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Frequenzgang Der ist der Zusammenhang zwischen Ein und Ausgangssignal eines linearen zeitinvarianten Systems LZI System

Frequenzgang

Der Frequenzgang ist der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal eines linearen zeitinvarianten Systems (LZI-System) bei einer sinusförmigen Anregung bezüglich der Amplitude und der Phase. Er ist daher eine komplexe Funktion der Frequenz.

Das Ausgangssignal hat wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz wie das Eingangssignal. Die beiden Signale unterscheiden sich jedoch in der Amplitude und in der Phase. Das Verhältnis der Amplituden von Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der Amplitudengang, bisweilen auch Betragsfrequenzgang genannt. Der Unterschied der Phase zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz ist der Phasengang.

Der Frequenzgang kann auch aus der Fourier-Transformierten der Impulsantwort des Systems bestimmt werden.

Allgemeines Bearbeiten

Der Frequenzgang beschreibt den Zusammenhang zwischen sinusförmigen Schwingungen am Ein- und Ausgang eines Systems (Übertragungsgliedes) als Funktion der Frequenz f oder der Kreisfrequenz ω.

Das System hat dabei folgende Eigenschaften:

Frequenzantwort eines PT1-Gliedes:
Die Ausgangsamplitude ist bei höherer Frequenz kleiner.
Bode-Diagramm:
Amplituden- und Phasen-Frequenzgang eines passiven Tiefpasses oder PT1-Gliedes
Ortskurve eines passiven Tiefpasses oder PT1-Glieds

Ein solches System hat bei harmonischem Eingangssignal

ein harmonisches Ausgangssignal:

Auf Grund der Linearität wird die Kreisfrequenz nicht beeinflusst. Lediglich Amplitude ( → ) und Phase ( → ) werden verändert.

Der Amplituden-Frequenzgang ist das Verhältnis

Der Phasen-Frequenzgang ist die Phasendifferenz

Graphische Darstellung Bearbeiten

Bode-Diagramm Bearbeiten

Zur anschaulichen Darstellung des Frequenzgangs dient das Bode-Diagramm (siehe Abbildung). In je einem Graph ist der Amplituden-Frequenzgang und der Phasen-Frequenzgang dargestellt. Die Achsen sind mehrheitlich logarithmisch geteilt (außer der für die Phasenverschiebung), was den Gebrauch des Diagramms erleichtert. So ist zum Beispiel die Multiplikation zweier Frequenzgänge eine einfache Streckenaddition, und die Inversion eines Frequenzgangs ergibt sich durch Spiegelung an der f- oder ω- Achse im Diagramm.

Ortskurve Bearbeiten

Eine alternative anschauliche Darstellung des Frequenzgangs ist seine Ortskurve. Dieses Zeigerbild enthält im Gegensatz zum Bode-Diagramm beide Informationen: Die Zeigerlänge entspricht dem Amplitudenverhältnis, sein Argument φ ist die Phasenverschiebung.

Diese Ortskurve wird auch Nyquist-Diagramm genannt. Mit der Vorstellung, dass in der (komplexen) Ebene lediglich die Spitzen eingefrorener Zeiger zur Ortskurve verbunden sind, kann der Frequenzgang ohne Kenntnis der komplexen Mathematik und der mathematischen Transformationen aus dem Zeit- in den Frequenzbereich anschaulich gemacht werden.

Fourier-Transformation Bearbeiten

LZI-Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden werden durch die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung im Zeitbereich (Zeit als Variable) beschrieben:

Die Anwendung der Fourier-Transformation auf die Differentialgleichung führt zum Frequenzgang als Bild-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

Frequenzgang ist der Quotient aus den Fouriertransformierten des Ausgangs-Signals und des Eingangs-Signals:

Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die Gewichtsfunktion oder Impulsantwort:

Schreibweisen des Frequenzgangs:

  • mit Real- und Imaginärteil
  • mit Betrag und Phase

Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion Bearbeiten

siehe Hauptartikel: Übertragungsfunktion

Mit in geht die Laplace-Übertragungsfunktion in den Frequenzgang über.

Der Frequenzgang beschreibt daher keine Übergangsvorgänge (Einschwingvorgänge durch Zeitkonstanten). Und er ist auch nicht geeignet zur Beschreibung von instabilen aufklingenden Systemen.

Die Laplace-Übertragungsfunktion ist in diesen Aspekten durch den zusätzlichen Parameter allgemeiner.

Experimentelle Bestimmung Bearbeiten

Die Bedeutung des Frequenzgangs für LZI-Systeme beruht auf der Einfachheit seiner experimentellen Gewinnung. Dazu wird das System mit einem Signalgenerator mit verschiedenen Frequenzen angeregt und die Systemantwort gemessen.

