PT2 Glied Als bezeichnet man ein LZI übertragungsglied in der Regelungstechnik welches ein proportionales übertragungsve
PT2-Glied
Als PT2-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit einer Verzögerung 2. Ordnung aufweist. Bedingt durch seine konjugiert komplexen Pole antwortet das PT2-Glied (auch -Glied bezeichnet) gegenüber einer Eingangssignal-Änderung mit einem oszillatorisch gedämpften Ausgangssignal.
PT2-Glied im Strukturbild
Der Dämpfungsgrad bestimmt mit dem Zeitverhalten die Schwingeigenschaften des Systems. Bei einem Dämpfungsgrad lässt sich das PT2-Glied in zwei PT1-Glieder zerlegen. Bei einem Dämpfungsgrad entsteht Instabilität mit steigenden Schwingamplituden.
Schwingfähige lineare Übertragungsglieder entstehen durch Energieaustausch seiner verkoppelten Einzelelemente. Besteht ein Regelkreis mit einer Regelstrecke aus zwei -Gliedern und einer P-Verstärkung von ca. entsteht bereits nach einer Eingangserregung ein gedämpft schwingendes Ausgangsverhalten.
In der Regelungstechnik ist ein schwaches Überschwingverhalten eines Regelkreises in der Größenordnung von ca. 10 % des Sollwertes häufig erwünscht, weil die Regelgröße schneller den Sollwert erreicht.
Differentialgleichung und ÜbertragungsfunktionBearbeiten
Gebräuchliche Beispiele eines PT2-Gliedes sind in der Elektrotechnik der R-L-C-Schwingkreis und im Maschinenbau das gedämpfte Federmassependel.
Die allgemeine Form der zugehörigen Differentialgleichung mit der Eingangsvariable und der Ausgangsvariable lautet in den verschiedenen Schreibweisen:
Wird die Differentialgleichung eines Übertragungssystems mittels des Laplace-Differentiationssatzes in den s-Bereich (auch Bildbereich) transformiert, entsteht aus einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion in Polynom-Darstellung. Sie ist ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Lösung von Differentialgleichungen.
Laplace-Transformation der oben genannten Differentialgleichung:
Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz :
Die Übertragungsfunktion wird in eine Normalform des -Gliedes gebracht, indem alle Terme durch dividiert werden. Der Term wird gleichgesetzt.
Damit entsteht die Normalform der Übertragungsfunktion des -Schwingungsgliedes mit als Eigenkreisfrequenz:
oder mit :
Hierbei bezeichnet:
Bestimmung der PoleBearbeiten
Die Nullstellen des Nennerpolynoms (= Pole) einer Übertragungsfunktion bestimmen ausschließlich das Zeitverhalten eines Übertragungssystems.
Die Pole bewirken folgendes globales Systemverhalten:
Pol reell,
Pole konjugiert komplex, . Unter Konjugation versteht man in der s-Ebene einen um die reelle Achse gespiegelten Doppelpol. Bei -Gliedern mit Schwinganteilen sind die Pole konjugiert komplex.
Pol entspricht einem fehlenden Abschlussglied der Übertragungsfunktion. Koeffizient
Sind die Realteile von Nullstellen und Polstellen negativ, handelt es sich um ein stabiles System. Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilität des Teilsystems.
Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) lassen sich nun bestimmen, indem das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion gleich Null gesetzt wird.
Sind Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in der Polynomdarstellung gegeben, können mit verschiedenen Methoden, wie mit der pq-Formel, die Pole für Systeme zweiter Ordnung bestimmt werden. Im Internet stehen verfügbare Programme bis 4. Ordnung mit dem Aufruf „Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen“ zur Verfügung.
Für Systeme mit Polynomen 2. Ordnung der Form errechnen sich die Nullstellen bzw. die Pole:
Bestimmung der Kreisfrequenz ω des PT2-GliedesBearbeiten
Man unterscheidet bei gedämpften und ungedämpften Übertragungssystemen:
= Kennkreisfrequenz des ungedämpften Übertragungssystems.
= Eigenkreisfrequenz des gedämpften Übertragungssystems.
Die Eigenkreisfrequenz eines gedämpften Übertragungssystems und deren Schwingamplituden sind stets kleiner als die Kennkreisfrequenz und deren Schwingamplituden des ungedämpften -Gliedes.
Aus der Normalform der Übertragungsfunktion eines gedämpften -Gliedes kann die Kennkreisfrequenz aus dem Koeffizienten gebildet werden.
Bei einer gegebenen Übertragungsfunktion sind die Koeffizienten wie auch je Zahlenwerte.
Aus dem Koeffizienten wird die Kennkreisfrequenz des dämpfungslosen Systems bestimmt.
Aus dem Zahlenwert des Koeffizienten für wird die Dämpfung errechnet.
Mit steigendem Dämpfungswert verringert sich die Schwingfrequenz und die Amplitude der Systemantwort (Übergangsfunktion). Bei geht die gedämpfte Schwingung in einen aperiodischen Verlauf zweiter Ordnung bzw. bei weiter steigendem in einen Kriechfall über.
Die Eigenkreisfrequenz des gedämpft schwingenden System wird bestimmt durch:
Die Schwingfrequenz des gedämpften Systems lautet:
Die Periodendauer des gedämpft schwingenden Systems lautet:
Bestimmung der Übertragungsfunktion eines PT2-Gliedes aus einer gegebenen graphischen Darstellung der SprungantwortBearbeiten
Stabiles schwingfähiges System 0 < D < 1Bearbeiten
Ist die Sprungantwort dieses Systems grafisch gegeben, kann die Übertragungsfunktion des -Gliedes (Schwingungsglied) aus dem Amplitudenverhältnis der zwei ersten Halbwellen errechnet werden.
Mit wird die Amplitude in positiver Richtung und mit die Amplitude in negativer Richtung der ersten Schwingung bezeichnet.
Zunächst wird die Dämpfung der Schwingung berechnet:
Der Koeffizient errechnet sich aus der Periodendauer der 1. Schwingung und aus der Dämpfung :
Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion mit den errechneten Werten von , und zu:
Anwendungsbeispiel zur Bestimmung der Parameter eines PT2-GliedesBearbeiten
Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen.
Ergebnis: Das -Glied lässt sich nicht in weitere -Glieder zerlegen.
Ermittlung der Dämpfung :
Bestimmung der gedämpften Eigenkreisfrequenz nach einem Eingangssprung :
Die ungedämpfte Kennkreisfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet:
Die gedämpfte Eigenkreisfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet:
Die Schwingfrequenz des gedämpften Systems lautet:
Die Periodendauer der gedämpften Schwingung lautet:
Ergebnis: Siehe Periodendauer der Grafik! Bei schwacher Dämpfung sind und ähnlich.
Bestimmung der Übertragungsfunktion für reelle Pole :
Das zu Null gesetzte Polynom wurde oben durch den Faktor dividiert und muss berücksichtigt werden.
