Als Primzahltupel – auch englisch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.
Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime -Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form Primzahlencousins (engl. cousin primes) und Tupel von zwei Primzahlen der Form werden auch sexy Primzahlen (englisch sexy primes) genannt.
Definition Bearbeiten
Ist für die Primzahltupel mit Elementen die Menge aller möglichen Konstellationen (die selbst wieder -Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:
- Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
- Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:
Lies: Für alle primen Module kleiner-gleich existiert ein Rest kleiner als , der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich des Moduls .
Die Aussagen "[…] zu allen […] nicht […]" und "[…] zu keiner […]" sind äquivalent, siehe Quantor. - Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der -spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
- Die Differenzen der Elemente zum ersten Element müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:
Wobei für das -te Element aus dem -Tupel steht.
Für vorgegebene, korrekte Konstellationen ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen .
Für prime 2-Tupel (also ) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind und wohlbekannt. Diese lauten:
Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel :
Durch die Bedingung 2 wird für jedes eine endliche Anzahl an primen -Tupeln ausgeschlossen. Im Falle wird die Konstellation bzw. das Primzahltupel ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von und da alle prime -Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich des Moduls vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation , welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul enthalten. Im Falle von kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation in der Form für darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle entweder oder größer als und teilbar durch ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).
Sonderfälle Bearbeiten
Für die kleinsten -Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.
Primzahlzwilling Bearbeiten
Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).
Primzahldrilling Bearbeiten
Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also . 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form bilden die beiden ersten, bei jenen der Form die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich des Moduls .
Die vier Primzahlen zweier Primzahl-Tripel mit zwei gemeinsamen Primzahlen bilden ein Primzahl-Quadrupel, sind Primzahlvierlinge.
Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripeln ist, so sind fünf Primzahlen beteiligt und bilden ein Primzahl-Quintupel.
Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist. Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf sechs reduziert werden.
Am 24. April 2019 wurde von Peter Kaiser das bisher größte Primzahl-Triplett mit Dezimalstellen gefunden. Es lautet mit .
Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis (erzeugt mit Matheass 9.0):
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Primzahlvierling Bearbeiten
Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also . 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form als auch in der Form schreiben. Die Zahl in der Mitte () ist daher immer durch teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit und .
Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.
Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.
Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist. Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.
Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als asymptotisch durch die Formel
(Folge A061642 in OEIS) gegeben.
Der bisher größte bekannte Primzahlvierling hat Dezimalstellen, wurde am 27. Februar 2019 von Peter Kaiser gefunden und ist gegeben durch mit .
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis :
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Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten (Folge A007530 in OEIS)
Primzahlfünfling Bearbeiten
Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also . 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form oder in der Form schreiben.
Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel ) immer mit und oder und .
Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.
Alle primen Quintupel enthalten drei sich überlappende Primzahl-Tripel.
Alle primen Quintupel enthalten ein primes-Quadrupel.
Ob es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Selbst wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht es nicht aus, wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahldrillinge gibt.
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis :
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Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form lauten (Folge A022006 in OEIS)
Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form lauten (Folge A022007 in OEIS)
Primzahlsechsling Bearbeiten
Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also . 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Für Primzahlsechslinge existiert nur eine korrekte Konstellation. Es lässt sich jeder Primzahlsechsling sowohl in der Form als auch in der Form schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch teilbar und die Summe der Primzahlen des Sextupels ist immer durch teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit und .
Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.
Alle primen Sextupel enthalten vier Primzahl-Tripel mit je zwei unterschiedlichen Konstellationen.
Alle primen Sextupel enthalten ein Primzahl-Quadrupel in der Mitte.
Alle primen Sextupel enthalten zwei Primzahl-Quintupel nach unterschiedlichen Konstellationen.
