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Heliumatom Ein ist ein Atom des chemischen Elements Helium Es ist zusammengesetzt aus zwei Elektronen die durch die elek

Heliumatom

Ein Heliumatom ist ein Atom des chemischen Elements Helium. Es ist zusammengesetzt aus zwei Elektronen, die durch die elektromagnetische Kraft an den Atomkern gebunden sind, der aus zwei Protonen und (je nach Isotop) einem oder zwei Neutronen besteht, die durch die starke Kraft zusammengehalten werden.

Anders als für Wasserstoff gibt es bislang keine geschlossene Lösung der Schrödingergleichung für das Heliumatom, d. h. die Energieniveaus lassen sich nicht exakt berechnen. Es gibt jedoch zahlreiche Näherungen, wie die Hartree-Fock-Methode, zum Abschätzen der Energieniveaus und der Wellenfunktion.

Eigenschaften der Atomhülle Bearbeiten

Helium ist im Periodensystem das zweite und letzte Element der ersten Periode. Da innerhalb einer Periode die Atomradien mit zunehmender Elektronenzahl abnehmen und Wasserstoff und Helium die einzigen Elemente sind, in denen nur die erste Elektronenschale besetzt ist, hat Helium von allen Elementen den kleinsten Atomradius und die höchste Ionisierungsenergie.

Zwischen Heliumatomen wirken nur Van-der-Waals-Kräfte. Aufgrund der Kleinheit der Atome können die Elektronenhüllen nur sehr geringfügig polarisiert werden. Daher sind die ohnehin sehr schwachen Van-der-Waals-Kräfte im Fall von Helium besonders klein. Dies erklärt den extrem niedrigen Siedepunkt von 4,2 K (−268,8 °C).

Elektronenzustände Bearbeiten

Ortho- und Parahelium Bearbeiten

Im Grundzustand befinden sich die Elektronen im Zustand 1s2, d. h. sie besetzen die beiden einzigen möglichen Zustände mit der Hauptquantenzahl 1 und dem Bahndrehimpuls 0. Die Spins der Elektronen sind antiparallel und addieren sich zum Gesamtspin S = 0 (Singulett-Zustand 1S0).

Der energetisch niedrigste Zustand mit S = 1 (Triplett-Zustand 3S1) hat die Elektronenstruktur 1s2s und liegt um 19,8 eV darüber.

Zustände mit S = 0 nennt man Parahelium, solche mit S = 1 Orthohelium. Übergänge zwischen Ortho- und Parahelium sind stark unterdrückt („verboten“). Der niedrigste Orthohelium-Zustand ist daher vergleichsweise langlebig.

Quantenmechanische Beschreibung Bearbeiten

Termschema für Para- and Orthohelium mit einem Elektron im Grundzustand 1s und einem angeregten Elektron.

Die quantenmechanische Beschreibung des Heliumatoms ist von besonderem Interesse, weil es das einfachste Mehrelektronenatom ist und auch zum Verständnis der Quantenverschränkung benutzt werden kann.

Der Hamiltonoperator für Helium, betrachtet als 3-Körper-System (bestehend aus zwei Elektronen und dem Kern), kann im Schwerpunktsystem geschrieben werden als

wobei die Elektronenmasse, die Kernmasse, die reduzierte Masse eines Elektrons in Bezug auf den Kern, die Elektron-Kern-Abstandsvektoren sind und ist. Die Kernladungszahl von Helium beträgt 2. In der Näherung eines unendlich schweren Kerns erhält man , und der Massen-Polarisations-Term verschwindet. In atomaren Einheiten vereinfacht sich der Hamiltonoperator zu

Es muss betont werden, dass der zugrundeliegende Raum nicht der gewöhnliche Raum, sondern ein 6-dimensionaler Konfigurationsraum ist. In dieser Näherung (Pauli-Approximation) ist die Wellenfunktion ein Spinor zweiter Stufe mit 4 Komponenten , wobei die Indizes die Spin-Projektion der Elektronen im gewählten Koordinatensystem darstellen (-Richtung up oder down). Sie muss die übliche Normierungsbedingung erfüllen. Dieser allgemeine Spinor kann als 2×2-Matrix dargestellt werden und folglich auch als Linearkombination einer beliebigen Basis von vier (im Vektorraum der 2×2-Matrizen) orthogonalen konstanten Matrizen mit skalaren Koeffizientenfunktionen als . Eine geeignete Basis wird gebildet aus einer antisymmetrischen Matrix (mit Gesamtspin , entsprechend einem Singulett-Zustand) und drei symmetrischen Matrizen (mit Gesamtspin , entsprechend einem Triplett-Zustand) ,

