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Transponierte Matrix Die transponierte Matrix gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige M

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix, gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix, die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale. Die Umwandlung einer Matrix in ihre transponierte Matrix wird Transponierung, Transposition oder Stürzen der Matrix genannt.

Animation zur Transponierung einer Matrix

Die Transpositionsabbildung, die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, ist stets bijektiv, linear und selbstinvers. Bezüglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar, bezüglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus, das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Transponierung um. Viele Kenngrößen von Matrizen, wie Spur, Rang, Determinante und Eigenwerte, bleiben unter Transponierung erhalten.

In der linearen Algebra wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt. Die transponierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung einer linearen Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen bezüglich der jeweiligen Dualbasen. Weiterhin ist sie auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen reellen Skalarprodukträumen bezüglich der jeweiligen Orthonormalbasen. Das Konzept der Transponierung einer Matrix wurde im Jahr 1858 von dem britischen Mathematiker Arthur Cayley eingeführt.

Definition Bearbeiten

Ist ein Körper (in der Praxis meist der Körper der reellen oder komplexen Zahlen), dann ist die zu einer gegebenen Matrix

transponierte Matrix definiert als

Die transponierte Matrix ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix vertauscht werden. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale mit . Gelegentlich wird die transponierte Matrix auch durch , oder notiert.

Beispiele Bearbeiten

Durch Transponieren einer -Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine -Matrix (ein Spaltenvektor) und umgekehrt:

Eine quadratische Matrix behält durch Transponieren ihren Typ, jedoch werden alle Einträge an der Hauptdiagonale gespiegelt:

Durch Transponierung einer -Matrix entsteht eine -Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix entspricht:

Eigenschaften Bearbeiten

Summe Bearbeiten

Für die Transponierte der Summe zweier Matrizen gleichen Typs gilt

Allgemein ergibt sich die Summe von Matrizen gleichen Typs zu

Die Transponierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Transponierten.

Skalarmultiplikation Bearbeiten

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar gilt

Die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des Skalars mit der transponierten Matrix.

Zweifache Transposition Bearbeiten

Für die Transponierte der Transponierten einer Matrix gilt

Durch zweifache Transposition ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

Produkt Bearbeiten

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einer Matrix gilt

mit den Transponierten und .

Allgemein ergibt sich für das Produkt von Matrizen passenden Typs

Die Transponierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Transponierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Inverse Bearbeiten

Die Transponierte einer regulären Matrix ist ebenfalls regulär. Für die Transponierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

denn mit der Einheitsmatrix ergibt sich

und daher ist die inverse Matrix zu . Die Transponierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der transponierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit bezeichnet.

Exponential und Logarithmus Bearbeiten

Für das Matrixexponential der Transponierten einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix gilt

Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Transponierten einer regulären reellen oder komplexen Matrix

Transpositionsabbildung Bearbeiten

Die Abbildung

die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, wird Transpositionsabbildung genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Transpositionsabbildung die folgenden Eigenschaften:

Blockmatrizen Bearbeiten

Die Transponierte einer Blockmatrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen ist durch

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Transposition jedes Blocks.

Kenngrößen Bearbeiten

Rang Bearbeiten

Für eine Matrix ist der Rang der transponierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix:

Das Bild der Abbildung wird dabei von den Spaltenvektoren von aufgespannt, während das Bild der Abbildung von den Zeilenvektoren von aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen dabei stets überein.

Spur Bearbeiten

Für eine quadratische Matrix ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der transponierten Matrix gleich der Spur der Ausgangsmatrix:

Denn die Diagonalelemente der transponierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix überein.

Determinante Bearbeiten

Für eine quadratische Matrix ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der Ausgangsmatrix:

Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe läuft und das Vorzeichen der Permutation bezeichnet.

Spektrum Bearbeiten

Für eine quadratische Matrix ist aufgrund der Invarianz der Determinante unter Transposition auch das charakteristische Polynom der transponierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix identisch:

Daher stimmen auch die Eigenwerte der transponierten Matrix mit denen der Ausgangsmatrix überein, die beiden Spektren sind also gleich:

Die Eigenvektoren und Eigenräume müssen aber nicht übereinstimmen.

