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Körper Algebra Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur in der

Körper (Algebra)

Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können.

Körper im Zusammenhang mit ausgewählten mathematischen Teilgebieten (Klassendiagramm)

Die Bezeichnung „Körper“ wurde im 19. Jahrhundert von Richard Dedekind eingeführt.

Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper der rationalen Zahlen, der Körper der reellen Zahlen und der Körper der komplexen Zahlen.

Formale Definition Bearbeiten

Allgemeine Definition Bearbeiten

Ein Körper ist eine Menge , versehen mit zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen „“ und „“ (die Addition und Multiplikation genannt werden), für die folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. ist eine abelsche Gruppe (neutrales Element 0).
  2. ist eine abelsche Gruppe (neutrales Element 1).
  3. Distributivgesetz:

Einzelaufzählung der benötigten Axiome Bearbeiten

Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:

  1. Additive Eigenschaften:
    1. für alle (Assoziativgesetz)
    2. für alle (Kommutativgesetz)
    3. Es gibt ein Element , sodass für alle (neutrales Element).
    4. Zu jedem existiert ein additives Inverses mit .
  2. Multiplikative Eigenschaften:
    1. für alle (Assoziativgesetz)
    2. für alle (Kommutativgesetz)
    3. Es gibt ein Element , sodass für alle (neutrales Element).
    4. Zu jedem existiert ein multiplikatives Inverses mit .
  3. Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
    1. für alle (Links-Distributivgesetz)
    2. für alle (Rechts-Distributivgesetz)

Aufgrund der multiplikativen Kommutativität in einem Körper würde es ausreichen, nur ein Distributivgesetz anzugeben.

Definition als spezieller Ring Bearbeiten

Ein kommutativer unitärer Ring, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt.

Anders formuliert, ist ein Körper ein kommutativer unitärer Ring , in dem die Einheitengruppe gleich ist.

Bemerkungen Bearbeiten

Die Definition sorgt dafür, dass in einem Körper in der „gewohnten“ Weise Addition, Subtraktion und Multiplikation funktionieren sowie die Division mit Ausnahme der nicht lösbaren Division durch 0:

  • Das Inverse von bezüglich der Addition ist und wird meist das additiv Inverse zu oder auch das Negative von genannt.
  • Das Inverse von bezüglich der Multiplikation ist und wird das (multiplikativ) Inverse zu oder der Kehrwert von genannt.
  • ist das einzige Element des Körpers, das keinen Kehrwert hat, die multiplikative Gruppe eines Körpers ist also . Jegliche Lösung jeder Gleichung verletzt die Ringaxiome.

Anmerkung: Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun, ob das Element selbst negativ ist; beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl die positive Zahl . Allgemein gibt es in einem Körper keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen. (Siehe auch geordneter Körper.)

Verallgemeinerungen: Schiefkörper und Koordinatenkörper Bearbeiten

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Multiplikation kommutativ ist, so gelangt man zur Struktur des Schiefkörpers. Es gibt jedoch auch Autoren, die bei einem Schiefkörper explizit voraussetzen, dass die Multiplikation nicht kommutativ ist. In diesem Fall sind die Begriffe Körper und Schiefkörper disjunkt – und nicht hierarchisch zueinander, wie sie es bei Bourbaki sind, der Schiefkörper als Körper und die hier besprochenen Körper als kommutative Körper bezeichnen. Ein Beispiel für einen echten Schiefkörper sind die Quaternionen.

In der analytischen Geometrie werden Körper zur Koordinatendarstellung von Punkten in affinen und projektiven Räumen verwendet, siehe Affine Koordinaten, Projektives Koordinatensystem. In der synthetischen Geometrie, in der auch Räume (insbesondere Ebenen) mit schwächeren Eigenschaften untersucht werden, benutzt man als Koordinatenbereiche („Koordinatenkörper“) auch Verallgemeinerungen der Schiefkörper, nämlich Alternativkörper, Quasikörper und Ternärkörper.

