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Sylvester Gleichung Die ist in der Mathematik und der Kontrolltheorie eine Matrix Gleichung der Form A X X B C displayst

Sylvester-Gleichung

Die Sylvester-Gleichung ist in der Mathematik und der Kontrolltheorie eine Matrix-Gleichung der Form

dabei sind drei vorgegebene -Matrizen. Die -Matrix ist die gesuchte Lösung der Gleichung.

Allgemeiner kann sogar eine -Matrix sein; dann ist eine -Matrix, eine -Matrix und wie eine -Matrix.

Sie ist nach James Joseph Sylvester benannt, der darüber 1884 veröffentlichte.

Der für Anwendungen wichtige Spezialfall, in dem die zu adjungierte Matrix ist, wird auch Ljapunow-Gleichung genannt (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow).

Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Bearbeiten

Wegen der Nichtkommutativität des Matrizenprodukts kann die Gleichung nicht direkt aufgelöst werden. Trotzdem ist sie einfach eine lineare Gleichung, die mit den unbekannten, in vektorisierter Form geschriebenen Matrixelementen ein lineares Gleichungssystem bildet.

In kompakter Form kann es mit dem Kroneckerprodukt und dem Vektorisierungsoperator wie folgt geschrieben werden:

Dabei bezeichnet die Einheitsmatrix.

Die direkte Lösung dieses Gleichungssystems ist aufwendig ( Elemente in einer dünnbesetzten Matrix, Unbekannte und FLOPs) und darüber hinaus numerisch instabil.

Es existiert eine eindeutige Lösung für alle genau dann, wenn und keine gemeinsamen Eigenwerte haben.

Numerische Auflösung Bearbeiten

Klassisch wird die Lösung stabil und robust mit dem Bartels-Stewart-Algorithmus berechnet. Dabei werden und durch Ähnlichkeitstransformationen in die schursche Normalform gebracht und dabei die Sylvestergleichung in eine einfachere und durch Rückwärtseinsetzen lösbare Dreiecksgestalt transformiert. Die Ähnlichkeitstransformationen erfolgen mit dem aus dem QR-Algorithmus abgeleiteten Francis-Algorithmus.

; ; und sind geeignete Dreiecksmatrizen (Im reellen dürfen sie isolierte Subdiagonalelemente enthalten).

Dabei sind und .

In der einfacheren Dreiecksgestalt kann jetzt direkt und aus bestimmt werden. Die Rechenzeit liegt in der Größenordnung der schurschen Normalform ( FLOPs).

Neuere Algorithmen kommen mit einer Schur-Transformation (z. B. für ) aus und bilden mit der anderen Matrix (z. B. ) nur eine Hessenbergmatrix.

Auch mit den iterativen Solvern für lineare Systeme kann die Lösung berechnet werden.

Referenzen Bearbeiten

  • J. Sylvester: Sur l’equations en matrices . In: C. R. Acad. Sc. Paris. Band 99, 1884, S. 67–71, 115–116.
  • R. H. Bartels, G. W. Stewart: Solution of the matrix equation . In: Communications of the ACM. Band 15, Nr. 9, 1972, S. 820–826, doi:10.1145/361573.361582.
  • R. Bhatia, P. Rosenthal: How and Why to Solve the Operator Equation . In: Bulletin of the London Mathematical Society. Band 29, Nr. 1, 1997, S. 1–21, doi:10.1112/S0024609396001828.
  • Sang-Gu Lee, Quoc-Phong Vu: Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. In: Linear Algebra and its Applications. Band 435, Nr. 9, November 2011, S. 2097–2109, doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
  • Jituan Zhou Ruirui Wang and Qiang Niu: A Preconditioned Iteration Method for Solving Sylvester Equations. 2012 (hindawi.com).

