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Stabilitätstheorie Die mathematische beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen die als Abweichung von bestimmte

Stabilitätstheorie

Die mathematische Stabilitätstheorie beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen, die als Abweichung von bestimmten Zuständen dynamischer Systeme auftreten. Ein solcher Zustand kann etwa eine Ruhelage oder ein bestimmter Orbit sein, z. B. ein periodischer Orbit. Ein System ist instabil, wenn eine kleine Störung zu großen und aufklingenden Abweichungen führt.

Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitätstheorie in der Physik und in der Theoretischen Biologie angewendet sowie in technischen Gebieten, z. B. in der Technischen Mechanik oder der Regelungstechnik.

Die Lösungsansätze für die Probleme der Stabilitätstheorie sind gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Mathematische Stabilitätsbegriffe Bearbeiten

Für die Charakterisierung der Stabilität der Ruhelage eines dynamischen Systems existieren mehrere Stabilitätsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage:

  • Eine Ruhelage heißt Ljapunow-stabil, wenn eine hinreichend kleine Störung auch stets klein bleibt. Präziser formuliert: Für jedes existiert ein derart, dass für alle Zeiten und alle Trajektorien mit gilt: .
  • Eine Ruhelage heißt attraktiv, wenn es ein derart gibt, dass jede Trajektorie mit für alle existiert und die folgende Grenzwertbedingung erfüllt:
  • Eine Ruhelage heißt asymptotisch stabil, wenn sie Ljapunow-stabil und attraktiv ist.
  • Eine Ruhelage heißt neutral stabil oder marginal stabil, wenn sie stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist.

Für den Fall diskreter Systeme, die durch Differenzengleichungen beschrieben werden, ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung und es sind ähnliche Stabilitätsdefinitionen üblich.

Stabilitätsanalyse linearer zeitinvarianter Systeme Bearbeiten

Bedeutung der Pole und der konjugiert komplexen Polpaare in der linken und rechten s-Halbebene

Bei zeitkontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität an der Übertragungsfunktion durch die Lage der Pole in der s-Ebene (Nennerpolynom der Laplace Übertragungsfunktion) abgelesen werden:

  • Asymptotische Stabilität: wenn sämtliche Pole in der linken s-Halbebene liegen,
  • Grenzstabilität: wenn kein Pol in der rechten s-Halbebene liegt und mindestens ein einfacher Pol, aber kein mehrfacher Pol, auf der imaginären Achse der s-Halbebene liegt,
  • Instabilität: sonst (wenn mindestens ein Pol in der rechten s-Halbebene liegt oder wenn mindestens ein mehrfacher Pol auf der imaginären Achse der s-Ebene liegt).

Bei zeitdiskreten linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität durch die Lage der Pole in der z-Ebene (Nennerpolynom der z-Übertragungsfunktion) abgelesen werden.

  • Asymptotische Stabilität: wenn sämtliche Pole im Einheitskreis liegen,
  • Grenzstabilität: wenn mindestens ein Pol auf dem Einheitskreis liegt und alle anderen innerhalb,
  • Instabilität: sonst (wenn mindestens ein Pol außerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene liegt).

Achtung: der Begriff grenzstabil führt leicht zu Missverständnissen, da die Polstellenlage tatsächlich nach den meisten Stabilitätsdefinitionen instabile Systeme kennzeichnet.

Direkte Methode von Ljapunow und Ljapunow-Funktion Bearbeiten

Ljapunow entwickelte 1883 die sogenannte Direkte oder Zweite Methode (die Erste Methode war die Linearisierung, siehe unten), um die oben genannten Stabilitätseigenschaften an konkreten Systemen zu überprüfen. Hierzu definiert man zunächst zu einem dynamischen System der Form und einer reellwertigen differenzierbaren Funktion die orbitale Ableitung

Eine reellwertige differenzierbare Funktion heißt Ljapunow-Funktion (für das Vektorfeld ), wenn für alle Punkte aus dem Phasenraum gilt. Eine Ljapunow-Funktion ist ein ziemlich starkes Hilfsmittel für einen Stabilitätsbeweis, wie die folgenden beiden Kriterien zeigen:

dann ist die Ruhelage asymptotisch stabil.