Ähnlichkeit Bearbeiten

Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu ihrer Transponierten, das heißt: Es gibt eine reguläre Matrix , sodass

gilt. Die Matrix kann dabei sogar symmetrisch gewählt werden. Daraus folgt unter anderem, dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte das gleiche Minimalpolynom und, sofern ihr charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, auch die gleiche jordansche Normalform haben.

Normen Bearbeiten

Die euklidische Norm eines reellen Vektors ist durch

gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Transponierten einer reellen oder komplexen Matrix gilt

Die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Transponierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

Skalarprodukte Bearbeiten

Das Standardskalarprodukt zweier reeller Vektoren ist durch

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine reelle Matrix und ihre Transponierte die Verschiebungseigenschaft

für alle Vektoren und auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im . Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen gilt

da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind.

Verwendung Bearbeiten

Spezielle Matrizen Bearbeiten

Die transponierte Matrix wird in der linearen Algebra in einer Reihe von Definitionen verwendet:

Bilinearformen Bearbeiten

Sind und endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper , dann lässt sich jede Bilinearform nach Wahl einer Basis für und einer Basis für durch die Darstellungsmatrix

beschreiben. Mit den Koordinatenvektoren und zweier Vektoren und gilt für den Wert der Bilinearform:

Sind nun und weitere Basen von bzw. , dann gilt für die entsprechende Darstellungsmatrix

wobei die Basiswechselmatrix in und die Basiswechselmatrix in sind. Zwei quadratische Matrizen sind daher genau dann zueinander kongruent, es gilt also

mit einer regulären Matrix genau dann, wenn und die gleiche Bilinearform bezüglich gegebenenfalls unterschiedlicher Basen darstellen.

Duale Abbildungen Bearbeiten

Sind wieder und endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper mit zugehörigen Dualräumen und , dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung zugehörige duale Abbildung durch

für alle charakterisiert. Ist nun eine Basis für und eine Basis für mit zugehörigen dualen Basen und , dann gilt für die Abbildungsmatrizen von und von die Beziehung

Die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung bezüglich der dualen Basen ist demnach gerade die Transponierte der Abbildungsmatrix der primalen Abbildung bezüglich der primalen Basen. In der Physik kommt dieses Konzept bei kovarianten und kontravarianten vektoriellen Größen zum Einsatz.

Adjungierte Abbildungen Bearbeiten

Sind nun und endlichdimensionale reelle Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung zugehörige adjungierte Abbildung durch die Beziehung

für alle und charakterisiert. Ist weiter eine Orthonormalbasis von , eine Orthonormalbasis von und die Abbildungsmatrix von bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix von bezüglich dieser Basen gerade

Bei reellen Matrizen ist demnach die zu einer gegebenen Matrix adjungierte Matrix gerade die transponierte Matrix, also . In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Permutationen Bearbeiten

Durch die transponierte Matrix werden auch spezielle Permutationen definiert. Werden in eine -Matrix zeilenweise der Reihe nach die Zahlen von bis geschrieben und dann spaltenweise wieder abgelesen (was genau dem Transponieren der Matrix entspricht), ergibt sich eine Permutation dieser Zahlen, die durch

für und angegeben werden kann. Die Anzahl der Fehlstände und damit auch das Vorzeichen von lassen sich explizit durch

bestimmen. In der Zahlentheorie werden diese Permutationen beispielsweise im Lemma von Zolotareff zum Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes verwendet.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Allgemeiner können auch Matrizen mit Einträgen aus einem Ring (gegebenenfalls mit Eins) betrachtet werden, wobei ein Großteil der Eigenschaften transponierter Matrizen erhalten bleibt. In beliebigen Ringen muss jedoch der Spaltenrang einer Matrix nicht mit ihrem Zeilenrang übereinstimmen. Die Produktformel und die Determinantendarstellung gelten nur in kommutativen Ringen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. Springer, 2008, ISBN 3-8348-9574-1.
  • Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6.
  • Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-65851-8.

