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Einheitengleichung Eine ist eine Gleichung die eine Beziehung zwischen physikalischen Einheiten oder Maßeinheiten ausdrü

Einheitengleichung

Eine Einheitengleichung ist eine Gleichung, die eine Beziehung zwischen physikalischen Einheiten oder Maßeinheiten ausdrückt. Zu einem bekannten funktionalen Zusammenhang enthält sie die Einheiten der in der Größengleichung vorkommenden physikalischen Größen und physikalischen Konstanten. Sie dient zur Nachprüfung der aufgestellten Funktion, zur Bestimmung der Einheit einer Größe oder Konstanten in einem gewählten Einheitensystem oder zur Umrechnung zwischen Einheiten.

Grundlagen Bearbeiten

Jeder spezielle Wert einer physikalischen Größe (Größenwert) wird als Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit angegeben. Dazu lässt sich für jede Größe eine Basiseinheit oder eine kohärente abgeleitete Einheit angeben. Diese ist im internationalen Einheitensystem (SI) ein Produkt aller sieben Basiseinheiten des Einheitensystems in je einer eigenen Potenz. Wird die Einheit einer Größe mit eckigen Klammern um das Größenzeichen gekennzeichnet, so gilt allgemein für jede abgeleitete Einheit

Darin ist ein Zahlenfaktor; für die hier fast ausschließlich behandelten kohärenten Einheiten ist . Die Exponenten bis sind im Allgemeinen ganze Zahlen. In anderen Einheitensystemen (und selten im SI) können auch rationale Zahlen als Exponenten auftreten. Die Exponenten können null sein, wenn die dazugehörigen Basiseinheiten in der abgeleiteten Einheit nicht vorkommen.

Vor diesen Hintergrund wird eine Einheitengleichung definiert als eine „mathematische Beziehung zwischen Basiseinheiten, kohärenten abgeleiteten Einheiten und anderen Maßeinheiten“.

Hinweis: Nach den Regeln für Formelsatz werden Größenzeichen kursiv (schräg) und Einheitenzeichen senkrecht (geradestehend) geschrieben.

Einheitenbetrachtung Bearbeiten

Eine simple Methode zur Prüfung, ob eine Gleichung mit physikalischen Größen überhaupt richtig sein kann, besteht darin, dass die Einheitengleichung aufgestellt wird, und dass darin Summanden miteinander sowie die linke Seite der Gleichung mit der rechten Seite auf Übereinstimmung geprüft werden. Bei Bedarf müssen abgeleitete Einheiten durch ihr Produkt der Basiseinheiten ersetzt werden, um vereinfachen zu können. Diese Betrachtung reicht jedoch nicht aus, um eine Funktion insgesamt auf Korrektheit zu überprüfen; eine Übereinstimmung ist nur notwendige, aber keine hinreichende Bedingung.

In der Elektrotechnik tritt die Einheit Volt besonders häufig auf; es ist üblich, diese Einheit wie eine Basiseinheit zu betrachten und nicht zu ersetzen. Für die Beziehung zwischen den „mechanischen Einheiten“ Newton (), Meter (), Sekunde () und den „elektrischen Einheiten“ Watt (), Volt (), Ampere () gilt die exakte Festlegung

Beispiele Bearbeiten

Nachprüfung durch Einheitenbetrachtung Bearbeiten

Wem in der angeblich für den idealen Schwingkreis geltenden Gleichung

fraglich ist, ob darin der Faktor richtig ist, bietet sich als einfacher Test eine Einheitenbetrachtung an. Mit

ergeben sich die Einheitengleichung und die nachfolgende Einsetzung zu

Da diese Rechnung auf keinen Widerspruch führt, spricht nichts gegen die Richtigkeit des Faktors.

Bestimmung einer Einheit Bearbeiten

Um die Einheit einer Größe festzustellen, werden beim Aufstellen der definierenden Funktion alle Größen, die darin vorkommen, zunächst auf möglichst fundamentale Größen zurückgeführt. Alternativ werden alle Einheiten der vorkommenden Größen auf Basiseinheiten umgeschrieben. Am Beispiel der Leistung bedeutet das:

Die Leistung ist der Quotient aus Arbeit und Zeit , wobei die Arbeit das Produkt aus Kraft und Weg ist. Die Kraft wiederum ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung :

Zur Bestimmung der Einheit der linken Seite werden die einzelnen Einheiten der rechten Seite

in die Einheitengleichung eingesetzt und so weit wie möglich zusammengefasst:

Ferner ist bekannt, dass für umgesetzte Leistung auch die Einheit Watt verwendet wird. Für diese gilt mit der oben angegebenen Festlegung

in Übereinstimmung mit der hier berechneten Einheit von . Wäre diese Übereinstimmung nicht herausgekommen, wäre dies ein Hinweis, dass die Gleichung zur Bestimmung der Leistung falsch ist. Umgekehrt kann die hier berechnete, etwas sperrige Einheit durch das bequemere Zeichen der abgeleiteten Einheit Watt ersetzt werden.