Übertragungsfunktion in Pol-Darstellung und Zeitkonstanten-Darstellung:
Stabiles nicht schwingfähiges PT2-System, D > 1Bearbeiten
Zur Identifikation der Zeitkonstanten und Verstärkung eines nicht schwingenden -Systems bieten sich mehrere Verfahren an:
Identifikation über die Impulsantwort für Übertragungssysteme beliebiger Ordnung, siehe Artikel Regelstrecke
Zeit-Prozent-Kennwert-Verfahren (Schwarze) nach der Sprungantwort mit Zeitwerten von [Prozent]. Dieses Verfahren gilt auch für nichtschwingende Übertragungsglieder höherer Ordnung. Siehe Artikel Regelstrecke
Falls ein selbst erstelltes oder kommerzielles Rechenprogramm für grafische Sprungantworten vorliegt: empirische Lösung durch Versuch und Irrtum.
Das folgende Verfahren und die Gleichungen wurden durch numerische Simulation und der Optimierung von Funktionen bestimmt.
Vorgehensweise:
PT2 Sprungantwort. Messung von , und
Messung der Sprungantwort des Systems mit dem Eingangssprung und der Sprungantwort des Systems .
Bestimme die Zeiten und ausgehend vom Sprungzeitpunkt bis zu dem Zeitpunkt, wo die Sprungantwort bzw. vom stationären Ausgangswert erreicht hat.
Bestimme die stationäre Verstärkung
Berechne folgende Zwischengrößen:
Berechne die beiden Zeitkonstanten und mit
Darstellung der identifizierten Übertragungsfunktion
Anhand der Gleichungen ergibt sich für:
Errechnete Zeitkonstanten: .
Anmerkung: Durch eine genaue numerische Berechnung (Auflösung ) der Sprungantwort eines -Gliedes wurde festgestellt, dass vorgegebene Soll-Zeitkonstanten nicht genau mit den errechneten Zeitkonstanten (Abweichung ca. 6 %) übereinstimmt, dennoch ein brauchbares Ergebnis brachten.
Die Ursache: Das Ergebnis der berechneten Zeitkonstanten ist offensichtlich eine gute Annäherung an die tatsächliche Funktion der Sprungantwort. Es wurde empirisch festgestellt, dass in einem Bereich von maximal % der kleineren Zeitkonstante die Beziehung der Soll-Zeitkonstanten zu den errechneten Zeitkonstanten gilt:
Daraus lässt sich beispielsweise für die dargestellte Grafik ableiten, dass die vermutete ursprüngliche Übertragungsfunktion wie folgt lautete:
In der grafischen Darstellung der Sprungantworten in einem Diagramm 10 * 10 [cm] ist der Verlauf der beiden Funktionen praktisch deckungsgleich. Die unnötige hohe Stellenzahl (bis 7 Ziffern einschließlich Dezimalstellen) der Faktoren (Konstanten) kann auf 4 Ziffern einschließlich der Dezimalstellen begrenzt werden, ohne dass sich am Ergebnis der Zeitkonstanten etwas ändern würde.
Methoden der Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungsgliedern G(s)Bearbeiten
Benutzung fertiger kommerzieller Programme, wie Matlab und Simulink.
Umwandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen eines Übertragungssystems in Differenzengleichungen, die sich tabellarisch leicht lösen lassen.
Die Berechnung des Zeitverhaltens eines -Gliedes aus der Übertragungsfunktion wird üblicherweise für normierte Eingangssignale durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal wird der Übertragungsfunktion der Term multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort.
Berechnung der Sprungantwort eines PT2-Gliedes im ZeitbereichBearbeiten
Die in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik dargestellten Tabellen der wichtigsten Laplace-Transformationen erlauben die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems für eine gegebene Übertragungsfunktion .
Die Korrespondenz-Tabellen enthalten für die nachfolgend dargestellten definierten Formen der Eingangssignale die zugehörigen Gleichungen zur Berechnung des Ausgangssignals im Zeitbereich . Um die Gleichung zur Berechnung das Zeitverhaltens des Übertragungssystems zu bestimmen, muss die gegebene Übertragungsfunktion mit der Art des Eingangssignals multipliziert werden.
Für die Bestimmung des Zeitverhaltens eines PT2/-Gliedes lautet die in der Transformationstabelle zu suchende Form der Gleichung:
Die Laplace-Rücktransformation in den Zeitbereich mit Hilfe von Laplace-Transformationstabellen erfolgt mit der gesuchten Funktion , multipliziert mit dem gewünschten Eingangssignal .
Für den Einheitssprung auf das PT2-Glied gilt:
oder
Fallunterscheidung der Sprungantwort nach dem Dämpfungsgrad D = 0; D = 1; D > 1; D < 0Bearbeiten
Für : Das System antwortet mit einer konstanten Dauerschwingung um den Wert der Verstärkung . Damit verschwindet der Term in der Übertragungsfunktion und die Gleichung für die Berechnung des Zeitverhaltens vereinfacht sich.
Für vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung des Zeitverhaltens, weil das Übertragungsverhalten durch zwei -Glieder der Übertragungsfunktion bestimmt wird.
Für ergibt sich ein konjugiert komplexer Doppelpol mit positivem Realteil. Der Term wird negativ. Das Übertragungsglied antwortet mit instabilen zunehmend steigenden Amplituden.
Zeitverhalten der Sprungantwort eines PT2-Gliedes als Funktion der DämpfungBearbeiten
Je nach gegebenen Zahlenwerten einer Übertragungsfunktion G(s) ergeben sich unterschiedliche Darstellungen des Systemzeitverhaltens.
Liegen die Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung vor, lassen sich die 2 Pole des Nennerpolynoms bestimmen. Sind sie negativ und reell lassen sich die Zeitkonstanten errechnen.
Sind die Pole konjugiert komplex mit negativem Realteil, lässt sich das System nicht in -Glieder aufspalten. Dabei handelt es sich um einen (gespiegelten) Doppelpol, welcher bei der Sprungantwort des Systems eine gedämpfte Schwingung hervorruft.
Anmerkung: Die Übertragungsfunktion als Suchfunktion in den Laplace-Transformationstabellen ändert sich für die Dämpfungsgrade , und . Damit ändern sich auch die Gleichungen für den Zeitbereich.
Dämpfung
Normierte Sprungantwort
Kommentar
Kriechfall
Der Systemausgang enthält keine Schwinganteile. Der asymptotische Zeitverlauf der Sprungantwort wird durch zwei -Glieder mit unterschiedlichen Zeitkonstanten bestimmt. Die größere Zeitkonstante dominiert den Verlauf.
aperiodischer Grenzfall
Darstellung 1): T1 = T2 = 2; D = 1
stabiler Schwingfall
Das System enthält 2 konjugiert komplexe Pole: .
T=0,5; D=0,125
grenzstabiler Schwingfall
Das System enthält 2 konjugiert komplexe Pole: .
T=0,5; D=0; K=1
instabiler Schwingfall
Das System enthält 2 konjugiert komplexe Pole mit positivem Realteil: .
T=0,5; D=-0,125
instabiler Kriechfall
Das System enthält 2 reelle positive Pole und lässt sich damit in 2 instabile T1-Glieder aufspalten.
T1=10, T2=5, D=-1,06, K=1.
Sprungantwort eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, D = 0.2; 1; 5)
Beispielverläufe der Sprungantworten für unterschiedliche D-Werte: .