Originalarbeit

  • Arthur Cayley: A memoir on the theory of matrices. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Band 148, 1858, S. 17–37 (Online).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg Verlag, 2007, S. 9.
  2. Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I. Springer, 2013, S. 153.
  3. Teiko Heinosaari, Mário Ziman: The Mathematical Language of Quantum Theory. Cambridge University Press, 2011, S. 177 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. O. Taussky, H. Zassenhaus: On the similarity transformation of matrix and its transpose. In: Pacific J. Math. Band 9, 1959, S. 893–896.
  5. Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, 2000, S. 32.

Weblinks Bearbeiten

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Die transponierte Matrix gespiegelte Matrix oder gesturzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale Die Umwandlung einer Matrix in ihre transponierte Matrix wird Transponierung Transposition oder Sturzen der Matrix genannt Animation zur Transponierung einer MatrixDie Transpositionsabbildung die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet ist stets bijektiv linear und selbstinvers Bezuglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar bezuglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus das heisst die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Transponierung um Viele Kenngrossen von Matrizen wie Spur Rang Determinante und Eigenwerte bleiben unter Transponierung erhalten In der linearen Algebra wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt Die transponierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung einer linearen Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorraumen bezuglich der jeweiligen Dualbasen Weiterhin ist sie auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen reellen Skalarproduktraumen bezuglich der jeweiligen Orthonormalbasen Das Konzept der Transponierung einer Matrix wurde im Jahr 1858 von dem britischen Mathematiker Arthur Cayley eingefuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Summe 3 2 Skalarmultiplikation 3 3 Zweifache Transposition 3 4 Produkt 3 5 Inverse 3 6 Exponential und Logarithmus 3 7 Transpositionsabbildung 3 8 Blockmatrizen 4 Kenngrossen 4 1 Rang 4 2 Spur 4 3 Determinante 4 4 Spektrum 4 5 Ahnlichkeit 4 6 Normen 4 7 Skalarprodukte 5 Verwendung 5 1 Spezielle Matrizen 5 2 Bilinearformen 5 3 Duale Abbildungen 5 4 Adjungierte Abbildungen 5 5 Permutationen 6 Verallgemeinerungen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Einzelnachweise 10 WeblinksDefinition BearbeitenIst K displaystyle K nbsp ein Korper in der Praxis meist der Korper der reellen oder komplexen Zahlen dann ist die zu einer gegebenen Matrix A a i j a 11 a 1 n a m 1 a m n K m n displaystyle A a ij begin pmatrix a 11 amp dots amp a 1n vdots amp amp vdots a m1 amp dots amp a mn end pmatrix in K m times n nbsp transponierte Matrix definiert als A T a j i a 11 a m 1 a 1 n a m n K n m displaystyle A mathrm T a ji begin pmatrix a 11 amp dots amp a m1 vdots amp amp vdots a 1n amp dots amp a mn end pmatrix in K n times m nbsp Die transponierte Matrix A T displaystyle A mathrm T nbsp ergibt sich also dadurch dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix A displaystyle A nbsp vertauscht werden Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale a 11 a 22 a k k displaystyle a 11 a 22 dotsc a kk nbsp mit k min m n displaystyle k min m n nbsp Gelegentlich wird die transponierte Matrix auch durch A displaystyle A top nbsp A t displaystyle A mathrm t nbsp oder A displaystyle A nbsp notiert Beispiele BearbeitenDurch Transponieren einer 1 3 displaystyle 1 times 3 nbsp Matrix eines Zeilenvektors entsteht eine 3 1 displaystyle 3 times 1 nbsp Matrix ein Spaltenvektor und umgekehrt 2 4 6 T 2 4 6 1 3 5 T 1 3 5 displaystyle begin pmatrix 2 amp 4 amp 6 end pmatrix mathrm T begin pmatrix 2 4 6 end