Die Verwendung einer Ljapunow-Funktion nennt man Direkte Methode, weil sich damit direkt aus dem Vektorfeld ohne Kenntnis der Trajektorien (also ohne, dass man die Differentialgleichung lösen müsste) Aussagen über die Stabilität einer Ruhelage gewinnen lassen.

Ljapunowgleichung Bearbeiten

Für den Fall linearer Systeme kann zum Beispiel immer eine positiv definite quadratische Form als Ljapunow-Funktion Verwendung finden. Sie erfüllt offensichtlich die obigen Bedingungen (1) und (2). Bedingung (3) führt auf die Ljapunow-Gleichung

,

welche eine spezielle Form der Sylvester-Gleichung ist. Falls positiv definit ist, so ist eine Ljapunow-Funktion. Für stabile lineare Systeme lässt sich eine solche Funktion immer finden.

Stabilitätsanalyse linearer und nichtlinearer Systeme Bearbeiten

Ein dynamisches System sei gegeben durch die Differentialgleichung .

Wir betrachten eine Störung zum Zeitpunkt als Abweichung von der Ruhelage :

In beiden Fällen ergibt sich für die Zeitentwicklung von :

Diese Entwicklung wird demnach maßgeblich von den Eigenwerten der Jacobi-Matrix bestimmt. Konkret ergeben sich die folgenden drei Fälle:

  • Der Realteil aller Eigenwerte der Jacobi-Matrix ist negativ. Dann fällt exponentiell ab, und die Ruhelage ist asymptotisch stabil.
  • Der Realteil eines Eigenwertes der Jacobi-Matrix ist positiv. Dann wächst exponentiell an, und die Ruhelage ist instabil.
  • Der größte Realteil aller Eigenwerte der Jacobi-Matrix ist Null. Dies bedeutet für ein lineares System:
    • falls für alle Eigenwerte mit verschwindendem Realteil die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist: marginale Stabilität der Ruhelage.
    • sonst, d. h. falls nicht für alle Eigenwerte mit verschwindendem Realteil die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist: Instabilität der Ruhelage.

Siehe auch Autonome Differentialgleichung.

Stabilitätsgefährdung im Bauwesen Bearbeiten

Im Bauwesen müssen druckbeanspruchte Stäbe auf Stabilitätsgefährdung (i. d. R. Knicken) geprüft werden und gegebenenfalls nach Theorie II. Ordnung nachgewiesen werden. Man braucht die Theorie II. Ordnung um Stabilitätsgefährdung beschreiben zu können. Im Stahlbau, im (Stahl-)Betonbau als auch im Holzbau sind laut aktueller Normung stabilitätsgefährdete Stäbe auf Knicken nachzuweisen.

Beispiele Bearbeiten

Ein untersuchter Verformungszustand der Festigkeitslehre oder ein Bewegungszustand der Dynamik können ab einer zu bestimmenden Stabilitätsgrenze in einen anderen Zustand wechseln. Damit verbunden sind in der Regel nichtlinear ansteigende Verformungen oder Bewegungen, die zur Zerstörung von Tragwerken führen können. Um diese zu vermeiden, ist die Kenntnis der Stabilitätsgrenze ein wichtiges Kriterium zur Bemessung von Bauteilen.

Weitere Beispiele:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
  • W. Hahn: Stability of Motion. Springer, 1967.
  • N. Rouche, P. Habets und M. Laloy: Stability Theory by Liapunov's Direct Method. Springer, 1977.
  • Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).