Die Übertragungsfunktionen der dargestellten Grafikverläufe lassen sich anhand von Faktorenvergleich mit der Grundform bestimmen. Für alle Verläufe gilt T=1; K=2:
Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion:
Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion:
Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion:
Für das -Glied mit lautet die Übertragungsfunktion (Verfahren siehe Berechnungsbeispiel):
Grafische Methoden des Bodediagramms und der Ortskurve zur Bestimmung der StabilitätBearbeiten
Eine Phasenverschiebung von φ < −180° und eine Verstärkung > 1 führt von der Gegenkopplung zur Mitkopplung und damit zur oszillierenden Instabilität, wenn der Regelkreis geschlossen wird.
Aus diesem Verhalten hat der amerikanische Physiker Harry NyquistStabilitätskriterien abgeleitet, die sich auf den offenen Regelkreis beziehen und für die Schließbedingung des Regelkreises anzuwenden sind.
Die grafischen Stabilitätsverfahren über das Bodediagramm und der Ortskurve des Frequenzgangs dienen dem Verständnis von Teilgebieten der Systemtheorie, sind aber keine Alternativen zur numerischen Berechnung eines Regelkreises, bei dem tabellarisch das innere Teil-Systemverhalten für jede Berechnungsfolge y(k·Δt) dargestellt und grafisch der zeitliche Signalverlauf verschiedener Ausgangsgrößen für eine beliebige Eingangsgröße gezeigt wird.
Die folgende Abbildung zeigt den Amplituden- und Phasengang. Typisch für ein PT2-Glied ist der Abfall der Amplitude um 40 dB je Dekade. Auch ist die Phasenverschiebung von 180° kennzeichnend. An der Überhöhung im Amplitudengang kann man erkennen, dass für die Dämpfung gelten muss. Keine Überhöhung bedeutet eine Dämpfung .
Bei der Kennkreisfrequenz (= Eckfrequenz ) hat die Phasenverschiebung einen Wert von −90°. Mit zunehmend steigenden Frequenzen beträgt die Phasenverschiebung maximal |-180|°.
Bodediagramm eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, D = 0.2; 1; 5)
Ortskurve des FrequenzgangsBearbeiten
Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile.
Die Ortskurve () des PT2-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse in Abhängigkeit von der Dämpfung d durch den vierten und dritten Quadranten für aus Richtung der negativen reellen Achse in den Punkt 0.
Ortskurve eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, D = 0.2; 1; 5)
H. Lutz, W. Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 12., ergänzte Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6.
Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Hauptkapitel: Übertragungsfunktion, Unterkapitel: Pole und Nullstellen.
Als PT2 Glied bezeichnet man ein LZI Ubertragungsglied in der Regelungstechnik welches ein proportionales Ubertragungsverhalten mit einer Verzogerung 2 Ordnung aufweist Bedingt durch seine konjugiert komplexen Pole antwortet das PT2 Glied auch P T 2 k k displaystyle PT2 kk Glied bezeichnet gegenuber einer Eingangssignal Anderung mit einem oszillatorisch gedampften Ausgangssignal PT2 Glied im StrukturbildDer Dampfungsgrad 0 lt D lt 1 displaystyle 0 lt D lt 1 bestimmt mit dem Zeitverhalten die Schwingeigenschaften des Systems Bei einem Dampfungsgrad D 1 displaystyle D geq 1 lasst sich das PT2 Glied in zwei PT1 Glieder zerlegen Bei einem Dampfungsgrad D lt 0 displaystyle D lt 0 entsteht Instabilitat mit steigenden Schwingamplituden Schwingfahige lineare Ubertragungsglieder entstehen durch Energieaustausch seiner verkoppelten Einzelelemente Besteht ein Regelkreis mit einer Regelstrecke aus zwei P T 1 displaystyle PT 1 Gliedern und einer P Verstarkung von ca K gt 1 displaystyle K gt 1 entsteht bereits nach einer Eingangserregung ein gedampft schwingendes Ausgangsverhalten In der Regelungstechnik ist ein schwaches Uberschwingverhalten eines Regelkreises in der Grossenordnung von ca 10 des Sollwertes haufig erwunscht weil die Regelgrosse schneller den Sollwert erreicht Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichung und Ubertragungsfunktion 1 1 Bestimmung der Pole 1 2 Bestimmung der Kreisfrequenz w des PT2 Gliedes 2 Bestimmung der Ubertragungsfunktion eines PT2 Gliedes aus einer gegebenen graphischen Darstellung der Sprungantwort 2 1 Stabiles schwingfahiges System 0 lt D lt 1 3 Anwendungsbeispiel zur Bestimmung der Parameter eines PT2 Gliedes 4 Stabiles nicht schwingfahiges PT2 System D gt 1 5 Methoden der Berechnung des Zeitverhaltens von Ubertragungsgliedern G s 5 1 Berechnung der Sprungantwort eines PT2 Gliedes im Zeitbereich 5 2 Fallunterscheidung der Sprungantwort nach dem Dampfungsgrad D 0 D 1 D gt 1 D lt 0 6 Zeitverhalten der Sprungantwort eines PT2 Gliedes als Funktion der Dampfung 7 Grafische Methoden des Bodediagramms und der Ortskurve zur Bestimmung der Stabilitat 7 1 Bodediagramm 7 2 Ortskurve des Frequenzgangs 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDifferentialgleichung und Ubertragungsfunktion BearbeitenGebrauchliche Beispiele eines PT2 Gliedes sind in der Elektrotechnik der R L C Schwingkreis und im Maschinenbau das gedampfte Federmassependel Die allgemeine Form der zugehorigen Differentialgleichung mit der Eingangsvariable u t displaystyle u t nbsp und der Ausgangsvariable y t displaystyle y t nbsp lautet in den verschiedenen Schreibweisen a 2 d 2 y t d t 2 a 1 d y t d t a 0 y t b 0 u t oder a 2 y t a 1 y t a 0 y t b 0 u t displaystyle a 2 frac operatorname d 2 y t operatorname d t 2 a 1 frac operatorname d y t operatorname d t a 0 y t b 0 u t qquad text oder qquad a 2 ddot y t a 1 dot y t a 0 y t b 0 u t nbsp 1 a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sind die Koeffizienten Gewichte der Differentialglieder Wird die Differentialgleichung eines Ubertragungssystems mittels des Laplace Differentiationssatzes in den s Bereich auch Bildbereich transformiert entsteht aus einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp als eine rational gebrochene Funktion in Polynom Darstellung Sie ist ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Losung von Differentialgleichungen Laplace Transformation der oben genannten