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Separabilität Quantenmechanik In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als sepa

Separabilität (Quantenmechanik)

In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel, wenn er nicht verschränkt ist, das heißt, wenn er sich als Gemisch aus Produktzuständen schreiben lässt.

Separabilität für reine Zustände Bearbeiten

Der Einfachheit halber werden im Folgenden alle Räume als endlichdimensional angenommen. Zunächst betrachten wir reine Zustände.

Separabilität ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme, das heißt im einfachsten („bipartiten“) Fall, eines aus den Teilsystemen 1 und 2 bestehenden Gesamtsystems 12. Die quantenmechanischen Zustandsräume der Teilsysteme seien die Hilberträume und mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren und . Der Hilbertraum des zusammengesetzten Systems ist dann das Tensorprodukt

mit der Basis , oder in kompakterer Notation . Jeder Vektor in (d. h., jeder reine Zustand des Systems 12) lässt sich schreiben als .

Wenn sich ein reiner Zustand in der Form schreiben lässt (wobei ein reiner Zustand des Teilsystems ist), heißt er separabel oder Produktzustand. Andernfalls nennt man den Zustand verschränkt.

Standardbeispiele für einen separablen und einen verschränkten Zustandsvektor in sind

wobei wie üblich zu lesen ist als: „wird repräsentiert durch“.

Man sieht,

  • dass man in einem reinen separablen Zustand jedem Teilsystem einen „eigenen“ Zustand zuweisen kann.
  • dass sich jeder reine separable Zustand durch lokale quantenmechanisch zulässige Operationen aus jedem anderen Zustand (z. B. aus ) erzeugen lässt.

Beides ist in einem verschränkten Zustand nicht möglich. Passend verallgemeinert lässt sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustände übertragen.

Die vorangehende Diskussion lässt sich ohne wesentliche Änderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern.

Separabilität für gemischte Zustände Bearbeiten

Nun betrachten wir den Fall gemischter Zustände. Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems 12 wird durch eine Dichtematrix beschrieben, die auf dem Hilbertraum wirkt.

ist separabel, wenn es mit und Zustände auf und auf gibt (die jeweils gemischte Zustände der Teilsysteme beschreiben), so dass

Andernfalls heißt verschränkt.

Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist, dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzuständen auffassen lässt.

  • Dies impliziert zum einen, dass ein separabler Zustand nur klassische Korrelationen zwischen den Teilsystemen beschreibt. (Denn ein Produktzustand beschreibt unabhängige (unkorrelierte) Systeme und die Korrelationen sind durch die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben.)
  • Zum anderen folgt, dass sich ein separabler Zustand mittels lokaler quantenmechanisch erlaubter Operationen und klassischer Kommunikation aus jedem anderen Zustand (z. B. aus ) erzeugen lässt. (Mittels klassischer Kommunikation wählen beide Parteien einen Index gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung aus und erzeugen dann (was jeweils lokal möglich ist) den Produktzustand .)

Es ist nach der obigen Definition klar, dass die separablen Zustände eine konvexe Menge bilden.

Wenn die Zustandsräume unendlichdimensional sind, werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt. Ein Zustand heißt dann separabel, wenn er (in der Spurnorm) durch Zustände der obigen Form beliebig genau approximiert werden kann.

Separabilität für Vielparteien-Systeme Bearbeiten

Die vorangehende Diskussion lässt sich leicht für aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern. Wenn das System aus Teilsystemen mit System-Hilbertraum besteht, dann ist ein reiner Zustand auf genau dann separabel (genauer: vollständig separabel), wenn er von der Form

ist. Analog ist ein gemischter Zustand auf separabel, wenn er sich als konvexe Summe von Produktzuständen schreiben lässt:

Separabilitätskriterien Bearbeiten

Einfach überprüfbare Bedingungen, die alle separablen Zustände erfüllen, werden auch als Separabilitätskriterien bezeichnet (notwendige Bedingungen für Separabilität). Ihre Verletzung für einen gegebenen Zustand kann dann als Nachweis verstanden werden, dass der Zustand inseparabel, also verschränkt ist. Die Unterscheidung von separablen und verschränkten Zuständen ist in der Quanteninformationstheorie von großem Interesse, da nur verschränkte Zustände Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen, die Verfahren wie Quantenteleportation oder Quantenfehlerkorrektur ermöglicht.

