Der Kototient einer Zahl n displaystyle n ist definiert als n f n displaystyle n varphi n Dabei ist f n displaystyle varphi n die Eulersche Phi Funktion auch Totient von n displaystyle n genannt welche angibt wie viele zu n displaystyle n teilerfremde naturliche Zahlen es gibt die nicht grosser als n displaystyle n sind Der Wert n f n displaystyle n varphi n gibt somit die Anzahl der naturlichen Zahlen 0 lt x n displaystyle 0 lt x leq n an welche mindestens einen Primfaktor mit n displaystyle n gemeinsam haben In der Zahlentheorie ist eine hochkototiente Zahl vom englischen highly cototient number eine naturliche Zahl n gt 1 displaystyle n gt 1 fur welche die Gleichung x f x n displaystyle x varphi x n mehr Losungen hat als die Gleichung x f x k displaystyle x varphi x k fur jede andere naturliche Zahl 1 lt k lt n displaystyle 1 lt k lt n Eine hochkototiente Zahl welche Primzahl ist nennt man hochkototiente Primzahl Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Hochkototiente Primzahlen 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenDie Kototienten n f n displaystyle n varphi n nbsp also die Anzahl der positiven ganzen Zahlen x n displaystyle x leq n nbsp welche mindestens einen Primfaktor mit n displaystyle n nbsp gemeinsam haben lauten fur n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 ldots nbsp 0 1 1 2 1 4 1 4 3 6 1 8 1 8 7 8 1 12 1 12 9 12 1 16 5 14 9 16 1 22 1 16 13 18 11 24 1 20 15 24 1 30 1 24 21 24 1 32 7 30 19 28 1 36 15 32 21 30 1 44 1 32 27 32 17 46 1 36 25 46 1 48 1 38 35 40 17 54 1 48 27 Folge A051953 in OEIS Beispiel An der 7 Stelle obiger Liste steht die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp Die Zahl n 7 displaystyle n 7 nbsp hat 6 displaystyle 6 nbsp teilerfremde Zahlen welche kleiner als n 7 displaystyle n 7 nbsp sind namlich alle von 1 displaystyle 1 nbsp bis 6 displaystyle 6 nbsp somit ist f 7 6 displaystyle varphi 7 6 nbsp und daher ist tatsachlich 7 f 7 7 6 1 displaystyle 7 varphi 7 7 6 1 nbsp Mit anderen Worten Die Zahl n 7 displaystyle n 7 nbsp hat nur mit der Zahl x 7 displaystyle x 7 nbsp mindestens einen Primfaktor gemeinsam deswegen ist der Kototient von n 7 displaystyle n 7 nbsp gleich 1 displaystyle 1 nbsp dd An der 6 Stelle obiger Liste steht die Zahl 4 displaystyle 4 nbsp Die Zahl n 6 displaystyle n 6 nbsp hat 2 displaystyle 2 nbsp teilerfremde Zahlen welche kleiner als n 6 displaystyle n 6 nbsp sind namlich k 1 displaystyle k 1 nbsp und k 5 displaystyle k 5 nbsp Somit ist f 6 2 displaystyle varphi 6 2 nbsp und daher ist tatsachlich 6 f 6 6 2 4 displaystyle 6 varphi 6 6 2 4 nbsp Mit anderen Worten Die Zahl n 6 displaystyle n 6 nbsp hat mit den Zahlen x 1 2 displaystyle x 1 2 nbsp x 2 3 displaystyle x 2 3 nbsp x 3 4 displaystyle x 3 4 nbsp und x 4 6 displaystyle x 4 6 nbsp mindestens einen Primfaktor gemeinsam deswegen ist der Kototient von n 6 displaystyle n 6 nbsp gleich 4 displaystyle 4 nbsp dd dd dd dd Eine Primzahl p displaystyle p nbsp ist nur durch 1 displaystyle 1 nbsp und sich selbst teilbar Somit ist sie zu den Zahlen 1 displaystyle 1 nbsp bis p 1 displaystyle p 1 nbsp teilerfremd Also ist f p p 1 displaystyle varphi p p 1 nbsp siehe Berechnung der Eulerschen Phi Funktion Somit gilt p f p p p 1 p p 1 1 displaystyle p varphi p p p 1 p p 1 1 nbsp dd Der Kototient jeder Primzahl ist somit gleich 1 displaystyle 1 nbsp was klar sein sollte