Eigenschaften und Begriffe Bearbeiten

  • Es gibt genau eine „0“ (Null-Element, neutrales Element bzgl. der Körper-Addition) und eine „1“ (Eins-Element, neutrales Element bzgl. der Körper-Multiplikation) in einem Körper.
  • Jeder Körper ist ein Ring. Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn die Kommutativität der multiplikativen Gruppe nicht gefordert wird, erhält man den Begriff des Schiefkörpers.
  • Jeder Körper ist nullteilerfrei: Ein Produkt zweier Elemente des Körpers ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
  • Jedem Körper lässt sich eine Charakteristik zuordnen, die entweder 0 oder eine Primzahl ist.
  • Die kleinste Teilmenge eines Körpers, die selbst noch alle Körperaxiome erfüllt, ist sein Primkörper. Der Primkörper ist entweder isomorph zum Körper der rationalen Zahlen (bei Körpern der Charakteristik 0) oder ein endlicher Restklassenkörper (bei Körpern der Charakteristik , speziell bei allen endlichen Körpern, s. u.).
  • Ein Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper. Darüber hinaus existieren über allen Körpern Vektorräume beliebiger Dimension (siehe Hauptartikel Vektorraum).
  • Ein wichtiges Mittel, um einen Körper algebraisch zu untersuchen, ist der Polynomring der Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten aus .
    • Man nennt einen Körper algebraisch abgeschlossen, wenn sich jedes nichtkonstante Polynom aus in Linearfaktoren aus zerlegen lässt.
    • Man nennt einen Körper vollkommen, wenn kein irreduzibles nichtkonstantes Polynom aus in irgendeiner Körpererweiterung mehrfache Nullstellen hat. Algebraische Abgeschlossenheit impliziert Vollkommenheit, aber nicht umgekehrt.
  • Wenn in einem Körper eine Totalordnung definiert ist, die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist, spricht man von einem geordneten Körper und nennt die Totalordnung auch Anordnung des Körpers. In solchen Körpern kann man von negativen und positiven Zahlen sprechen.
    • Wenn in dieser Anordnung jedes Körperelement durch eine endliche Summe des Einselementes übertroffen werden kann (), sagt man, der Körper erfüllt das archimedische Axiom, oder auch, er ist archimedisch geordnet.
  • In der Bewertungstheorie werden bestimmte Körper mit Hilfe einer Bewertungsfunktion untersucht. Man nennt sie dann bewertete Körper.
  • Ein Körper besitzt als Ring nur die trivialen Ideale und .
  • Jeder nicht-konstante Homomorphismus von einem Körper in einen Ring ist injektiv.

Körpererweiterung Bearbeiten

Eine Teilmenge eines Körpers , die selbst mit dessen Operationen wieder einen Körper bildet, wird Unter- oder Teilkörper genannt. Das Paar und heißt Körpererweiterung , oder . Beispielsweise ist der Körper der rationalen Zahlen ein Teilkörper der reellen Zahlen .

Eine Teilmenge eines Körpers ist ein Teilkörper, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

  • ,
  • (Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation)
  • (Zu jedem Element aus ist auch das additive Inverse in .)
  • (Zu jedem Element aus mit Ausnahme der Null ist auch das multiplikativ Inverse in .)

Das algebraische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Körpererweiterungen beschäftigt, ist die Galoistheorie.

Beispiele Bearbeiten

  • Körper können durch Adjunktion erweitert werden. Ein wichtiger Spezialfall – insbesondere in der Galoistheorie – sind algebraische Körpererweiterungen des Körpers . Der Erweiterungskörper kann dabei als Vektorraum über aufgefasst werden.
    • ist ein Körper. Es genügt zu zeigen, dass das Inverse von auch von der angegebenen Form ist:
           
      Eine mögliche Basis von ist {}.
    • ist ein Körper mit Basis .
  • Weitere Beispiele liefern die Restklassenkörper mit Primzahl und
  • Zu jeder Primzahl der Körper der p-adischen Zahlen.
  • Die Menge der ganzen Zahlen mit den üblichen Verknüpfungen ist kein Körper: Zwar ist eine Gruppe mit neutralem Element und jedes besitzt das additive Inverse , aber ist keine Gruppe. Immerhin ist das neutrale Element, aber außer zu und gibt es keine multiplikativen Inversen (zum Beispiel ist keine ganze, sondern eine echt rationale Zahl):
  • Das Konzept, mit dem sich der Integritätsring der ganzen Zahlen zum Körper der rationalen Zahlen erweitern und in diesen einbetten lässt, kann auf beliebige Integritätsringe verallgemeinert werden:

Endliche Körper Bearbeiten

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge endlich ist. Die endlichen Körper sind in folgendem Sinne vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau Elemente mit einer Primzahl und einer positiven natürlichen Zahl . Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen genau einen endlichen Körper, der mit bezeichnet wird. Jeder Körper hat die Charakteristik . Im Artikel Endlicher Körper werden die Additions- und Multiplikationstafeln des gezeigt bei farbiger Hervorhebung von dessen Unterkörper .

Im Spezialfall erhalten wir zu jeder Primzahl den Körper , der isomorph ist zum Restklassenkörper und Primkörper der (Primzahl)charakteristik genannt wird. Für ist niemals isomorph zu ; stattdessen ist isomorph zu

wobei den Ring der Polynome mit Koeffizienten in darstellt (hier ist ) und ein irreduzibles Polynom vom Grad ist. In ist ein Polynom irreduzibel, wenn aus folgt, dass oder ein Element von ist, also ein konstantes Polynom. Hier bedeutet das von erzeugte Ideal.

Geschichte Bearbeiten

Wesentliche Ergebnisse der Körpertheorie sind Évariste Galois und Ernst Steinitz zu verdanken. Weitere Einzelheiten zur Genese des Begriffes liefert Wulf-Dieter Geyer in Kapitel 2 seines Beitrages, in dem er u. a. auf die Rolle Richard Dedekinds hinweist (siehe Literatur).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.
  • Wulf-Dieter Geyer: Field Theory. In: Volume I of the Proceedings of the Qinter School on Galois Theory, 15-24 February 2012, Université du Luxembourg, Luxembourg. Juli 2013, abgerufen am 9. November 2022. siehe insbesondere Kapitel 2 („Historical remarks about the concept of field“), Seite 29.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Körperaxiome – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen aus den Körperaxiomen – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary: Körper – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 35–37.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Korper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur in der die Addition Subtraktion Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgefuhrt werden konnen Korper im Zusammenhang mit ausgewahlten mathematischen Teilgebieten Klassendiagramm Die Bezeichnung Korper wurde im 19 Jahrhundert von Richard Dedekind eingefuhrt Die wichtigsten Korper die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden sind der Korper Q displaystyle mathbb Q der rationalen Zahlen der Korper R displaystyle mathbb R der reellen Zahlen und der Korper C displaystyle mathbb C der komplexen Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 1 1 Allgemeine Definition 1 2 Einzelaufzahlung der benotigten Axiome 1 3 Definition als spezieller Ring 1 4 Bemerkungen 1 5 Verallgemeinerungen Schiefkorper und Koordinatenkorper 2 Eigenschaften und Begriffe 3 Korpererweiterung 4 Beispiele 5 Endliche Korper 6 Geschichte 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseFormale Definition BearbeitenAllgemeine Definition Bearbeiten Ein Korper ist eine Menge K displaystyle K nbsp versehen mit zwei inneren zweistelligen Verknupfungen displaystyle nbsp und displaystyle cdot nbsp die Addition und Multiplikation genannt werden fur die folgende Bedingungen erfullt sind K displaystyle left K right nbsp ist eine abelsche Gruppe neutrales Element 0 K 0 displaystyle bigl K setminus 0 cdot bigr nbsp ist eine abelsche Gruppe neutrales Element 1 Distributivgesetz a b c a b a c displaystyle a cdot left b c right a cdot b a cdot c nbsp und a b c a c b c displaystyle left a b right cdot c a cdot c b cdot c nbsp fur alle a b c K displaystyle a b c in K nbsp Einzelaufzahlung der benotigten Axiome Bearbeiten Ein Korper muss also folgende Einzelaxiome erfullen Additive Eigenschaften a b c a b c displaystyle a b c a b c nbsp fur alle a b c K displaystyle a b c in K nbsp Assoziativgesetz a b b a