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Sylvester Gleichung ist in der Mathematik und der Kontrolltheorie eine Matrix Gleichung der Form A X X B C displaystyle AX XB C dabei sind A B C displaystyle A B C drei vorgegebene n n displaystyle n times n Matrizen Die n n displaystyle n times n Matrix X displaystyle X ist die gesuchte Losung der Gleichung Allgemeiner kann C displaystyle C sogar eine m n displaystyle m times n Matrix sein dann ist A displaystyle A eine m m displaystyle m times m Matrix B displaystyle B eine n n displaystyle n times n Matrix und X displaystyle X wie C displaystyle C eine m n displaystyle m times n Matrix Sie ist nach James Joseph Sylvester benannt der daruber 1884 veroffentlichte Der fur Anwendungen wichtige Spezialfall in dem B A displaystyle B A die zu A displaystyle A adjungierte Matrix ist wird auch Ljapunow Gleichung genannt nach Alexander Michailowitsch Ljapunow Inhaltsverzeichnis 1 Existenz und Eindeutigkeit der Losung 2 Numerische Auflosung 3 Referenzen 4 WeblinksExistenz und Eindeutigkeit der Losung BearbeitenWegen der Nichtkommutativitat des Matrizenprodukts kann die Gleichung nicht direkt aufgelost werden Trotzdem ist sie einfach eine lineare Gleichung die mit den n 2 displaystyle n 2 nbsp unbekannten in vektorisierter Form geschriebenen Matrixelementen X i j displaystyle X ij nbsp ein lineares Gleichungssystem bildet In kompakter Form kann es mit dem Kroneckerprodukt und dem Vektorisierungsoperator vec displaystyle operatorname vec nbsp wie folgt geschrieben werden I n A B T I m vec X vec C displaystyle I n otimes A B T otimes I m operatorname vec X operatorname vec C nbsp Dabei bezeichnet I k displaystyle I k nbsp die k k displaystyle k times k nbsp Einheitsmatrix Die direkte Losung dieses Gleichungssystems ist aufwendig n 4 displaystyle n 4 nbsp Elemente in einer dunnbesetzten Matrix n 2 displaystyle n 2 nbsp Unbekannte und O n 6 displaystyle mathcal O n 6 nbsp FLOPs und daruber hinaus numerisch instabil Es existiert eine eindeutige Losung fur alle C displaystyle C nbsp genau dann wenn A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp keine gemeinsamen Eigenwerte haben Numerische Auflosung BearbeitenKlassisch wird die Losung stabil und robust mit dem Bartels Stewart Algorithmus berechnet Dabei werden A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp durch Ahnlichkeitstransformationen in die schursche Normalform gebracht und dabei die Sylvestergleichung in eine einfachere und durch Ruckwartseinsetzen losbare Dreiecksgestalt transformiert Die Ahnlichkeitstransformationen erfolgen mit dem aus dem QR Algorithmus abgeleiteten Francis Algorithmus A P 1 R P displaystyle A P 1 RP nbsp B Q 1 S Q displaystyle B Q 1 SQ nbsp R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp sind geeignete Dreiecksmatrizen Im reellen durfen sie isolierte Subdiagonalelemente enthalten A X X B P 1 R P X X Q 1 S Q C displaystyle AX XB P 1 RPX XQ 1 SQ C nbsp R P X Q 1 P X Q 1 S P C Q 1 displaystyle RPXQ 1 PXQ 1 S PCQ 1 nbsp R Y Y S D displaystyle RY YS D nbsp Dabei sind Y P X Q 1 displaystyle Y PXQ 1 nbsp und D P C Q 1 displaystyle D PCQ 1 nbsp In der einfacheren Dreiecksgestalt kann Y displaystyle Y nbsp jetzt direkt und X displaystyle X nbsp aus X P 1 Y Q displaystyle X P 1 YQ nbsp bestimmt werden Die Rechenzeit liegt in der Grossenordnung der schurschen Normalform O n 3 displaystyle mathcal O n 3 nbsp FLOPs Neuere Algorithmen kommen mit einer Schur Transformation z B fur B displaystyle B nbsp aus und bilden mit der anderen Matrix z B A displaystyle A nbsp nur eine Hessenbergmatrix Auch mit den iterativen Solvern fur lineare Systeme kann die Losung berechnet werden Referenzen BearbeitenJ Sylvester Sur l equations en matrices p x x q displaystyle px xq nbsp In C R Acad Sc Paris Band 99 1884 S 67 71 115 116 R H Bartels G W Stewart Solution of the matrix equation A X X B C displaystyle AX XB C nbsp In Communications of the ACM Band 15 Nr 9 1972 S 820 826 doi 10 1145 361573 361582 R Bhatia P Rosenthal How and Why to Solve the Operator Equation A X X B Y displaystyle AX XB Y nbsp In Bulletin of the London Mathematical Society Band 29 Nr 1 1997 S 1 21 doi 10 1112 S0024609396001828 Sang Gu Lee Quoc Phong Vu Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum In Linear Algebra and its Applications Band 435 Nr 9 November 2011 S 2097 2109 doi 10 1016 j laa 2010 09 034 Jituan Zhou Ruirui Wang and Qiang Niu A Preconditioned Iteration Method for Solving Sylvester Equations 2012 hindawi com Weblinks BearbeitenOnline solver for arbitrary sized matrices Mathematica function to solve the Sylvester equation Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sylvester Gleichung amp oldid 211546711