zumal jede Primzahl nur mit sich selbst mindestens einen Primfaktor gemeinsam hat Es gibt unendlich viele Primzahlen also gibt es auch unendlich viele Losungen der Gleichung x f x n displaystyle x varphi x n nbsp fur n 1 displaystyle n 1 nbsp Wenn man also fur hochkototiente Zahlen die Zahl n 1 displaystyle n 1 nbsp erlauben wurde gabe es keine weiteren naturlichen Zahlen k displaystyle k nbsp welche fur die Gleichung x f x k displaystyle x varphi x k nbsp mehr Losungen als k n 1 displaystyle k n 1 nbsp hatte Deswegen wird n 1 displaystyle n 1 nbsp als Sonderfall per Definition ausgeschlossen es muss deswegen n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp sein Sei n 4 displaystyle n 4 nbsp Es gibt zwei Losungen der Gleichung x f x 4 displaystyle x varphi x 4 nbsp namlich x 1 6 displaystyle x 1 6 nbsp und x 2 8 displaystyle x 2 8 nbsp Die Zahl x 1 6 displaystyle x 1 6 nbsp ist zu den Zahlen 1 displaystyle 1 nbsp und 5 displaystyle 5 nbsp teilerfremd es gibt also zwei zu x 1 6 displaystyle x 1 6 nbsp teilerfremde Zahlen und es ist deswegen f 6 2 displaystyle varphi 6 2 nbsp Somit ist 6 f 6 6 2 4 displaystyle 6 varphi 6 6 2 4 nbsp Der Kototient der Zahl x 1 6 displaystyle x 1 6 nbsp ist also 4 displaystyle 4 nbsp es gibt 4 displaystyle 4 nbsp Zahlen die kleiner oder gleich 6 displaystyle 6 nbsp sind welche mit x 1 6 displaystyle x 1 6 nbsp mindestens einen Primfaktor gemeinsam haben Die Zahl x 2 8 displaystyle x 2 8 nbsp ist zu den Zahlen 1 3 5 displaystyle 1 3 5 nbsp und 7 displaystyle 7 nbsp teilerfremd es gibt also vier zu x 2 8 displaystyle x 2 8 nbsp teilerfremde Zahlen und es ist deswegen f 8 4 displaystyle varphi 8 4 nbsp Somit ist 8 f 8 8 4 4 displaystyle 8 varphi 8 8 4 4 nbsp Der Kototient der Zahl x 2 8 displaystyle x 2 8 nbsp ist also ebenfalls 4 displaystyle 4 nbsp es gibt 4 displaystyle 4 nbsp Zahlen die kleiner oder gleich 8 displaystyle 8 nbsp sind welche mit x 2 8 displaystyle x 2 8 nbsp mindestens einen Primfaktor gemeinsam haben dd Es gibt keine andere naturliche Zahl k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp welche kleiner als n 4 displaystyle n 4 nbsp ist fur welche die Gleichung x f x k displaystyle x varphi x k nbsp zwei oder mehr Losungen hat Somit ist n 4 displaystyle n 4 nbsp eine hochkototiente Zahl Mit anderen Worten es gibt genau zwei Zahlen namlich x 1 6 displaystyle x 1 6 nbsp und x 2 8 displaystyle x 2 8 nbsp deren Kototient n 4 displaystyle n 4 nbsp ist Die Anzahl der Zahlen deren Kototient n lt 4 displaystyle n lt 4 nbsp ist darf jeweils nicht grosser oder gleich 2 displaystyle 2 nbsp sein Da dies der Fall ist ist n 4 displaystyle n 4 nbsp eine hochkototiente Zahl Tatsachlich kommt in der obigen Liste der Kototienten der Wert 4 displaystyle 4 nbsp nur zwei Mal vor namlich an der 6 und an der 8 Stelle Sei n 8 displaystyle n 8 nbsp Es gibt drei Losungen der Gleichung x f x 8 displaystyle x varphi x 8 nbsp namlich x 1 12 displaystyle x 1 12 nbsp x 2 14 displaystyle x 2 14 nbsp und x 3 16 displaystyle x 3 16 nbsp Die Zahl x 1 12 displaystyle x 1 12 nbsp ist zu den Zahlen 1 5 7 displaystyle 1 5 7 nbsp und 11 displaystyle 11 nbsp teilerfremd es gibt also vier zu x 1 12 displaystyle x 1 12 nbsp teilerfremde Zahlen und es ist f 12 4 displaystyle varphi 12 4 nbsp Somit ist 12 f 12 12 4 8 displaystyle 12 varphi 12 12 4 8 nbsp Die Zahl x 2 14 displaystyle x 2 14 nbsp ist zu den Zahlen 1 3 5 9 11 displaystyle 1 3 5 9 11 nbsp und 13 displaystyle 13 nbsp teilerfremd es gibt also sechs zu x 2 14 displaystyle x 2 14 nbsp teilerfremde Zahlen und es ist f 14 6 displaystyle varphi 14 6 nbsp Somit ist 14 f 14 14 6 8 displaystyle 14 varphi 14 14 6 8 nbsp Die Zahl x 3 16 displaystyle x 3 16 nbsp ist zu den Zahlen 1 3 5 7 9 11 13 displaystyle 1 3 5 7 9 11 13 nbsp und 15 displaystyle 15 nbsp teilerfremd es gibt also acht zu x 3 16 displaystyle x 3 16 nbsp teilerfremde Zahlen und es ist f 16 8 displaystyle varphi 16 8 nbsp Somit ist 16 f 16 16 8 8 displaystyle 16 varphi 16 16 8 8 nbsp dd Es gibt keine andere naturliche Zahl k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp welche kleiner als n 8 displaystyle n 8 nbsp ist fur welche die Gleichung x f x k displaystyle x varphi x k nbsp drei oder mehr Losungen hat Somit ist n 8 displaystyle n 8 nbsp eine hochkototiente Zahl Mit anderen Worten es gibt genau drei Zahlen namlich x 1 12 displaystyle x 1 12 nbsp x 2 14 displaystyle x 2 14 nbsp und x 3 16 displaystyle x 3 16 nbsp deren Kototient n 8 displaystyle n 8 nbsp ist Die Anzahl der Zahlen deren Kototient n lt 8 displaystyle n lt 8 nbsp ist darf jeweils nicht grosser oder gleich 3 displaystyle 3 nbsp sein Da dies der Fall ist ist n 8 displaystyle n 8 nbsp eine hochkototiente Zahl Tatsachlich kommt in der obigen Liste der Kototienten der Wert 8 displaystyle 8 nbsp nur drei Mal vor namlich an der 12 an der 14 und an der 16 Stelle Die ersten hochkototienten Zahlen sind die folgenden 2 4 8 23 35 47 59 63 83 89 113 119 167 209 269 299 329 389 419 509 629 659 779 839 1049 1169 1259 1469 1649 1679 1889 2099 2309 2729 3149 3359 3569 3989 4199 4289 4409 4619 5249 5459 5879 6089 6509 6719 6929 Folge A100827 in OEIS dd Die Zahlen dieser Liste werden definitionsbedingt immer grosser im Gegensatz zur Liste die im nachsten Beispiel steht Diese oberen hochkototienten Zahlen sind die Kototienten fur k displaystyle k nbsp Zahlen aufsteigend fur k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 ldots nbsp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 15 19 20 22 25 28 31 34 41 42 46 52 58 59 69 74 77 83 93 99 116 130 138 140 156 165 166 167 173 192 200 218 219 223 241 242 271 276 292 304 331 Folge A101373 in OEIS Beispiel An der 12 Stelle der ersten Liste steht die Zahl n 119 displaystyle n 119 nbsp An der 12 Stelle der unteren Liste steht die Zahl k 13 displaystyle k 13 nbsp Das bedeutet dass es 13 displaystyle 13 nbsp verschiedene Zahlen gibt deren Kototient n 119 displaystyle n 119 nbsp ergibt Keine andere Zahl kleiner als 119 displaystyle 119 nbsp ist der Kototient von gleich viel oder mehr als 13 displaystyle 13 nbsp verschiedenen Zahlen was n 119 displaystyle n 119 nbsp zur hochkototienten Zahl macht dd dd dd Die nachste Liste gibt die kleinsten Zahlen an welche Kototient fur k displaystyle k nbsp Zahlen sind aufsteigend fur k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 ldots nbsp 10 0 4 8 23 35 47 59 63 83 89 113 143 119 197 167 279 233 281 209 269 323 299 359 497 329 455 605 389 461 479 419 539 599 509 755 791 713 875 797 719 629 659 1025 1163 929 779 1193 1121 899 1133 1091 839 Folge A063741 in OEIS dd Diese Liste ahnelt sehr der vorigen Liste der hochkototienten Zahlen es konnen die Zahlen aber im Gegensatz zur vorigen Liste der hochkototienten Zahlen auch wieder