displaystyle a b b a nbsp fur alle a b K displaystyle a b in K nbsp Kommutativgesetz Es gibt ein Element 0 K displaystyle 0 in K nbsp sodass 0 a a displaystyle 0 a a nbsp fur alle a K displaystyle a in K nbsp neutrales Element Zu jedem a K displaystyle a in K nbsp existiert ein additives Inverses a displaystyle a nbsp mit a a 0 displaystyle a a 0 nbsp Multiplikative Eigenschaften a b c a b c displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c nbsp fur alle a b c K displaystyle a b c in K nbsp Assoziativgesetz a b b a displaystyle a cdot b b cdot a nbsp fur alle a b K displaystyle a b in K nbsp Kommutativgesetz Es gibt ein Element 1 K 0 displaystyle 1 in K setminus 0 nbsp sodass 1 a a displaystyle 1 cdot a a nbsp fur alle a K displaystyle a in K nbsp neutrales Element Zu jedem a K 0 displaystyle a in K setminus 0 nbsp existiert ein multiplikatives Inverses a 1 displaystyle a 1 nbsp mit a 1 a 1 displaystyle a 1 cdot a 1 nbsp Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur a b c a b a c displaystyle a cdot b c a cdot b a cdot c nbsp fur alle a b c K displaystyle a b c in K nbsp Links Distributivgesetz b c a b a c a displaystyle b c cdot a b cdot a c cdot a nbsp fur alle a b c K displaystyle a b c in K nbsp Rechts Distributivgesetz Aufgrund der multiplikativen Kommutativitat in einem Korper wurde es ausreichen nur ein Distributivgesetz anzugeben Definition als spezieller Ring Bearbeiten Ein kommutativer unitarer Ring der nicht der Nullring ist ist ein Korper wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezuglich der Multiplikation besitzt Anders formuliert ist ein Korper ein kommutativer unitarer Ring K displaystyle K nbsp in dem die Einheitengruppe K displaystyle K nbsp gleich K 0 displaystyle K setminus 0 nbsp ist Bemerkungen Bearbeiten Die Definition sorgt dafur dass in einem Korper in der gewohnten Weise Addition Subtraktion und Multiplikation funktionieren sowie die Division mit Ausnahme der nicht losbaren Division durch 0 Das Inverse von a displaystyle a nbsp bezuglich der Addition ist a displaystyle a nbsp und wird meist das additiv Inverse zu a displaystyle a nbsp oder auch das Negative von a displaystyle a nbsp genannt Das Inverse von a displaystyle a nbsp bezuglich der Multiplikation ist a 1 displaystyle a 1 nbsp und wird das multiplikativ Inverse zu oder der Kehrwert von a displaystyle a nbsp genannt 0 displaystyle 0 nbsp ist das einzige Element des Korpers das keinen Kehrwert hat die multiplikative Gruppe eines Korpers ist also K K 0 displaystyle K K setminus 0 nbsp Jegliche Losung x displaystyle x nbsp jeder Gleichung 0 x a K displaystyle 0 cdot x a in K nbsp verletzt die Ringaxiome Anmerkung Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun ob das Element selbst negativ ist beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl 2 displaystyle 2 nbsp die positive Zahl 2 displaystyle 2 nbsp Allgemein gibt es in einem Korper keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen Siehe auch geordneter Korper Verallgemeinerungen Schiefkorper und Koordinatenkorper Bearbeiten Hauptartikel Schiefkorper und Ternarkorper Verzichtet man auf die Bedingung dass die Multiplikation kommutativ ist so gelangt man zur Struktur des Schiefkorpers Es gibt jedoch auch Autoren die bei einem Schiefkorper explizit voraussetzen dass die Multiplikation nicht kommutativ ist In diesem Fall sind die Begriffe Korper und Schiefkorper disjunkt und nicht hierarchisch zueinander wie sie es bei Bourbaki sind der Schiefkorper als Korper und die hier besprochenen Korper als kommutative Korper bezeichnen Ein Beispiel fur einen echten Schiefkorper sind die Quaternionen In der analytischen Geometrie werden Korper zur Koordinatendarstellung von Punkten in affinen und projektiven Raumen verwendet siehe Affine Koordinaten Projektives Koordinatensystem In der synthetischen Geometrie in der auch Raume insbesondere Ebenen mit