pmatrix quad begin pmatrix 1 3 5 end pmatrix mathrm T begin pmatrix 1 amp 3 amp 5 end pmatrix nbsp Eine quadratische Matrix behalt durch Transponieren ihren Typ jedoch werden alle Eintrage an der Hauptdiagonale gespiegelt 2 3 4 5 T 2 4 3 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 T 9 6 3 8 5 2 7 4 1 displaystyle begin pmatrix 2 amp 3 4 amp 5 end pmatrix mathrm T begin pmatrix 2 amp 4 3 amp 5 end pmatrix quad begin pmatrix 9 amp 8 amp 7 6 amp 5 amp 4 3 amp 2 amp 1 end pmatrix mathrm T begin pmatrix 9 amp 6 amp 3 8 amp 5 amp 2 7 amp 4 amp 1 end pmatrix nbsp Durch Transponierung einer 3 2 displaystyle 3 times 2 nbsp Matrix entsteht eine 2 3 displaystyle 2 times 3 nbsp Matrix bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix entspricht 1 4 8 2 3 5 T 1 8 3 4 2 5 displaystyle begin pmatrix 1 amp 4 8 amp 2 3 amp 5 end pmatrix mathrm T begin pmatrix 1 amp 8 amp 3 4 amp 2 amp 5 end pmatrix nbsp Eigenschaften BearbeitenSumme Bearbeiten Fur die Transponierte der Summe zweier Matrizen A a i j B b i j K m n displaystyle A a ij B b ij in K m times n nbsp gleichen Typs gilt A B T a i j b i j T a i j b i j T a j i b j i a j i b j i A T B T displaystyle A B mathrm T a ij b ij mathrm T a ij b ij mathrm T a ji b ji a ji b ji A mathrm T B mathrm T nbsp Allgemein ergibt sich die Summe von n displaystyle n nbsp Matrizen A 1 A n K m n displaystyle A 1 dotsc A n in K m times n nbsp gleichen Typs zu A 1 A 2 A n T A 1 T A 2 T A n T displaystyle A 1 A 2 dotsb A n mathrm T A 1 mathrm T A 2 mathrm T dotsb A n mathrm T nbsp Die Transponierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Transponierten Skalarmultiplikation Bearbeiten Fur die Transponierte des Produkts einer Matrix A a i j K m n displaystyle A a ij in K m times n nbsp mit einem Skalar c K displaystyle c in K nbsp gilt c A T c a i j T c a j i c A T displaystyle c cdot A mathrm T c cdot a ij mathrm T c cdot a ji c cdot A mathrm T nbsp Die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des Skalars mit der transponierten Matrix Zweifache Transposition Bearbeiten Fur die Transponierte der Transponierten einer Matrix A a i j K m n displaystyle A a ij in K m times n nbsp gilt A T T a i j T T a j i T a i j A displaystyle left A mathrm T right mathrm T a ij mathrm T mathrm T a ji mathrm T a ij A nbsp Durch zweifache Transposition ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix Produkt Bearbeiten Fur die Transponierte des Produkts einer Matrix A a i j K m n displaystyle A a ij in K m times n nbsp mit einer Matrix B b i j K n l displaystyle B b ij in K n times l nbsp gilt A B T k 1 n a i k b k j T k 1 n a j k b k i k 1 n b k i a j k k 1 n b i k a k j B T A T displaystyle A cdot B mathrm T left sum k 1 n a ik cdot b kj right mathrm T left sum k 1 n a jk cdot b ki right left sum k 1 n b ki cdot a jk right left sum k 1 n beta ik cdot alpha kj right B mathrm T cdot A mathrm T nbsp mit den Transponierten B T b i j K l n displaystyle B mathrm T beta ij in K l times n nbsp und A T a i j K n m displaystyle A mathrm T alpha ij in K n times m nbsp Allgemein ergibt sich fur das Produkt von n displaystyle n nbsp Matrizen A 1 A n displaystyle A 1 dotsc A n nbsp passenden Typs A 1 A 2 A n T A n T A 2 T A 1 T displaystyle A 1 cdot A 2 dotsm A n mathrm T A n mathrm T dotsm A 2 mathrm T cdot A 1 mathrm T nbsp Die Transponierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Transponierten jedoch in umgekehrter Reihenfolge Inverse Bearbeiten Die Transponierte einer regularen Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp ist ebenfalls regular Fur die Transponierte der Inversen einer regularen Matrix gilt dabei A 1 T A T 1 displaystyle left A 1 right mathrm T left A mathrm T right 1 nbsp denn mit der Einheitsmatrix I K n n displaystyle I in K n times n nbsp ergibt sich A T A 1 T A 1 A T I T I displaystyle A mathrm T cdot left A 1 right mathrm T left A 1 cdot A right mathrm T I mathrm T