kleiner werden Beispiel 1 An der k 0 displaystyle k 0 nbsp ten Stelle steht die Zahl n 10 displaystyle n 10 nbsp Es gibt keine Zahl x displaystyle x nbsp fur welche x f x 10 displaystyle x varphi x 10 nbsp losbar ware Somit hat keine Zahl x displaystyle x nbsp den Kototienten n 10 displaystyle n 10 nbsp Zahlen n displaystyle n nbsp fur welche es keine Zahlen x displaystyle x nbsp gibt fur welche x f x n displaystyle x varphi x n nbsp losbar ware nennt man Nichtkototient vom englischen Noncototient Die kleinsten Nichtkototienten lauten 1 10 26 34 50 52 58 86 100 116 122 Folge A005278 in OEIS dd dd Beispiel 2 An der k 12 displaystyle k 12 nbsp ten Stelle wenn man mit k 0 displaystyle k 0 nbsp zu zahlen beginnt steht die Zahl n 143 displaystyle n 143 nbsp Es gibt somit 12 displaystyle 12 nbsp Zahlen deren Kototient n 143 displaystyle n 143 nbsp ist und es gibt kein n lt 143 displaystyle n lt 143 nbsp welche ebenfalls Kototient fur 12 displaystyle 12 nbsp Zahlen ware Somit ist n 143 displaystyle n 143 nbsp der kleinste Wert fur den es 12 displaystyle 12 nbsp Zahlen gibt die alle denselben Kototient namlich n 143 displaystyle n 143 nbsp haben Vergleicht man diesen Wert aber mit der Liste der hochkototienten Zahlen direkt daruber dann stellt man fest dass dort an der k 12 displaystyle k 12 nbsp ten Stelle die Zahl n 119 displaystyle n 119 nbsp steht Diese Zahl ist der Kototient von 13 displaystyle 13 nbsp verschiedenen Zahlen die alle denselben Kototient namlich n 119 displaystyle n 119 nbsp haben Weil es keinen kleineren Wert n lt 119 displaystyle n lt 119 nbsp gibt der Kototient fur 13 displaystyle 13 nbsp oder mehr Zahlen ist ist n 119 displaystyle n 119 nbsp eine hochkototiente Zahl Der Wert n 143 displaystyle n 143 nbsp ist zwar der kleinste Wert der Kototient von 12 displaystyle 12 nbsp verschiedenen Zahlen ist da er aber grosser als 119 displaystyle 119 nbsp ist ist er nicht hochkototient und kommt deswegen in dieser Liste nicht vor dd dd dd Es folgt eine Tabelle von der man etwas leichter die hochkototienten Zahlen ablesen kann In der ersten Spalte sind die aufsteigenden n displaystyle n nbsp in der zweiten Spalte stehen diejenigen Zahlen deren Kototient n displaystyle n nbsp ist und in der dritten Spalte kann man die Anzahl der Zahlen ablesen die in der zweiten Spalte stehen Jedes Mal wenn in dieser dritten Spalte eine hohere Zahl steht als in allen anderen Zeilen zuvor ausser bei n 1 displaystyle n 1 nbsp handelt es sich bei n displaystyle n nbsp um eine hochkototiente Zahl welche gelb eingefarbt wird Am Ende der Tabelle werden noch ein paar ausgewahlte weitere n displaystyle n nbsp angefuhrt die in obigen Beispielen eventuell auftauchen Tabelle der Kototienten n displaystyle n nbsp k displaystyle k nbsp sodass k f k n displaystyle k varphi k n nbsp Anzahl der k displaystyle k nbsp sodass k f k n displaystyle k varphi k n nbsp Folge A063740 in OEIS 00 0 1 100 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 alle Primzahlen 00 2 4 100 3 9 100 4 6 8 200 5 25 100 6 10 100 7 15 49 200 8 12 14 16 300 9 21 27 20 10 00 11 35 121 20 12 18 20 22 30 13 33 169 20 14 26 10 15 39 55 20 16 24 28 32 30 17 65 77 289 30 18 34 10 19 51 91 361 30 20 38 10 21 45 57 85 30 22 30 10 23 95 119 143 529 40 24 36 40 44 46 40 25 69 125 133 30 26 00 27 63 81 115 187 40 28 52 10 29 161 209 221 841 40 30 42 50 58 30 31 87 247 961 30 