise siehe Regler#Zweipunktregler.
Der Zweipunktregler ist ein sehr schneller Regler mit sehr guten dynamischen Eigenschaften. Mit einer geeigneten Rückführung kann ein angepasster elektronischer Zweipunktregler die Welligkeit des Signals der Regelgröße auf weniger als 0,1 % reduzieren und statische Störgrößen innerhalb der Regelstrecke besser als jeder andere analoge Standardregler kompensieren.
Dieses vorteilhafte Verhalten des Zweipunktreglers im Vergleich zu einem analogen Standardregler erfolgt daher, dass der Zweipunktregler stets mit der maximal zur Verfügung stehenden Energie auf jede Regeldifferenz sofort reagiert. Je nach Größe des Sollwertes und der Amplitude der Stellgröße, die einer rechteckförmigen Schwingung entspricht, ist die Anstiegsgeschwindigkeit der Regelgröße unterschiedlich. Für eine gegebene Regelstrecke mit der maximalen Stellgröße UMAX handelt es sich bei verschiedenen Werten der Führungsgröße jeweils um Ausschnitte der Sprungantwort der Regelstrecke. (siehe Bild: Zweipunktregler für eine Regelstrecke 1. Ordnung).
Für einen Führungsgrößensprung wird der Zeitraum der Änderung der Regelgröße von bis zum Erreichen des Sollwertes mit Anregelzeit tANR bezeichnet.
Überschwingen bei einem Führungsgrößensprung werden dadurch vermieden, dass geeignete Rückführungen die Regeldifferenz so verstimmen, dass eine vorzeitige Abschaltung der Stellgröße erfolgt.
Störgrößen innerhalb der Regelstrecke werden im Takt der Schaltfrequenz kompensiert. Eine statische Störgröße am Ausgang der Regelstrecke hat das gleiche Zeitverhalten wie bei allen anderen Standardreglern. Es entspricht dem Verhalten der Sprungantwort nach einem Führungsgrößensprung.
Im Vergleich mit stetigen Reglern muss berücksichtigt werden, dass der Zweipunktregler keine negative Stellgröße hat. Bei der Stellgröße Null des Zweipunktreglers verläuft die Regelgröße entsprechend dem Systemverhalten der Strecke exponentiell auf den Wert Null.
Vorzüge der Zweipunktregler:
- Schneller Anstieg der Regelgröße entsprechend der Sprungantwort der Regelstrecke,
- Die Systemgeschwindigkeit kann erhöht werden, wenn beispielsweise die maximale Stellgröße UMAX auf einen zulässigen Wert erhöht wird. Die Anregelzeit tANR wird dadurch verkürzt.
- Schnelle Korrektur bei Angriff einer Störgröße innerhalb der Regelstrecke,
- Beherrschung großer Energien bei geringer Verlustleistung,
- Es wird nur eine Polarität einer Energiequelle benötigt,
- Einfache Fachkenntnisse für das Bedienungspersonal erforderlich
Nachteile der Zweipunktregler:
- Eine geringe Restwelligkeit als Überlagerung der Regelgröße ist immer vorhanden,
- Leichtes Überschwingen der Regelgröße bei kleinem Sollwert .
- Störstrahlung bei elektronischen und mechanischen Schaltern muss berücksichtigt werden.
- Mechanische Schalter unterliegen einem Verschleiß.
Entwurfsstrategie für einen Zweipunktregler mit verzögert nachgebender Rückführung (PID-ähnliches Verhalten)
- Sprungantwort der Regelstrecke aufnehmen
- Festlegung der Anregelzeit tANR für den maximalen Sollwert anhand der Übergangsfunktion der Regelstrecke.
- Bestimmung der Übergangsfunktion der verzögert nachgebenden Rückführung:
- Einstellung der Hysterese
- Die Hysterese des Reglers hat besonders bei einer Regelstrecke 1. Ordnung eine große Bedeutung, weil die sich einstellende Schaltfreq wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele