Die Dimensionsanalyse ist ein mathematisches Verfahren, um das Zusammenspiel physikalischer Größen bei Naturphänomenen zu erfassen, ohne die einem physikalischen Vorgang zugrundeliegende Formel oder eine exakte Gesetzmäßigkeit zu kennen. Ihre Anwendung beruht auf angewandter Mathematik, praktischer Beobachtungsgabe, der Durchführung und Auswertung von Versuchen und auf intuitivem physikalischen Verständnis. Sie hat sich insbesondere in der Strömungsmechanik bewährt.
Für wirklichkeitsnahe Probleme in Technik und Wissenschaft sind die zugeordneten mathematischen Gleichungen in den meisten Fällen aufgrund komplexer Randbedingungen nicht analytisch, sondern nur numerisch lösbar, also durch Computerverfahren. Die Anwendung der Dimensionsanalyse auf geometrisch ähnliche, jedoch labortechnisch oder numerisch leichter handhabbare Modelle erlaubt hier häufig sehr genaue Rückschlüsse auf die Lösung des hochkomplexen Ausgangsproblems.
Die Dimensionsanalyse findet hauptsächlich in der experimentellen Physik, im Ingenieurwesen, aber auch in der Medizin und Biologie Anwendung.
Teilweise wird auch die Dimensionsbetrachtung zur Prüfung der Plausibilität einer physikalischen Formel als Dimensionsanalyse bezeichnet.
Anwendungsgebiete Bearbeiten
Die Problemstellungen und Anwendungsmöglichkeiten sind vielfältig. Einige Themenfelder sind:
- Aerodynamik und das Verhalten von Körpern in strömenden Fluiden im Allgemeinen. Etwa die Untersuchung und Optimierung der aerodynamischen Eigenschaften von Flugzeugen und Hängebrücken.
- Strömungswiderstand und Druckabbau in durchströmten Rohren.
- Bildung von Wellen und deren Ausbreitung in diversen Medien.
- Diffusion und Wärmetransport.
- Explosionsvorgänge
- Materialfestigkeitsprüfungen und Crashtests.
- Geowissenschaftlich interessant sind Auswirkungen von Erdbeben (etwa für Hochhäuser), Durchsickerungsvorgänge im Erdreich, Tragfähigkeit von Gründungen für Bauwerke oder Hangrutschungen und Lawinen.
- Im Wasserbau der Abfluss in Gerinnen und der Geschiebetransport in Flüssen.
- In Medizin und Biologie das Themengebiet der Bionik, der Blutkreislauf oder das Pflanzenwachstum.
Eine Dimensionsanalyse dieser Vorgänge liefert nützliche Proportionalitäten, Vorgaben zur Kalibrierung von Modellversuchen (s. Modellgesetze) und konkrete Anhaltspunkte für Variantenstudien. Wiederholt reicht das aus, um daraus funktionale Zusammenhänge abzuleiten. In jedem Falle trägt sie zum besseren Verständnis des Problems bei.
Historie und Überblick Bearbeiten
Bereits Physiker wie Ludwig Prandtl, Theodore von Kármán, Albert Shields, Johann Nikuradse und John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, die sich Ende des 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts als erste tiefergehend mit den Eigenschaften von Strömungen und bewegten Körpern in Fluiden beschäftigten, nutzten die Dimensionsanalyse, um vom Laborexperiment mit kontrollierbaren Randbedingungen auf das Verhalten physikalischer Probleme mit geometrisch ähnlichen Körpern oder mit Fluiden anderer Zähigkeit und Dichte zu schließen. Dieses Ähnlichkeitsprinzip, also die Möglichkeit, physikalische Phänomene in unterschiedlichen Maßstäben untersuchen zu können, bildet die Grundlage der Ähnlichkeitstheorie. Häufig wird diese Theorie auch als Modelltheorie bezeichnet.
Die der Ähnlichkeitstheorie zugrundeliegende Dimensionsanalyse besagt, dass sich jede dimensionsgebundene physikalische Formel in eine dimensionslose, d. h. von physikalischen Einheiten bereinigte Gestalt überführen lässt. Dazu werden und durch ein Potenzprodukt der Variablen geteilt und gleichzeitig die einzelnen in beliebige Potenzen erhöht:
so dass die linke und die rechte Seite der Gleichung dimensionslos werden. Die Dimensionsreinheit und damit die Korrektheit jeder physikalischen Beziehung lässt sich anhand dieser Aussage prüfen. Genügt eine Formel nicht diesen Kriterien, dann ist sie physikalisch nicht exakt. Dies gilt für viele Näherungsformeln, die bewusst bestimmte Größen vernachlässigen. Auch ist klar, dass nur Größen gleicher Dimension addiert und subtrahiert werden können, also untereinander vergleichbar sind. Die Argumente etwa trigonometrischer oder anderer transzendenter Funktionen müssen folglich dimensionslose Zahlen sein.
Das wichtige, auf der Dimensionsanalyse aufbauende, und unabhängig voneinander von Aimé Vaschy (1890), Dmitri Pawlowitsch Rjabuschinski (1911) und Edgar Buckingham (1915) bewiesene Π-Theorem, erweitert obige Aussage dahingehend, dass sich die Funktion in der allgemeineren Form
darstellen lässt. Die Potenzprodukte der , die so genannten -Faktoren in mit , sind dimensionslos.
Durch die Dimensionsanalyse ist es möglich, die funktionale Gestalt physikalischer Formeln bis auf eine reellwertige Konstante zu „erraten“, sofern nur wenige physikalische Größen Einfluss nehmen, wie beispielsweise beim erstmals von Galilei formulierten Fallgesetz
mit als dem Fallweg, als der Fallbeschleunigung und als der Zeit. Die Proportionalitätskonstante verbleibt dabei im Experiment zu bestimmen; sie ergibt sich zu .
Dimensionen und Maßsysteme Bearbeiten
Basisgrößen und deren Einheiten in der Physik Bearbeiten
Messen einer physikalischen Größe heißt Größenarten (z. B. Geschwindigkeit, Druck) mit etwas vergleichen.
Für solche Vergleiche benötigt man nie mehr als sieben Grundgrößenarten, die man Basisgrößenarten nennt. Für sie sind über Prototypen Basiseinheiten (z. B. Meter, Sekunde) definiert. Jede Basisgrößenart stellt eine eigene Dimension dar, die nicht über die restlichen Basisgrößenarten beschrieben werden kann. Sie sind alle voneinander unabhängig.
Grundgrößensysteme Bearbeiten
Ein Grundgrößensystem beinhaltet alle Dimensionen, in denen ein Messvorgang stattfindet. Ein System, das alle bekannten Dimensionen – L = Länge, M = Masse, T = Zeit, I = Stromstärke, Θ = thermodynamische Temperatur, N = Stoffmenge und J = Lichtstärke – enthält, heißt {L,M,T,I,Θ,N,J}-System. Es ist ausreichend, um alle Vorgänge in der Natur zu erfassen. In der Mechanik, dem Hauptanwendungsgebiet der Dimensionsanalyse, kann man sich meist auf ein {L,M,T}-System beschränken.
Im Grundgrößensystem selbst ist die explizite Wahl einer Basiseinheit belanglos. Die Länge [L] wird so etwa mit den Basiseinheiten Meter, Fuß, Zentimeter, Yard etc. gemessen. Die Basiseinheit dient aber nur einem Vergleichszweck, sie ist nicht mit der Dimension zu verwechseln.
Grundgrößensysteme können nicht nur aus denjenigen Grundgrößenarten gebildet werden, die auch gleichzeitig Basisgrößenarten sind, sondern auch mit allen anderen. So ist nach Newton die Kraft als zusammengesetzte Größe aus Masse und den Grundgrößenarten Länge und Zeit geeignet, die Masse in einem {L,M,T}-System zu ersetzen. Dann entsteht ein {L,F,T}-System mit der Grundgrößenart Kraft [F] an Stelle der Masse, über die sie definiert ist. Die Kraft besitzt hier als Dimensionsbegriff eine eigene, unabhängige Dimension, welche den Massenbegriff einschließt.
Äquivalenz von Grundgrößensystemen Bearbeiten
Alle Größenarten eines {M,L,T}-System lassen sich auch in einem {F,L,T}-System angeben. Ein {M,F,L,T}-System darf es wegen der Abhängigkeit von Masse und Kraft nicht geben. Die Forderung nach voneinander unabhängigen Dimensionen wäre verletzt.
Man kann alternativ Grundgrößensysteme wählen, in denen der Druck, die Geschwindigkeit oder die Frequenz Grundgrößen sind. Bedingung ist, dass jede Grundgröße für sich eine von den anderen verwendeten Grundgrößen unabhängige Dimension darstellt.
Man nennt alle Grundgrößensysteme, in denen dieselben Größen dargestellt werden können, äquivalent. Für das Auffinden von so genannten Π-Faktoren ist die explizite Wahl von Grundgrößen belanglos. Sie ist nur eine Frage der bevorzugten Darstellungsweise.
In der Mechanik gebräuchliche Größenarten in einem {M,L,T}-System sind nachfolgend mit ihren Dimensionsformeln aufgelistet. Ihre Einheiten sind Potenzprodukte der Basiseinheiten. Ihre Dimensionsformeln sind Potenzprodukte der Dimensionen, innerhalb derer diese Einheiten beschrieben sind.
In der Mechanik gebräuchliche Größenarten in einem {M,L,T}-System Bearbeiten
| Größenart | Größenbezeichnung (Formelzeichen) | Einheit | Dimensionsformel |
|---|---|---|---|
| Masse | kg | ||
| Länge | , , , … | m | |
| Zeit | s | ||
| Frequenz | Hz (= 1/s) | ||
| Winkelgeschwindigkeit | 1/s | ||
| Geschwindigkeit | m/s | ||
| Beschleunigung | m/s² | ||
| Impuls | m·kg/s | ||
| Dichte | kg/m³ | ||
| Kraft | N (= kg·m/s²) | ||
| Wichte | N/m³ | ||
| Druck, Spannung | N/m² | ||
| Elastizitätsmodul | N/m² | ||
| Energie | J (= m²·kg/s²) | ||
| Leistung | W (= m²·kg/s³) | ||
| Dynamische Viskosität | N·s/m² | ||
| Kinematische Viskosität | m²/s |
Formulierungen, wie „maßgebliche Größe der Dichte“ oder „Einfluss der Größen Geschwindigkeit und Beschleunigung“, sind umgangssprachlich. Diese Verwendung des Begriffs Größe ist im physikalischen Sinne nicht korrekt. Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung usw. sind Größenarten. Erst in einer Gleichung der Art:
wird eine Größe (man kann auch von Messgröße sprechen) über eine (Maß-)Einheit [m/s] und eine Maßzahl 3 beschrieben. Für technische Zwecke ist dies aber nicht relevant.