Ein reiner Zustand auf ist genau dann separabel, wenn er ein Produktzustand ist. Das kann anhand des reduzierten Zustands in einem der beiden Teilsysteme überprüft werden: für reine separable Zustände ist der reduzierte Zustand ebenfalls rein, das heißt, seine Von-Neumann-Entropie verschwindet. Das heißt, ein reiner Zustand ist dann und nur dann separabel, wenn oder ist (beide Gleichungen sind über die Schmidt-Zerlegung äquivalent).

Die Frage, ob ein gegebener gemischter Zustand separabel ist (Separabilitätsproblem), ist im Allgemeinen schwer zu beantworten (NP-Schwere). Die gebräuchlichen Separabilitätskriterien sind leicht nachzuprüfen, lösen das Problem aber nur teilweise, das heißt, sie können nicht für alle Zustände entscheiden, ob sie verschränkt sind.

Beispiele für solche Kriterien sind die Erfüllung einer Bellschen Ungleichung oder des Peres-Horodecki-Kriteriums, das besagt, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition positiv bleibt. Allgemeiner lässt sich formulieren, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss:

Im Allgemeinen (d. h. für nicht notwendig separable Zustände) gilt dies nur für vollständig positive Abbildungen . Die Gültigkeit der obigen Ungleichung für alle positiven Abbildungen ist notwendig und hinreichend für Separabilität.

Andere Separabilitätskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschränkungszeugen (entanglement witnesses) oder aus Verschränkungsmaßen.

Ein allgemeiner Algorithmus zur Lösung des Separabilitätsproblems wurde 2011 vorgestellt. Er nutzt semidefinite Programmierung, um zu entscheiden, ob der gegebene Zustand eine symmetrische Erweiterung auf N Systeme besitzt, das heißt, ob es für alle N einen Zustand gibt, so dass der reduzierte Zustand auf den Systemen 1" und "j" für alle j gleich dem Zustand ist. Alle separablen Zustände haben für alle N eine solche symmetrische Erweiterung. Für jeden verschränkten Zustand gibt es ein N, sodass keine solche Erweiterung existiert.