Ob es unendlich viele Primzahlsechslinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsechslinge bis :
| p | p+4 | p+6 | p+10 | p+12 | p+16 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n | 15n-8 | 15n-4 | 15n-2 | 15n+2 | 15n+4 | 15n+8 |
| 1 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
| 7 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 |
| 1071 | 16057 | 16061 | 16063 | 16067 | 16069 | 16073 |
| 1295 | 19417 | 19421 | 19423 | 19427 | 19429 | 19433 |
| 2919 | 43777 | 43781 | 43783 | 43787 | 43789 | 43793 |
| 72751 | 1091257 | 1091261 | 1091263 | 1091267 | 1091269 | 1091273 |
| 107723 | 1615837 | 1615841 | 1615843 | 1615847 | 1615849 | 1615853 |
| 130291 | 1954357 | 1954361 | 1954363 | 1954367 | 1954369 | 1954373 |
| 188181 | 2822707 | 2822711 | 2822713 | 2822717 | 2822719 | 2822723 |
| 189329 | 2839927 | 2839931 | 2839933 | 2839937 | 2839939 | 2839943 |
Die ersten Zahlen dieser Primzahlsechslinge lauten (Folge A022008 in OEIS)
Primzahlsiebenling Bearbeiten
Primzahlsiebenlinge sind Elemente primer 7-Tupel, es gilt also . 7-Tupel werden auch Septupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlsiebenlinge auch die Bezeichnungen prime Septupel oder Primzahl-Septupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahsiebenling in einer der zwei folgenden Konstellationen schreiben:
Alle primen Septupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.
Alle primen Septupel enthalten drei Primzahl-Tripel.
Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.
Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.
Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form zu Beginn.
Die primen Septupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form am Ende.
Alle primen Septupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.
Ob es unendlich viele Primzahlsiebenlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsiebenlinge bis :
| p | p+2 | p+6 | p+8 | p+12 | p+14 | p+18 | p+20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | |
| 5639 | 5641 | 5647 | 5651 | 5653 | 5657 | 5659 | |
| 88799 | 88801 | 88807 | 88811 | 88813 | 88817 | 88819 | |
| 165701 | 165703 | 165707 | 165709 | 165713 | 165719 | 165721 | |
| 284729 | 284731 | 284737 | 284741 | 284743 | 284747 | 284749 | |
| 626609 | 626611 | 626617 | 626621 | 626623 | 626627 | 626629 | |
| 855719 | 855721 | 855727 | 855731 | 855733 | 855737 | 855739 | |
| 1068701 | 1068703 | 1068707 | 1068709 | 1068713 | 1068719 | 1068721 | |
| 1146779 | 1146781 | 1146787 | 1146791 | 1146793 | 1146797 | 1146799 | |
| 6560999 | 6561001 | 6561007 | 6561011 | 6561013 | 6561017 | 6561019 | |
| 7540439 | 7540441 | 7540447 | 7540451 | 7540453 | 7540457 | 7540459 | |
| 8573429 | 8573431 | 8573437 | 8573441 | 8573443 | 8573447 | 8573449 |
Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 1. Konstellation lauten (Folge A022009 in OEIS)
Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 2. Konstellation lauten (Folge A022010 in OEIS)
Primzahlachtling Bearbeiten
Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also . 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahlachtling in einer der drei folgenden Konstellationen schreiben:
Alle primen Oktupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.
Alle primen Oktupel enthalten drei Primzahl-Tripel.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten kein Primzahl-Quadrupel.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form zu Beginn.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten kein Primzahl-Quintupel.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form am Ende.
Alle primen Oktupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Septupel der Form zu Beginn.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten kein Primzahl-Septupel.
Die primen Oktupel der Konstellation enthalten ein Primzahl-Septupel der Form am Ende.