Differentialgleichung a 2 s 2 Y s a 1 s Y s a 0 Y s b 0 U s displaystyle a 2 cdot s 2 cdot Y s a 1 cdot s cdot Y s a 0 cdot Y s b 0 cdot U s nbsp Die Ubertragungsfunktion ist definiert als das Verhaltnis des Ausgangssignals Y s displaystyle Y s nbsp zum Eingangssignal U s displaystyle U s nbsp eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz s displaystyle s nbsp G s Y s U s b 0 a 2 s 2 a 1 s a 0 b 0 Nennerpolynom s displaystyle G s frac Y s U s frac b 0 a 2 cdot s 2 a 1 cdot s a 0 frac b 0 text Nennerpolynom s nbsp Die Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp wird in eine Normalform des P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes gebracht indem alle Terme durch a 0 displaystyle a 0 nbsp dividiert werden Der Term a 1 a 0 displaystyle a 1 a 0 nbsp wird 2 D T displaystyle 2 cdot D cdot T nbsp gleichgesetzt Damit entsteht die Normalform der Ubertragungsfunktion des P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Schwingungsgliedes mit w 0 displaystyle omega 0 nbsp als Eigenkreisfrequenz G s Y s U s K 1 w 0 2 s 2 2 D w 0 s 1 K w 0 2 s 2 2 D w 0 s w 0 2 displaystyle G s frac Y s U s frac K frac 1 omega 0 2 cdot s 2 frac 2 cdot D omega 0 cdot s 1 frac K cdot omega 0 2 s 2 2 cdot D cdot omega 0 cdot s omega 0 2 nbsp oder mit T 1 w 0 displaystyle T 1 omega 0 nbsp G s Y s U s K T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 nbsp Hierbei bezeichnet K displaystyle K nbsp die Ubertragungskonstante bzw den Verstarkungsfaktor w displaystyle omega nbsp die Kennkreisfrequenz oder Eigenkreisfrequenz undD displaystyle D nbsp die dimensionslose Dampfung der Dampfungsgrad Haufig wird auch d displaystyle d nbsp fur Dampfung verwendet s d j w displaystyle s delta j omega nbsp ist die unabhangige Laplace Variable im komplexen Frequenzbereich Bildbereich s Bereich mit d displaystyle delta nbsp als Realteil 2 und j w displaystyle j omega nbsp als Imaginarteil Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s Bereich ist aber nur ein Symbol fur eine vollzogene Laplace Transformation und enthalt keinen Zahlenwert Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale Bestimmung der Pole Bearbeiten Die Nullstellen des Nennerpolynoms Pole einer Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp bestimmen ausschliesslich das Zeitverhalten eines Ubertragungssystems Die Pole bewirken folgendes globales Systemverhalten Pol reell s p 1 d displaystyle s p1 delta nbsp Die Sprungantwort eines Ubertragungssystems hoherer Ordnung mit nur reellen Polen hat ein globales asymptotisches Systemverhalten Es enthalt lauter P T 1 displaystyle PT 1 nbsp Glieder Pole konjugiert komplex s p 1 p 2 d j w displaystyle s p1 p2 delta pm j cdot omega nbsp Unter Konjugation versteht man in der s Ebene einen um die reelle Achse gespiegelten Doppelpol Bei P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedern mit Schwinganteilen sind die Pole konjugiert komplex Die Sprungantwort eines Ubertragungssystems hoherer Ordnung mit nur einem konjugiert komplexen Doppelpol hat ein globales gedampftes Schwingverhalten Pol s p Null displaystyle s p text Null nbsp entspricht einem fehlenden Abschlussglied der Ubertragungsfunktion Koeffizient a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp Die Sprungantwort eines Ubertragungssystems hoherer Ordnung ohne Abschlussglied a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp bildet die Teilubertragungsfunktion 1 s displaystyle 1 s nbsp und bewirkt ein globales integrales Systemverhalten Sind die Realteile von Nullstellen und Polstellen negativ handelt es sich um ein stabiles System Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilitat des Teilsystems Die Pole Nullstellen des Nennerpolynoms lassen sich nun bestimmen indem das Nennerpolynom der Ubertragungsfunktion gleich Null gesetzt wird Sind Zahlenwerte einer Ubertragungsfunktion in der Polynomdarstellung gegeben konnen mit verschiedenen Methoden wie mit der pq Formel die Pole fur Systeme zweiter Ordnung bestimmt werden Im Internet stehen verfugbare Programme bis 4 Ordnung mit dem Aufruf Nullstellen Losungen von Polynomen bestimmen zur Verfugung Fur Systeme mit Polynomen 2 Ordnung der Form s 2 p s q 0 displaystyle s 2 p cdot s q 0 nbsp errechnen sich die Nullstellen bzw die Pole s p 1 p 2 p 2 p 2 4 q displaystyle s p1 p2 frac p 2 pm sqrt frac p 2 4 q nbsp Bestimmung der Kreisfrequenz w des PT2 Gliedes Bearbeiten Man unterscheidet bei gedampften und ungedampften Ubertragungssystemen w 0 displaystyle omega 0 nbsp Kennkreisfrequenz des ungedampften Ubertragungssystems w d displaystyle omega d nbsp Eigenkreisfrequenz des gedampften Ubertragungssystems Die Eigenkreisfrequenz w d displaystyle omega d nbsp eines gedampften Ubertragungssystems und deren Schwingamplituden sind stets kleiner als die Kennkreisfrequenz w 0 displaystyle omega 0 nbsp und deren Schwingamplituden des ungedampften P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes Aus der Normalform der Ubertragungsfunktion eines gedampften P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes kann die Kennkreisfrequenz w 0 2 p f 0 displaystyle omega 0 2 cdot pi cdot f 0 nbsp aus dem Koeffizienten T 2 displaystyle T 2 nbsp gebildet werden Bei einer gegebenen Ubertragungsfunktion sind die Koeffizienten T 2 displaystyle T 2 nbsp wie auch 2 D T displaystyle 2 cdot D cdot T nbsp je Zahlenwerte 3 G s Y s U s K 1 w 0 2 s 2 2 D w 0 s 1 K T 2 s 2 2 D T s 1 mit T 1 w 0 displaystyle G s frac Y s U s frac K frac 1 omega 0 2 cdot s 2 frac 2 cdot D omega 0 cdot s 1 frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 qquad text mit quad T frac 1 omega 0 nbsp Aus dem Koeffizienten T 2 displaystyle T 2 nbsp wird die Kennkreisfrequenz w 0 1 T 2 p f 0 displaystyle omega 0 frac 1 T 2 cdot pi cdot f 0 nbsp des dampfungslosen Systems bestimmt w 0 1 T 2 2 p f 0 displaystyle omega 0 sqrt frac 1 T 2 2 cdot pi cdot f 0 nbsp Aus dem Zahlenwert des Koeffizienten fur 2 D T displaystyle 2 cdot D cdot T nbsp wird die Dampfung D displaystyle D nbsp errechnet Mit steigendem Dampfungswert D displaystyle