Literatur Bearbeiten

  • Gernot Alber und M. Freyberger: Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen. In: Physikalische Blätter. Band 55, Nr. 10, 1999, S. 24, doi:10.1002/phbl.19990551006.
  • Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer Academic, 1995, ISBN 0-7923-3632-1 (springer.com).
  • Jürgen Audretsch: Verschränkte Welt. Faszination der Quanten. Wiley-VCH, 2002.
  • Eckert et al.: Entanglement Properties of Composite Quantum Systems. In: Quantum Information Processing. Th. Beth und G. Leuchs (Hrsg.), Wiley-VCH, 2003.
  • R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki & K. Horodecki: Quantum entanglement. In: Rev. Mod. Phys. Band 81, 2009, S. 865–942, doi:10.1103/RevModPhys.81.865, arxiv:quant-ph/0702225.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. L. Gurvits: Classical complexity and quantum entanglement. In: J. Comput. Syst. Sci. Band 69, 2004, S. 448–484, doi:10.1016/j.jcss.2004.06.003, arxiv:quant-ph/0201022.
  2. Als partielle Transposition einer Matrix auf bezeichnet man die Matrix, bei der die Transposition nur bezüglich eines der beiden Teilsysteme gebildet wird. Seien und Orthonormalbasen von bzw. und seien die Matrixelemente in der Basis , dann gilt für die bezüglich partiell transponierte Matrix , dass . Die lineare Abbildung wird oft auch als partielle Transposition bezeichnet. ist ein Beispiel für einen „positive, aber nicht vollständig positive“ Abbildung. (vgl. z. B. Horodecki et al. Phys. Lett. A 223, 1 (1996))
  3. Michał Horodecki, Paweł Horodecki, Ryszard Horodecki: Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. In: Physics Letters A. Band 223, 1996, S. 1–8, doi:10.1016/S0375-9601(96)00706-2, arxiv:quant-ph/9605038.
  4. F.G.L. Brandao, M. Christandl, J. Yard: A quasipolynomial-time algorithm for the quantum separability problem. In: ACM (Hrsg.): Proceedings of the 43rd annual ACM symposium on Theory of Computing. 2011, S. 343–352, doi:10.1145/1993636.1993683, arxiv:1011.2751.
  5. A.C. Doherty, P.A. Parrilo, F.M. Spedalieri: A complete family of separability criteria. In: Phys. Rev. A. Band 69, 2004, S. 022308, doi:10.1103/PhysRevA.69.022308, arxiv:quant-ph/0308032.
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In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel wenn er nicht verschrankt ist das heisst wenn er sich als Gemisch aus Produktzustanden schreiben lasst Inhaltsverzeichnis 1 Separabilitat fur reine Zustande 2 Separabilitat fur gemischte Zustande 3 Separabilitat fur Vielparteien Systeme 4 Separabilitatskriterien 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseSeparabilitat fur reine Zustande BearbeitenDer Einfachheit halber werden im Folgenden alle Raume als endlichdimensional angenommen Zunachst betrachten wir reine Zustande Separabilitat ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme das heisst im einfachsten bipartiten Fall eines aus den Teilsystemen 1 und 2 bestehenden Gesamtsystems 12 Die quantenmechanischen Zustandsraume der Teilsysteme seien die Hilbertraume H 1 displaystyle H 1 nbsp und H 2 displaystyle H 2 nbsp mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren a i i 1 n displaystyle a i rangle i 1 n nbsp und b j j 1 m displaystyle b j rangle j 1 m nbsp Der Hilbertraum des zusammengesetzten Systems ist dann das Tensorprodukt H 12 H 1 H 2 displaystyle H 12 H 1 otimes H 2 nbsp mit der Basis a i b j displaystyle a i rangle otimes b j rangle nbsp oder in kompakterer Notation a i b j displaystyle a i b j rangle nbsp Jeder Vektor in H 12 displaystyle H 12 nbsp d h jeder reine Zustand des Systems 12 lasst sich schreiben als ps S i j c i j a i b j S i j c i j a i b j displaystyle psi rangle Sigma i j c i j a i rangle otimes b j rangle Sigma i j c i j a i b j rangle nbsp Wenn sich ein reiner Zustand ps H 1 H 2 displaystyle psi rangle in H 1 otimes H 2 nbsp in der Form ps ps 1 ps 2 displaystyle psi rangle psi 1 rangle otimes psi 2 rangle nbsp schreiben lasst wobei ps i displaystyle psi i rangle nbsp ein reiner Zustand des Teilsystems i displaystyle i nbsp ist heisst er separabel oder Produktzustand Andernfalls nennt man den Zustand verschrankt Standardbeispiele fur einen separablen und einen verschrankten Zustandsvektor in H 12 C 2 C 2 displaystyle H 12 mathbb C 2 otimes mathbb C 2 nbsp sind 00 1 0 0 0 displaystyle 00 rangle doteq begin pmatrix 1 0 0 0 end pmatrix nbsp bzw 00 11 2 1 2 1 0 0 1 displaystyle 00 rangle 11 rangle sqrt 2 doteq frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 0 0 1 end pmatrix nbsp wobei displaystyle doteq nbsp wie ublich zu lesen ist als wird reprasentiert durch Man sieht dass man in einem reinen separablen Zustand jedem Teilsystem einen eigenen