Die Einheit Eins Bearbeiten

Einige Größen sowie dimensionslose Kennzahlen werden ohne Einheit angegeben, beispielsweise der ebene Winkel, die Anzahl der Windungen einer Spule oder Quotienten gleichartiger Größen wie der Wirkungsgrad. In diesen Fällen sind in der oben angegebenen Gleichung für die Einheit der Größe

alle Exponenten gleich null. Solche Größen sind einfach Zahlen, die zugehörige Einheit ist die Einheit Eins, Einheitenzeichen 1. Sie wird in der Regel nicht mitgeschrieben. Je nach Umstand wird stattdessen eine Hilfseinheit verwendet, um einen Größenwert gleichwohl kennzeichnen zu können. Beispielsweise wird beim Winkel gerne die Einheit Radiant verwendet mit oder bei der Dehnung die Einheit Mikrometer pro Meter mit oder beim Wirkungsgrad die für Verhältnisse gleichartiger Größen dienliche Hilfseinheit Prozent mit .

Transzendente Funktionen wie , oder sind nur für eine unabhängige Variable definiert, die die Einheit Eins hat. Die abhängige Variable hat ebenfalls die Einheit Eins.

Die Einheitenbetrachtung zur Überprüfung der Richtigkeit einer Gleichung bietet sich auch hier an. Beispielsweise bei der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand verläuft die elektrische Spannung zeitlich als abklingende Exponentialfunktion mit der Zeit im Exponenten. Wem nicht mehr klar ist, ob die Gleichung

lautet, sollte die Einheiten prüfen: Eine Kapazität hat die Einheit und der Widerstand hat die Einheit , dadurch hat die Einheit . Damit der Exponent die Einheit Eins bekommt, kann – wenn überhaupt – nur die erste Gleichung richtig sein.

Entsprechend kannnur falsch sein, weil ist. Richtig wird es mit einem Verhältnis:

Umrechnung zwischen Einheiten Bearbeiten

Neben der Beziehung zwischen den Einheiten verschiedener Größen wird auch die Beziehung zwischen verschiedenen Einheiten derselben Größe als Einheitengleichung bezeichnet. Die Umrechnung gibt es

  • sowohl zwischen kohärenten abgeleiteten Einheiten und Basiseinheiten wie
  • als auch zwischen anderen Einheiten und kohärenten abgeleiteten Einheiten oder Basiseinheiten. Darin treten Umrechnungsfaktoren ungleich eins auf, die ganze Zehnerpotenzen sein können oder auch andere Zahlenwerte wie

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. DIN 1313:1998: Größen. Kap. 9.3
  2. ↑ Johannes Fischer: Größen und Einheiten der Elektrizitätslehre. Springer, 1961, S. 11–17
  3. ↑ DIN EN ISO 80000-1:2013, Größen und Einheiten – Allgemeines, Kap. 3.23
  4. Heribert Genreith: Makroökonomische Feldtheorie. Books on Demand, 2011, S. 39
  5. Winfried Storhas: Angewandte Bioverfahrensentwicklung. Wiley–VCH, 2018, S. 120
  6. Hansjürgen Bausch, Horst Steffen: Elektrotechnik. 5. Auflage. Teubner, 2004, S. 44
  7. Paul Dobrinski, Gunter Krakau, Anselm Vogel: Physik für Ingenieure. 8. Auflage. Teubner, S. 278
  8. DIN EN ISO 80000-1:2013, Größen und Einheiten – Allgemeines, Kap. 3.7 und 6
  9. Le Système international d’unités, 9. Auflage, 2019, BIPM, die sogenannte SI-Broschüre (englisch, französisch), Kap 2.3.3.
  10. Wolfgang Geller: Thermodynamik für Maschinenbauer. 5. Auflage. Springer Vieweg, 2015, S. 4