Bei Systemen mit einem schnellen Einschwingverhalten nach einer (kleinen) Frequenzänderung kann die Messung mittels eines Wobbelgenerators erfolgen, wie zum Beispiel in der Nachrichtentechnik. Der Wobbelgenerator ist ein spezieller Signalgenerator, der seine Ausgangs-Frequenz kontinuierlich ändert.

Frequenzgang-Bestimmung mit Signalgenerator und zeitsynchroner Messung

Falls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunächst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr ändert, dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators zeitaufwändiger.

In diesem Fall ist es einfacher das System mit allen interessierenden Frequenzen gleichzeitig anzuregen und den Frequenzgang beispielsweise über die Messung der Impulsantwort zu bestimmen.

In jedem Fall benötigt die experimentelle Frequenzgang-Bestimmung eine zeitsynchrone Messung des Eingangssignals x und des Ausgangssignal y des Systems.

Wortbedeutung im weiteren Sinn Bearbeiten

In einem allgemeineren Sinn kann mit „Frequenzgang“ auch eine andere frequenzabhängige Eigenschaft eines physikalischen Systems gemeint sein, wie zum Beispiel die Leistungsaufnahme, die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz. Gebräuchlicher als z. B. „Frequenzgang einer Leistung“ ist allerdings die Ausdrucksweise „Frequenzabhängigkeit einer Leistung“. Einer Quelle zufolge bezeichnet „Frequenzgang“ im Sprachgebrauch der Regelungstechniker auch das bekannte Frequenzspektrum von speziellen nichtperiodischen Anregungssignalen.

