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Spaltensummennorm Die ist in der Mathematik die von der Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm Die einer Matrix en

Spaltensummennorm

Die Spaltensummennorm ist in der Mathematik die von der Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Spaltensummennorm einer Matrix entspricht der maximalen Betragssumme aller ihrer Spalten. Sie ist submultiplikativ und mit der Summennorm verträglich. Die Spaltensummennorm wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.

Illustration der Spaltensummennorm

Definition Bearbeiten

Die Spaltensummennorm einer Matrix mit als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm und damit definiert als

Anschaulich entspricht die Spaltensummennorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor mit Betragssumme Eins entsteht. Für die Spaltensummennorm gilt die namensgebende Darstellung

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes für einen der Einheitsvektoren mit maximal wird. Die Berechnung der Spaltensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Spalte und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten Zeilensummennorm hilft folgende Merkregel: die steht senkrecht und steht für die Spalten, während die waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

Beispiele Bearbeiten

Reelle Matrix

Die Spaltensummennorm der reellen (2 × 3)-Matrix

berechnet sich als

Komplexe Matrix

Die Spaltensummennorm der komplexen (2 × 3)-Matrix

berechnet sich als

Eigenschaften Bearbeiten

Normeigenschaften Bearbeiten

Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität folgen für die Spaltensummennorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Spaltensummennorm damit auch submultiplikativ und mit der Summennorm verträglich, das heißt, es gilt

für alle Matrizen und alle Vektoren und die Spaltensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

Adjungierte Bearbeiten

Für eine adjungierte Matrix (im reellen Fall transponierte Matrix) gilt

wobei die konjugiert komplexe Zahl zu mit dem gleichen Betrag ist. Die Spaltensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Zeilensummennorm der Ausgangsmatrix. Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Spaltensummennorm ist in der Mathematik die von der Summennorm abgeleitete naturliche Matrixnorm Die Spaltensummennorm einer Matrix entspricht der maximalen Betragssumme aller ihrer Spalten Sie ist submultiplikativ und mit der Summennorm vertraglich Die Spaltensummennorm wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet Illustration der Spaltensummennorm Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Normeigenschaften 3 2 Adjungierte 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenDie Spaltensummennorm 1 displaystyle cdot 1 nbsp einer Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp mit K displaystyle mathbb K nbsp als dem Korper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Summennorm abgeleitete naturliche Matrixnorm und damit definiert als A 1 max x 0 A x 1 x 1 max x 1 1 A x 1 displaystyle A 1 max x neq 0 frac Ax 1 x 1 max x 1 1 Ax 1 nbsp Anschaulich entspricht die Spaltensummennorm dem grosstmoglichen Streckungsfaktor der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor mit Betragssumme Eins entsteht Fur die Spaltensummennorm gilt die namensgebende Darstellung A 1 max x 1 1 A x 1 max x 1 1 i 1 m j 1 n a i j x j max j 1 n i 1 m a i j displaystyle A 1 max x 1 1 Ax 1 max x 1 1 sum i 1 m left sum j 1 n a ij x j right max j 1 ldots n sum i 1 m a ij nbsp Hierbei wurde genutzt dass die Summe innerhalb der Betragsstriche fur festes i displaystyle i nbsp fur einen der Einheitsvektoren x e j displaystyle x pm e j nbsp mit j 1 n displaystyle j 1 ldots n nbsp maximal wird Die Berechnung der Spaltensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Spalte und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte Zur Unterscheidung von der verwandten Zeilensummennorm displaystyle cdot infty nbsp hilft folgende Merkregel die 1 displaystyle 1 nbsp steht senkrecht und steht fur die Spalten wahrend die displaystyle infty nbsp waagrecht liegt und fur die Zeilen steht Beispiele BearbeitenReelle MatrixDie Spaltensummennorm der reellen 2 3 Matrix A 1 2 3 2 3 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 2 amp 3 amp 1 end pmatrix nbsp berechnet sich als A 1 max 1 2 2 3 3 1 max 3 5 4 5 displaystyle A 1 max 1 2 2 3 3 1 max 3 5 4 5 nbsp Komplexe MatrixDie Spaltensummennorm der komplexen 2 3 Matrix A 1 2 i 3 i 2 i 3 1 i displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2i amp 3 i 2i amp 3 amp 1 i end pmatrix nbsp berechnet sich als A 1 max 1 2 i 2 i 3 3 i 1 i max 3 5 10 2 5 displaystyle A 1 max 1 2i 2i 3 3 i 1 i max 3 5 sqrt 10 sqrt 2 5 nbsp Eigenschaften BearbeitenNormeigenschaften Bearbeiten Die Normaxiome Definitheit absolute Homogenitat und Subadditivitat folgen fur die Spaltensummennorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von naturlichen Matrixnormen Insbesondere ist die Spaltensummennorm damit auch submultiplikativ und mit der Summennorm vertraglich das heisst es gilt A x 1 A 1 x 1 displaystyle A cdot x 1 leq A 1 cdot x 1 nbsp fur alle Matrizen A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp und alle Vektoren x K n displaystyle x in mathbb K n nbsp und die Spaltensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft Adjungierte Bearbeiten Fur eine adjungierte Matrix A H K n m displaystyle A H in mathbb K n times m nbsp im reellen Fall transponierte Matrix gilt A H 1 max j 1 n i 1 m a j i max i 1 n j 1 m a i j A displaystyle A H 1 max j 1 ldots n sum i 1 m bar a ji max i 1 ldots n sum j 1 m a ij A infty nbsp wobei a displaystyle bar a nbsp die konjugiert komplexe Zahl zu a displaystyle a nbsp mit dem gleichen Betrag ist Die Spaltensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Zeilensummennorm der Ausgangsmatrix Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen und Spaltensummennorm nach oben abgeschatzt werden Literatur BearbeitenHans Rudolf Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 8 Auflage Vieweg amp Teubner 2011 ISBN 978 3 8348 1551 4 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Maximum Absolute Column Sum Norm In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spaltensummennorm amp oldid 190253052