Es ist leicht zu zeigen, dass der Singulett-Zustand invariant unter allen Drehungen ist (eine skalare Größe), während das Triplett auf einen gewöhnlichen Raumvektor mit den drei Komponenten , und abgebildet werden kann.

Da im obigen (skalaren) Hamiltonian alle Spinwechselwirkungsterme zwischen den vier Komponenten von vernachlässigt werden (z. B. ein externes Magnetfeld, oder relativistische Effekte wie Spin-Bahn-Wechselwirkungen), können die vier Schrödingergleichungen unabhängig voneinander gelöst werden.

Der Spin kommt hier nur ins Spiel durch das Pauli-Prinzip, das für Fermionen (wie Elektronen) die Antisymmetrie bei simultaner Vertauschung von Spin und Koordinaten fordert, also:

Parahelium ist damit der Singulett-Zustand mit einer symmetrischen Funktion und Orthohelium ist der Triplett-Zustand mit einer antisymmetrischen Funktion . Wenn der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsterm ignoriert wird (als erste Näherung), können beide Funktionen als Linearkombinationen von zwei beliebigen (orthogonalen und normierten) Ein-Elektron-Eigenfunktionen geschrieben werden: oder für die Sonderfälle (beide Elektronen haben identische Quantenzahlen, nur für Parahelium): . Die Gesamtenergie (als Eigenwert von ) ist dann in allen Fällen gleich (unabhängig von der Symmetrie).

Das erklärt das Fehlen des -Zustands (mit ) für Orthohelium, wo folglich (mit ) der metastabile Grundzustand ist. (Ein Zustand mit den Quantenzahlen: Hauptquantenzahl , Gesamtspin , Drehimpulsquantenzahl und Gesamtdrehimpuls wird mit bezeichnet.)