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Unbehauen: Regelungstechnik I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7.
  • Jan Lunze: Regelungstechnik 1. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-70790-5.
  • Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.
  • Günther Schmidt: Grundlagen der Regelungstechnik. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.
  2. Winfried Oppelt: Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge. Verlag Chemie, 1972, ISBN 3-527-25347-5, S. 60.
  3. Günther Schmidt: Grundlagen der Regelungstechnik. Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6
  4. Die Brockhaus Enzyklopädie-Online. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus; abgerufen am 22. Juni 2010. Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermaßen: „Physik, Technik: allgemein der Verlauf einer physikalischen Größe als Funktion der Frequenz (der Kreisfrequenz ω), auch Bezeichnung für diese Funktion selbst; im engeren Sinn Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Übertragungsglieder der Nachrichten- oder Regelungstechnik kennzeichnet“
  5. Kurt Magnus, Karl Popp: Schwingungen – Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. Teubner, ISBN 3-519-52301-9, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. Kurt Reinschke: Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie. Springer-Verlag, S. 44 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
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Veröffentlichungsdatum:
Der Frequenzgang ist der Zusammenhang zwischen Ein und Ausgangssignal eines linearen zeitinvarianten Systems LZI System bei einer sinusformigen Anregung bezuglich der Amplitude und der Phase Er ist daher eine komplexe Funktion der Frequenz Das Ausgangssignal hat wegen des linearen Verhaltens des Systems dieselbe Frequenz wie das Eingangssignal Die beiden Signale unterscheiden sich jedoch in der Amplitude und in der Phase Das Verhaltnis der Amplituden von Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhangigkeit von der Frequenz ist der Amplitudengang bisweilen auch Betragsfrequenzgang genannt Der Unterschied der Phase zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal in Abhangigkeit von der Frequenz ist der Phasengang Der Frequenzgang kann auch aus der Fourier Transformierten der Impulsantwort des Systems bestimmt werden 1 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Graphische Darstellung 2 1 Bode Diagramm 2 2 Ortskurve 3 Fourier Transformation 4 Zusammenhang mit der Ubertragungsfunktion 5 Experimentelle Bestimmung 6 Wortbedeutung im weiteren Sinn 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseAllgemeines BearbeitenDer Frequenzgang beschreibt den Zusammenhang zwischen sinusformigen Schwingungen am Ein und Ausgang eines Systems Ubertragungsgliedes als Funktion der Frequenz f oder der Kreisfrequenz w Das System hat dabei folgende Eigenschaften Linearitat Zeitinvarianz Stabilitat die Ausgangs Schwingung klingt bei gleichbleibender Eingangs Anregung nicht auf z B wegen Resonanz nbsp Frequenzantwort eines PT1 Gliedes Die Ausgangsamplitude ist bei hoherer Frequenz kleiner nbsp Bode Diagramm Amplituden und Phasen Frequenzgang eines passiven Tiefpasses oder PT1 Gliedes nbsp Ortskurve eines passiven Tiefpasses oder PT1 GliedsEin solches System hat bei harmonischem Eingangssignal x t x sin w t ϕ x displaystyle x t hat x sin omega t phi x nbsp ein harmonisches Ausgangssignal y t y w sin w t ϕ y w displaystyle y t hat y omega sin omega t phi y omega nbsp Auf Grund der Linearitat wird die Kreisfrequenz w displaystyle omega nbsp nicht beeinflusst Lediglich Amplitude x displaystyle hat x nbsp y displaystyle hat y nbsp und Phase ϕ x displaystyle phi x nbsp ϕ y displaystyle phi y nbsp werden verandert Der Amplituden Frequenzgang ist das Verhaltnis A w y w x displaystyle A omega frac hat y omega hat x nbsp Der Phasen Frequenzgang ist die Phasendifferenz ϕ w ϕ y w ϕ x displaystyle phi omega phi y omega phi x nbsp Graphische Darstellung BearbeitenBode Diagramm Bearbeiten Zur anschaulichen Darstellung des Frequenzgangs dient das Bode Diagramm siehe Abbildung In je einem Graph ist der Amplituden Frequenzgang und der Phasen Frequenzgang dargestellt Die Achsen sind mehrheitlich logarithmisch geteilt ausser der fur die Phasenverschiebung was den Gebrauch des Diagramms erleichtert So ist zum Beispiel die Multiplikation zweier Frequenzgange eine einfache Streckenaddition und die Inversion eines Frequenzgangs ergibt sich durch Spiegelung an der f oder w Achse im Diagramm 2 Ortskurve Bearbeiten Eine alternative anschauliche Darstellung des Frequenzgangs ist seine Ortskurve Dieses Zeigerbild enthalt im Gegensatz zum Bode Diagramm beide Informationen Die Zeigerlange entspricht dem Amplitudenverhaltnis sein Argument f ist die Phasenverschiebung Diese Ortskurve wird auch Nyquist Diagramm genannt Mit der Vorstellung dass in der komplexen Ebene lediglich die Spitzen eingefrorener Zeiger zur Ortskurve verbunden sind kann der Frequenzgang ohne Kenntnis der komplexen Mathematik und der mathematischen Transformationen aus dem Zeit in den Frequenzbereich anschaulich gemacht werden Fourier Transformation BearbeitenLZI Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden werden durch die lineare Differentialgleichung n ter Ordnung im Zeitbereich Zeit als Variable beschrieben y n a n 1 y n 1 a 1 y 1 a 0 y b m x m b 1 x 1 b 0 x displaystyle y n a n 1 y n 1 ldots a 1 y 1 a 0 y b m x m ldots b 1 x 1 b 0 x nbsp Die Anwendung der Fourier