I nbsp und daher ist A 1 T displaystyle A 1 mathrm T nbsp die inverse Matrix zu A T displaystyle A mathrm T nbsp Die Transponierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der transponierten Matrix Diese Matrix wird gelegentlich auch mit A T displaystyle A T nbsp bezeichnet 1 Exponential und Logarithmus Bearbeiten Fur das Matrixexponential der Transponierten einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp gilt exp A T exp A T displaystyle exp A mathrm T exp A mathrm T nbsp Entsprechend gilt fur den Matrixlogarithmus der Transponierten einer regularen reellen oder komplexen Matrix ln A T ln A T displaystyle ln A mathrm T ln A mathrm T nbsp Transpositionsabbildung Bearbeiten Die Abbildung K m n K n m A A T displaystyle K m times n to K n times m quad A mapsto A mathrm T nbsp die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet wird Transpositionsabbildung genannt Aufgrund der vorstehenden Gesetzmassigkeiten besitzt die Transpositionsabbildung die folgenden Eigenschaften Die Transpositionsabbildung ist stets bijektiv linear und selbstinvers Zwischen den Matrizenraumen K m n displaystyle K m times n nbsp und K n m displaystyle K n times m nbsp stellt die Transpositionsabbildung einen Isomorphismus dar In der allgemeinen linearen Gruppe GL n K displaystyle operatorname GL n K nbsp und im Matrizenring K n n displaystyle K n times n nbsp stellt die Transpositionsabbildung fur m n displaystyle m n nbsp einen Antiautomorphismus dar 2 Falls m n displaystyle m n nbsp und K m displaystyle K m nbsp ein Raum mit Skalarprodukt ist so gilt dass die Transpositionsabbildung positiv aber nicht vollstandig positiv ist 3 Blockmatrizen Bearbeiten Die Transponierte einer Blockmatrix mit r displaystyle r nbsp Zeilen und s displaystyle s nbsp Spaltenpartitionen ist durch A 11 A 1 s A r 1 A r s T A 11 T A r 1 T A 1 s T A r s T displaystyle begin pmatrix A 11 amp cdots amp A 1s vdots amp amp vdots A r1 amp cdots amp A rs end pmatrix mathrm T begin pmatrix A 11 mathrm T amp cdots amp A r1 mathrm T vdots amp amp vdots A 1s mathrm T amp cdots amp A rs mathrm T end pmatrix nbsp gegeben Sie entsteht durch Spiegelung aller Blocke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Transposition jedes Blocks Kenngrossen BearbeitenRang Bearbeiten Fur eine Matrix A K m n displaystyle A in K m times n nbsp ist der Rang der transponierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix rang A T rang A displaystyle operatorname rang A mathrm T operatorname rang A nbsp Das Bild der Abbildung x A x displaystyle x mapsto Ax nbsp wird dabei von den Spaltenvektoren von A displaystyle A nbsp aufgespannt wahrend das Bild der Abbildung x A T x displaystyle x mapsto A mathrm T x nbsp von den Zeilenvektoren von A displaystyle A nbsp aufgespannt wird Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen dabei stets uberein Spur Bearbeiten Fur eine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp ist die Spur die Summe der Hauptdiagonalelemente der transponierten Matrix gleich der Spur der Ausgangsmatrix spur A T spur A displaystyle operatorname spur A mathrm T operatorname spur A nbsp Denn die Diagonalelemente der transponierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix uberein Determinante Bearbeiten Fur eine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der Ausgangsmatrix det A T det A displaystyle det A mathrm T det A nbsp Dies folgt aus der Leibniz Formel fur Determinanten uber det A s S n sgn s a 1 s 1 a n s n s S n sgn s a s 1 1 a s n n det A T displaystyle det A sum sigma in S n left operatorname sgn sigma a 1 sigma 1 cdots a n sigma n right sum sigma in S n left operatorname sgn sigma a sigma 1 1 cdots a sigma n n right det A mathrm T nbsp wobei die Summe uber alle Permutationen der symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n nbsp lauft und sgn s displaystyle operatorname sgn sigma nbsp das Vorzeichen der