Ob es unendlich viele Primzahlachtlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlachtlinge bis :
| p | p+2 | p+6 | p+8 | p+12 | p+14 | p+18 | p+20 | p+24 | p+26 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | ||
| 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | ||
| 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | ||
| 88793 | 88799 | 88801 | 88807 | 88811 | 88813 | 88817 | 88819 | ||
| 113147 | 113149 | 113153 | 113159 | 113161 | 113167 | 113171 | 113173 | ||
| 284723 | 284729 | 284731 | 284737 | 284741 | 284743 | 284747 | 284749 | ||
| 855713 | 855719 | 855721 | 855727 | 855731 | 855733 | 855737 | 855739 | ||
| 1146773 | 1146779 | 1146781 | 1146787 | 1146791 | 1146793 | 1146797 | 1146799 | ||
| 2580647 | 2580649 | 2580653 | 2580659 | 2580661 | 2580667 | 2580671 | 2580673 | ||
| 6560993 | 6560999 | 6561001 | 6561007 | 6561011 | 6561013 | 6561017 | 6561019 | ||
| 15760091 | 15760093 | 15760097 | 15760099 | 15760103 | 15760109 | 15760111 | 15760117 | ||
| 20737877 | 20737879 | 20737883 | 20737889 | 20737891 | 20737897 | 20737901 | 20737903 | ||
| 25658441 | 25658443 | 25658447 | 25658449 | 25658453 | 25658459 | 25658461 | 25658467 | ||
| 58208387 | 58208389 | 58208393 | 58208399 | 58208401 | 58208407 | 58208411 | 58208413 | ||
| 69156533 | 69156539 | 69156541 | 69156547 | 69156551 | 69156553 | 69156557 | 69156559 | ||
| 73373537 | 73373539 | 73373543 | 73373549 | 73373551 | 73373557 | 73373561 | 73373563 | ||
| 74266253 | 74266259 | 74266261 | 74266267 | 74266271 | 74266273 | 74266277 | 74266279 | ||
| 76170527 | 76170529 | 76170533 | 76170539 | 76170541 | 76170547 | 76170551 | 76170553 | ||
| 93625991 | 93625993 | 93625997 | 93625999 | 93626003 | 93626009 | 93626011 | 93626017 |
Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 1. Konstellation lauten (Folge A022011 in OEIS)
Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 2. Konstellation lauten (Folge A022012 in OEIS)
Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 3. Konstellation lauten (Folge A022013 in OEIS)
Konstellationen Bearbeiten
Im Folgenden steht für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen . Formal:
Bei den Primzahlachtlingen (also bei ) haben zwei der drei aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) je einen sehr großen 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:
Bei den Primzahlneunlingen (also bei ) habei alle vier aktuellen Rekordzahlen (die Startwerte der Primzahltupel) einen sehr großen 93-, 98-, 105- bzw. 103-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:
Bei den Primzahlzehnlingen (also bei ) haben beide aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 105- bzw. 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:
Bei den Primzahlelf- und Primzahlzwölflingen (also bei und ) hat die aktuelle Rekordzahl (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 92-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:
| Konstellation | Kleinstes Primzahltupel | Größtes bekanntes Primzahltupel (Stand: 16. Oktober 2023) | Stellen | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | (0, 2) | (3, 5) | 2996863034895 · 21290000 − 1 + d | 388342 |
| 3 | 6 | (0, 2, 6) (0, 4, 6) | (5, 7, 11) (7, 11, 13) | 4111286921397 · 266420 − 1 + d 6521953289619 · 255555 − 5 + d | 20008 16737 |
| 4 | 8 | (0, 2, 6, 8) | (5, 7, 11, 13) | 667674063382677 · 233608 − 1 + d | 10132 |
| 5 | 12 | (0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12) | (5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19) | 585150568069684836 · 7757# : 85085 + 5 + d 566761969187 · 4733#: 2 − 8 + d | 3344 2034 |
| 6 | 16 | (0, 4, 6, 10, 12, 16) | (7, 11, 13, 17, 19, 23) | 23700 + 33888977692820810260792517451 + d | 1114 |
| 7 | 20 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659) | 113225039190926127209 · 2339# : 57057 + 1 + d 4733578067069 · 940# + 626609 + d | 1002 402 |
| 8 | 26 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) | 362079385668757696008683096558661746463 · 863# + 114023297140211 + d u · 449# + 226554621544607 + d v · 541# + 301570107719123 + d | 401 282 318 |
| 9 | 30 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) | w · 541# + 145933845312371 + d x1 · 449# + 226554621544607 + d x2 · 401# + 380284918609483 + d x3 · 503# + 301713410008249 + d | 312 282 269 312 |
| 10 | 32 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (9853497737, …) | y1 · 401# + 380284918609481 + d y2 · 449# + 226554621544607 + d | 269 282 |
| 11 | 36 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (1418575498573, …) | z + 49376500222690335 * 229# + d 613176722801194 · 151# + 177321217 + 6 + d | 108 75 |
| 12 | 42 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42) (0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53) (1418575498567, …) | z + 27407861785763183 * 229# + d 613176722801194 · 151# + 177321217 + d | 108 75 |