Transformation auf die Differentialgleichung fuhrt zum Frequenzgang als Bild Funktion in der komplexen Zahlenebene Frequenzgang H j w displaystyle H mathrm j omega nbsp ist der Quotient aus den Fouriertransformierten Y j w displaystyle Y mathrm j omega nbsp des Ausgangs Signals und X j w displaystyle X mathrm j omega nbsp des Eingangs Signals H j w Y j w X j w b m j w m b 1 j w b 0 j w n a n 1 j w n 1 a 1 j w a 0 displaystyle H mathrm j omega frac Y mathrm j omega X mathrm j omega frac b m mathrm j omega m ldots b 1 mathrm j omega b 0 mathrm j omega n a n 1 mathrm j omega n 1 ldots a 1 mathrm j omega a 0 nbsp Fourier Rucktransformierte des Frequenzganges ist die Gewichtsfunktion oder Impulsantwort g t 1 2 p H j w e j w t d w displaystyle g t frac 1 2 pi int infty infty H mathrm j omega e mathrm j omega t mathrm d omega nbsp Schreibweisen des Frequenzgangs mit Real und ImaginarteilH j w Re H j w j Im H j w displaystyle H mathrm j omega operatorname Re H mathrm j omega mathrm j operatorname Im H mathrm j omega nbsp mit Betrag und PhaseH j w H j w e j f j w displaystyle H mathrm j omega left H mathrm j omega right e mathrm j varphi mathrm j omega nbsp H j w Re H j w 2 Im H j w 2 displaystyle left H mathrm j omega right sqrt operatorname Re H mathrm j omega 2 operatorname Im H mathrm j omega 2 nbsp Betragf j w arctan Im H j w Re H j w displaystyle varphi mathrm j omega arctan left frac operatorname Im H mathrm j omega operatorname Re H mathrm j omega right nbsp PhaseZusammenhang mit der Ubertragungsfunktion Bearbeitensiehe Hauptartikel UbertragungsfunktionMit s 0 displaystyle sigma 0 nbsp in s s j w displaystyle s sigma j omega nbsp geht die Laplace Ubertragungsfunktion F s displaystyle F s nbsp in den Frequenzgang F w displaystyle F omega nbsp uber Der Frequenzgang beschreibt daher keine Ubergangsvorgange Einschwingvorgange durch Zeitkonstanten Und er ist auch nicht geeignet zur Beschreibung von instabilen aufklingenden Systemen Die Laplace Ubertragungsfunktion ist in diesen Aspekten durch den zusatzlichen Parameter s displaystyle sigma nbsp allgemeiner Experimentelle Bestimmung BearbeitenDie Bedeutung des Frequenzgangs fur LZI Systeme beruht auf der Einfachheit seiner experimentellen Gewinnung Dazu wird das System mit einem Signalgenerator mit verschiedenen Frequenzen angeregt und die Systemantwort gemessen Bei Systemen mit einem schnellen Einschwingverhalten nach einer kleinen Frequenzanderung kann die Messung mittels eines Wobbelgenerators erfolgen wie zum Beispiel in der Nachrichtentechnik Der Wobbelgenerator ist ein spezieller Signalgenerator der seine Ausgangs Frequenz kontinuierlich andert nbsp Frequenzgang Bestimmung mit Signalgenerator und zeitsynchroner MessungFalls jedoch nach jeder Frequenzanregung zunachst eine gewisse Zeit abgewartet werden muss bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr andert dann ist der Prozess mit Hilfe eines Signalgenerators zeitaufwandiger 3 In diesem Fall ist es einfacher das System mit allen interessierenden Frequenzen gleichzeitig anzuregen und den Frequenzgang beispielsweise uber die Messung der Impulsantwort zu bestimmen In jedem Fall benotigt die experimentelle Frequenzgang Bestimmung eine zeitsynchrone Messung des Eingangssignals x und des Ausgangssignal y des Systems Wortbedeutung im weiteren Sinn BearbeitenIn einem allgemeineren Sinn kann mit Frequenzgang auch eine andere frequenzabhangige Eigenschaft eines physikalischen Systems gemeint sein wie zum Beispiel die Leistungsaufnahme die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz 4 5 Gebrauchlicher als z B Frequenzgang einer Leistung ist allerdings die Ausdrucksweise Frequenzabhangigkeit einer Leistung Einer Quelle zufolge bezeichnet Frequenzgang im Sprachgebrauch der Regelungstechniker auch das bekannte Frequenzspektrum von speziellen nichtperiodischen Anregungssignalen 6 Literatur BearbeitenHeinz Unbehauen Regelungstechnik I Friedr Vieweg amp Sohn Verlagsgesellschaft mbH 1997 ISBN 3 528 83332 7 Jan Lunze Regelungstechnik 1 6 Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 70790 5 Wilfried Weissgerber Elektrotechnik fur Ingenieure 2 Vieweg 2007 ISBN 978 3 8348 0191 3 Gunther Schmidt Grundlagen der Regelungstechnik Springer Verlag 1987 ISBN 3 540 17112 6 Weblinks BearbeitenKennen Sie den Frequenzgang des Gehors PDF 112 kB Einzelnachweise Bearbeiten Bernd Girod Rudolf Rabenstein Alexander Stenger Einfuhrung in die Systemtheorie 4 Auflage Teubner Wiesbaden 2007 ISBN 978 3 8351 0176 0 Winfried Oppelt Kleines Handbuch technischer Regelvorgange Verlag Chemie 1972 ISBN 3 527 25347 5 S 60 Gunther Schmidt Grundlagen der Regelungstechnik Springer Verlag 1987 ISBN 3 540 17112 6 Die Brockhaus Enzyklopadie Online Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus abgerufen am 22 Juni 2010 Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermassen Physik Technik allgemein der Verlauf einer physikalischen Grosse als Funktion der Frequenz der Kreisfrequenz w auch Bezeichnung fur diese Funktion selbst im engeren Sinn Bezeichnung fur eine komplexe Funktion die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Ubertragungsglieder der Nachrichten oder Regelungstechnik kennzeichnet Kurt Magnus Karl Popp Schwingungen Eine Einfuhrung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen Teubner ISBN 3 519 52301 9 S 30 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Kurt Reinschke Lineare Regelungs und Steuerungstheorie Springer Verlag S 44 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frequenzgang amp oldid 237364552