schwacheren Eigenschaften untersucht werden benutzt man als Koordinatenbereiche Koordinatenkorper auch Verallgemeinerungen der Schiefkorper namlich Alternativkorper Quasikorper und Ternarkorper Eigenschaften und Begriffe BearbeitenEs gibt genau eine 0 Null Element neutrales Element bzgl der Korper Addition und eine 1 Eins Element neutrales Element bzgl der Korper Multiplikation in einem Korper Jeder Korper ist ein Ring Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Korper aus den Ringen heraus Wenn die Kommutativitat der multiplikativen Gruppe nicht gefordert wird erhalt man den Begriff des Schiefkorpers Jeder Korper ist nullteilerfrei Ein Produkt zweier Elemente des Korpers ist genau dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist Jedem Korper lasst sich eine Charakteristik zuordnen die entweder 0 oder eine Primzahl ist Die kleinste Teilmenge eines Korpers die selbst noch alle Korperaxiome erfullt ist sein Primkorper Der Primkorper ist entweder isomorph zum Korper Q displaystyle mathbb Q nbsp der rationalen Zahlen bei Korpern der Charakteristik 0 oder ein endlicher Restklassenkorper Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp bei Korpern der Charakteristik p displaystyle p nbsp speziell bei allen endlichen Korpern s u Ein Korper ist ein eindimensionaler Vektorraum uber sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkorper Daruber hinaus existieren uber allen Korpern Vektorraume beliebiger Dimension siehe Hauptartikel Vektorraum Ein wichtiges Mittel um einen Korper K displaystyle K nbsp algebraisch zu untersuchen ist der Polynomring K X displaystyle K X nbsp der Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten aus K displaystyle K nbsp Man nennt einen Korper K displaystyle K nbsp algebraisch abgeschlossen wenn sich jedes nichtkonstante Polynom aus K X displaystyle K X nbsp in Linearfaktoren aus K X displaystyle K X nbsp zerlegen lasst Man nennt einen Korper K displaystyle K nbsp vollkommen wenn kein irreduzibles nichtkonstantes Polynom aus K X displaystyle K X nbsp in irgendeiner Korpererweiterung mehrfache Nullstellen hat Algebraische Abgeschlossenheit impliziert Vollkommenheit aber nicht umgekehrt Wenn in einem Korper eine Totalordnung definiert ist die mit der Addition und der Multiplikation vertraglich ist spricht man von einem geordneten Korper und nennt die Totalordnung auch Anordnung des Korpers In solchen Korpern kann man von negativen und positiven Zahlen sprechen Wenn in dieser Anordnung jedes Korperelement a displaystyle alpha nbsp durch eine endliche Summe des Einselementes ubertroffen werden kann a lt 1 1 1 displaystyle alpha lt 1 1 cdots 1 nbsp sagt man der Korper erfullt das archimedische Axiom oder auch er ist archimedisch geordnet In der Bewertungstheorie werden bestimmte Korper mit Hilfe einer Bewertungsfunktion untersucht Man nennt sie dann bewertete Korper Ein Korper K displaystyle K nbsp besitzt als Ring nur die trivialen Ideale 0 0 displaystyle 0 0 nbsp und 1 K displaystyle 1 K nbsp Jeder nicht konstante Homomorphismus von einem Korper in einen Ring ist injektiv Korpererweiterung Bearbeiten Hauptartikel Korpererweiterung Eine Teilmenge K displaystyle K nbsp eines Korpers L displaystyle L nbsp die selbst mit dessen Operationen wieder einen Korper bildet wird Unter oder Teilkorper genannt Das Paar K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp heisst Korpererweiterung K L displaystyle K subset L nbsp L K displaystyle L K nbsp oder L K displaystyle L K nbsp Beispielsweise ist der Korper der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp ein Teilkorper der reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp Eine Teilmenge U displaystyle U nbsp eines Korpers K displaystyle K nbsp ist ein Teilkorper wenn sie folgende Eigenschaften hat 0 K U displaystyle 0 K in U nbsp 1 K U displaystyle 1 K in U nbsp a b U a b U a b U displaystyle a b in U Rightarrow a