D nbsp verringert sich die Schwingfrequenz und die Amplitude der Systemantwort Ubergangsfunktion Bei D 1 displaystyle D 1 nbsp geht die gedampfte Schwingung in einen aperiodischen Verlauf zweiter Ordnung bzw bei weiter steigendem D gt 1 displaystyle D gt 1 nbsp in einen Kriechfall uber Die Eigenkreisfrequenz des gedampft schwingenden System wird bestimmt durch w d w 0 1 D 2 displaystyle omega d omega 0 cdot sqrt 1 D 2 nbsp Die Schwingfrequenz f d displaystyle f d nbsp des gedampften Systems lautet f d w d 2 p displaystyle f d frac omega d 2 cdot pi nbsp Die Periodendauer T d displaystyle T d nbsp des gedampft schwingenden Systems lautet T d 1 f d displaystyle T d frac 1 f d nbsp Bestimmung der Ubertragungsfunktion eines PT2 Gliedes aus einer gegebenen graphischen Darstellung der Sprungantwort BearbeitenStabiles schwingfahiges System 0 lt D lt 1 Bearbeiten Ist die Sprungantwort dieses Systems grafisch gegeben kann die Ubertragungsfunktion des P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes P T 2 k k displaystyle PT2 kk nbsp Schwingungsglied aus dem Amplitudenverhaltnis der zwei ersten Halbwellen errechnet werden Mit A 1 displaystyle A1 nbsp wird die Amplitude in positiver Richtung und mit A 2 displaystyle A2 nbsp die Amplitude in negativer Richtung der ersten Schwingung bezeichnet Zunachst wird die Dampfung der Schwingung berechnet D 1 1 p 2 ln A 1 A 2 2 displaystyle D frac 1 sqrt 1 frac pi 2 left ln frac A1 A2 right 2 nbsp Der Koeffizient T displaystyle T nbsp errechnet sich aus der Periodendauer T 0 displaystyle T 0 nbsp der 1 Schwingung und aus der Dampfung D displaystyle D nbsp T T 0 1 D 2 2 p displaystyle T frac T 0 cdot sqrt 1 D 2 2 cdot pi nbsp Damit ergibt sich die Ubertragungsfunktion mit den errechneten Werten von K 1 displaystyle K 1 nbsp D displaystyle D nbsp und T displaystyle T nbsp zu Y s U s 1 T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle frac Y s U s frac 1 T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 nbsp Anwendungsbeispiel zur Bestimmung der Parameter eines PT2 Gliedes Bearbeiten nbsp Sprungantwort eines PT2 Gliedes mit konjugiert komplexen Polen P T 2 k k Glied Y s U s 1 0 25 s 2 0 125 s 1 displaystyle PT 2kk text Glied frac Y s U s frac 1 0 25s 2 0 125s 1 nbsp Gegeben Ubertragungsfunktion mit Nennerpolynom fur 0 lt D lt 1 displaystyle 0 lt D lt 1 nbsp G s Y s U s 1 0 25 s 2 0 125 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 1 0 25s 2 0 125s 1 nbsp Gesucht Pole Dampfung EigenKreisfrequenzen w 0 displaystyle omega 0 nbsp w e displaystyle omega e nbsp Periodendauer T e displaystyle T e nbsp Polynom 0 25 s 2 0 125 s 1 0 div 0 25 s 2 0 5 s 4 0 mit p 0 5 q 4 displaystyle left 0 25s 2 0 125s 1 0 right text div 0 25 quad quad s 2 0 5s 4 0 qquad text mit p 0 5 q 4 nbsp s p 1 2 p 2 p 2 4 q 0 5 2 0 5 2 4 4 0 25 j 1 984 displaystyle s p1 2 frac p 2 pm sqrt frac p 2 4 q frac 0 5 2 pm sqrt frac 0 5 2 4 4 0 25 pm j cdot 1 984 nbsp Ergebnis Das P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Glied lasst sich nicht in weitere P T 1 displaystyle PT 1 nbsp Glieder zerlegen Ermittlung der Dampfung D displaystyle D nbsp Durch Faktorenvergleich aus der gegebenen Normalform der Ubertragungsfunktion ergibt sich die Beziehung 0 125 2 D T mit T 0 25 0 5 displaystyle 0 125 2 cdot D cdot T quad text mit quad T sqrt 0 25 0 5 nbsp D 0 125 2 0 5 0 125 displaystyle D frac 0 125 2 cdot 0 5 0 125 nbsp Bestimmung der gedampften Eigenkreisfrequenz w d displaystyle omega d nbsp nach einem Eingangssprung 1 t 1 s displaystyle 1 t 1 s nbsp Die ungedampfte Kennkreisfrequenz w 0 displaystyle omega 0 nbsp der Sprungantwort des P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes lautet w 0 1 T 1 0 5 2 displaystyle omega 0 frac 1 T frac 1 0 5 2 nbsp Die gedampfte Eigenkreisfrequenz w d displaystyle omega d nbsp der Sprungantwort des P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes lautet w d w 0 1 D 2 2 1 0 125 2 1 984 3 displaystyle omega d omega 0 cdot sqrt 1 D 2 2 cdot sqrt 1 0 125 2 1 9843 nbsp Die Schwingfrequenz f d displaystyle f d nbsp des gedampften Systems lautet f d w d 2 p 1 984 3 2 p 0 315 9 displaystyle f d frac omega d 2 cdot pi frac 1 9843 2 cdot pi 0 3159 nbsp Die Periodendauer der gedampften Schwingung lautet T d 1 f d 1 0 315 9 3 165 6 displaystyle T d frac 1 f d frac 1 0 3159 3 1656 nbsp Ergebnis Siehe Periodendauer der Grafik Bei schwacher Dampfung sind w 0 displaystyle omega 0 nbsp und w d displaystyle omega d nbsp ahnlich Bestimmung der Ubertragungsfunktion fur reelle Pole D 1 displaystyle D geq 1 nbsp Gegeben Ubertragungsfunktion G s Y s U s 1 0 125 s 2 0 75 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 1 0 125s 2 0 75s 1 nbsp Gesucht Zerlegung in weitere P T 1 displaystyle PT 1 nbsp Glieder Polynom 0 125 s 2 0 75 s 1 0 div 0 125 s 2 6 s 8 0 mit p 6 q 8 displaystyle left 0 125s 2 0 75s 1 0 right text div 0 125 quad quad s 2 6s 8 0 qquad text mit p 6 q 8 nbsp s p 1 2 p 2 p 2 4 q 6 2 6 2 4 8 3 1 s p 1 2 s p 2 4 displaystyle s p1 2 frac p 2 pm sqrt frac p 2 4 q frac 6 2 pm sqrt frac 6 2 4 8 3 pm 1 qquad s p1 2 s p2 4 nbsp Das zu Null gesetzte Polynom wurde oben durch den Faktor 0 125 displaystyle 0 125 nbsp dividiert und muss berucksichtigt werden Ubertragungsfunktion in Pol Darstellung und Zeitkonstanten Darstellung G s Y s U s 8 s s p 1 s s p 2 8 s 4 s 2 1 0 25 s 1 0 5 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 8 s s p1 s s p2 frac 8 s 4 s 2 frac 1 0 25s 1 0 5s 1 nbsp Stabiles nicht schwingfahiges PT2 System D gt 1 BearbeitenZur Identifikation der Zeitkonstanten und Verstarkung eines nicht schwingenden P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Systems bieten sich mehrere Verfahren an Identifikation uber die Impulsantwort fur Ubertragungssysteme beliebiger Ordnung siehe Artikel Regelstrecke Zeit Prozent Kennwert Verfahren Schwarze nach der Sprungantwort mit Zeitwerten von y 10 y 50 y 90 displaystyle y 10 y 50 y 90 nbsp Prozent Dieses Verfahren gilt auch fur nichtschwingende Ubertragungsglieder hoherer Ordnung Siehe Artikel Regelstrecke