Wenn der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsterm einbezogen wird, ist die Schrödingergleichung nicht separabel. Aber auch dann, wenn er vernachlässigt wird, können alle oben beschriebenen Zustände (sogar mit zwei identischen Quantenzahlen, wie mit ) nicht als Produkt von Ein-Elektron-Wellenfunktionen geschrieben werden:  – die Wellenfunktion ist verschränkt. Man kann nicht sagen, Teilchen 1 ist in Zustand 1 und das andere in Zustand 2; und man kann keine Messungen an einem Teilchen ausführen, ohne das andere zu beeinflussen.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Heliumatom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikiversity: Helium – Periodensystem – Kursmaterialien (englisch)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John Stewart Bell: Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel. de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3, S. 42, 65.
  2. P. Rennert, H. Schmiedel, C. Weißmantel: Kleine Enzyklopädie Physik. VEB Bibliographisches Institut, Leipzig 1988, S. 192–194.
  3. L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik. Band III: Quantenmechanik. Akademie-Verlag, Berlin 1971, Kap. IX, S. 218.
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Ein Heliumatom ist ein Atom des chemischen Elements Helium Es ist zusammengesetzt aus zwei Elektronen die durch die elektromagnetische Kraft an den Atomkern gebunden sind der aus zwei Protonen und je nach Isotop einem oder zwei Neutronen besteht die durch die starke Kraft zusammengehalten werden Anders als fur Wasserstoff gibt es bislang keine geschlossene Losung der Schrodingergleichung fur das Heliumatom d h die Energieniveaus lassen sich nicht exakt berechnen Es gibt jedoch zahlreiche Naherungen wie die Hartree Fock Methode zum Abschatzen der Energieniveaus und der Wellenfunktion Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften der Atomhulle 2 Elektronenzustande 2 1 Ortho und Parahelium 2 2 Quantenmechanische Beschreibung 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseEigenschaften der Atomhulle BearbeitenHelium ist im Periodensystem das zweite und letzte Element der ersten Periode Da innerhalb einer Periode die Atomradien mit zunehmender Elektronenzahl abnehmen und Wasserstoff und Helium die einzigen Elemente sind in denen nur die erste Elektronenschale besetzt ist hat Helium von allen Elementen den kleinsten Atomradius und die hochste Ionisierungsenergie Zwischen Heliumatomen wirken nur Van der Waals Krafte Aufgrund der Kleinheit der Atome konnen die Elektronenhullen nur sehr geringfugig polarisiert werden Daher sind die ohnehin sehr schwachen Van der Waals Krafte im Fall von Helium besonders klein Dies erklart den extrem niedrigen Siedepunkt von 4 2 K 268 8 C Elektronenzustande BearbeitenOrtho und Parahelium Bearbeiten Im Grundzustand befinden sich die Elektronen im Zustand 1s2 d h sie besetzen die beiden einzigen moglichen Zustande mit der Hauptquantenzahl 1 und dem Bahndrehimpuls 0 Die Spins der Elektronen sind antiparallel und addieren sich zum Gesamtspin S 0 Singulett Zustand 1S0 Der energetisch niedrigste Zustand mit S 1 Triplett Zustand 3S1 hat die Elektronenstruktur 1s2s und liegt um 19 8 eV daruber Zustande mit S 0 nennt man Parahelium solche mit S 1 Orthohelium Ubergange zwischen Ortho und Parahelium sind stark unterdruckt verboten Der niedrigste Orthohelium Zustand ist daher vergleichsweise langlebig Quantenmechanische Beschreibung Bearbeiten nbsp Termschema fur Para and Orthohelium mit einem Elektron im Grundzustand 1s und einem angeregten Elektron Die quantenmechanische Beschreibung des Heliumatoms ist von besonderem Interesse weil es das einfachste Mehrelektronenatom ist und auch zum Verstandnis der Quantenverschrankung benutzt werden kann 1 Der Hamiltonoperator fur Helium betrachtet als 3 Korper System bestehend aus zwei Elektronen und dem Kern kann im Schwerpunktsystem geschrieben werden als H r 1 r 2 i 1 2 ℏ 2 2 m r i 2 Z e 2 4 p e 0 r i ℏ 2 M r 1 r 2 e 2 4 p e 0 r 12 displaystyle