b in U a cdot b in U nbsp Abgeschlossenheit bezuglich Addition und Multiplikation a U a U displaystyle a in U Rightarrow a in U nbsp Zu jedem Element aus U displaystyle U nbsp ist auch das additive Inverse in U displaystyle U nbsp a U 0 a 1 U displaystyle a in U setminus 0 Rightarrow a 1 in U nbsp Zu jedem Element aus U displaystyle U nbsp mit Ausnahme der Null ist auch das multiplikativ Inverse in U displaystyle U nbsp Das algebraische Teilgebiet das sich mit der Untersuchung von Korpererweiterungen beschaftigt ist die Galoistheorie Beispiele BearbeitenBekannte Beispiele fur Korper sind der Korper der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q cdot nbsp d h die Menge der rationalen Zahlen mit der ublichen Addition und Multiplikation der Korper der reellen Zahlen R displaystyle mathbb R cdot nbsp d h die Menge der reellen Zahlen mit der ublichen Addition und Multiplikation und der Korper der komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C cdot nbsp d h die Menge der komplexen Zahlen mit der ublichen Addition und Multiplikation Korper konnen durch Adjunktion erweitert werden Ein wichtiger Spezialfall insbesondere in der Galoistheorie sind algebraische Korpererweiterungen des Korpers Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp Der Erweiterungskorper kann dabei als Vektorraum uber Q displaystyle textstyle mathbb Q nbsp aufgefasst werden Q 2 a b 2 a b Q displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 2 a b sqrt 2 mid a b in mathbb Q nbsp ist ein Korper Es genugt zu zeigen dass das Inverse von a b 2 0 displaystyle textstyle a b sqrt 2 neq 0 nbsp auch von der angegebenen Form ist 1 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a 2 2 b 2 a a 2 2 b 2 b a 2 2 b 2 2 displaystyle frac 1 a b sqrt 2 frac a b sqrt 2 a b sqrt 2 cdot a b sqrt 2 frac a b sqrt 2 a 2 2b 2 frac a a 2 2b 2 frac b a 2 2b 2 sqrt 2 nbsp Eine mogliche Basis von Q 2 displaystyle textstyle mathbb Q sqrt 2 nbsp ist 1 2 displaystyle textstyle 1 sqrt 2 nbsp Q 2 3 a b 2 c 3 d 6 a b c d Q displaystyle mathbb Q left sqrt 2 sqrt 3 right left a b sqrt 2 c sqrt 3 d sqrt 6 mid a b c d in mathbb Q right nbsp ist ein Korper mit Basis 1 2 3 6 displaystyle left 1 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 6 right nbsp Weitere Beispiele liefern die Restklassenkorper Z p Z F p displaystyle mathbb Z p mathbb Z mathbb F p nbsp mit p displaystyle p nbsp Primzahl 1 und deren endliche Korpererweiterungen die endlichen Korper allgemeiner deren algebraische Korpererweiterungen die Frobeniuskorper und noch allgemeiner deren beliebige Korpererweiterungen die Korper mit Primzahlcharakteristik Zu jeder Primzahl p displaystyle p nbsp der Korper Q p displaystyle mathbb Q p nbsp der p adischen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z cdot nbsp mit den ublichen Verknupfungen ist kein Korper Zwar ist Z displaystyle mathbb Z nbsp eine Gruppe mit neutralem Element 0 displaystyle 0 nbsp und jedes a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp besitzt das additive Inverse a displaystyle a nbsp aber Z 0 displaystyle mathbb Z setminus 0 cdot nbsp ist keine Gruppe Immerhin ist 1 displaystyle 1 nbsp das neutrale Element aber ausser zu 1 displaystyle 1 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp gibt es keine multiplikativen Inversen zum Beispiel ist 3 1 1 3 displaystyle 3 1 1 3 nbsp keine ganze sondern eine echt rationale Zahl Die ganzen Zahlen bilden lediglich einen Integritatsring dessen Quotientenkorper die rationalen Zahlen sind Das Konzept mit dem sich der Integritatsring der ganzen Zahlen zum Korper der rationalen Zahlen erweitern und in diesen einbetten lasst kann auf beliebige Integritatsringe verallgemeinert werden So entsteht in der Funktionentheorie aus dem Integritatsring der auf einem Gebiet der komplexen Zahlenebene holomorphen Funktionen der Korper der auf demselben Gebiet meromorphen Funktionen