Grundgrößensysteme und ihre Transformationen Bearbeiten
Jedes Grundgrößensystem kann mithilfe einer Übergangsmatrix, welche die Exponenten der Dimensionen enthält, in ein dazu äquivalentes überführt werden. Möchte man in einem Grundgrößensystem beispielsweise die Dimension der Kraft , gegeben in der Form
durch die Masse ausdrücken, so gelingt dies durch die einfache algebraische Umstellung
Oder, in übersichtlicher Form dargestellt, mit der Übergangsmatrix der Exponenten
Die Transformation der Grundgrößen des {M,L,T}-Systems zum {F,L,T}-Grundgrößensystem ist durch die Matrizenmultiplikation
möglich, wenn die Dimensionsmatrix die Exponenten aller Dimensionsformeln des {M,L,T}-Systems enthält. Die gesuchten Exponenten der Dimensionsformeln im {F,L,T}-System finden sich dann in der Dimensionsmatrix .
Da Länge und Zeit durch die Transformation unberührt bleiben, ändern sich lediglich die Exponenten derjenigen Größen, die mit der Dimension der Masse korreliert sind. Man erkennt, dass sich für einige Grundgrößen, wie beispielsweise den Druck , die Dimensionsformeln vereinfachen. Für andere hingegen, wie die direkt von der Masse abhängende Dichte , jedoch verkomplizieren. Es ist nützlich ein solches Grundgrößensystem zu bilden, in dem sich die Größen des konkreten Problems möglichst einfach darstellen lassen.
Π-Faktoren Bearbeiten
Definition Bearbeiten
-Faktoren nennt man diejenigen Produkte, die sich aus einer Matrix wie der obigen Dimensionsmatrix ergeben, wenn man einzelne Größen in beliebige Potenzen erhebt und sie mit anderen in der Matrix vorkommenden Größen derart multipliziert, dass das Produkt dimensionslos wird bzw. die Dimension 1 besitzt. Die Dimension einer Größe wird durch das Klammerzeichen angegeben. Beispielsweise ist das Potenzprodukt
ein -Faktor der Matrix , der die geforderte Dimension
besitzt. Die Dimension 1 bleibt natürlich auch dann erhalten, wenn man in beliebige Potenzen erhebt. Es ist:
Anzahl der Π-Faktoren Bearbeiten
Es sind beliebig viele Darstellungen eines einmal gefundenen Faktors möglich. Die Anzahl der -Faktoren, die nicht als Potenz eines vorher gefundenen Faktors oder als Produkt von in Potenzen erhobenen Faktoren geschrieben werden können, ist allerdings beschränkt. Über die Existenz dieser -Faktoren in einer gewählten Dimensionsmatrix kann gesagt werden, dass es genau linear unabhängige -Faktoren gibt.
Dabei sind:
- p: Die Anzahl der dimensionslosen -Faktoren
- n: Die Anzahl der dimensionsgebundenen Größen
- r: Der Rang der Matrix .
Formale Vorgehensweise für eine Dimensionsanalyse Bearbeiten
Findet man einen Zeilenvektor mit der Spaltenanzahl , für den gilt:
dann hat man mit:
einen -Faktor von gefunden.
Kontrollmöglichkeiten Bearbeiten
Die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren, die diese Gleichung (2) erfüllen, ist . Ihre lineare Unabhängigkeit beweist man, indem man zeigt, dass der Rang der Matrix , die man aus gefundenen Zeilenvektoren bilden kann, ebenfalls ist.
Multipliziert mit ergibt sich die Nullmatrix mit der Anzahl der gewählten Dimensionen (hier: 3) als Spalten und der Anzahl der Vektoren als Zeilen.
Aus der Matrixalgebra ergibt sich, dass auch jede beliebige Linearkombination der gefundenen Zeilenvektoren Gleichung (2) löst, und damit einen -Faktor darstellt. Demnach ist (5) auch für jede Matrix erfüllt, die sich aus ergibt, indem man Zeilen mit beliebigen reellen Zahlen verschieden von Null multipliziert und mit anderen Zeilen addiert oder subtrahiert. Am Rang der Matrix ändert sich nichts. Für die Anzahl möglicher Lösungsmöglichkeiten heißt dies, dass man mit gefundenen -Faktoren beliebig viele andere -Faktoren bilden kann:
wobei deren zugehörige Zeilenvektoren homogene Lösungen von (2) wären. Es sind allerdings weiterhin nur genau -Faktoren, die ein Fundamentalsystem der Dimensionsmatrix bilden.
Schlussfolgerungen Bearbeiten
- Mit einem beliebigen Fundamentalsystem sind über (6) alle existierenden Lösungen von (2) bestimmt. Dabei sind beliebig viele Lösungen darstellbar.