Zustand zuweisen kann dass sich jeder reine separable Zustand durch lokale quantenmechanisch zulassige Operationen aus jedem anderen Zustand z B aus 00 displaystyle 00 rangle nbsp erzeugen lasst Beides ist in einem verschrankten Zustand nicht moglich Passend verallgemeinert lasst sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustande ubertragen Die vorangehende Diskussion lasst sich ohne wesentliche Anderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern Separabilitat fur gemischte Zustande BearbeitenNun betrachten wir den Fall gemischter Zustande Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems 12 wird durch eine Dichtematrix r displaystyle rho nbsp beschrieben die auf dem Hilbertraum H 12 H 1 H 2 displaystyle H 12 H 1 otimes H 2 nbsp wirkt r displaystyle rho nbsp ist separabel wenn es p k 0 displaystyle p k geq 0 nbsp mit p 1 p 2 1 displaystyle p 1 p 2 dots 1 nbsp und Zustande r 1 k displaystyle rho 1 k nbsp auf H 1 displaystyle H 1 nbsp und r 2 k displaystyle rho 2 k nbsp auf H 2 displaystyle H 2 nbsp gibt die jeweils gemischte Zustande der Teilsysteme beschreiben so dass r k p k r 1 k r 2 k displaystyle rho sum k p k rho 1 k otimes rho 2 k nbsp Andernfalls heisst r displaystyle rho nbsp verschrankt Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzustanden r 1 k r 2 k displaystyle rho 1 k otimes rho 2 k nbsp auffassen lasst Dies impliziert zum einen dass ein separabler Zustand nur klassische Korrelationen zwischen den Teilsystemen beschreibt Denn ein Produktzustand beschreibt unabhangige unkorrelierte Systeme und die Korrelationen sind durch die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung p k displaystyle p k nbsp gegeben Zum anderen folgt dass sich ein separabler Zustand mittels lokaler quantenmechanisch erlaubter Operationen und klassischer Kommunikation aus jedem anderen Zustand z B aus 00 displaystyle 00 rangle nbsp erzeugen lasst Mittels klassischer Kommunikation wahlen beide Parteien einen Index k displaystyle k nbsp gemass der Wahrscheinlichkeitsverteilung p k displaystyle p k nbsp aus und erzeugen dann was jeweils lokal moglich ist den Produktzustand r k 1 r k 2 displaystyle rho k 1 otimes rho k 2 nbsp Es ist nach der obigen Definition klar dass die separablen Zustande eine konvexe Menge bilden Wenn die Zustandsraume unendlichdimensional sind werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt Ein Zustand heisst dann separabel wenn er in der Spurnorm durch Zustande der obigen Form beliebig genau approximiert werden kann Separabilitat fur Vielparteien Systeme BearbeitenDie vorangehende Diskussion lasst sich leicht fur aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern Wenn das System aus n displaystyle n nbsp Teilsystemen mit System Hilbertraum H i i 1 n displaystyle H i i 1 dots n nbsp besteht dann ist ein reiner Zustand auf H 1 n H 1 H 2 H n displaystyle H 1 dots n H 1 otimes H 2 otimes dots otimes H n nbsp genau dann separabel genauer vollstandig separabel wenn er von der Form ps ps 1 ps n displaystyle psi rangle psi 1 rangle otimes cdots otimes psi n rangle nbsp ist Analog ist ein gemischter Zustand r displaystyle rho nbsp auf H 1 n displaystyle H 1 n nbsp separabel wenn er sich als konvexe Summe von Produktzustanden schreiben lasst r k p k r 1 k r n k displaystyle rho sum k p k rho 1 k otimes cdots rho n k nbsp Separabilitatskriterien BearbeitenEinfach uberprufbare Bedingungen die alle separablen Zustande erfullen werden auch als Separabilitatskriterien bezeichnet notwendige Bedingungen fur Separabilitat Ihre Verletzung fur einen gegebenen Zustand kann dann als Nachweis verstanden werden dass der Zustand inseparabel also verschrankt ist Die Unterscheidung von separablen und verschrankten Zustanden ist in der Quanteninformationstheorie von grossem Interesse da nur verschrankte Zustande Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen die Verfahren wie Quantenteleportation oder Quantenfehlerkorrektur ermoglicht Ein reiner Zustand r 12 displaystyle rho 12 nbsp auf H 1 H 2 displaystyle H 1 otimes H 2 nbsp ist genau dann separabel wenn er ein Produktzustand ist Das kann anhand des reduzierten Zustands in einem der beiden Teilsysteme uberpruft werden fur reine separable Zustande ist der reduzierte Zustand ebenfalls rein das heisst seine Von Neumann Entropie S displaystyle S nbsp verschwindet Das heisst ein reiner Zustand r 12 displaystyle rho 12 nbsp ist dann und nur dann separabel wenn S r 1 0 displaystyle S rho 1 0 nbsp oder S r 2 0 displaystyle S rho 2 0 nbsp ist beide Gleichungen sind uber die Schmidt Zerlegung aquivalent Die Frage ob ein gegebener gemischter Zustand r 12 displaystyle rho 12 nbsp separabel ist Separabilitatsproblem