Weblinks Bearbeiten

Wikiversity: Eine Einführung in Stabilitätsbegriffe für Matrizen – Kursmaterialien
Commons: Stability theory – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Die mathematische Stabilitatstheorie beschaftigt sich mit der Entwicklung von Storungen die als Abweichung von bestimmten Zustanden dynamischer Systeme auftreten Ein solcher Zustand kann etwa eine Ruhelage oder ein bestimmter Orbit sein z B ein periodischer Orbit Ein System ist instabil wenn eine kleine Storung zu grossen und aufklingenden Abweichungen fuhrt Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitatstheorie in der Physik und in der Theoretischen Biologie angewendet sowie in technischen Gebieten z B in der Technischen Mechanik oder der Regelungstechnik Die Losungsansatze fur die Probleme der Stabilitatstheorie sind gewohnliche und partielle Differentialgleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Stabilitatsbegriffe 2 Stabilitatsanalyse linearer zeitinvarianter Systeme 3 Direkte Methode von Ljapunow und Ljapunow Funktion 4 Ljapunowgleichung 5 Stabilitatsanalyse linearer und nichtlinearer Systeme 6 Stabilitatsgefahrdung im Bauwesen 7 Beispiele 8 Siehe auch 9 Literatur 10 WeblinksMathematische Stabilitatsbegriffe BearbeitenFur die Charakterisierung der Stabilitat der Ruhelage eines dynamischen Systems x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp existieren mehrere Stabilitatsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage Eine Ruhelage x R displaystyle vec x R nbsp heisst Ljapunow stabil wenn eine hinreichend kleine Storung auch stets klein bleibt Praziser formuliert Fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp existiert ein d e gt 0 displaystyle delta varepsilon gt 0 nbsp derart dass fur alle Zeiten t 0 displaystyle t geq 0 nbsp und alle Trajektorien x t displaystyle vec x t nbsp mit x 0 x R lt d e displaystyle vec x 0 vec x R lt delta varepsilon nbsp gilt x t x R lt e displaystyle vec x t vec x R lt varepsilon nbsp Eine Ruhelage x R displaystyle vec x R nbsp heisst attraktiv wenn es ein h gt 0 displaystyle eta gt 0 nbsp derart gibt dass jede Trajektorie x t displaystyle vec x t nbsp mit x 0 x R lt h displaystyle vec x 0 vec x R lt eta nbsp fur alle t 0 displaystyle t geq 0 nbsp existiert und die folgende Grenzwertbedingung erfullt lim t x t x R displaystyle lim t to infty vec x t vec x R nbsp Eine Ruhelage heisst asymptotisch stabil wenn sie Ljapunow stabil und attraktiv ist Eine Ruhelage heisst neutral stabil oder marginal stabil wenn sie stabil aber nicht asymptotisch stabil ist Fur den Fall diskreter Systeme die durch Differenzengleichungen x k 1 f x k displaystyle vec x k 1 f vec x k nbsp beschrieben werden ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung x k 1 f x k displaystyle vec x k 1 f vec x k nbsp und es sind ahnliche Stabilitatsdefinitionen ublich Stabilitatsanalyse linearer zeitinvarianter Systeme Bearbeiten nbsp Bedeutung der Pole und der konjugiert komplexen Polpaare in der linken und rechten s HalbebeneBei zeitkontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilitat an der Ubertragungsfunktion durch die Lage der Pole in der s Ebene Nennerpolynom der Laplace Ubertragungsfunktion abgelesen werden Asymptotische Stabilitat wenn samtliche Pole in der linken s Halbebene liegen Grenzstabilitat wenn kein Pol in der rechten s Halbebene liegt und mindestens ein einfacher Pol aber kein mehrfacher Pol auf der imaginaren Achse der s Halbebene liegt Instabilitat sonst wenn mindestens ein Pol in der rechten s Halbebene liegt oder wenn mindestens ein mehrfacher Pol auf der imaginaren Achse der s Ebene liegt Bei zeitdiskreten linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilitat durch die Lage der Pole in der