Falls ein selbst erstelltes oder kommerzielles Rechenprogramm fur grafische Sprungantworten vorliegt empirische Losung durch Versuch und Irrtum Das folgende Verfahren und die Gleichungen wurden durch numerische Simulation und der Optimierung von Funktionen bestimmt 4 Vorgehensweise nbsp PT2 Sprungantwort Messung von k displaystyle k nbsp t 25 displaystyle t 25 nbsp und t 75 displaystyle t 75 nbsp P T 2 Glied Y s U s 2 1 0 5 s 1 s displaystyle PT 2 text Glied frac Y s U s frac 2 1 0 5s cdot 1 s nbsp Messung der Sprungantwort des Systems mit dem Eingangssprung u t displaystyle u t nbsp und der Sprungantwort des Systems y t displaystyle y t nbsp Bestimme die Zeiten t 25 displaystyle t 25 nbsp und t 75 displaystyle t 75 nbsp ausgehend vom Sprungzeitpunkt bis zu dem Zeitpunkt wo die Sprungantwort 25 displaystyle 25 nbsp bzw 75 displaystyle 75 nbsp vom stationaren Ausgangswert erreicht hat Bestimme die stationare Verstarkung k lim t y t u t displaystyle k lim t rightarrow infty dfrac y t u t nbsp Berechne folgende Zwischengrossen r P X displaystyle r P X nbsp r t 25 t 75 displaystyle r dfrac t 25 t 75 nbsp P 18 560 75 r 0 573 11 r 0 207 47 4 164 23 displaystyle P 18 56075 r dfrac 0 57311 r 0 20747 4 16423 nbsp X 14 279 7 r 3 9 389 1 r 2 0 254 37 r 1 321 48 displaystyle X 14 2797 r 3 9 3891 r 2 0 25437 r 1 32148 nbsp Berechne die beiden Zeitkonstanten T 1 displaystyle T 1 nbsp und T 2 displaystyle T 2 nbsp mitT 2 t 75 t 25 X 1 1 P displaystyle T 2 dfrac t 75 t 25 X 1 1 P nbsp T 1 T 2 P displaystyle T 1 dfrac T 2 P nbsp Darstellung der identifizierten UbertragungsfunktionG s k 1 s T 1 1 s T 2 displaystyle G s dfrac k 1 s T 1 cdot 1 s T 2 nbsp Berechnungsbeispiel der Identifizierung einer Ubertragungsfunktion aus der Sprungantwort Ablesung der Daten aus dem y t Diagrammy 25 0 5 t 25 0 7 y 75 1 5 t 75 2 0 displaystyle y 25 0 5 to t 25 0 7 qquad y 75 1 5 to t 75 2 0 nbsp Anhand der Gleichungen ergibt sich fur k 2 r 0 31 P 1 612 3 X 0 872 6 displaystyle k 2 r 0 31 P 1 6123 X 0 8726 nbsp Errechnete Zeitkonstanten T 2 0 919 5 T 1 0 570 3 displaystyle T 2 0 9195 T 1 0 5703 nbsp Anmerkung Durch eine genaue numerische Berechnung Auflosung D t 0 001 s displaystyle Delta t 0 001 s nbsp der Sprungantwort eines P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes wurde festgestellt dass vorgegebene Soll Zeitkonstanten T 1 und T 2 displaystyle T 1 text und T 2 nbsp nicht genau mit den errechneten Zeitkonstanten T 1 T 2 displaystyle T 1 T 2 nbsp Abweichung ca 6 ubereinstimmt dennoch ein brauchbares Ergebnis brachten Die Ursache Das Ergebnis der berechneten Zeitkonstanten ist offensichtlich eine gute Annaherung an die tatsachliche Funktion der Sprungantwort Es wurde empirisch festgestellt dass in einem Bereich von maximal 20 displaystyle pm 20 nbsp der kleineren Zeitkonstante T displaystyle T nbsp die Beziehung der Soll Zeitkonstanten zu den errechneten Zeitkonstanten gilt T 2 T 1 T 2 T 1 displaystyle T 2 T 1 T 2 T 1 quad nbsp Gilt fur einen Bereich von maximal 20 displaystyle pm 20 nbsp der kleineren Zeitkonstante T displaystyle T nbsp Daraus lasst sich beispielsweise fur die dargestellte Grafik ableiten dass die vermutete ursprungliche Ubertragungsfunktion wie folgt lautete G s 2 1 0 5 s 1 s 2 1 0 570 3 s 1 0 919 5 s displaystyle G s frac 2 1 0 5s cdot 1 s approx frac 2 1 0 5703s cdot 1 0 9195s nbsp In der grafischen Darstellung der Sprungantworten in einem Diagramm 10 10 cm ist der Verlauf der beiden Funktionen y t displaystyle y t nbsp praktisch deckungsgleich Die unnotige hohe Stellenzahl bis 7 Ziffern einschliesslich Dezimalstellen der Faktoren Konstanten kann auf 4 Ziffern einschliesslich der Dezimalstellen begrenzt werden ohne dass sich am Ergebnis der Zeitkonstanten etwas andern wurde Methoden der Berechnung des Zeitverhaltens von Ubertragungsgliedern G s BearbeitenLosung aus der gewohnlichen Differentialgleichung bis maximal zweiter Ordnung sehr umstandlich Losung aus der Ubertragungsfunktion durch Partialbruchzerlegung in einfache additive Terme die sich leicht in den Zeitbereich transformieren lassen durch Anwendung von Laplace Transformationstabellen welche die korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich enthalten Anmerkung enthalt ein Ubertragungssystem Schwingungsanteile ergeben sich laut Transformationstabellen aufwendige trigonometrische Gleichungen Benutzung fertiger kommerzieller Programme wie Matlab und Simulink Umwandlung von gewohnlichen Differentialgleichungen eines Ubertragungssystems in Differenzengleichungen die sich tabellarisch leicht losen lassen Die Berechnung des Zeitverhaltens eines P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Gliedes aus der Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp wird ublicherweise fur normierte Eingangssignale U s displaystyle U s nbsp durchgefuhrt Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal u t 1 t U s 1 s displaystyle u t 1 t U s frac 1 s nbsp wird der Ubertragungsfunktion der Term 1 s displaystyle frac 1 s nbsp multiplikativ angehangt Wird letzteres nicht durchgefuhrt erhalt man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort Berechnung der Sprungantwort eines PT2 Gliedes im Zeitbereich Bearbeiten Die in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik dargestellten Tabellen der wichtigsten Laplace Transformationen erlauben die Berechnung des Zeitverhaltens eines Ubertragungssystems fur eine gegebene Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp Die Korrespondenz Tabellen enthalten fur die nachfolgend dargestellten definierten Formen der Eingangssignale U s displaystyle U s nbsp die zugehorigen Gleichungen zur Berechnung des Ausgangssignals im Zeitbereich y t displaystyle y t nbsp Um die Gleichung zur Berechnung das Zeitverhaltens des Ubertragungssystems zu bestimmen muss die gegebene Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp mit der Art des Eingangssignals U s displaystyle U s nbsp multipliziert werden Folgende normierte Laplace transformierte Eingangssignale U s displaystyle U s nbsp lauten Impulsfunktion