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Dimensionsbetrachtung Die oder Dimensionsprobe ist eine Trivial Methode zur Prüfung ob eine Gleichung mit physikalischen

Dimensionsbetrachtung

Die Dimensionsbetrachtung oder Dimensionsprobe ist eine Trivial-Methode zur Prüfung, ob eine Gleichung mit physikalischen Größen richtig sein kann. Die Dimensionen der Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung müssen übereinstimmen. Die dimensionsmäßige Korrektheit ist eine notwendige Bedingung für physikalische Korrektheit. Sie ist aber keine hinreichende Bedingung, dass die Gleichung insgesamt inhaltlich und hinsichtlich der Zahlenwerte zutrifft.

Regeln Bearbeiten

  • Eine Gleichung kann nur dann einen physikalischen Zusammenhang ausdrücken, wenn ihre beiden Seiten von derselben Dimension sind.
  • In Summen und Differenzen müssen alle Terme von derselben Dimension sein.
  • In Produkten und Quotienten können Terme von verschiedenen Dimensionen miteinander verknüpft sein.
  • Transzendente Funktionen wie , oder sind nur für ein Argument definiert, das eine Größe der Dimension Zahl ist. Das Ergebnis hat ebenfalls die Dimension Zahl.

Beispiele Bearbeiten

Ermitteln der Dimension eines Proportionalitätsfaktors Bearbeiten

Als Beispiel soll die Gleichung für die Massenanziehungskraft der Massen m und M dienen, die sich im Abstand r befinden. Für den Betrag der Kraft lautet sie

Gesucht sei die Dimension der Gravitationskonstanten G. Auflösen der Gleichung nach G ergibt

Wenn man von allen Größen der rechten Seite die Dimension kennt, ergibt sich die Dimension der linken Seite mit den Dimensionszeichen des internationalen Größensystems:

Auch der entgegengesetzte Weg ist möglich: Man erkennt einen Unterschied zwischen der Dimension der linken und rechten Gleichungsseite, bestimmt die Dimension des offensichtlich fehlenden Faktors und kann dann manchmal schon daraus vermuten, welche Größe noch fehlt.

Buckinghamsches Π-Theorem Bearbeiten

Unter der Annahme, dass ein Proportionalitätsfaktor Π (großes Pi) die Dimension Zahl hat, lässt sich mit Hilfe des Buckinghamschen Π-Theorems herleiten, welcher Zusammenhang in einer Formel zwischen den verwendeten Größen bestehen muss. Ist zum Beispiel bekannt, dass die Masse einer homogenen Kugel nur von der Dichte und vom Kugelradius abhängt, dann lässt sich die Formel wie folgt ermitteln:

wobei eine Konstante der Dimension Zahl ist, die Masse der Kugel, der Radius und die Dichte. Als Dimensionengleichung mit der Dimension für Masse und für Länge, also mit muss gelten:

Daraus folgt

  • für die Exponenten von  :
  • für die Exponenten von  :  

Die Lösung dieser beiden Gleichungen ergibt: und . Das bedeutet: und nach aufgelöst:

Der Wert der Konstanten () lässt sich mit diesem Theorem nicht ermitteln. Ein Näherungswert könnte empirisch durch das Wiegen einer beliebigen Kugel mit bekannter Dichte und bekanntem Radius ermittelt werden.

Argument einer transzendenten Funktion Bearbeiten

Bei der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand verläuft die Spannung als abklingende Exponentialfunktion, die Zeit steht im Exponenten:

Die Dimension des Faktors muss demnach die einer inversen Zeit sein, damit das Produkt die Dimension Zahl annimmt. Da neben dem Kondensator mit seiner Kapazität auch noch der Widerstand beteiligt ist, kann man bereits vermuten, dass der Proportionalitätsfaktor mathematisch aus diesen Größen gebildet wird. Die Dimension des Produktes von Kapazität und Widerstand hat die Dimension Zeit. Daher liegt es nahe, dass sich wie folgt auf die gegebenen Größen zurückführen lässt:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hans Dieter Baehr: Physikalische Größen und ihre Einheiten – Eine Einführung für Studenten, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 19 der Reihe Studienbücher Naturwissenschaft und Technik, Bertelsmann Universitätsverlag, Düsseldorf 1974. ISBN 3-571-19233-8
  • Hans Rupp: Physikalische Größen, Formeln, Gesetze und Definitionen. 2. Auflage, Oldenbourg Schulbuchverlag, Juni 1995. ISBN 3-486-87093-9
  • Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8
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Veröffentlichungsdatum:
Die Dimensionsbetrachtung oder Dimensionsprobe ist eine Trivial Methode zur Prufung ob eine Gleichung mit physikalischen Grossen richtig sein kann Die Dimensionen der Ausdrucke auf beiden Seiten der Gleichung mussen ubereinstimmen Die dimensionsmassige Korrektheit ist eine notwendige Bedingung fur physikalische Korrektheit Sie ist aber keine hinreichende Bedingung dass die Gleichung insgesamt inhaltlich und hinsichtlich der Zahlenwerte zutrifft Inhaltsverzeichnis 1 Regeln 2 Beispiele 2 1 Ermitteln der Dimension eines Proportionalitatsfaktors 2 2 Buckinghamsches P Theorem 2 3 Argument einer transzendenten Funktion 3 Siehe auch 4 LiteraturRegeln BearbeitenEine Gleichung kann nur dann einen physikalischen Zusammenhang ausdrucken wenn ihre beiden Seiten von derselben Dimension sind In Summen und Differenzen mussen alle Terme von derselben Dimension sein In Produkten und Quotienten konnen Terme von verschiedenen Dimensionen miteinander verknupft sein Transzendente Funktionen wie y log x displaystyle y log x nbsp y exp x displaystyle y exp x nbsp oder y sin x displaystyle y sin x nbsp sind nur fur ein Argument x displaystyle x nbsp definiert das eine Grosse der Dimension Zahl ist Das Ergebnis y displaystyle y nbsp hat ebenfalls die Dimension Zahl Beispiele BearbeitenErmitteln der Dimension eines Proportionalitatsfaktors Bearbeiten Als Beispiel soll die Gleichung fur die Massenanziehungskraft der Massen m und M dienen die sich im Abstand r befinden Fur den Betrag der Kraft lautet sie F r G M m r 2 displaystyle F r frac GMm r 2 nbsp Gesucht sei die Dimension der Gravitationskonstanten G Auflosen der Gleichung nach G ergibt G F r 2 M m displaystyle G F cdot frac r 2 Mm nbsp Wenn man von allen Grossen der rechten Seite die Dimension kennt ergibt sich die Dimension der linken Seite mit den Dimensionszeichen des internationalen Grossensystems dim G dim F dim r 2 dim M dim m M L T 2 L 2 M 2 L 3 M 1 T 2 displaystyle dim G dim F cdot frac dim r 2 dim M dim m mathsf M L T 2 cdot frac L 2 M 2 L 3 M 1 T 2 nbsp Auch der entgegengesetzte Weg ist moglich Man erkennt einen Unterschied zwischen der Dimension der linken und rechten Gleichungsseite bestimmt die Dimension des offensichtlich fehlenden Faktors und kann dann manchmal schon daraus vermuten welche Grosse noch fehlt Buckinghamsches P Theorem Bearbeiten Hauptartikel Buckinghamsches P Theorem Unter der Annahme dass ein Proportionalitatsfaktor P grosses Pi die Dimension Zahl hat lasst sich mit Hilfe des Buckinghamschen P Theorems herleiten welcher Zusammenhang in einer Formel zwischen den verwendeten Grossen bestehen muss Ist zum Beispiel bekannt dass die Masse einer homogenen Kugel nur von der Dichte und vom Kugelradius abhangt dann lasst sich die Formel wie folgt ermitteln P m r x 1 r x 2 displaystyle Pi m cdot r x 1 cdot rho x 2 nbsp wobei P displaystyle Pi nbsp eine Konstante der Dimension Zahl ist m displaystyle m nbsp die Masse der Kugel r displaystyle r nbsp der Radius und r displaystyle rho nbsp die Dichte Als Dimensionengleichung mit der Dimension M displaystyle mathsf M nbsp fur Masse und L displaystyle mathsf L nbsp fur Lange also mit dim P 1 dim m M dim r L dim r M L 3 displaystyle dim Pi 1 dim m mathsf M dim r mathsf L dim rho mathsf M L 3 nbsp muss gelten 1 M L x 1 M L 3 x 2 displaystyle 1 mathsf M cdot L x 1 cdot mathsf M L 3 x 2 nbsp Daraus folgt fur die Exponenten von M displaystyle mathsf M nbsp 0 1 x 2 displaystyle 0 1 x 2 nbsp fur die Exponenten von L displaystyle mathsf L nbsp 0 x 1 3 x 2 displaystyle 0 x 1 3 x 2 nbsp Die Losung dieser beiden Gleichungen ergibt x 1 3 displaystyle x 1 3 nbsp und x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp Das bedeutet P m r 3 r 1 displaystyle Pi m cdot r 3 cdot rho 1 nbsp und nach m displaystyle m nbsp aufgelost m c o n s t r 3 r displaystyle m mathrm const cdot r 3 cdot rho nbsp Der Wert der Konstanten 4 3 p displaystyle tfrac 4 3 pi nbsp lasst sich mit diesem Theorem nicht ermitteln Ein Naherungswert konnte empirisch durch das Wiegen einer beliebigen Kugel mit bekannter Dichte und bekanntem Radius ermittelt werden Argument einer transzendenten Funktion Bearbeiten Bei der Entladung eines Kondensators uber einen Widerstand verlauft die Spannung U displaystyle U nbsp als abklingende Exponentialfunktion die Zeit t displaystyle t nbsp steht im Exponenten U U 0 e a t displaystyle U U 0 cdot mathrm e at nbsp Die Dimension des Faktors a displaystyle a nbsp muss demnach die einer inversen Zeit sein damit das Produkt a t displaystyle at nbsp die Dimension Zahl annimmt Da neben dem Kondensator mit seiner Kapazitat C displaystyle C nbsp auch noch der Widerstand R displaystyle R nbsp beteiligt ist kann man bereits vermuten dass der Proportionalitatsfaktor a displaystyle a nbsp mathematisch aus diesen Grossen gebildet wird Die Dimension des Produktes von Kapazitat und Widerstand hat die Dimension Zeit Daher liegt es nahe dass a displaystyle a nbsp sich wie folgt auf die gegebenen Grossen zuruckfuhren lasst U U 0 e t R C displaystyle U U 0 cdot mathrm e frac t RC nbsp Siehe auch BearbeitenEinheitengleichungLiteratur BearbeitenHans Dieter Baehr Physikalische Grossen und ihre Einheiten Eine Einfuhrung fur Studenten Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 19 der Reihe Studienbucher Naturwissenschaft und Technik Bertelsmann Universitatsverlag Dusseldorf 1974 ISBN 3 571 19233 8 Hans Rupp Physikalische Grossen Formeln Gesetze und Definitionen 2 Auflage Oldenbourg Schulbuchverlag Juni 1995 ISBN 3 486 87093 9 Paul A Tipler Physik 3 korrigierter Nachdruck der 1 Auflage 1994 Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin 2000 ISBN 3 86025 122 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dimensionsbetrachtung amp oldid 234676142