Permutation s displaystyle sigma nbsp bezeichnet Spektrum Bearbeiten Fur eine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp ist aufgrund der Invarianz der Determinante unter Transposition auch das charakteristische Polynom der transponierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix identisch x A T l det l I A T det l I A T T det l I A x A l displaystyle chi A mathrm T lambda det lambda I A mathrm T det lambda I A mathrm T mathrm T det lambda I A chi A lambda nbsp Daher stimmen auch die Eigenwerte der transponierten Matrix mit denen der Ausgangsmatrix uberein die beiden Spektren sind also gleich s A T s A displaystyle sigma A mathrm T sigma A nbsp Die Eigenvektoren und Eigenraume mussen aber nicht ubereinstimmen Ahnlichkeit Bearbeiten Jede quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp ist ahnlich zu ihrer Transponierten das heisst Es gibt eine regulare Matrix S K n n displaystyle S in K n times n nbsp sodass A T S 1 A S displaystyle A mathrm T S 1 AS nbsp gilt Die Matrix S displaystyle S nbsp kann dabei sogar symmetrisch gewahlt werden 4 Daraus folgt unter anderem dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte das gleiche Minimalpolynom und sofern ihr charakteristisches Polynom vollstandig in Linearfaktoren zerfallt auch die gleiche jordansche Normalform haben Normen Bearbeiten Die euklidische Norm eines reellen Vektors x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp ist durch x 2 x T x displaystyle x 2 sqrt x mathrm T x nbsp gegeben Fur die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Transponierten einer reellen oder komplexen Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp gilt A T F A F displaystyle A mathrm T F A F nbsp und A T 2 A 2 displaystyle A mathrm T 2 A 2 nbsp Die Zeilensummen und die Spaltensummennorm der Transponierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermassen in Beziehung A T A 1 displaystyle A mathrm T infty A 1 nbsp und A T 1 A displaystyle A mathrm T 1 A infty nbsp Skalarprodukte Bearbeiten Das Standardskalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp zweier reeller Vektoren x y R n displaystyle x y in mathbb R n nbsp ist durch x y x T y displaystyle langle x y rangle x mathrm T y nbsp gegeben Bezuglich des Standardskalarprodukts weisen eine reelle Matrix A R m n displaystyle A in mathbb R m times n nbsp und ihre Transponierte die Verschiebungseigenschaft A x y x A T y displaystyle langle Ax y rangle langle x A mathrm T y rangle nbsp fur alle Vektoren x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp und y R m displaystyle y in mathbb R m nbsp auf Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im R m displaystyle mathbb R m nbsp und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im R n displaystyle mathbb R n nbsp Fur das Frobenius Skalarprodukt zweier Matrizen A B R m n displaystyle A B in mathbb R m times n nbsp gilt A B F spur A T B spur B A T spur A B T A T B T F displaystyle langle A B rangle F operatorname spur A mathrm T B operatorname spur BA mathrm T operatorname spur AB mathrm T langle A mathrm T B mathrm T rangle F nbsp da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind Verwendung BearbeitenSpezielle Matrizen Bearbeiten Die transponierte Matrix wird in der linearen Algebra in einer Reihe von Definitionen verwendet Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix die gleich ihrer Transponierten ist A T A displaystyle A mathrm T A nbsp Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist A T A displaystyle A mathrm T A nbsp Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix deren Transponierte gleich ihrer Konjugierten ist A T A displaystyle A mathrm T bar A nbsp Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist A T A displaystyle A mathrm T bar A nbsp Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist A T A 1 displaystyle A mathrm T A 1 nbsp Eine reelle normale Matrix ist eine