Weblinks Bearbeiten

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Eine Einheitengleichung ist eine Gleichung die eine Beziehung zwischen physikalischen Einheiten oder Masseinheiten ausdruckt 1 2 Zu einem bekannten funktionalen Zusammenhang enthalt sie die Einheiten der in der Grossengleichung vorkommenden physikalischen Grossen und physikalischen Konstanten Sie dient zur Nachprufung der aufgestellten Funktion zur Bestimmung der Einheit einer Grosse oder Konstanten in einem gewahlten Einheitensystem oder zur Umrechnung zwischen Einheiten Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 Einheitenbetrachtung 3 Beispiele 3 1 Nachprufung durch Einheitenbetrachtung 3 2 Bestimmung einer Einheit 3 3 Die Einheit Eins 4 Umrechnung zwischen Einheiten 5 Einzelnachweise 6 WeblinksGrundlagen BearbeitenJeder spezielle Wert einer physikalischen Grosse Grossenwert wird als Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit angegeben Dazu lasst sich fur jede Grosse eine Basiseinheit oder eine koharente abgeleitete Einheit angeben Diese ist im internationalen Einheitensystem SI ein Produkt aller sieben Basiseinheiten des Einheitensystems in je einer eigenen Potenz Wird die Einheit einer Grosse Q displaystyle Q nbsp mit eckigen Klammern um das Grossenzeichen gekennzeichnet so gilt allgemein fur jede abgeleitete Einheit Q 3 m a k g b s g A d K ϵ m o l z c d h displaystyle Q xi cdot mathrm m alpha cdot mathrm kg beta cdot mathrm s gamma cdot mathrm A delta cdot mathrm K epsilon cdot mathrm mol zeta cdot mathrm cd eta nbsp Darin ist 3 displaystyle xi nbsp ein Zahlenfaktor fur die hier fast ausschliesslich behandelten koharenten Einheiten ist 3 1 displaystyle xi 1 nbsp Die Exponenten a displaystyle alpha nbsp bis h displaystyle eta nbsp sind im Allgemeinen ganze Zahlen In anderen Einheitensystemen und selten im SI konnen auch rationale Zahlen als Exponenten auftreten Die Exponenten konnen null sein wenn die dazugehorigen Basiseinheiten in der abgeleiteten Einheit nicht vorkommen Vor diesen Hintergrund wird eine Einheitengleichung definiert als eine mathematische Beziehung zwischen Basiseinheiten koharenten abgeleiteten Einheiten und anderen Masseinheiten 3 Hinweis Nach den Regeln fur Formelsatz werden Grossenzeichen kursiv schrag und Einheitenzeichen senkrecht geradestehend geschrieben Einheitenbetrachtung BearbeitenEine simple Methode zur Prufung ob eine Gleichung mit physikalischen Grossen uberhaupt richtig sein kann besteht darin dass die Einheitengleichung aufgestellt wird und dass darin Summanden miteinander sowie die linke Seite der Gleichung mit der rechten Seite auf Ubereinstimmung gepruft werden 4 5 Bei Bedarf mussen abgeleitete Einheiten durch ihr Produkt der Basiseinheiten ersetzt werden um vereinfachen zu konnen Diese Betrachtung reicht jedoch nicht aus um eine Funktion insgesamt auf Korrektheit zu uberprufen eine Ubereinstimmung ist nur notwendige aber keine hinreichende Bedingung In der Elektrotechnik tritt die Einheit Volt besonders haufig auf es ist ublich diese Einheit wie eine Basiseinheit zu betrachten und nicht zu ersetzen 6 Fur die Beziehung zwischen den mechanischen Einheiten Newton N displaystyle mathrm N nbsp Meter m displaystyle mathrm m nbsp Sekunde s displaystyle mathrm s nbsp und den elektrischen Einheiten Watt W displaystyle mathrm W nbsp Volt V displaystyle mathrm V nbsp Ampere A displaystyle mathrm A nbsp gilt die exakte Festlegung 7 N m W s V A s displaystyle mathrm N m W s V A s nbsp Beispiele BearbeitenNachprufung durch Einheitenbetrachtung Bearbeiten Wem in der angeblich fur den idealen Schwingkreis geltenden Gleichung f 0 1 2 p L C displaystyle f 0 frac 1 2 pi sqrt LC nbsp fraglich