- Dimensionslose Zahlenkonstanten, die oft schon Verhältnisgrößen sind, bleiben bei dieser Rechnung dimensionslos und stellen automatisch einen dimensionslosen Π-Faktor dar.
Auffinden eines Fundamentalsystems von Π-Faktoren Bearbeiten
Analytisches Vorgehen Bearbeiten
Eine erste Möglichkeit ein Fundamentalsystem von -Faktoren zu erlangen besteht darin, die unabhängigen Variablen im Gleichungssystem, das sich aus (2) ergibt, beliebige Werte außer Null annehmen zu lassen und den Rang der Zeilenmatrix nach (4) zu prüfen. Die Anzahl der unabhängigen Variablen ist identisch mit der Anzahl der -Faktoren.
Unabhängig oder frei wählbar sind im Gleichungssystem diejenigen Variablen, denen man beliebige Zahlenwerte zuweisen kann, ohne in der Lösung einen Widerspruch herbeizuführen. Eine geschickte Wahl ist es beispielsweise, immer einer unabhängigen Variablen den Zahlenwert Eins zuzuweisen und die anderen unabhängigen Variablen auf Null zu setzen. Die fehlenden abhängigen Variablen ergeben sich durch die Lösung des verbleibenden Gleichungssystems.
Der Nachteil dieser Methode besteht jedoch darin, dass man recht wenig Einfluss auf das Aussehen dieses Fundamentalsystems hat und unter Umständen eine Vielzahl von Gleichungssystemen lösen muss.
Methode des Erratens Bearbeiten
Eine zweckmäßigere Methode ist es, einzelne -Faktoren schlichtweg aus (1) zu erraten. Dazu muss man die Zeilen der Größen in der Dimensionsmatrix „zu Null“ addieren.
Praktisch heißt dies:
- Will man eine Größe im Zähler, muss man ihre Zeile mit „+1“ multiplizieren, andernfalls mit „−1“. (Die Zeilen mit Zahlen zu multiplizieren bedeutet die Größen in die entsprechenden Potenzen zu erheben.)
- Ergibt die Addition solcher Zeilen Null, besitzt man ein Potenzprodukt (wie zuvor mit der Matrix demonstriert).
Diese Methode beinhaltet die Möglichkeit, das Aussehen von -Faktoren zu beeinflussen. Allerdings muss man im Nachhinein den Rang der resultierenden Zeilenmatrix bestätigen, beispielsweise indem man eine nichtverschwindende Unterdeterminante findet, also zeigt, dass (4) erfüllt ist.
Wertung der Methoden Bearbeiten
Meist führt das Erraten der Faktoren bei geschickter Wahl des Grundgrößensystems und übersichtlichen Verhältnissen wesentlich schneller zum Ziel als ein formales Vorgehen.
In der Literatur zur linearen Algebra werden noch weitere Methoden zum analytischen Auffinden der -Faktoren demonstriert, um das Gleichungssystem aus (2) möglichst geschickt zu lösen, z. B. das gaußsche Eliminationsverfahren.
Bildung physikalisch nützlicher Fundamentalsysteme Bearbeiten
Ist man zu einem Fundamentalsystem gelangt, befriedigt dies oftmals nicht den Wunsch nach einer physikalischen Aussagekraft der einzelnen -Faktoren. Abhilfe schafft die Anwendung von Gleichung (6).
Durch geschicktes Kombinieren der Faktoren untereinander und ihre Erhebung in beliebige Potenzen kann leicht ein neuer, physikalisch ergiebigerer Faktor gebildet werden. Soll dieser in einem neuen Fundamentalsystem vorhanden sein, ist lediglich einer der Faktoren zu streichen, durch deren Kombination man den neuen gebildet hatte. Dadurch wird der neu erlangte -Faktor linear unabhängig von den restlichen. Angenommen, dass es ein Fundamentalsystem mit als -Faktoren gibt, und ein neuer, aussagekräftigerer Faktor die Gestalt
hätte, dann wäre ein neues Fundamentalsystem oder , jedoch nicht , da ja von den ersten beiden linear abhängt.
Für Modelluntersuchungen ist es nützlich, solche Faktoren gebildet zu haben, die immer eine charakteristische Größe enthalten, die dann nur in einem einzigen Faktor vorkommt. Dies muss nicht unbedingt möglich sein. Gleichung (6) erlaubt aber das zu prüfen.
Dimensionshomogene Funktionen Bearbeiten
Wenn es eine dimensionshomogene Funktion mit einem dimensionsgebundenen Funktionswert gibt, der über Größen bestimmt ist, also
dann findet sich immer ein Potenzprodukt derart, dass sich schreiben lässt:
Jede physikalische Formel und insbesondere ihr an eine Einheit gebundener Funktionswert lassen sich also über Potenzerhebung der in der Funktion enthaltenen Größen dimensionslos darstellen.