U d s 1 displaystyle U delta s 1 nbsp Einheitssprung Sprungfunktion U s s 1 s displaystyle U sigma s frac 1 s nbsp Anstiegsfunktion U a s 1 s 2 displaystyle U a s frac 1 s 2 nbsp Sinusfunktion U s s w s 2 w 2 displaystyle U s s frac omega s 2 omega 2 nbsp Fur die Bestimmung des Zeitverhaltens eines PT2 Gliedes lautet die in der Transformationstabelle zu suchende Form der Gleichung Y s G s U s Suchbegriff displaystyle Y s underbrace G s cdot U s text Suchbegriff nbsp y t L 1 G s U s Suchbegriff displaystyle y t mathcal L 1 underbrace left G s cdot U s right text Suchbegriff nbsp Die Laplace Rucktransformation in den Zeitbereich mit Hilfe von Laplace Transformationstabellen erfolgt mit der gesuchten Funktion G s displaystyle G s nbsp multipliziert mit dem gewunschten Eingangssignal U s displaystyle U s nbsp Fur den Einheitssprung U s s 1 s displaystyle U sigma s frac 1 s nbsp auf das PT2 Glied gilt Y s 1 s K 1 w d 2 s 2 2 D w d s 1 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K frac 1 omega d 2 cdot s 2 frac 2 cdot D omega d cdot s 1 nbsp oder Y s 1 s K T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 nbsp Fallunterscheidung der Sprungantwort nach dem Dampfungsgrad D 0 D 1 D gt 1 D lt 0 Bearbeiten Fur D 0 displaystyle D 0 nbsp Das System antwortet mit einer konstanten Dauerschwingung um den Wert der Verstarkung K displaystyle K nbsp Damit verschwindet der Term 2 D T displaystyle 2DT nbsp in der Ubertragungsfunktion und die Gleichung fur die Berechnung des Zeitverhaltens vereinfacht sich Fur D 1 displaystyle D geq 1 nbsp vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung des Zeitverhaltens weil das Ubertragungsverhalten durch zwei P T 1 displaystyle PT 1 nbsp Glieder der Ubertragungsfunktion bestimmt wird Bei D 1 displaystyle D 1 nbsp sind die Zeitkonstanten der Ubertragungsfunktion T 1 T 2 displaystyle T 1 T 2 nbsp Fur D lt 0 displaystyle D lt 0 nbsp ergibt sich ein konjugiert komplexer Doppelpol mit positivem Realteil Der Term 2 D T displaystyle 2DT nbsp wird negativ Das Ubertragungsglied antwortet mit instabilen zunehmend steigenden Amplituden Anmerkung Die instabilen Verzogerungsglieder falschlicherweise instabile P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Glieder genannt haben kein proportionales Verhalten Man kann sie als Instabile T 2 displaystyle T 2 nbsp Glieder bezeichnen Zeitverhalten der Sprungantwort eines PT2 Gliedes als Funktion der Dampfung BearbeitenJe nach gegebenen Zahlenwerten einer Ubertragungsfunktion G s ergeben sich unterschiedliche Darstellungen des Systemzeitverhaltens G s Y s U s b 0 a 2 s 2 a 1 s a 0 K T 1 T 2 s 2 T 1 T 2 s 1 K T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac b 0 a 2 cdot s 2 a 1 cdot s a 0 frac K T 1 cdot T 2 cdot s 2 T 1 T 2 cdot s 1 frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 nbsp Liegen die Zahlenwerte einer Ubertragungsfunktion in Polynomdarstellung vor lassen sich die 2 Pole s p i displaystyle s pi nbsp des Nennerpolynoms bestimmen Sind sie negativ und reell lassen sich die Zeitkonstanten T 1 1 s p 1 und T 2 1 s p 2 displaystyle T 1 frac 1 s p1 quad text und quad T 2 frac 1 s p2 nbsp errechnen Sind die Pole konjugiert komplex mit negativem Realteil lasst sich das System nicht in P T 1 displaystyle PT 1 nbsp Glieder aufspalten Dabei handelt es sich um einen gespiegelten Doppelpol welcher bei der Sprungantwort des Systems eine gedampfte Schwingung hervorruft Je nach Zahlenwerten lassen sich mit T T 2 displaystyle T sqrt T 2 nbsp und D 1 D 0 D 1 displaystyle D 1 D 0 D 1 nbsp verschiedene Formen des Ubertragungsverhaltens des Systems darstellen Anmerkung Die Ubertragungsfunktion als Suchfunktion in den Laplace Transformationstabellen andert sich fur die Dampfungsgrade D 0 displaystyle D 0 nbsp D 1 displaystyle D 1 nbsp und D 1 displaystyle D 1 nbsp Damit andern sich auch die Gleichungen fur den Zeitbereich 5 Dampfung Normierte Sprungantwort y t L 1 G s 1 s displaystyle y t mathcal L 1 left G s cdot frac 1 s right nbsp KommentarD gt 1 displaystyle D gt 1 nbsp Kriechfall Y s 1 s K T 2 s 2 2 D T s 1 T 1 T 2 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 qquad T 1 neq T 2 nbsp y t K 1 T 1 T 1 T 2 e t T 1 T 2 T 1 T 2 e t T 2 displaystyle y t K left 1 frac T 1 T 1 T 2 mathrm e frac t T 1 frac T 2 T 1 T 2 mathrm e frac t T 2 right nbsp Der Systemausgang enthalt keine Schwinganteile Der asymptotische Zeitverlauf der Sprungantwort wird durch zwei P T 1 displaystyle PT 1 nbsp Glieder mit unterschiedlichen Zeitkonstanten bestimmt Die grossere Zeitkonstante dominiert den Verlauf D 1 displaystyle D 1 nbsp aperiodischer Grenzfall Y s 1 s K T 2 s 2 2 D T s 1 T 1 T 2 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 qquad T 1 T 2 nbsp y t K 1 e t T 1 t T 1 e t T 2 displaystyle y t K left 1 mathrm e frac t T 1 frac t T 1 mathrm e frac t T 2 right nbsp nbsp Darstellung 1 T1 T2 2 D 10 lt D lt 1 displaystyle 0 lt D lt 1 nbsp stabiler Schwingfall Y s 1 s K T 2 s 2 2 D T s 1 1 s 0 25 s 2 0 125 s 1 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 frac 1 s cdot 0 25s 2 0 125s 1 nbsp y t K 1 1 1 D 2 e D w 0 t sin w 0 1 D 2 t arccos D displaystyle y t K left 1 frac 1 sqrt 1 D 2 cdot mathrm e D omega 0 t cdot sin omega 0 sqrt 1 D 2 t arccos D right nbsp w e w 0 1 D 2 displaystyle omega textrm e omega 0 sqrt 1 D 2 nbsp Das System enthalt 2 konjugiert komplexe Pole s p 1 2 0 25 j 1 98 displaystyle s p1 2 0 25 pm j cdot 1 98 nbsp nbsp T 0 5 D 0 125D 0 displaystyle D 0 nbsp grenzstabiler Schwingfall Y s 1 s K T 2 s 2 1 1 s 0 25 s 2 1 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 1 frac 1 s cdot 0 25s 2 1 nbsp y t siehe Laplace Transformationstabelle displaystyle y t text siehe Laplace Transformationstabelle nbsp Das System enthalt 2 konjugiert komplexe Pole s p 1 2 0 j 2 displaystyle s p1 2 0 pm j cdot 2 nbsp nbsp T 0 5 D 0 K 1 1 lt D lt 0 displaystyle 1 lt D lt 0 nbsp instabiler Schwingfall Y s 1 s K T 2 s 2 2 D T s 1 1 s 1 0 25 s 2 0 125 s 1 displaystyle Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 frac 1 s cdot frac 1 