ist ob darin der Faktor L C displaystyle sqrt LC nbsp richtig ist bietet sich als einfacher Test eine Einheitenbetrachtung an Mit der Frequenz f 0 displaystyle f 0 nbsp und f 0 H z s 1 displaystyle f 0 mathrm Hz s 1 nbsp der Induktivitat L displaystyle L nbsp und L H V s A displaystyle L mathrm H frac Vs A nbsp der Kapazitat C displaystyle C nbsp und C F A s V displaystyle C mathrm F frac As V nbsp ergeben sich die Einheitengleichung und die nachfolgende Einsetzung zu f 0 1 L 1 C s 1 A V s V A s 1 s 2 displaystyle f 0 sqrt frac 1 L cdot frac 1 C quad Rightarrow quad mathrm s 1 sqrt frac A Vs cdot frac V As sqrt frac 1 s 2 nbsp Da diese Rechnung auf keinen Widerspruch fuhrt spricht nichts gegen die Richtigkeit des Faktors Bestimmung einer Einheit Bearbeiten Um die Einheit einer Grosse festzustellen werden beim Aufstellen der definierenden Funktion alle Grossen die darin vorkommen zunachst auf moglichst fundamentale Grossen zuruckgefuhrt Alternativ werden alle Einheiten der vorkommenden Grossen auf Basiseinheiten umgeschrieben Am Beispiel der Leistung P displaystyle P nbsp bedeutet das Die Leistung ist der Quotient aus Arbeit W displaystyle W nbsp und Zeit t displaystyle t nbsp wobei die Arbeit das Produkt aus Kraft F displaystyle F nbsp und Weg s displaystyle s nbsp ist Die Kraft wiederum ist das Produkt aus Masse m displaystyle m nbsp und Beschleunigung a displaystyle a nbsp P W t F s t m a s t displaystyle P frac W t frac F s t frac m a s t nbsp Zur Bestimmung der Einheit der linken Seite werden die einzelnen Einheiten der rechten Seite F N k g m s 2 displaystyle F mathrm N kg frac m s 2 nbsp s m displaystyle s mathrm m nbsp t s displaystyle t mathrm s nbsp m k g displaystyle m mathrm kg nbsp a m s 2 displaystyle a mathrm frac m s 2 nbsp in die Einheitengleichung eingesetzt und so weit wie moglich zusammengefasst P F s t m a s t k g m s 2 m s k g m 2 s 3 k g 1 m 2 s 3 displaystyle P frac F s t frac m a s t mathrm frac kg frac m s 2 m s frac kg cdot m 2 s 3 kg 1 cdot m 2 cdot s 3 nbsp Ferner ist bekannt dass fur umgesetzte Leistung auch die Einheit Watt verwendet wird Fur diese gilt mit der oben angegebenen Festlegung W N m s k g m 2 s 3 displaystyle mathrm W frac N m s frac kg m 2 s 3 nbsp in Ubereinstimmung mit der hier berechneten Einheit von P displaystyle P nbsp Ware diese Ubereinstimmung nicht herausgekommen ware dies ein Hinweis dass die Gleichung zur Bestimmung der Leistung falsch ist Umgekehrt kann die hier berechnete etwas sperrige Einheit durch das bequemere Zeichen der abgeleiteten Einheit Watt ersetzt werden Die Einheit Eins Bearbeiten Einige Grossen sowie dimensionslose Kennzahlen werden ohne Einheit angegeben beispielsweise der ebene Winkel die Anzahl der Windungen einer Spule oder Quotienten gleichartiger Grossen wie der Wirkungsgrad In diesen Fallen sind in der oben angegebenen Gleichung fur die Einheit Q displaystyle Q nbsp der Grosse Q displaystyle Q nbsp Q 3 m a k g b s g A d K ϵ m o l z c d h displaystyle Q mathrm xi cdot m alpha cdot kg beta cdot s gamma cdot A delta cdot K epsilon cdot mol zeta cdot cd eta nbsp alle Exponenten gleich null Solche Grossen sind einfach Zahlen die zugehorige Einheit ist die Einheit Eins Einheitenzeichen 1 8 9 Sie wird in der Regel nicht mitgeschrieben Je nach Umstand wird stattdessen eine Hilfseinheit verwendet um einen Grossenwert gleichwohl kennzeichnen zu konnen Beispielsweise wird beim Winkel gerne die Einheit Radiant verwendet mit 1 r a d 1 displaystyle 1 mathrm rad 1 nbsp oder bei der Dehnung die Einheit Mikrometer pro Meter mit 10 6 m m m 1 displaystyle 10 6 mathrm tfrac mu m m 1 nbsp oder beim Wirkungsgrad die fur Verhaltnisse gleichartiger Grossen