reelle quadratische Matrix die mit ihrer Transponierten kommutiert A T A A A T displaystyle A mathrm T A AA mathrm T nbsp Fur eine beliebige reelle Matrix sind die beiden Gram Matrizen A T A displaystyle A mathrm T A nbsp und A A T displaystyle AA mathrm T nbsp stets symmetrisch und positiv semidefinit Das dyadische Produkt zweier Vektoren x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp ergibt die Matrix x y T displaystyle xy mathrm T nbsp Bilinearformen Bearbeiten Sind V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp endlichdimensionale Vektorraume uber dem Korper K displaystyle K nbsp dann lasst sich jede Bilinearform b V W K displaystyle b colon V times W to K nbsp nach Wahl einer Basis v 1 v m displaystyle v 1 dotsc v m nbsp fur V displaystyle V nbsp und einer Basis w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp fur W displaystyle W nbsp durch die Darstellungsmatrix A b b v i w j i j K m n displaystyle A b b v i w j ij in K m times n nbsp beschreiben Mit den Koordinatenvektoren x x 1 x m T displaystyle x x 1 dotsc x m mathrm T nbsp und y y 1 y n T displaystyle y y 1 dotsc y n mathrm T nbsp zweier Vektoren v V displaystyle v in V nbsp und w W displaystyle w in W nbsp gilt fur den Wert der Bilinearform b v w x T A b y displaystyle b v w x mathrm T A b y nbsp Sind nun v 1 v m displaystyle v 1 dotsc v m nbsp und w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp weitere Basen von V displaystyle V nbsp bzw W displaystyle W nbsp dann gilt fur die entsprechende Darstellungsmatrix A b S T A b T displaystyle A b S mathrm T A b T nbsp wobei S K m m displaystyle S in K m times m nbsp die Basiswechselmatrix in V displaystyle V nbsp und T K n n displaystyle T in K n times n nbsp die Basiswechselmatrix in W displaystyle W nbsp sind Zwei quadratische Matrizen A B K n n displaystyle A B in K n times n nbsp sind daher genau dann zueinander kongruent es gilt also A S T B S displaystyle A S mathrm T BS nbsp mit einer regularen Matrix S K n n displaystyle S in K n times n nbsp genau dann wenn A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp die gleiche Bilinearform b V V K displaystyle b colon V times V to K nbsp bezuglich gegebenenfalls unterschiedlicher Basen darstellen Duale Abbildungen Bearbeiten Sind wieder V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp endlichdimensionale Vektorraume uber dem Korper K displaystyle K nbsp mit zugehorigen Dualraumen V displaystyle V ast nbsp und W displaystyle W ast nbsp dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp zugehorige duale Abbildung f W V displaystyle f ast colon W ast to V ast nbsp durch f f f f displaystyle f ast varphi varphi circ f nbsp fur alle f W displaystyle varphi in W ast nbsp charakterisiert Ist nun v 1 v m displaystyle v 1 dotsc v m nbsp eine Basis fur V displaystyle V nbsp und w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp eine Basis fur W displaystyle W nbsp mit zugehorigen dualen Basen v 1 v m displaystyle v 1 ast dotsc v m ast nbsp und w 1 w n displaystyle w 1 ast dotsc w n ast nbsp dann gilt fur die Abbildungsmatrizen A f K n m displaystyle A f in K n times m nbsp von f displaystyle f nbsp und A f K m n displaystyle A f ast in K m times n nbsp von f displaystyle f ast nbsp die Beziehung A f A f T displaystyle A f ast A f mathrm T nbsp Die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung bezuglich der dualen Basen ist demnach gerade die Transponierte der Abbildungsmatrix der primalen Abbildung bezuglich der primalen Basen In der Physik kommt dieses Konzept bei kovarianten und kontravarianten vektoriellen Grossen zum Einsatz Adjungierte Abbildungen Bearbeiten Sind nun V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp endlichdimensionale reelle Skalarproduktraume dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung f V W displaystyle f colon V to W nbsp zugehorige adjungierte Abbildung f W V displaystyle f ast