32 48 56 62 64 40 33 93 145 253 30 34 00 35 75 155 203 299 323 50 36 54 68 20 37 217 1369 20 38 74 10 39 99 111 319 391 40 40 76 10 41 185 341 377 437 1681 50 42 82 10 43 123 259 403 1849 40 44 60 86 20 45 117 129 205 493 40 46 66 70 20 47 215 287 407 527 551 2209 60 48 72 80 88 92 94 50 49 141 301 343 481 589 50 50 0 0 59 371 611 731 779 851 899 3481 70 63 135 147 171 183 295 583 799 943 80 83 395 803 923 1139 1403 1643 1739 1763 6889 90 89 581 869 1241 1349 1541 1769 1829 1961 2021 7921 10113 545 749 1133 1313 1649 2573 2993 3053 3149 3233 12769 11119 539 791 1199 1391 1751 1919 2231 2759 3071 3239 3431 3551 3599 13143 363 695 959 1703 2159 3503 3959 4223 4343 4559 5063 5183 erstmaliges Auftreten von 12 Werten 12167 455 815 1727 2567 2831 4031 4247 4847 5207 6431 6527 6767 6887 7031 27889 15197 965 1337 3077 3401 5177 6437 7097 8201 8357 8777 9017 9701 9797 38809 erstmaliges Auftreten von 14 Werten 14209 2189 2561 3281 3629 5249 5549 6401 7181 7661 8321 8909 9089 9869 10001 10349 10541 10961 11009 11021 19233 665 1145 1589 2453 4853 7289 7913 8213 9593 10553 11189 11573 12533 13289 13493 13589 54289 erstmaliges Auftreten von 17 Werten 17269 1841 3341 4769 6989 7409 8621 9389 9761 10481 12449 14129 14381 15089 16109 16781 17201 17441 17741 18209 72361 20279 663 783 831 2959 4471 5911 7279 9799 10951 12031 16351 16999 18079 18511 18871 19519 erstmaliges Auftreten von 16 Werten 16281 1001 1385 2981 3497 4997 7781 9881 10277 12137 13157 14981 16517 17177 18281 18437 18857 19781 78961 erstmaliges Auftreten von 18 Werten 18299 1859 2051 4811 5339 6371 7859 8339 9731 11051 14219 14579 15611 16259 16571 18779 20099 20291 20651 20819 21971 22331 22499 22323 867 2219 3443 4043 5219 9083 11603 12083 13019 14363 16043 17219 18323 20003 22019 22523 23843 25019 25283 26123 26219 erstmaliges Auftreten von 21 Werten 21Hochkototiente Primzahlen BearbeitenDie kleinsten hochkototienten Primzahlen sind die folgenden 2 23 47 59 83 89 113 167 269 389 419 509 659 839 1049 1259 1889 2099 2309 2729 3359 3989 4289 4409 5879 6089 6719 9029 9239 10289 10709 11549 13649 13859 15329 15959 20789 21839 23099 25409 27299 30029 Folge A105440 in OEIS Eigenschaften BearbeitenEs gibt unendlich viele hochkototiente Zahlen Es sind aber nur 229 hochkototiente Zahlen bekannt Stand 23 Februar 2020 2 Unter den bekannten 229 hochkototienten Zahlen sind nur die ersten drei namlich n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp n 2 4 displaystyle n 2 4 nbsp und n 3 8 displaystyle n 3 8 nbsp gerade Zahlen Alle anderen sind ungerade Zahlen 2 Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen enden alle zwischen der 14 und der 229 hochkototienten Zahl mit der Ziffer 9 2 Es gilt also fur alle diese hochkototienten Zahlen n displaystyle n nbsp von n 14 209 displaystyle n 14 209 nbsp bis n 229 6276269 displaystyle n 229 6276269 nbsp n 9 1 mod 10 displaystyle n equiv 9 equiv 1 pmod 10 nbsp dd Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 9 und der 229 hochkototienten Zahl bei Division durch 6 einen Rest von 5 2 Es gilt also fur alle diese hochkototienten Zahlen n displaystyle n nbsp von n 9 83 displaystyle n 9 83 nbsp bis n 229 6276269 displaystyle n 229 6276269 nbsp n 5 1 mod 6 displaystyle n equiv 5 equiv 1 pmod 6 nbsp dd Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 14 und der 229 hochkototienten Zahl bei Division durch 30 einen