Aussagen des Π-Theorems Bearbeiten
Das so genannte -Theorem (in der Literatur auch oft Buckingham-Theorem), leitet einen Schritt weiter. Seine Hauptaussage ist, dass sich jede dimensionsgebundene Gleichung
in die Form von
überführen lässt und damit nur aus dimensionslosen Potenzprodukten (und Zahlenkonstanten) aufgebaut ist. Dabei kann es sein, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die linke Seite der Gleichung in dimensionsloser Form darzustellen. Gelegentlich wird in der Literatur die linke Seite ebenfalls als Π-Faktor bezeichnet. Dies ist legitim, aber nicht konsequent, denn durch die Trennung in linke und rechte Seite erhält man die präzisere Aussage
an Stelle von
Die Bedeutung des Theorems liegt darin, dass eine Aussage über den funktionalen Zusammenhang dimensionsbehafteter physikalischer Größen gemacht werden kann, der sich vielleicht nicht explizit formelmäßig angeben lässt. Dies gilt für viele komplexe Sachverhalte in der Natur (z. B. Turbulenz, Kármánsche Wirbelstraße). Da Größen nur noch in bestimmten Relationen, den vorgestellten Π-Faktoren, zueinander auftreten können, erreicht man gleichzeitig eine nützliche Reduktion der Funktionsvariablen in gegenüber denen in , denn es gilt wiederum .
Schlussfolgerungen Bearbeiten
Ist die Anzahl der Π-Faktoren klar, dann gilt:
- Bei ist der gesuchte funktionale Zusammenhang bis auf eine Proportionalitätskonstante bestimmt.
- Existieren einer oder mehrere Faktoren (), dann kann ein funktionaler Zusammenhang, etwa aus experimentellen Ergebnissen oder durch pure Intuition, nur erraten werden. Explizit herleiten lässt er sich nicht.
Häufig trifft im zweiten Fall der Produktansatz nach Rayleigh zu, also dass die gefundenen Π-Faktoren miteinander multipliziert und in eine entsprechende, oft ganzzahlige Potenz erhöht, das gesuchte Endergebnis liefern.
Es lassen sich noch zwei allgemeinere Schlussfolgerungen ziehen:
- Satz 1: Wenn eine Größe nicht dazu benötigt wird, auf ein Fundamentalsystem von Π-Faktoren zu gelangen oder dimensionslos zu machen, dann hängt entweder nicht von ab, oder der gedachte funktionale Zusammenhang muss um mindestens eine weitere Größe erweitert werden.
- Satz 2: Wenn durch kein Potenzprodukt aus den dimensionslos gemacht werden kann, dann ist die Dimensionsmatrix unvollständig oder falsch.
Das bedeutet, dass man in jedem Falle bei dimensionsbehafteten Gleichungen, was physikalische Formeln immer sind, zu einer vorteilhaften, dimensionslosen Darstellung gelangen kann, in der die Einheiten der Größen keine Rolle spielen.
Diese fundamentalen Prinzipien sind bedeutsam für die gesamte Physik.
Vektoren und Tensoren Bearbeiten
An ihre Grenzen stößt die Dimensionsanalyse, wenn nicht nur skalare Größen wie Druck oder Temperatur oder eindimensionale, gerade Bewegungsvorgänge behandelt werden, sondern Vektoren und Tensoren ins Spiel kommen.
Da nur eine physikalische Dimension der Länge zur Verfügung steht, für die Beschreibung von räumlichen Vorgängen aber ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem nötig ist (wobei Vektoren ins Spiel kommen), müsste für den zweidimensionalen Parabelflug einer Kanonenkugel etwa deren zeitabhängige Höhe und Weite getrennt untersucht werden. Dies schließt nicht aus, dass man über die Kenntnis von Symmetrien in beiden Formeln und dem nötigen Hintergrundwissen die eine gültige Bestimmungsgleichung für den Flug innerhalb eines rechtwinkligen und unbewegten Koordinatensystems herleiten kann. Wird die Kugel zusätzlich noch durch Seitenwind abgelenkt, und das Problem damit dreidimensional, steigt die zu erfassende Komplexität weiter.
Der scheinbare Widerspruch zwischen den drei Dimensionen des Raumes und der einen zur Verfügung stehenden Dimension der Länge löst sich auf, wenn man diese Längendimension gedanklich in einem mitwandernden Koordinatensystem an der Flugkurve selbst ausrichtet. Folgt man der Bahn, ist die Kurve und die Kugelgeschwindigkeit eindimensional. Die Dimensionsanalyse ist also durchaus gültig. Die Bahngeschwindigkeit entlang der Kurve lässt sich eindimensional, nämlich über den Betrag des Geschwindigkeitsvektors, erfassen. Dies ist nur für einen unbewegten Beobachter wenig hilfreich, der nicht nur Kenntnis über Beträge der Geschwindigkeit oder den zurückgelegten Weg der Kugel, sondern auch über die Richtung der Geschwindigkeit und die Kugelposition im Raum erlangen möchte.
Ähnliches gilt etwa für dreidimensionale Spannungszustände (etwa bei Untersuchung von Materialfestigkeiten), die mit einem Spannungstensor erfasst werden müssten.
Übergang zur Modelltheorie Bearbeiten
Die dritte wichtige Schlussfolgerung, die das -Theorem in der experimentellen Versuchstechnik bedeutsam macht, ist diejenige:
- Satz 3: Wenn in der dimensionslosen Funktionsgleichung
Satz 3 ist entscheidend für die gesamte Ähnlichkeitstheorie. Alle Randbedingungen, die in realistischen Modellversuchen zu wählen sind, gehen hieraus hervor (s. vollständige und teilweise Modellähnlichkeit).
