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Hochzusammengesetzte Zahl Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Zur Verwendung für Zahlen die höchstens 2 3 5 7 als P

Hochzusammengesetzte Zahl

Eine hochzusammengesetzte Zahl (engl. highly composite number, kurz: HCN) ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl. Solche Zahlen sind aufgrund ihrer maximalen Teilbarkeit eine Art Gegenstück zu den Primzahlen. Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan hat als einer der Ersten diese Zahlen und ihre Eigenschaften eingehender untersucht und 1915 einen umfangreichen Artikel zu ihnen publiziert.

Die ersten zwanzig hochzusammengesetzten Zahlen Bearbeiten

Laufindex Folge in OEIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-te hochzusammengesetzte Zahl A002182 1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680 2520 5040 7560
Teileranzahl A002183 1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64

Eigenschaften Bearbeiten

Aufbau Bearbeiten

Zwei notwendige Eigenschaften hochzusammengesetzter Zahlen ergeben sich aus der Teileranzahlfunktion. Wie der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, ist jede positive natürliche Zahl folgendermaßen aufgebaut:

wobei die Primzahlen sind. Die Exponenten sind dabei von null verschiedene natürliche Zahlen. Für ergibt sich das leere Produkt . Die Definition der Teileranzahlfunktion liefert dann die Anzahl der Teiler für natürliche Zahlen:

Für hochzusammengesetzte Zahlen folgt aus dieser Formel:

  • Die Primzahlen sind genau die ersten Primzahlen, denn jede ausgelassene Primzahl würde es ermöglichen, ein kleineres mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.
  • Die Folge der Exponenten ist absteigend, es gilt . Andernfalls wäre es durch Vertauschung von Exponenten möglich, ein kleineres mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.

Diese beiden Eigenschaften sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend. So muss, ausgenommen und , der letzte Exponent sein.

Beispiel:

Es gibt keine ungeraden hochzusammengesetzten Zahlen außer der 1.

Anwendungen Bearbeiten

Die Eigenschaft, möglichst viele Teiler zu haben, bietet praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht. So basiert das Winkelgradsystem zu 360° auf einer hochzusammengesetzten Zahl. Auch die Stunden zu 24, Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Münzsystem Karls des Großen mit der Beziehung ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige oder Denare sind hier zu nennen. In Preußen war von 1821 bis 1873 ein Taler gleich 360 Pfennig. Das babylonische Zahlensystem verwendete als Basis die Zahl 60. Außerdem kommt die Verwendung des Dutzends daher, dass 12 eine hochzusammengesetzte Zahl ist.

Entwickelt man eine Skala oder Kreisteilung auf Basis einer hochzusammengesetzten Zahl, so lässt sich diese Skala auf besonders viele verschiedene Arten gleichmäßig teilen.

Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen Bearbeiten

Als einer der ersten Mathematiker beschäftigte sich der Inder Srinivasa Ramanujan (1887–1920) eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen. Dabei fand er die oben genannte Regel der nicht-ansteigenden Exponenten. Die Regel kann dazu genutzt werden, hochzusammengesetzte Zahlen zu konstruieren. Ramanujan selbst stellte eine Liste von über hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf. Er übersah dabei aber eine einzige, nämlich die Zahl 293.318.625.600. Heute sind Online-Listen mit über hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. “They are as unlike a prime as a number can be.” – Hardy, nach Robert Kanigal: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. Scribner, New York 1991, S. 232.
  2. Eric W. Weisstein: Highly Composite Number. In: MathWorld (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Zur Verwendung fur Zahlen die hochstens 2 3 5 7 als Primfaktoren besitzen siehe 7 glatte Zahl Eine hochzusammengesetzte Zahl engl highly composite number kurz HCN ist eine positive ganze Zahl die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl Solche Zahlen sind aufgrund ihrer maximalen Teilbarkeit eine Art Gegenstuck zu den Primzahlen 1 Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan hat als einer der Ersten diese Zahlen und ihre Eigenschaften eingehender untersucht und 1915 einen umfangreichen Artikel zu ihnen publiziert Inhaltsverzeichnis 1 Die ersten zwanzig hochzusammengesetzten Zahlen 2 Eigenschaften 2 1 Aufbau 3 Anwendungen 4 Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDie ersten zwanzig hochzusammengesetzten Zahlen BearbeitenLaufindex k displaystyle k nbsp Folge in OEIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20k displaystyle k nbsp te hochzusammengesetzte Zahl A002182 1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680 2520 5040 7560Teileranzahl A002183 1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64Eigenschaften BearbeitenAufbau Bearbeiten Zwei notwendige Eigenschaften hochzusammengesetzter Zahlen ergeben sich aus der Teileranzahlfunktion Wie der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt ist jede positive naturliche Zahl n displaystyle n nbsp folgendermassen aufgebaut n p 1 c 1 p 2 c 2 p k c k displaystyle n p 1 c 1 cdot p 2 c 2 cdot ldots cdot p k c k nbsp mit p 1 lt p 2 lt lt p k displaystyle p 1 lt p 2 lt dotsb lt p k nbsp wobei die p i displaystyle p i nbsp Primzahlen sind Die Exponenten c i displaystyle c i nbsp sind dabei von null verschiedene naturliche Zahlen Fur k 0 displaystyle k 0 nbsp ergibt sich das leere Produkt n 1 displaystyle n 1 nbsp Die Definition der Teileranzahlfunktion d n displaystyle d n nbsp liefert dann die Anzahl der Teiler fur naturliche Zahlen d n c 1 1 c 2 1 c k 1 displaystyle d n c 1 1 cdot c 2 1 cdot ldots cdot c k 1 nbsp Fur hochzusammengesetzte Zahlen folgt aus dieser Formel Die k displaystyle k nbsp Primzahlen p i displaystyle p i nbsp sind genau die ersten k displaystyle k nbsp Primzahlen denn jede ausgelassene Primzahl wurde es ermoglichen ein kleineres n displaystyle n nbsp mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren Die Folge der Exponenten ist absteigend es gilt c 1 c 2 c k displaystyle c 1 geq c 2 geq dotsb geq c k nbsp Andernfalls ware es durch Vertauschung von Exponenten moglich ein kleineres n displaystyle n nbsp mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren Diese beiden Eigenschaften sind zwar notwendig aber nicht hinreichend So muss ausgenommen n 4 displaystyle n 4 nbsp und n 36 displaystyle n 36 nbsp der letzte Exponent 1 displaystyle 1 nbsp sein Beispiel 720 2 4 3 2 5 1 displaystyle 720 2 4 cdot 3 2 cdot 5 1 nbsp hat 4 1 2 1 1 1 30 displaystyle 4 1 cdot 2 1 cdot 1 1 30 nbsp Teiler Das sind mehr Teiler als bei allen kleineren Zahlen Also ist 720 displaystyle 720 nbsp eine hochzusammengesetzte Zahl Es gibt keine ungeraden hochzusammengesetzten Zahlen ausser der 1 Anwendungen BearbeitenDie Eigenschaft moglichst viele Teiler zu haben bietet praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht So basiert das Winkelgradsystem zu 360 auf einer hochzusammengesetzten Zahl Auch die Stunden zu 24 Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Munzsystem Karls des Grossen mit der Beziehung ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige oder Denare sind hier zu nennen In Preussen war von 1821 bis 1873 ein Taler gleich 360 Pfennig Das babylonische Zahlensystem verwendete als Basis die Zahl 60 Ausserdem kommt die Verwendung des Dutzends daher dass 12 eine hochzusammengesetzte Zahl ist Entwickelt man eine Skala oder Kreisteilung auf Basis einer hochzusammengesetzten Zahl so lasst sich diese Skala auf besonders viele verschiedene Arten gleichmassig teilen Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen BearbeitenAls einer der ersten Mathematiker beschaftigte sich der Inder Srinivasa Ramanujan 1887 1920 eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen Dabei fand er die oben genannte Regel der nicht ansteigenden Exponenten Die Regel kann dazu genutzt werden hochzusammengesetzte Zahlen zu konstruieren Ramanujan selbst stellte eine Liste von uber hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf Er ubersah dabei aber eine einzige namlich die Zahl 293 318 625 600 2 Heute sind Online Listen mit uber hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden Literatur BearbeitenS Ramanujan Highly composite numbers In Proc London Math Soc Band 14 1915 S 347 409 ramanujan sirinudi org PDF Review In Zentralblatt Math Jozsef Sandor Dragoslav S Mitrinovic Borislav Crstici Handbook of Number Theory I Springer Verlag Dordrecht NL 2006 ISBN 978 1 4020 4215 7 S 45 46 Paul Erdos On Highly Composite Numbers PDF 622 kB In Journal of the London Mathematical Society 1944 Paul Erdos L Alaolglu On Highly Composite and Similar Numbers PDF 3 0 MB In Transaction of the Americal Mathematical Society Vol 56 No 3 November 1944 S 448 469 Srinivasa Ramanujan Jean Louis Nicolas Guy Robin Highly Composite Numbers PDF 256 kB In The Ramanujan Journal I 1997 S 119 153 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Highly Composite Number In MathWorld englisch Achim Flammenkamp Weiterfuhrendes Universitat Bielefeld Besondere hochzusammengesetzte Zahlen Zugehorige Seite der Michigan State UniversityEinzelnachweise Bearbeiten They are as unlike a prime as a number can be Hardy nach Robert Kanigal The Man Who Knew Infinity A Life of the Genius Ramanujan Scribner New York 1991 S 232 Eric W Weisstein Highly Composite Number In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hochzusammengesetzte Zahl amp oldid 220842280