z Ebene Nennerpolynom der z Ubertragungsfunktion abgelesen werden Asymptotische Stabilitat wenn samtliche Pole im Einheitskreis liegen Grenzstabilitat wenn mindestens ein Pol auf dem Einheitskreis liegt und alle anderen innerhalb Instabilitat sonst wenn mindestens ein Pol ausserhalb des Einheitskreises in der z Ebene liegt Achtung der Begriff grenzstabil fuhrt leicht zu Missverstandnissen da die Polstellenlage tatsachlich nach den meisten Stabilitatsdefinitionen instabile Systeme kennzeichnet Direkte Methode von Ljapunow und Ljapunow Funktion BearbeitenLjapunow entwickelte 1883 die sogenannte Direkte oder Zweite Methode die Erste Methode war die Linearisierung siehe unten um die oben genannten Stabilitatseigenschaften an konkreten Systemen zu uberprufen Hierzu definiert man zunachst zu einem dynamischen System der Form x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp und einer reellwertigen differenzierbaren Funktion V x displaystyle V vec x nbsp die orbitale Ableitung V x grad V x x grad V x f x displaystyle dot V vec x left langle operatorname grad V vec x dot vec x right rangle left langle operatorname grad V vec x f vec x right rangle nbsp Eine reellwertige differenzierbare Funktion V displaystyle V nbsp heisst Ljapunow Funktion fur das Vektorfeld f displaystyle f nbsp wenn V x 0 displaystyle dot V vec x leq 0 nbsp fur alle Punkte x displaystyle vec x nbsp aus dem Phasenraum gilt Eine Ljapunow Funktion ist ein ziemlich starkes Hilfsmittel fur einen Stabilitatsbeweis wie die folgenden beiden Kriterien zeigen Erstes Kriterium von Ljapunow Gegeben sei ein dynamisches System x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp Gelten die Bedingungen x R displaystyle vec x R nbsp ist eine Ruhelage des Systems V x displaystyle V vec x nbsp ist eine Ljapunow Funktion fur f displaystyle f nbsp V x displaystyle V vec x nbsp besitzt an der Stelle x R displaystyle vec x R nbsp ein striktes lokales Minimum dann ist die Ruhelage x R displaystyle vec x R nbsp stabil Zweites Kriterium von Ljapunow Gilt zusatzlich zu den Voraussetzungen des ersten Kriteriums noch4 fur x x R displaystyle vec x neq vec x R nbsp in einer Umgebung der Ruhelage x R displaystyle vec x R nbsp gilt V x lt 0 displaystyle dot V vec x lt 0 nbsp dd dann ist die Ruhelage asymptotisch stabil Die Verwendung einer Ljapunow Funktion nennt man Direkte Methode weil sich damit direkt aus dem Vektorfeld f displaystyle f nbsp ohne Kenntnis der Trajektorien also ohne dass man die Differentialgleichung losen musste Aussagen uber die Stabilitat einer Ruhelage gewinnen lassen Ljapunowgleichung BearbeitenFur den Fall linearer Systeme x A x displaystyle dot vec x A vec x nbsp kann zum Beispiel immer eine positiv definite quadratische Form v x x T R x displaystyle v vec x vec x T R vec x nbsp als Ljapunow Funktion Verwendung finden Sie erfullt offensichtlich die obigen Bedingungen 1 und 2 Bedingung 3 fuhrt auf die Ljapunow GleichungA T R R A Q displaystyle A T R RA Q nbsp welche eine spezielle Form der Sylvester Gleichung ist Falls Q displaystyle Q nbsp positiv definit ist so ist v x x T R x displaystyle v vec x vec x T R vec x nbsp eine Ljapunow Funktion Fur stabile lineare Systeme lasst sich eine solche Funktion v x x T R x displaystyle v vec x vec x T R vec x nbsp immer finden Stabilitatsanalyse linearer und nichtlinearer Systeme BearbeitenEin dynamisches System sei gegeben durch die Differentialgleichung x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp Wir betrachten eine Storung d x t x R displaystyle delta vec x t vec x R nbsp zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp als Abweichung von der Ruhelage x R displaystyle vec x R nbsp wenn das System linear ist kann diese Storung vollstandig durch