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Zeilensummennorm Die ist in der Mathematik die von der Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm Die einer Matrix e

Zeilensummennorm

Die Zeilensummennorm ist in der Mathematik die von der Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Zeilensummennorm einer Matrix entspricht der maximalen Betragssumme ihrer Zeilen. Sie ist submultiplikativ und mit der Maximumsnorm verträglich. Die Zeilensummennorm wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.

Illustration der Zeilensummennorm

Definition Bearbeiten

Die Zeilensummennorm einer Matrix mit als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm und damit definiert als

Anschaulich entspricht die Zeilensummennorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor mit betragsmaximalen Eintrag Eins entsteht. Für die Zeilensummennorm gilt die namensgebende Darstellung

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes genau dann maximal wird, wenn für alle ist. Die Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten Spaltensummennorm hilft folgende Merkregel: die steht senkrecht und steht für die Spalten, während die waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

Beispiele Bearbeiten

Reelle Matrix

Die Zeilensummennorm der reellen (2 × 3)-Matrix

berechnet sich als

Komplexe Matrix

Die Zeilensummennorm der komplexen (2 × 3)-Matrix

berechnet sich als

Eigenschaften Bearbeiten

Normeigenschaften Bearbeiten

Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität folgen für die Zeilensummennorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Zeilensummennorm damit auch submultiplikativ und mit der Maximumsnorm verträglich, das heißt, es gilt

für alle Matrizen und alle Vektoren und die Zeilensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

Adjungierte Bearbeiten

Für eine adjungierte Matrix (im reellen Fall transponierte Matrix) gilt

wobei die konjugiert komplexe Zahl zu mit dem gleichen Betrag ist. Die Zeilensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Spaltensummennorm der Ausgangsmatrix. Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Zeilensummennorm ist in der Mathematik die von der Maximumsnorm abgeleitete naturliche Matrixnorm Die Zeilensummennorm einer Matrix entspricht der maximalen Betragssumme ihrer Zeilen Sie ist submultiplikativ und mit der Maximumsnorm vertraglich Die Zeilensummennorm wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet Illustration der Zeilensummennorm Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Normeigenschaften 3 2 Adjungierte 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenDie Zeilensummennorm displaystyle cdot infty nbsp einer Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp mit K displaystyle mathbb K nbsp als dem Korper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Maximumsnorm abgeleitete naturliche Matrixnorm und damit definiert als A max x 0 A x x max x 1 A x displaystyle A infty max x neq 0 frac Ax infty x infty max x infty 1 Ax infty nbsp Anschaulich entspricht die Zeilensummennorm dem grosstmoglichen Streckungsfaktor der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor mit betragsmaximalen Eintrag Eins entsteht Fur die Zeilensummennorm gilt die namensgebende Darstellung A max x 1 A x max x 1 max i 1 m j 1 n a i j x j max i 1 m max x 1 j 1 n a i j x j max i 1 m j 1 n a i j displaystyle A infty max x infty 1 Ax infty max x infty 1 max i 1 ldots m left sum j 1 n a ij x j right max i 1 ldots m max x infty 1 left sum j 1 n a ij x j right max i 1 ldots m sum j 1 n a ij nbsp Hierbei wurde genutzt dass die Summe innerhalb der Betragsstriche fur festes i displaystyle i nbsp genau dann maximal wird wenn x j sign a i j displaystyle x j operatorname sign a ij nbsp fur alle j 1 n displaystyle j 1 ldots n nbsp ist Die Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte Zur Unterscheidung von der verwandten Spaltensummennorm 1 displaystyle cdot 1 nbsp hilft folgende Merkregel die 1 displaystyle 1 nbsp steht senkrecht und steht fur die Spalten wahrend die displaystyle infty nbsp waagrecht liegt und fur die Zeilen steht Beispiele BearbeitenReelle MatrixDie Zeilensummennorm der reellen 2 3 Matrix A 1 2 3 2 3 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 2 amp 3 amp 1 end pmatrix nbsp berechnet sich als A max 1 2 3 2 3 1 max 6 6 6 displaystyle A infty max 1 2 3 2 3 1 max 6 6 6 nbsp Komplexe MatrixDie Zeilensummennorm der komplexen 2 3 Matrix A 1 2 i 3 i 2 i 3 1 i displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2i amp 3 i 2i amp 3 amp 1 i end pmatrix nbsp berechnet sich als A max 1 2 i 3 i 2 i 3 1 i max 3 10 5 2 5 2 displaystyle A infty max 1 2i 3 i 2i 3 1 i max 3 sqrt 10 5 sqrt 2 5 sqrt 2 nbsp Eigenschaften BearbeitenNormeigenschaften Bearbeiten Die Normaxiome Definitheit absolute Homogenitat und Subadditivitat folgen fur die Zeilensummennorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von naturlichen Matrixnormen Insbesondere ist die Zeilensummennorm damit auch submultiplikativ und mit der Maximumsnorm vertraglich das heisst es gilt A x A x displaystyle A cdot x infty leq A infty cdot x infty nbsp fur alle Matrizen A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp und alle Vektoren x K n displaystyle x in mathbb K n nbsp und die Zeilensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft Adjungierte Bearbeiten Fur eine adjungierte Matrix A H K n m displaystyle A H in mathbb K n times m nbsp im reellen Fall transponierte Matrix gilt A H max i 1 m j 1 n a j i max j 1 m i 1 n a i j A 1 displaystyle A H infty max i 1 ldots m sum j 1 n bar a ji max j 1 ldots m sum i 1 n a ij A 1 nbsp wobei a displaystyle bar a nbsp die konjugiert komplexe Zahl zu a displaystyle a nbsp mit dem gleichen Betrag ist Die Zeilensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Spaltensummennorm der Ausgangsmatrix Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen und Spaltensummennorm nach oben abgeschatzt werden Literatur BearbeitenHans Rudolf Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 8 Auflage Vieweg amp Teubner 2011 ISBN 978 3 8348 1551 4 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Maximum Absolute RowSum Norm In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zeilensummennorm amp oldid 194789136