colon W to V nbsp durch die Beziehung f v w v f w displaystyle langle f v w rangle langle v f ast w rangle nbsp fur alle v V displaystyle v in V nbsp und w W displaystyle w in W nbsp charakterisiert Ist weiter v 1 v m displaystyle v 1 dotsc v m nbsp eine Orthonormalbasis von V displaystyle V nbsp w 1 w n displaystyle w 1 dotsc w n nbsp eine Orthonormalbasis von W displaystyle W nbsp und A f R n m displaystyle A f in mathbb R n times m nbsp die Abbildungsmatrix von f displaystyle f nbsp bezuglich dieser Basen dann ist die Abbildungsmatrix A f R m n displaystyle A f ast in mathbb R m times n nbsp von f displaystyle f ast nbsp bezuglich dieser Basen gerade A f A f T displaystyle A f ast A f mathrm T nbsp Bei reellen Matrizen ist demnach die zu einer gegebenen Matrix adjungierte Matrix gerade die transponierte Matrix also A A T displaystyle A ast A mathrm T nbsp In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilbertraumen verallgemeinert Permutationen Bearbeiten Durch die transponierte Matrix werden auch spezielle Permutationen definiert Werden in eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix zeilenweise der Reihe nach die Zahlen von 1 displaystyle 1 nbsp bis m n displaystyle m cdot n nbsp geschrieben und dann spaltenweise wieder abgelesen was genau dem Transponieren der Matrix entspricht ergibt sich eine Permutation p displaystyle pi nbsp dieser Zahlen die durch p n i 1 j i m j 1 displaystyle pi n i 1 j i m j 1 nbsp fur i 1 m displaystyle i 1 dotsc m nbsp und j 1 n displaystyle j 1 dotsc n nbsp angegeben werden kann Die Anzahl der Fehlstande und damit auch das Vorzeichen von p displaystyle pi nbsp lassen sich explizit durch inv p m 2 n 2 displaystyle operatorname inv pi binom m 2 binom n 2 nbsp sgn p 1 m 2 n 2 displaystyle operatorname sgn pi 1 tbinom m 2 tbinom n 2 nbsp bestimmen In der Zahlentheorie werden diese Permutationen beispielsweise im Lemma von Zolotareff zum Beweis des quadratischen Reziprozitatsgesetzes verwendet 5 Verallgemeinerungen BearbeitenAllgemeiner konnen auch Matrizen mit Eintragen aus einem Ring gegebenenfalls mit Eins betrachtet werden wobei ein Grossteil der Eigenschaften transponierter Matrizen erhalten bleibt In beliebigen Ringen muss jedoch der Spaltenrang einer Matrix nicht mit ihrem Zeilenrang ubereinstimmen Die Produktformel und die Determinantendarstellung gelten nur in kommutativen Ringen Siehe auch BearbeitenTransposition Kryptographie ein Verschlusselungsverfahren bei dem Zeichen ihre Platze vertauschen Vertauschung eine Permutation bei der zwei Elemente die Platze tauschenLiteratur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra Springer 2006 ISBN 3 540 29884 3 Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger Springer 2008 ISBN 3 8348 9574 1 Roger Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 1990 ISBN 978 0 521 38632 6 Eberhard Oeljeklaus Reinhold Remmert Lineare Algebra I Springer 2013 ISBN 978 3 642 65851 8 Originalarbeit Arthur Cayley A memoir on the theory of matrices In Philosophical Transactions of the Royal Society of London Band 148 1858 S 17 37 Online Einzelnachweise Bearbeiten Christian Voigt Jurgen Adamy Formelsammlung der Matrizenrechnung Oldenbourg Verlag 2007 S 9 Eberhard Oeljeklaus Reinhold Remmert Lineare Algebra I Springer 2013 S 153 Teiko Heinosaari Mario Ziman The Mathematical Language of Quantum Theory Cambridge University Press 2011 S 177 englisch eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche O Taussky H Zassenhaus On the similarity transformation of matrix and its transpose In Pacific J Math Band 9 1959 S 893 896 Franz Lemmermeyer Reciprocity Laws From Euler to Eisenstein Springer 2000 S 32 Weblinks BearbeitenO A Ivanova Transposed matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Transpose In MathWorld englisch mathcam Transpose In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Transponierte Matrix amp oldid 237056051