Rest von 29 2 Es gilt also fur alle diese hochkototienten Zahlen n displaystyle n nbsp von n 14 209 displaystyle n 14 209 nbsp bis n 229 6276269 displaystyle n 229 6276269 nbsp n 29 1 mod 30 displaystyle n equiv 29 equiv 1 pmod 30 nbsp dd Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 41 und der 229 hochkototienten Zahl bei Division durch 210 einen Rest von 209 2 Es gilt also fur alle diese hochkototienten Zahlen n displaystyle n nbsp von n 41 4409 displaystyle n 41 4409 nbsp bis n 229 6276269 displaystyle n 229 6276269 nbsp n 209 1 mod 210 displaystyle n equiv 209 equiv 1 pmod 210 nbsp dd Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 169 und der 229 hochkototienten Zahl bei Division durch 2310 einen Rest von 2309 2 Es gilt also fur alle diese hochkototienten Zahlen n displaystyle n nbsp von n 169 1351349 displaystyle n 169 1351349 nbsp bis n 229 6276269 displaystyle n 229 6276269 nbsp n 2309 1 mod 2310 displaystyle n equiv 2309 equiv 1 pmod 2310 nbsp dd Wenn man die obigen Ergebnisse zusammenfasst erhalt man folgendes Ergebnis Mit Ausnahme der ersten drei hochkototienten Zahlen n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp n 2 4 displaystyle n 2 4 nbsp und n 3 8 displaystyle n 3 8 nbsp sind alle weiteren bekannten hochkototienten Zahlen kongruent 1 modulo einer Primfakultat 3 Beispiel Die ersten Primfakultaten lauten 2 2 displaystyle 2 2 nbsp 3 6 displaystyle 3 6 nbsp 5 30 displaystyle 5 30 nbsp 7 210 displaystyle 7 210 nbsp und 11 2310 displaystyle 11 2310 nbsp Die 200 hochkototiente Zahl ist n 200 2984519 displaystyle n 200 2984519 nbsp Tatsachlich ist n 200 2309 1 mod 2310 displaystyle n 200 equiv 2309 equiv 1 pmod 2310 nbsp Es ist auch n 200 209 1 mod 210 displaystyle n 200 equiv 209 equiv 1 pmod 210 nbsp n 200 29 1 mod 30 displaystyle n 200 equiv 29 equiv 1 pmod 30 nbsp n 200 5 1 mod 6 displaystyle n 200 equiv 5 equiv 1 pmod 6 nbsp und n 200 1 1 mod 2 displaystyle n 200 equiv 1 equiv 1 pmod 2 nbsp dd dd Siehe auch BearbeitenEulersche Phi Funktion Hochtotiente Zahl Hochzusammengesetzte Zahl Nichtkototient Nichttotient Perfekt totiente Zahl Sparlich totiente ZahlWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Highly Cototient Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Noncototient In MathWorld englisch Arndt Brunner Teilermengen und Primfaktorzerlegungen Eulers Phi Funktion und Fakultaten Berechnung der Eulerschen Phi Funktion Abgerufen am 15 Februar 2020 deutsch Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Noncototient In MathWorld englisch a b c d e f g Liste der ersten 229 hochkototienten Zahlen auf OEIS A100827 Comments zu OEIS A100827V DPrimzahl mengenformelbasiert Carol 2n 1 2 2 Doppelte Mersenne 22p 1 1 Fakultat n 1 Fermat 22n 1 Kubisch x3 y3 x y Kynea 2n 1 2 2 Leyland xy yx Mersenne 2p 1 Mills A3n Pierpont 2u 3v 1 Primorial pn 1 Proth k 2n 1 Pythagoreisch 4n 1 Quartisch x4 y4 Thabit 3 2n 1 Wagstaff 2p 1 3 Williams b 1 bn 1 Woodall n 2n 1 Primzahlfolgen Bell Fibonacci Lucas Motzkin Pell Perrineigenschaftsbasiert Elitar Fortunate Gut Glucklich Higgs Hochkototient Isoliert Pillai Ramanujan Regular Stark Stern Wall Sun Sun Wieferich Wilsonbasis abhangig Belphegor Champernowne Dihedral Einzigartig Frohlich Keith Lange Minimal Mirp Permutierbar Primeval Palindrom Repunit Primzahl 10n 1 9 Schwach Smarandache 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