Als Beispiel für einen in Modellversuchen bedeutenden Π-Faktor sei die Reynolds-Zahl genannt. Diese ist:
Da in die Reynolds-Zahl eine geometrische Länge , die Strömungsgeschwindigkeit die Dichte und die Viskosität eingehen, ist es möglich, maßstabsgetreue kleinere Modelle (etwa Flugzeuge im Strömungskanal) zu untersuchen, und dennoch ein korrektes Ergebnis auf der linken Seite der obigen dimensionslosen Funktionsgleichung zu erhalten, indem man bei der Untersuchung des Modells und/oder anpasst.
Bei vielen Problemstellungen tauchen dieselben charakteristischen Π-Faktoren wiederkehrend auf. So sind viele, unter dem Stichwort dimensionslose Kennzahl, nach ihren Entdeckern und Erforschern benannt.
Vollständige und teilweise Modellähnlichkeit Bearbeiten
Wenn es gelingt, alle Π-Faktoren in einem physikalisch interessierenden Wertebereich konstant zu halten, spricht man von vollständiger Modellähnlichkeit, ansonsten von teilweiser Modellähnlichkeit.
Oftmals glückt die vollständige Modellähnlichkeit allerdings nicht, und man ist gezwungen, den mehr oder weniger großen Nebeneffekt auf das letztendliche Messergebnis abzuschätzen. Nebeneffekte können auch anderweitig auftreten, nämlich wenn eine Größe, deren Einfluss auf den Prototyp belanglos wäre, das Modell unerwünscht stark beeinflusst (s. Froude-Zahl im Schiffsmodell).
Modellgesetze Bearbeiten
Über die Gleichsetzung der Π-Faktoren von Modell und Prototyp ergeben sich Modellgesetze. Variiert man in der Reynoldszahl des Modells gegenüber dem Prototyp die Länge, kann man dies, wie oben erklärt, durch Anpassung der Viskosität und/oder der Geschwindigkeit ausgleichen.
Um die Modellgesetze in eine vorteilhafte Form zu bringen, ist man immer bestrebt, nur diejenigen Größen in die Π-Faktoren zu übernehmen, die man auch im Modell variieren kann und nicht diejenigen, die sich aus der Konsequenz dieser Variation ergeben würden. Die praktisch sinnvollste Form erreicht man, wenn es möglich ist, diese Gleichungen derart zu schreiben, dass beim Einsetzen der Größenwerte des Prototyps immer eine eindeutige Aussage über eine einzelne Versuchseinstellung im Modell möglich ist. Also dergestalt, dass sich bei jeder Änderung der Ausgangssituation im Prototyp immer die erforderliche Versuchseinstellung im Modell offenbart.
Modellversuche Bearbeiten
Ein nicht zu unterschätzender Vorteil liegt überdies noch darin, in einem Modellversuch nicht mehr alle einfließenden Größen einzeln variieren zu müssen, sondern nur noch die aus ihnen gebildeten, und von der Anzahl her geringeren, Π-Faktoren. Auch für die Darstellung der späteren Versuchsergebnisse ist dies von entscheidender Bedeutung. Indem man nur noch Π-Faktoren statt einzelner, dimensionsbehafteter, Größen aufträgt, gelangt man zu einer wesentlich knapperen und übersichtlicheren Veranschaulichung der Messgrößen (man spart Dimensionen). Alle Diagramme, in denen die Achsen dimensionslos dargestellt sind, basieren auf der Grundlage der Dimensionsanalyse.
Beim Bau eines Modells und der späteren Versuchsdurchführung muss man sorgfältig alle relevanten Größen im Voraus überlegen. Nur über die richtigen Parameter gelangt man auf die richtigen oder einen vollständigen Satz von Π-Faktoren und kann eine realistische Simulation durchführen. Bei Auswahl zu vieler Größen, die möglicherweise nur geringe Bedeutung auf die Messung haben, steigt jedoch die Anzahl der Versuche gewaltig. Dies erfordert physikalischen Sachverstand.
Vielleicht stellt sich im Nachhinein heraus, dass eine Größe, der man eine Bedeutung zugedacht hatte, wesentlich weniger Einfluss auf das Ergebnis hat als angenommen. Falls diese Größe nur in einem einzigen Faktor vorkommt, ist es möglich, diesen zu streichen. Ansonsten empfiehlt es sich, mit einem neuen Satz von Größen die Dimensionsmatrix zu bilden und ein passendes Fundamentalsystem zu finden.
Beispiele Bearbeiten
Um die Anwendung der Formeln aus den vorhergehenden Kapiteln zu demonstrieren, folgen einige Rechenbeispiele.
Galileis Fallgesetz Bearbeiten
Zunächst sei fälschlicherweise angenommen, dass im Fallgesetz von Galileo Galilei der Fallweg neben der Fallbeschleunigung und Zeit auch von der Masse des fallenden Körpers abhinge, also:
Die zugeordnete Dimensionsmatrix lautet in ausführlicher Schreibweise
bzw. in mathematisch exakter Formulierung
Da alle Zeilenvektoren von linear unabhängig sind, ergibt sich der Rang zu ; es existieren keine Π-Faktoren, denn mit gilt . Es kann nur gelten:
Der Ansatz kann nicht dimensionslos gemacht werden und ist folglich physikalisch nicht korrekt. Eine Abhängigkeit des Fallwegs von der Masse führt erst dann zu einer richtigen Beschreibung, wenn die Luft berücksichtigt wird. Denn die für die bremsende Reibung verantwortliche Luftdichte enthält die Dimension der Masse.