H vec r 1 vec r 2 sum i 1 2 Bigg frac hbar 2 2 mu nabla r i 2 frac Ze 2 4 pi varepsilon 0 r i Bigg frac hbar 2 M nabla r 1 cdot nabla r 2 frac e 2 4 pi varepsilon 0 r 12 nbsp wobei m displaystyle m nbsp die Elektronenmasse M displaystyle M nbsp die Kernmasse m m M m M displaystyle mu tfrac mM m M nbsp die reduzierte Masse eines Elektrons in Bezug auf den Kern r 1 r 2 displaystyle vec r 1 vec r 2 nbsp die Elektron Kern Abstandsvektoren sind und r 12 r 1 r 2 displaystyle r 12 vec r 1 vec r 2 nbsp ist Die Kernladungszahl Z displaystyle Z nbsp von Helium betragt 2 In der Naherung eines unendlich schweren Kerns M displaystyle M infty nbsp erhalt man m m displaystyle mu m nbsp und der Massen Polarisations Term ℏ 2 M r 1 r 2 displaystyle tfrac hbar 2 M nabla r 1 cdot nabla r 2 nbsp verschwindet In atomaren Einheiten vereinfacht sich der Hamiltonoperator zu H r 1 r 2 1 2 r 1 2 1 2 r 2 2 Z r 1 Z r 2 1 r 12 displaystyle H vec r 1 vec r 2 frac 1 2 nabla r 1 2 frac 1 2 nabla r 2 2 frac Z r 1 frac Z r 2 frac 1 r 12 nbsp Es muss betont werden dass der zugrundeliegende Raum nicht der gewohnliche Raum sondern ein 6 dimensionaler Konfigurationsraum r 1 r 2 displaystyle vec r 1 vec r 2 nbsp ist In dieser Naherung Pauli Approximation ist die Wellenfunktion ein Spinor zweiter Stufe mit 4 Komponenten ps i j r 1 r 2 displaystyle psi ij vec r 1 vec r 2 nbsp wobei die Indizes i j displaystyle i j uparrow downarrow nbsp die Spin Projektion der Elektronen im gewahlten Koordinatensystem darstellen z displaystyle z nbsp Richtung up oder down 2 Sie muss die ubliche Normierungsbedingung i j d r 1 d r 2 ps i j 2 1 displaystyle sum ij int d vec r 1 d vec r 2 psi ij 2 1 nbsp erfullen Dieser allgemeine Spinor kann als 2 2 Matrix ps ps ps ps ps displaystyle boldsymbol psi bigl begin smallmatrix psi uparrow uparrow amp psi uparrow downarrow psi downarrow uparrow amp psi downarrow downarrow end smallmatrix bigr nbsp dargestellt werden und folglich auch als Linearkombination einer beliebigen Basis von vier im Vektorraum der 2 2 Matrizen orthogonalen konstanten Matrizen s k i displaystyle boldsymbol sigma k i nbsp mit skalaren Koeffizientenfunktionen ϕ i k r 1 r 2 displaystyle phi i k vec r 1 vec r 2 nbsp als ps i k ϕ i k r 1 r 2 s k i displaystyle boldsymbol psi sum ik phi i k vec r 1 vec r 2 boldsymbol sigma k i nbsp Eine geeignete Basis wird gebildet aus einer antisymmetrischen Matrix mit Gesamtspin S 0 displaystyle S 0 nbsp entsprechend einem Singulett Zustand s 0 0 1 2 0 1 1 0 1 2 displaystyle boldsymbol sigma 0 0 tfrac 1 sqrt 2 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end smallmatrix bigr tfrac 1 sqrt 2 uparrow downarrow downarrow uparrow nbsp und drei symmetrischen Matrizen mit Gesamtspin S 1 displaystyle S 1 nbsp entsprechend einem Triplett Zustand s 0 1 1 2 0 1 1 0 1 2 displaystyle boldsymbol sigma 0 1 tfrac 1 sqrt 2 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end smallmatrix bigr tfrac 1 sqrt 2 uparrow downarrow downarrow uparrow nbsp s 1 1 1 0 0 0 displaystyle boldsymbol sigma 1 1 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 amp 0 end smallmatrix bigr uparrow uparrow nbsp s 1 1 0 0 0 1 displaystyle boldsymbol sigma 1 1 bigl begin smallmatrix 0 amp 0 0 amp 1 end smallmatrix bigr downarrow downarrow nbsp Es ist leicht zu zeigen dass der Singulett Zustand invariant unter allen Drehungen ist eine skalare Grosse wahrend das Triplett auf einen gewohnlichen Raumvektor s x s y s z displaystyle sigma x sigma y sigma z nbsp mit den drei Komponenten s x 1 2 1 0 0 1 displaystyle sigma x tfrac 1 sqrt 2 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end smallmatrix bigr nbsp s y i 2 1 0 0 1 displaystyle sigma y tfrac i sqrt 2 bigl begin smallmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end smallmatrix bigr nbsp und s z 1 2 0 1 1 0 displaystyle sigma z tfrac 1 sqrt 2 bigl begin smallmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end smallmatrix bigr nbsp abgebildet werden kann Da im obigen skalaren Hamiltonian alle