die Jacobi Matrix J displaystyle mathbf J nbsp der ersten Ableitungen nach x displaystyle vec x nbsp ausgedruckt werden ist das System nichtlinear und die Storung klein genug so kann man es linearisieren d h die Funktion f displaystyle f nbsp nach d displaystyle delta nbsp um x R displaystyle vec x R nbsp Taylor entwickeln In beiden Fallen ergibt sich fur die Zeitentwicklung von d displaystyle delta nbsp d J x R d displaystyle dot delta mathbf J vec x R delta nbsp Diese Entwicklung wird demnach massgeblich von den Eigenwerten der Jacobi Matrix bestimmt Konkret ergeben sich die folgenden drei Falle Der Realteil aller Eigenwerte der Jacobi Matrix ist negativ Dann fallt d displaystyle delta nbsp exponentiell ab und die Ruhelage ist asymptotisch stabil Der Realteil eines Eigenwertes der Jacobi Matrix ist positiv Dann wachst d displaystyle delta nbsp exponentiell an und die Ruhelage ist instabil Der grosste Realteil aller Eigenwerte der Jacobi Matrix ist Null Dies bedeutet fur ein lineares System falls fur alle Eigenwerte mit verschwindendem Realteil die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist marginale Stabilitat der Ruhelage sonst d h falls nicht fur alle Eigenwerte mit verschwindendem Realteil die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist Instabilitat der Ruhelage Bei nichtlinearen Systemen die nur um die Ruhelage linearisiert wurden kann die Stabilitat in diesem dritten Fall auch noch von Termen hoherer Ordnung in der Taylorentwicklung bestimmt werden In diesem Fall vermag die lineare Stabilitatstheorie keine Aussage zu machen Siehe auch Autonome Differentialgleichung Stabilitatsgefahrdung im Bauwesen Bearbeiten Hauptartikel Stabilitatsgefahrdung Im Bauwesen mussen druckbeanspruchte Stabe auf Stabilitatsgefahrdung i d R Knicken gepruft werden und gegebenenfalls nach Theorie II Ordnung nachgewiesen werden Man braucht die Theorie II Ordnung um Stabilitatsgefahrdung beschreiben zu konnen Im Stahlbau im Stahl Betonbau als auch im Holzbau sind laut aktueller Normung stabilitatsgefahrdete Stabe auf Knicken nachzuweisen Beispiele BearbeitenEin untersuchter Verformungszustand der Festigkeitslehre oder ein Bewegungszustand der Dynamik konnen ab einer zu bestimmenden Stabilitatsgrenze in einen anderen Zustand wechseln Damit verbunden sind in der Regel nichtlinear ansteigende Verformungen oder Bewegungen die zur Zerstorung von Tragwerken fuhren konnen Um diese zu vermeiden ist die Kenntnis der Stabilitatsgrenze ein wichtiges Kriterium zur Bemessung von Bauteilen Weitere Beispiele Stabilitatsprufung von Regelkreisen Dynamik von Insektenpopulationen Eulerscher Knickstab Kippen von schlanken Tragern Beulen von Platten und Schalen Wachstum kleiner Storungen in einer Grenzschicht die zum laminar turbulenten Umschlag fuhren Raumsonden oder kleine Himmelskorper auf Bahnen um Lagrange Punkte eines Planets der um Zentralgestirn kreistSiehe auch BearbeitenEigenbewegung Regelungstechnik Lineare Stabilitatstheorie zur Stabilitatstheorie in der StromungslehreLiteratur BearbeitenHerbert Amann Gewohnliche Differentialgleichungen 2 Auflage de Gruyter Berlin 1995 ISBN 3 11 014582 0 W Hahn Stability of Motion Springer 1967 N Rouche P Habets und M Laloy Stability Theory by Liapunov s Direct Method Springer 1977 Gerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 freie Onlineversion Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Eine Einfuhrung in Stabilitatsbegriffe fur Matrizen Kursmaterialien nbsp Commons Stability theory Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Stability In Scholarpedia englisch inkl Literaturangaben Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stabilitatstheorie amp 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