Galilei stand die Differentialrechnung nicht zur Verfügung. Ihm war unbekannt, dass die Fallgeschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Fallwegs ist. Zeitweilig nahm er an, dass . Hätte er sich der Dimensionsanalyse bedient, wäre klar gewesen, dass der Ansatz zu
führt und dies ohne Kenntnis der Differentialrechnung.
Eulers Knickstab Bearbeiten
Vertikal belastete Stäbe einer bestimmten Länge sind knickgefährdet, d. h. ihr Versagen erfolgt häufig, bevor die eigentliche Bruchlast des Querschnitts erreicht ist. Die so genannte Knicklast eines solchen Stabes mit Rechteckquerschnitt hängt vom Elastizitätsmodul , seiner Länge , seiner Querschnittshöhe , seiner Querschnittsdicke und den Lagerbedingungen an den Enden ab:
Die Dimensionsmatrix für den zweiten Fall der nebenstehenden Abbildung ergibt sich für ein {F,L,T}-System in ausführlicher Schreibweise zu
bzw. in mathematisch exakter Formulierung zu
Der Rang von ist . Die Anzahl der Π-Faktoren ergibt sich mit und zu . Bei diesen beiden leicht zu erratenden Π-Faktoren handelt es sich um die so genannten geometrischen Ähnlichkeiten und . Für dimensionsloses muss
gelten, womit die Dimensionsanalyse gezeigt hat, dass man in Laborversuchen lediglich die so genannte Schlankheit des Stabes und das Seitenverhältnis des Querschnitts variieren muss, um für beliebige E-Moduln von Rechteckstäben deren Knicklast zu erhalten.
Nach Gleichung 6 im Abschnitt Existenz und Anzahl von Π-Faktoren lässt sich ein weiterer Π-Faktor bilden:
Mithilfe dieses Faktors liefert die Dimensionsanalyse die gleichwertige Beziehung
Häufig liegt es nahe, als ein Produkt der Π-Faktoren anzusetzen. Für dieses Beispiel gelangt man damit zur Gleichung
die der exakten, von Leonhard Euler aufgestellten Beziehung
analog, d. h. von gleicher funktionaler Gestalt ist. Die Knicklast lässt sich in Versuchen an Stäben beliebiger Länge und Elastizität, und nicht nur auf die Rechteckform beschränkt, leicht verifizieren und in Diagrammform dargestellten. Die Kenntnis geschlossener Formeln, wie etwa der von Euler, ist nicht nötig. Bemerkenswert ist die gewonnene Erkenntnis, dass Elastizitätsmodul und Länge eines feststehenden Querschnitts für einen Knickversuch prinzipiell frei wählbar sind. Die Proportionalität zwischen , und ist nach der Dimensionsanalyse bekannt.
In Fluiden umströmte Körper Bearbeiten
Strömungswiderstand einer Kugel Bearbeiten
Das Standardproblem in der Anfangszeit der Strömungsmechanik war die Bestimmung des Widerstands eines in einem Fluid umströmten Körpers. Dieses lässt sich mit Hilfe der Dimensionsanalyse erfassen.
Die Widerstandskraft einer Kugel und jedes anderen Körpers hängt von seiner Form, hier präzisiert durch den Kugeldurchmesser , der Geschwindigkeit , mit der er sich im Fluid bewegt, der Dichte des Mediums und dessen dynamischer Zähigkeit ab.
Gesucht ist der funktionale Zusammenhang .
Die Dimensionsmatrix in einem {M,L,T}-System ist:
Der Rang von ist 3. Es gibt Π-Faktor, die berühmte Reynolds-Zahl, benannt nach dem Erkenner dieses Prinzips, Osborne Reynolds und damit:
Für wird üblicherweise mit sinnvoll erscheinenden Zahlenkonstanten zu umformuliert, wobei die Konvention ist, dass durch die Stirnfläche des Körpers ersetzt wird und der Proportionalitätsfaktor 1/2 aus dem Staudruck zugefügt wird. Auch mit dieser Umformulierung gilt der Zusammenhang
Die gesuchte Widerstandskraft ist:
wird als Strömungswiderstandskoeffizient bezeichnet. Er kann durch Versuche bestimmt werden und ist, wie im dimensionslosen Diagramm zu erkennen, geschwindigkeitsabhängig und keinesfalls konstant. Mit dem durch Messungen ermittelten Zusammenhang zwischen und kann auf Kugeln mit anderem Durchmesser d und andere Fluide umgerechnet werden.
Zu Beginn bei niedrigen gilt das analytisch schwer herzuleitende lineare Stokes-Gesetz. Anschließend, bei höheren Geschwindigkeiten, variiert , bedingt durch Wirbelbildung auf der Kugelrückseite. Ähnliche Diagramme lassen sich mit Versuchen für beliebige geometrische Formen und Körper ermitteln.
