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Eigenbewegung Regelungstechnik Eigenbewegung oder freie Bewegung bezeichnet in der Regelungstechnik die Bewegung die ein

Eigenbewegung (Regelungstechnik)

Eigenbewegung oder freie Bewegung bezeichnet in der Regelungstechnik die Bewegung, die ein System allein durch seine Anfangsauslenkung des Zustands ohne Erregung von außen ausführt. Durch sie ist eine Aussage über die Stabilität eines Systems möglich.

Aussage über die Stabilität durch die Eigenbewegung Bearbeiten

Lineare Systeme Bearbeiten

Bei linearen Systemen gelten die folgenden Aussagen global, wenn sie einmal nachgewiesen sind, da die Systemeigenschaften nicht von den Zuständen x abhängen.

Für ein System (a ist die Beschleunigung) gilt:

  • bei : die Eigenbewegung klingt ab und das System geht bei linearen Systemen asymptotisch in den Ruhestand über (asymptotisch stabil).
  • bei : das System verharrt im Ausgangszustand .
  • bei : die Eigenbewegung klingt auf, das bedeutet bei linearen Systemen ein exponentielles Wachstum über alle Grenzen.

Bei linearen Mehrgrößensystemen in Zustandsraumdarstellung kann diese Eigenschaft über die Realteile der Eigenwerte nachgewiesen werden. Dabei gilt:

  • Sind alle , so ist das System stabil.
  • Sind alle , so ist das System an der Stabilitätsgrenze.
  • Ist mindestens ein , so ist das System instabil.

Nichtlineare Systeme Bearbeiten

Beispiel für Metastabilität

Bei nichtlinearen Systemen ist der globale Nachweis dieser Eigenschaften schwieriger, jedoch kann durch sie eine lokale Aussage über die Stabilität gemacht werden.

Ein nichtlineares System kann auch metastabil sein, d. h. das System kann in einem gewissen Bereich stabil sein, dann aber ab einem gewissen Zustand instabil werden oder in einen anderen Ruhepunkt übergehen. Deshalb ist für den Nachweis der global asymptotischen Stabilität bei nichtlinearen Systemen eine komplexere Analyse notwendig, z. B. über die Ljapunov-Funktion.

Bei der Analyse über die Ljapunov-Funktion wird der energetische Zustand eines Systems betrachtet. Nimmt die Energie eines autonomen Systems stetig ab, so muss dies auch für die Zustandsgrößen gelten. Sie beruht also auf einem ähnlichen Grundsatz, siehe dazu auch Stabilitätstheorie.

Erzwungene Bewegung Bearbeiten

Bei der erzwungenen Bewegung wird die Reaktion des Systems auf ein Eingangssignal u(t) überprüft. Typische Eingangssignale sind die Sprungfunktion oder periodische Signale.

Die Reaktion setzt sich dabei additiv aus der freien und der erzwungenen Bewegung zusammen.

Bei der Sprungfunktion gilt:

Für diese Funktion ist ein Tanksystem ohne Ausfluss (integrales Verhalten) instabil, aber z. B. ein Motor stabil, da er kein integrales Verhalten besitzt.

Folgende Fälle können unterschieden werden:

  • das System nähert sich asymptotisch dem Endwert.
  • das System wächst über alle Grenzen.

Diese Untersuchung ist insbesondere bei metastabilen – also nichtlinearen – Systemen von Bedeutung, da es bei ihnen zu größeren Abhängigkeiten von der Eingangsgröße kommen kann.