Spinwechselwirkungsterme zwischen den vier Komponenten von ps displaystyle boldsymbol psi nbsp vernachlassigt werden z B ein externes Magnetfeld oder relativistische Effekte wie Spin Bahn Wechselwirkungen konnen die vier Schrodingergleichungen unabhangig voneinander gelost werden 3 Der Spin kommt hier nur ins Spiel durch das Pauli Prinzip das fur Fermionen wie Elektronen die Antisymmetrie bei simultaner Vertauschung von Spin und Koordinaten fordert also ps i j r 1 r 2 ps j i r 2 r 1 displaystyle boldsymbol psi ij vec r 1 vec r 2 boldsymbol psi ji vec r 2 vec r 1 nbsp Parahelium ist damit der Singulett Zustand ps ϕ 0 r 1 r 2 s 0 0 displaystyle boldsymbol psi phi 0 vec r 1 vec r 2 boldsymbol sigma 0 0 nbsp mit einer symmetrischen Funktion ϕ 0 r 1 r 2 ϕ 0 r 2 r 1 displaystyle phi 0 vec r 1 vec r 2 phi 0 vec r 2 vec r 1 nbsp und Orthohelium ist der Triplett Zustand ps m ϕ 1 r 1 r 2 s m 1 m 1 0 1 displaystyle boldsymbol psi m phi 1 vec r 1 vec r 2 boldsymbol sigma m 1 m 1 0 1 nbsp mit einer antisymmetrischen Funktion ϕ 1 r 1 r 2 ϕ 1 r 2 r 1 displaystyle phi 1 vec r 1 vec r 2 phi 1 vec r 2 vec r 1 nbsp Wenn der Elektron Elektron Wechselwirkungsterm ignoriert wird als erste Naherung konnen beide Funktionen ϕ x x 0 1 displaystyle phi x x 0 1 nbsp als Linearkombinationen von zwei beliebigen orthogonalen und normierten Ein Elektron Eigenfunktionen f a f b displaystyle varphi a varphi b nbsp geschrieben werden ϕ x 1 2 f a r 1 f b r 2 f a r 2 f b r 1 displaystyle phi x tfrac 1 sqrt 2 varphi a vec r 1 varphi b vec r 2 pm varphi a vec r 2 varphi b vec r 1 nbsp oder fur die Sonderfalle f a f b displaystyle varphi a varphi b nbsp beide Elektronen haben identische Quantenzahlen nur fur Parahelium ϕ 0 f a r 1 f a r 2 displaystyle phi 0 varphi a vec r 1 varphi a vec r 2 nbsp Die Gesamtenergie als Eigenwert von H displaystyle H nbsp ist dann in allen Fallen gleich E E a E b displaystyle E E a E b nbsp unabhangig von der Symmetrie Das erklart das Fehlen des 1 3 S 1 displaystyle 1 3 mathrm S 1 nbsp Zustands mit f a f b f 1 s displaystyle varphi a varphi b varphi 1s nbsp fur Orthohelium wo folglich 2 3 S 1 displaystyle 2 3 S 1 nbsp mit f a f 1 s f b f 2 s displaystyle varphi a varphi 1s varphi b varphi 2s nbsp der metastabile Grundzustand ist Ein Zustand mit den Quantenzahlen Hauptquantenzahl n displaystyle n nbsp Gesamtspin S displaystyle S nbsp Drehimpulsquantenzahl L displaystyle L nbsp und Gesamtdrehimpuls J L S L S displaystyle J L S dots L S nbsp wird mit n 2 S 1 L J displaystyle n 2S 1 L J nbsp bezeichnet Wenn der Elektron Elektron Wechselwirkungsterm 1 r 12 displaystyle tfrac 1 r 12 nbsp einbezogen wird ist die Schrodingergleichung nicht separabel Aber auch dann wenn er vernachlassigt wird konnen alle oben beschriebenen Zustande sogar mit zwei identischen Quantenzahlen wie 1 1 S 0 displaystyle 1 1 mathrm S 0 nbsp mit ps f 1 s r 1 f 1 s r 2 s 0 0 displaystyle boldsymbol psi varphi 1s vec r 1 varphi 1s vec r 2 boldsymbol sigma 0 0 nbsp nicht als Produkt von Ein Elektron Wellenfunktionen geschrieben werden ps i k r 1 r 2 x i r 1 3 k r 2 displaystyle psi ik vec r 1 vec r 2 neq chi i vec r 1 xi k vec r 2 nbsp die Wellenfunktion ist verschrankt Man kann nicht sagen Teilchen 1 ist in Zustand 1 und das andere in Zustand 2 und man kann keine Messungen an einem Teilchen ausfuhren ohne das andere zu beeinflussen Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Heliumatom Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wikiversity Helium Periodensystem Kursmaterialien englisch Einzelnachweise Bearbeiten John Stewart Bell Quantenmechanik Sechs mogliche Welten und weitere Artikel de Gruyter Berlin 2015 ISBN 978 3 11 044790 3 S 42 65 P Rennert H Schmiedel C Weissmantel Kleine Enzyklopadie Physik VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1988 S 192 194 L D Landau E M Lifschitz Lehrbuch der Theoretischen Physik Band III Quantenmechanik Akademie Verlag Berlin 1971 Kap IX S 218 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Heliumatom amp oldid 234021520