| 13 | 48 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48) (0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48) (0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48) (0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59) (7697168877290909, …) (10527733922579, …) (1707898733581273, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61) (186460616596321, …) | 9985637467 · 139# + 3629868888791261 + d 381955327397348 · 79# + 18393209 + d 4135997219394611 · 109# + 117092849 + d 1044 + 2004740564798426955633 + d 14815550 · 107# + 4385574275277313 + d 381955327397348 · 79# + 18393211 + d | 66 46 61 45 50 46 |
| 14 | 50 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50) (0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61) (79287805466244209, …) | 14815550 · 107# + 4385574275277311 + d 381955327397348 · 79# + 18393209 + d | 50 46 |
| 15 | 56 | (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56) (0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56) | (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73) (1158722981124148367, …) (14094050870111867483, …) | 107173714602413868775303366934621 + d 10004646546202610858599716515809907 + d 33554294028531569 · 61# + 57800747 + d 100000008317726120972779285703 + d | 33 35 40 30 |
| 16 | 60 | (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60) | (47710850533373130107, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73) | 322255 · 73# + 1354238543317302647 + d 94 · 79# + 1341680294611244014363 + d | 35 33 |
| 17 | 66 | (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66) (0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66) (0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66) | (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79) (734975534793324512717947, …) (1620784518619319025971, …) | 100845391935878564991556707107 + d 11413975438568556104209245223 + d 5867208169546174917450987997 + d 3684 · 73# + 880858118723497737821 + d | 30 29 28 33 |
| 18 | 70 | (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70) (0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70) | (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (2845372542509911868266807, …) | 183837276562811649018077773 + d 5867208169546174917450987997 + d | 27 28 |
| 19 | 76 | (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76) (0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76) (0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76) | (622803914376064301858782434517, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89) (37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113) (630134041802574490482213901, …) | 622803914376064301858782434517 + d 13 + d 248283957683772055928836513597 + d 2406179998282157386567481191 + d | 30 2 30 28 |
| 20 | 80 | (0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80) | (14374153072440029138813893241, …) (29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109) | 1135540756371356698957890225821 + d 1236637204227022808686214288579 + d | 31 31 |
| 21 | 84 | (0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84) (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84) | (29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113) (622803914376064301858782434517, …) | 248283957683772055928836513589 + d 622803914376064301858782434517 + d | 30 30 |
Es existiert für jedes beliebig hohe mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden. Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere mit großem Rechenaufwand verbunden.
Anzahl Bearbeiten
Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal existieren.
Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen -Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.
Zusammenfassung Bearbeiten
Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:
| (p, p+2) | Primzahlzwilling |
| (p, p+4) | Primzahlencousin |
| (p, p+6) | Sexy Primzahlzwilling |
| (p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6) | Primzahldrilling |
| (p, p+6, p+12) | Sexy Primzahldrilling |
| (p, p+2, p+6, p+8) | Primzahlvierling |
| (p, p+6, p+12, p+18) | Sexy Primzahlvierling |
| (p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12) | Primzahlfünfling |
| (p, p+6, p+12, p+18, p+24) | Sexy Primzahlfünfling |
Literatur Bearbeiten
- Herschel F. Smith: On a generalization of the prime pair problem. (PDF) In: Math. Tables Aids Comput., 11, 1957, No. 60, S. 249–254
- Paul Erdős, Hans Riesel: On admissible constellations of consecutive primes. In: BIT (Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling), 28, 1988, No. 3, S. 391–396
Einzelnachweise Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
- Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
- Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
- ↑ Bounded gaps between primes. Polymath1Wiki; abgerufen am 13. Juni 2014.
- ↑ Yates, Caldwell: The Largest Known Primes. primes.utm.edu
- ↑ Prime k-tuplets. ; abgerufen am 16. Oktober 2023.
- Patterns. forbes.googlepages.com; abgerufen am 11. Juni 2014.
- Smallest Prime k-tuplets.
- T. J. Engelsma: k-tuple permissible patterns Resultate über sehr große Konstellationen
- (Nicht mehr online verfügbar.) PolyMath, archiviert vom am 8. Dezember 2020; abgerufen am 29. Januar 2021.