0 25s 2 0 125s 1 nbsp y t siehe Laplace Transformationstabelle D ist negativ displaystyle y t text siehe Laplace Transformationstabelle qquad D text ist negativ nbsp Das System enthalt 2 konjugiert komplexe Pole mit positivem Realteil s p 1 2 0 25 j 1 98 displaystyle s p1 2 0 25 pm j cdot 1 98 nbsp nbsp T 0 5 D 0 125D lt 1 displaystyle D lt 1 nbsp instabiler Kriechfall Y s Y s 1 s K T 2 s 2 2 D T s 1 1 s 1 50 s 2 15 s 1 displaystyle Y s Y s frac 1 s cdot frac K T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 frac 1 s cdot frac 1 50 cdot s 2 15 cdot s 1 nbsp y t K 1 T 1 T 1 T 2 e t T 1 T 2 T 1 T 2 e t T 2 T 1 T 2 displaystyle y t K left 1 frac T 1 T 1 T 2 mathrm e frac t T 1 frac T 2 T 1 T 2 mathrm e frac t T 2 right qquad T 1 neq T 2 nbsp Das System enthalt 2 reelle positive Pole und lasst sich damit in 2 instabile T1 Glieder aufspalten s p 1 0 1 s p 2 0 2 T 7 07 D 1 06 T 1 10 T 2 5 displaystyle s p1 0 1 s p2 0 2 T 7 07 D 1 06 T 1 10 T 2 5 nbsp nbsp T1 10 T2 5 D 1 06 K 1 nbsp Sprungantwort eines PT2 Gliedes K 2 T 1 D 0 2 1 5 Beispielverlaufe der Sprungantworten fur unterschiedliche D Werte D 0 D 0 2 D 1 D 5 displaystyle D 0 D 0 2 D 1 D 5 nbsp Die Ubertragungsfunktionen G s displaystyle G s nbsp der dargestellten Grafikverlaufe lassen sich anhand von Faktorenvergleich mit der Grundform bestimmen Fur alle Verlaufe gilt T 1 K 2 Fur das P T 2 k k displaystyle PT2 kk nbsp Glied mit D 0 displaystyle D 0 nbsp lautet die Ubertragungsfunktion G s Y s U s 2 s 2 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 2 s 2 1 nbsp dd Fur das P T 2 k k displaystyle PT2 kk nbsp Glied mit D 0 2 displaystyle D 0 2 nbsp lautet die Ubertragungsfunktion G s Y s U s 2 s 2 0 4 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 2 s 2 0 4 cdot s 1 nbsp dd Fur das P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Glied mit D 1 displaystyle D 1 nbsp lautet die Ubertragungsfunktion G s Y s U s 2 s 2 2 s 1 2 s 1 2 displaystyle G s frac Y s U s frac 2 s 2 2 cdot s 1 frac 2 s 1 2 nbsp dd Fur das P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Glied mit D 5 displaystyle D 5 nbsp lautet die Ubertragungsfunktion Verfahren siehe Berechnungsbeispiel G s Y s U s 2 s 2 10 s 1 2 s 9 899 s 0 101 2 0 011 s 1 9 90 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 2 s 2 10 cdot s 1 frac 2 s 9 899 s 0 101 frac 2 0 011s 1 9 90s 1 nbsp mit s p 1 9 899 s p 2 0 101 displaystyle s p1 9 899 s p2 0 101 nbsp dd Grafische Methoden des Bodediagramms und der Ortskurve zur Bestimmung der Stabilitat BearbeitenEine Phasenverschiebung von f lt 180 und eine Verstarkung gt 1 fuhrt von der Gegenkopplung zur Mitkopplung und damit zur oszillierenden Instabilitat wenn der Regelkreis geschlossen wird Aus diesem Verhalten hat der amerikanische Physiker Harry Nyquist Stabilitatskriterien abgeleitet die sich auf den offenen Regelkreis beziehen und fur die Schliessbedingung des Regelkreises anzuwenden sind Die grafischen Stabilitatsverfahren uber das Bodediagramm und der Ortskurve des Frequenzgangs dienen dem Verstandnis von Teilgebieten der Systemtheorie sind aber keine Alternativen zur numerischen Berechnung eines Regelkreises bei dem tabellarisch das innere Teil Systemverhalten fur jede Berechnungsfolge y k Dt dargestellt und grafisch der zeitliche Signalverlauf verschiedener Ausgangsgrossen fur eine beliebige Eingangsgrosse gezeigt wird Bodediagramm Bearbeiten Beim PT2 Glied ist F j w K 1 2 D j w w 0 j w w 0 2 displaystyle F j omega frac K 1 2D frac j omega omega 0 Bigl frac j omega omega 0 Bigr 2 nbsp der Frequenzgang Daher gilt fur den Amplituden und Phasengang im Bodediagramm F j w K 1 w w 0 2 2 2 D w w 0 2 displaystyle F j omega frac K sqrt Bigl 1 Bigl frac omega omega 0 Bigr 2 Bigr 2 Bigl 2D frac omega omega 0 Bigr 2 nbsp f w arctan 2 D w w 0 1 w w 0 2 displaystyle varphi omega arctan left frac 2D frac omega omega 0 1 Bigl frac omega omega 0 Bigr 2 right nbsp Die folgende Abbildung zeigt den Amplituden und Phasengang Typisch fur ein PT2 Glied ist der Abfall der Amplitude um 40 dB je Dekade Auch ist die Phasenverschiebung von 180 kennzeichnend An der Uberhohung im Amplitudengang kann man erkennen dass fur die Dampfung 0 lt D lt 1 2 displaystyle 0 lt D lt frac 1 sqrt 2 nbsp gelten muss Keine Uberhohung bedeutet eine Dampfung D 1 2 displaystyle D geq frac 1 sqrt 2 nbsp Bei der Kennkreisfrequenz Eckfrequenz 10 0 displaystyle 10 0 nbsp hat die Phasenverschiebung einen Wert von 90 Mit zunehmend steigenden Frequenzen betragt die Phasenverschiebung maximal 180 nbsp Bodediagramm eines PT2 Gliedes K 2 T 1 D 0 2 1 5 Ortskurve des Frequenzgangs Bearbeiten Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginarteil aufgelost und in ein Koordinatensystem eingetragen Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginarteile die waagerechten Achse die Realteile Die Ortskurve 0 w displaystyle 0 leq omega leq infty nbsp des PT2 Gliedes verlauft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse in Abhangigkeit von der Dampfung d durch den vierten und dritten Quadranten fur w displaystyle omega to infty nbsp aus Richtung der negativen reellen Achse in den Punkt 0 nbsp Ortskurve eines PT2 Gliedes K 2 T 1 D 0 2 1 5 Siehe auch BearbeitenRegler P Glied I Glied D Glied PT1 Glied PID Regler Totzeit GliedWeblinks BearbeitenJava Applet zum PT2 GliedEinzelnachweise Bearbeiten H Lutz W Wendt Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink 12 erganzte Auflage Verlag Europa Lehrmittel 2021 ISBN 978 3 8085 5870 6 Autor Jan Lunze Regelungstechnik 1 Springer Vieweg Berlin 8 Auflage 2014 ISBN 978 3 642 53943 5 Hauptkapitel Ubertragungsfunktion Unterkapitel Pole und Nullstellen Gerd Schulz Regelungstechnik 1 2007 Kapitel Schwingfahige P T 2 displaystyle PT 2 nbsp Strecken Identification of a damped PT2 system Hackaday io Abgerufen am 27 Juli 2018 englisch Lutz Wendt Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink Kapitel PT2 Element Proportional Element mit Verzogerung II Ordnung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title PT2 Glied amp oldid 229466572