ist im Allgemeinen schwer zu beantworten NP Schwere 1 Die gebrauchlichen Separabilitatskriterien sind leicht nachzuprufen losen das Problem aber nur teilweise das heisst sie konnen nicht fur alle Zustande entscheiden ob sie verschrankt sind Beispiele fur solche Kriterien sind die Erfullung einer Bellschen Ungleichung oder des Peres Horodecki Kriteriums das besagt dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition 2 positiv bleibt Allgemeiner lasst sich formulieren dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung T displaystyle T nbsp in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss 1 T r 0 displaystyle 1 otimes T rho geq 0 nbsp Im Allgemeinen d h fur nicht notwendig separable Zustande gilt dies nur fur vollstandig positive Abbildungen T displaystyle T nbsp Die Gultigkeit der obigen Ungleichung fur alle positiven Abbildungen T displaystyle T nbsp ist notwendig und hinreichend fur Separabilitat 3 Andere Separabilitatskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschrankungszeugen entanglement witnesses oder aus Verschrankungsmassen Ein allgemeiner Algorithmus zur Losung des Separabilitatsproblems wurde 2011 vorgestellt Er nutzt semidefinite Programmierung um zu entscheiden ob der gegebene Zustand r 12 displaystyle rho 12 nbsp eine symmetrische Erweiterung auf N Systeme besitzt das heisst ob es fur alle N einen Zustand r 123 N displaystyle rho 123 dots N nbsp gibt so dass der reduzierte Zustand r 1 j displaystyle rho 1j nbsp auf den Systemen 1 und j fur alle j gleich dem Zustand r 12 displaystyle rho 12 nbsp ist 4 Alle separablen Zustande haben fur alle N eine solche symmetrische Erweiterung Fur jeden verschrankten Zustand gibt es ein N sodass keine solche Erweiterung existiert 5 Literatur BearbeitenGernot Alber und M Freyberger Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen In Physikalische Blatter Band 55 Nr 10 1999 S 24 doi 10 1002 phbl 19990551006 Asher Peres Quantum Theory Concepts and Methods Kluwer Academic 1995 ISBN 0 7923 3632 1 springer com Jurgen Audretsch Verschrankte Welt Faszination der Quanten Wiley VCH 2002 Eckert et al Entanglement Properties of Composite Quantum Systems In Quantum Information Processing Th Beth und G Leuchs Hrsg Wiley VCH 2003 R Horodecki P Horodecki M Horodecki amp K Horodecki Quantum entanglement In Rev Mod Phys Band 81 2009 S 865 942 doi 10 1103 RevModPhys 81 865 arxiv quant ph 0702225 Weblinks BearbeitenM Lewenstein et al Separability and distillability in composite quantum systems a primer J Mod Opt 47 2481 2000 arxiv quant ph 0006064 M P und R Horodecki Mixed State Entanglement and Quantum Communication In G Alber et al Hrsg Quantum Information Springer 2001 arxiv quant ph 0109124 Messung von separablen und verschrankten photonischen ZustandenEinzelnachweise Bearbeiten L Gurvits Classical complexity and quantum entanglement In J Comput Syst Sci Band 69 2004 S 448 484 doi 10 1016 j jcss 2004 06 003 arxiv quant ph 0201022 Als partielle Transposition einer Matrix M displaystyle M nbsp auf H 1 H 2 displaystyle H 1 otimes H 2 nbsp bezeichnet man die Matrix bei der die Transposition nur bezuglich eines der beiden Teilsysteme H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp gebildet wird Seien e i displaystyle e i nbsp und f i displaystyle f i nbsp Orthonormalbasen von H 1 displaystyle H 1 nbsp bzw H 2 displaystyle H 2 nbsp und seien M i j k l displaystyle M ij kl nbsp die Matrixelemente in der Basis e i f j displaystyle e i otimes f j nbsp dann gilt fur die bezuglich H 1 displaystyle H 1 nbsp partiell transponierte Matrix M T 1 displaystyle M T 1 nbsp dass M T 1 i j k l M k j i l displaystyle M T 1 ij kl M kj il nbsp Die lineare Abbildung T 1 M M T 1 displaystyle T 1 colon M to M T 1 nbsp wird oft auch als partielle Transposition bezeichnet T 1 displaystyle T 1 nbsp ist ein Beispiel fur einen positive aber nicht vollstandig positive Abbildung vgl z B Horodecki et al Phys Lett A 223 1 1996 Michal Horodecki Pawel Horodecki Ryszard Horodecki Separability of mixed states necessary and sufficient conditions In Physics Letters A Band 223 1996 S 1 8 doi 10 1016 S0375 9601 96 00706 2 arxiv quant ph 9605038 F G L Brandao M Christandl J Yard A quasipolynomial time algorithm for the quantum separability problem In ACM Hrsg Proceedings of the 43rd annual ACM symposium on Theory of Computing 2011 S 343 352 doi 10 1145 1993636 1993683 arxiv 1011 2751 A C Doherty P A Parrilo F M Spedalieri A complete family of separability criteria In Phys Rev A Band 69 2004 S 022308 doi 10 1103 PhysRevA 69 022308 arxiv quant ph 0308032 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Separabilitat Quantenmechanik amp oldid 217309534