dienliche Hilfseinheit Prozent mit 100 1 displaystyle 100 1 nbsp Transzendente Funktionen wie y log x displaystyle y log x nbsp y exp x displaystyle y exp x nbsp oder y sin x displaystyle y sin x nbsp sind nur fur eine unabhangige Variable x displaystyle x nbsp definiert die die Einheit Eins hat Die abhangige Variable y displaystyle y nbsp hat ebenfalls die Einheit Eins Die Einheitenbetrachtung zur Uberprufung der Richtigkeit einer Gleichung bietet sich auch hier an Beispielsweise bei der Entladung eines Kondensators uber einen Widerstand verlauft die elektrische Spannung U displaystyle U nbsp zeitlich als abklingende Exponentialfunktion mit der Zeit t displaystyle t nbsp im Exponenten Wem nicht mehr klar ist ob die Gleichung U U 0 e t R C displaystyle U U 0 cdot mathrm e frac t RC quad nbsp oder U U 0 e t R C displaystyle quad U U 0 cdot mathrm e t cdot RC nbsp lautet sollte die Einheiten prufen Eine Kapazitat C displaystyle C nbsp hat die Einheit A s V displaystyle mathrm tfrac As V nbsp und der Widerstand R displaystyle R nbsp hat die Einheit V A displaystyle mathrm tfrac V A nbsp dadurch hat R C displaystyle RC nbsp die Einheit s displaystyle mathrm s nbsp Damit der Exponent die Einheit Eins bekommt kann wenn uberhaupt nur die erste Gleichung richtig sein Entsprechend kannln U ln U 0 t R C displaystyle quad ln U ln U 0 frac t RC quad nbsp nur falsch sein weil U 1 displaystyle U neq 1 nbsp ist Richtig wird es mit einem Verhaltnis ln U U 0 t R C displaystyle quad ln frac U U 0 frac t RC nbsp Umrechnung zwischen Einheiten BearbeitenNeben der Beziehung zwischen den Einheiten verschiedener Grossen wird auch die Beziehung zwischen verschiedenen Einheiten derselben Grosse als Einheitengleichung bezeichnet 2 3 10 Die Umrechnung gibt es sowohl zwischen koharenten abgeleiteten Einheiten und Basiseinheiten wieElektr Spannung Einheit Volt V k g m 2 s 3 A 1 displaystyle mathrm V kg m 2 s 3 A 1 nbsp Energie Einheit Joule J W s N m k g m 2 s 2 displaystyle mathrm J W s N m kg m 2 s 2 nbsp dd als auch zwischen anderen Einheiten und koharenten abgeleiteten Einheiten oder Basiseinheiten Darin treten Umrechnungsfaktoren ungleich eins auf die ganze Zehnerpotenzen sein konnen oder auch andere Zahlenwerte wieLange 1 m m 10 3 m displaystyle mathrm 1 mm 10 3 m nbsp Druck 1 b a r 10 5 P a 10 5 N m 2 10 5 k g m 1 s 2 displaystyle mathrm 1 bar 10 5 Pa 10 5 N m 2 10 5 kg m 1 s 2 nbsp Winkel 1 p 180 r a d p 180 displaystyle mathrm 1 circ pi 180 rad pi 180 nbsp Energie 1 k W h 3 6 10 6 J displaystyle mathrm 1 kWh 3 6 cdot 10 6 J nbsp dd Einzelnachweise Bearbeiten DIN 1313 1998 Grossen Kap 9 3 a b Johannes Fischer Grossen und Einheiten der Elektrizitatslehre Springer 1961 S 11 17 a b DIN EN ISO 80000 1 2013 Grossen und Einheiten Allgemeines Kap 3 23 Heribert Genreith Makrookonomische Feldtheorie Books on Demand 2011 S 39 Winfried Storhas Angewandte Bioverfahrensentwicklung Wiley VCH 2018 S 120 Hansjurgen Bausch Horst Steffen Elektrotechnik 5 Auflage Teubner 2004 S 44 Paul Dobrinski Gunter Krakau Anselm Vogel Physik fur Ingenieure 8 Auflage Teubner S 278 DIN EN ISO 80000 1 2013 Grossen und Einheiten Allgemeines Kap 3 7 und 6 Le Systeme international d unites 9 Auflage 2019 BIPM die sogenannte SI Broschure englisch franzosisch Kap 2 3 3 Wolfgang Geller Thermodynamik fur Maschinenbauer 5 Auflage Springer Vieweg 2015 S 4Weblinks BearbeitenLe Systeme international d unites 9e edition 2019 die sogenannte SI Broschure franzosisch und englisch abgerufen am 10 Juni 2020 Der korrekte Umgang mit Grossen Einheiten und Gleichungen abgerufen am 9 November 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einheitengleichung amp oldid 227373054