Zudem wird die erzwungene Bewegung oft zur Charakterisierung von Systemen verwandt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jan Lunze: Regelungstechnik Bd. 1. Springer Verlag, 2005, ISBN 3-540-28326-9.
  • Jan Lunze: Regelungstechnik Bd. 2. Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-32335-X.
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Eigenbewegung oder freie Bewegung bezeichnet in der Regelungstechnik die Bewegung die ein System allein durch seine Anfangsauslenkung des Zustands ohne Erregung von aussen ausfuhrt Durch sie ist eine Aussage uber die Stabilitat eines Systems moglich Inhaltsverzeichnis 1 Aussage uber die Stabilitat durch die Eigenbewegung 1 1 Lineare Systeme 1 2 Nichtlineare Systeme 2 Erzwungene Bewegung 3 Siehe auch 4 LiteraturAussage uber die Stabilitat durch die Eigenbewegung BearbeitenLineare Systeme Bearbeiten Bei linearen Systemen gelten die folgenden Aussagen global wenn sie einmal nachgewiesen sind da die Systemeigenschaften nicht von den Zustanden x abhangen Fur ein System x a x t x 0 x 0 displaystyle dot x mathrm ax mathrm t x 0 x 0 nbsp a ist die Beschleunigung gilt bei a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp die Eigenbewegung klingt ab und das System geht bei linearen Systemen asymptotisch in den Ruhestand x 0 displaystyle x 0 nbsp uber asymptotisch stabil bei a 0 displaystyle a 0 nbsp das System verharrt im Ausgangszustand x 0 displaystyle x 0 nbsp bei a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp die Eigenbewegung klingt auf das bedeutet bei linearen Systemen ein exponentielles Wachstum uber alle Grenzen Bei linearen Mehrgrossensystemen in Zustandsraumdarstellung kann diese Eigenschaft uber die Realteile der Eigenwerte r e i displaystyle r ei nbsp nachgewiesen werden Dabei gilt Sind alle r e i lt 0 displaystyle r ei lt 0 nbsp so ist das System stabil Sind alle r e i 0 displaystyle r ei 0 nbsp so ist das System an der Stabilitatsgrenze Ist mindestens ein r e i gt 0 displaystyle r ei gt 0 nbsp so ist das System instabil Nichtlineare Systeme Bearbeiten nbsp Beispiel fur MetastabilitatBei nichtlinearen Systemen ist der globale Nachweis dieser Eigenschaften schwieriger jedoch kann durch sie eine lokale Aussage uber die Stabilitat gemacht werden Ein nichtlineares System kann auch metastabil sein d h das System kann in einem gewissen Bereich stabil sein dann aber ab einem gewissen Zustand instabil werden oder in einen anderen Ruhepunkt ubergehen Deshalb ist fur den Nachweis der global asymptotischen Stabilitat bei nichtlinearen Systemen eine komplexere Analyse notwendig z B uber die Ljapunov Funktion Bei der Analyse uber die Ljapunov Funktion wird der energetische Zustand eines Systems betrachtet Nimmt die Energie eines autonomen Systems stetig ab so muss dies auch fur die Zustandsgrossen gelten Sie beruht also auf einem ahnlichen Grundsatz siehe dazu auch Stabilitatstheorie Erzwungene Bewegung BearbeitenBei der erzwungenen Bewegung wird die Reaktion des Systems auf ein Eingangssignal u t uberpruft Typische Eingangssignale sind die Sprungfunktion oder periodische Signale Die Reaktion setzt sich dabei additiv aus der freien und der erzwungenen Bewegung zusammen Bei der Sprungfunktion gilt u t 0 f u r t lt 0 1 f u r t 0 displaystyle u t begin cases 0 amp text f ddot text u text r t lt 0 1 amp text f ddot text u text r t geq 0 end cases nbsp Fur diese Funktion ist ein Tanksystem ohne Ausfluss integrales Verhalten instabil aber z B ein Motor stabil da er kein integrales Verhalten besitzt Folgende Falle konnen unterschieden werden das System nahert sich asymptotisch dem Endwert das System wachst uber alle Grenzen Diese Untersuchung ist insbesondere bei metastabilen also nichtlinearen Systemen von Bedeutung da es bei ihnen zu grosseren Abhangigkeiten von der Eingangsgrosse kommen kann Zudem wird die erzwungene Bewegung oft zur Charakterisierung von Systemen verwandt Siehe auch BearbeitenPolstelle Nullstelle Eigenfrequenz das ist die Frequenz mit der ein schwingfahiges System nach einmaliger Anregung schwingen kann bei Vernachlassigung der Dampfung Literatur BearbeitenJan Lunze Regelungstechnik Bd 1 Springer Verlag 2005 ISBN 3 540 28326 9 Jan Lunze Regelungstechnik Bd 2 Springer Verlag 2006 ISBN 3 540 32335 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eigenbewegung Regelungstechnik amp oldid 215059545