Modelle von Schiffen Bearbeiten
Ein Schiff wird als Modell im kleinen Maßstab 1:100 untersucht.
Der Prototyp, also das echte Schiff, besitzt die Länge und die Breite . Sein Tiefgang ist und es fährt mit der Geschwindigkeit . Das Wasser besitzt die Dichte und die dynamische Zähigkeit . Der Vorgang unterliegt der Erdbeschleunigung , denn an der Wasseroberfläche entstehen dem Gesetz der Schwerkraft unterliegende Wellen. Das Wasser ist ausreichend tief gegenüber .
Untersucht wird der Strömungswiderstand in Fahrtrichtung, gemessen durch eine Kraft . In die Dimensionsmatrix dürfen nur unabhängige Variablen eingehen. Da etwa die Wichte ist, sind als Eingangsgrößen in nur zwei dieser drei Variablen zulässig.
Gesucht wird der funktionale Zusammenhang
Die Dimensionsmatrix in einem {M,L,T}-System stellt sich dar als:
Der Rang von ist 3. Für die Anzahl der Π-Faktoren gilt . Mit Erfahrung in der Strömungsmechanik errät man:
und sind geometrische Ähnlichkeiten. Maßstabsgetreu wiedergegebene Rundungen der Schiffsform werden vorausgesetzt. ist die Reynolds-Zahl und die Froude-Zahl.
Der dimensionslose Zusammenhang
ist gültig.
Vollständige Modellähnlichkeit ist erreicht, wenn alle Π-Faktoren in Modell und Prototyp konstant gehalten werden können. Bei und ist dies trivial. Im Wasser bleiben und unverändert. Die Konstanz der Reynolds-Zahl erfordert die Geschwindigkeit um den Maßstabsfaktor 100 zu vergrößern, da um 100 verkleinert wurde.
- Dilemma: In die Froude-Zahl geht die Geschwindigkeit im Quadrat ein. Für die Konstanz von wäre die Erdbeschleunigung anzupassen, was ohne Zentrifuge auf der Erde nicht realisierbar ist. Vollständige Modellähnlichkeit ist nicht zu erreichen, nur oder können konstant sein. Alternativ kann das Modell in einer anderen Flüssigkeit mit entsprechender Dichte und Zähigkeit untersucht werden.
- Fazit: Spielt sowohl als auch eine Rolle, wird im Regelfall keine vollständige Modellähnlichkeit erreicht. Sehr kleine Modelle verlangen außerdem große Anströmgeschwindigkeiten. Viele Modelle sind deshalb nur realistisch, wenn sie entsprechend groß sind.
Modelle von Flugzeugen und U-Booten Bearbeiten
Bei Strömungsvorgängen, in denen die freie Oberfläche des Fluids keine Rolle spielt, ist die Froude-Zahl mangels Oberflächenwellenbildung nicht relevant. Modelle von U-Booten oder Flugzeugen (unterhalb der Schallgeschwindigkeit) können im Prinzip bei vollständiger Modellähnlichkeit untersucht werden. Entscheidend ist nur die Reynolds-Zahl.
Um riesige, nicht realisierbare Strömungsgeschwindigkeiten im Windkanal zu umgehen, werden Flugzeugmodelle oft in dichteren Medien angeströmt. Bewegt sich ein Objekt so schnell, dass der Kompressionsmodul des Fluids von Belang ist, kommt die Mach-Zahl ins Spiel. Dann gilt die Beziehung . und sind charakteristische Abmessungen. Ergebnis sind drei bereits bekannte und ein neuer Π-Faktor:
Der Nenner von ist die Geschwindigkeit von Longitudinalwellen in elastischen Medien, in Luft die sogenannte Schallgeschwindigkeit. Die Mach-Zahl ist ab Werten von etwa von Einfluss. ist in Gasen stark druck- und temperaturabhängig.
Energie des ersten Atombombentests 1945 in New Mexico Bearbeiten
Ein berühmtes Beispiel für die Anwendung der Dimensionsanalyse stammt vom britischen Physiker Geoffrey Ingram Taylor. Nachdem er eine Bilderserie mit genauen Zeitintervallen der ersten Atombombenexplosion 1945 in New Mexico erhalten hatte (Trinity-Test), konnte er die freigesetzte Energie der dortigen Nuklearexplosion ermitteln. Die vor Ort gemessene Sprengkraft war von den Entwicklern in Los Alamos gegenüber den außenstehenden Briten geheim gehalten worden.
Durch frühere Überlegungen zu diesem Thema war Taylor klar, dass der Radius der anfangs etwa halbkugelförmigen Explosion maßgeblich von der Zeit seit dem Zünden der Bombe, der Dichte der die Explosion umgebenden Luft und natürlich von der freigesetzten Energie der Bombe abhängt. Andere Größen sind vernachlässigbar.
Damit gilt:
und:
Der Rang von ist 3 und . Der funktionale Zusammenhang ist bis auf eine Konstante bestimmt, denn es kann nur gelten:
Bei einer geschätzten Temperatur zum Explosionszeitpunkt um etwa 6 Uhr morgens in New Mexico von ergibt sich für die Luftdichte: .
Der Radius ist zum Zeitpunkt im obigen Bild etwa