und abstrakter aus dem Integritatsring der formalen Potenzreihen K x displaystyle K x nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp dessen Quotientenkorper analog aus dem Integritatsring der formalen Dirichletreihen aus dem Ring der Polynome in n displaystyle n nbsp Variablen K x 1 x 2 x n displaystyle K x 1 x 2 dots x n nbsp dessen Quotientenkorper der Korper der rationalen Funktionen K x 1 x 2 x n displaystyle K x 1 x 2 dots x n nbsp in ebenso vielen Variablen Endliche Korper Bearbeiten Hauptartikel Endlicher Korper Ein Korper ist ein endlicher Korper wenn seine Grundmenge K displaystyle K nbsp endlich ist Die endlichen Korper sind in folgendem Sinne vollstandig klassifiziert Jeder endliche Korper hat genau q p n displaystyle q p n nbsp Elemente mit einer Primzahl p displaystyle p nbsp und einer positiven naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen q displaystyle q nbsp genau einen endlichen Korper der mit F q displaystyle mathbb F q nbsp bezeichnet wird Jeder Korper F p n displaystyle mathbb F p n nbsp hat die Charakteristik p displaystyle p nbsp Im Artikel Endlicher Korper werden die Additions und Multiplikationstafeln des F 4 displaystyle mathbb F 4 nbsp gezeigt bei farbiger Hervorhebung von dessen Unterkorper F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp Im Spezialfall n 1 displaystyle n 1 nbsp erhalten wir zu jeder Primzahl p displaystyle p nbsp den Korper F p displaystyle mathbb F p nbsp der isomorph ist zum Restklassenkorper Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp und Primkorper der Primzahl charakteristik p displaystyle p nbsp genannt wird Fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp ist F p n displaystyle mathbb F p n nbsp niemals isomorph zu Z p n Z displaystyle mathbb Z p n mathbb Z nbsp stattdessen ist F p n displaystyle mathbb F p n nbsp isomorph zu Z p Z X P displaystyle mathbb Z p mathbb Z X P nbsp wobei K X displaystyle K X nbsp den Ring der Polynome mit Koeffizienten in K displaystyle K nbsp darstellt hier ist K Z p Z displaystyle K mathbb Z p mathbb Z nbsp und P Z p Z X displaystyle P in mathbb Z p mathbb Z X nbsp ein irreduzibles Polynom vom Grad n displaystyle n nbsp ist In Z p Z X displaystyle mathbb Z p mathbb Z X nbsp ist ein Polynom irreduzibel wenn aus P P 1 P 2 displaystyle P P 1 cdot P 2 nbsp folgt dass P 1 displaystyle P 1 nbsp oder P 2 displaystyle P 2 nbsp ein Element von Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp ist also ein konstantes Polynom Hier bedeutet P displaystyle P nbsp das von P displaystyle P nbsp erzeugte Ideal Geschichte BearbeitenWesentliche Ergebnisse der Korpertheorie sind Evariste Galois und Ernst Steinitz zu verdanken Weitere Einzelheiten zur Genese des Begriffes liefert Wulf Dieter Geyer in Kapitel 2 seines Beitrages in dem er u a auf die Rolle Richard Dedekinds hinweist siehe Literatur Siehe auch BearbeitenAlgebraischer Zahlkorper Ring Algebra Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag 2009 ISBN 3 540 40388 4 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Thomas W Hungerford Algebra 5 Auflage Springer Verlag 1989 ISBN 0 387 90518 9 Wulf Dieter Geyer Field Theory In Volume I of the Proceedings of the Qinter School on Galois Theory 15 24 February 2012 Universite du Luxembourg Luxembourg Juli 2013 abgerufen am 9 November 2022 siehe insbesondere Kapitel 2 Historical remarks about the concept of field Seite 29 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Korperaxiome Lern und Lehrmaterialien nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Folgerungen aus den Korperaxiomen Lern und Lehrmaterialien nbsp Wiktionary Korper Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Albrecht Beutelspacher Lineare Algebra 7 Auflage Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 528 66508 1 S 35 37 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korper Algebra amp oldid 234331363