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Verschränkungsmaß

Verschränkungsmaße quantifizieren in der Quantenmechanik wie viel Verschränkung in einem Quantenzustand enthalten ist. Formell ist ein Verschränkungsmaß jede nichtnegative Funktion eines Zustandes die sich unter lokalen Operationen und klassischer Kommunikation (LOCC) nicht vergrößern kann (sogenannte Monotonie) und für separable (nicht-verschränkte) Zustände null ist. Im allgemeinen Fall gemischter Zustände ist ein Verschränkungsmaß eine Funktion der Dichtematrix des Zustandes.

Klassifizierung Bearbeiten

Verschränkung ist eine reichhaltige und komplexe Eigenschaft. Daher gibt es verschiedene Verschränkungsmaße, die teilweise verschiedene Arten von Verschränkung charakterisieren. Auch gibt es verschiedene Arten Verschränkungsmaße zu definieren. Zum einen gibt es operative Verschränkungsmaße, wie zum Beispiel die destillierbare Verschränkung oder die Verschränkungskosten. Des Weiteren gibt es abstrakt definierte Maße, wie zum Beispiel solche die auf konvexen Dach-Konstruktionen basieren (z. B. Concurrence und Formationsverschränkung) oder basierend auf dem Abstand zu separablen Zuständen, wie z. B. die Relative Verschränkungsentropie oder Verschränkungsrobustheit.

Verschränkung zwischen zwei Systemen Bearbeiten

Die Verschränkung zwischen zwei Systemen (bipartite Verschränkung) ist der grundlegende, best-untersuchte Fall. Nur zwischen zwei Systemen ist eine maximale Verschränkung möglich (Monogamie der Verschränkung). Bisher ist eine Vielzahl unterschiedlicher Verschränkungsmaße zwischen zwei Systemen bekannt. Diese sind im Allgemeinen nicht linear geordnet, das heißt, es gibt Verschränkungsmaße VM1 und VM2 und Zustände ρ und σ, so dass

Verschränkungsentropie Bearbeiten

Für einen reinen Zustand eines Systems aus zwei Teilsystemen ist die Verschränkungsentropie (engl.: entropy of entanglement) das Standardmaß für Verschränkung. Sie ist gegeben durch die Von-Neumann-Entropie mit dem Matrixlogarithmus zur Basis 2

angewandt auf das reduzierte Zustandsgemisch des einen Teilsystems nach Eliminierung des anderen:

wobei der reduzierte Zustand im ersten (bzw. im zweiten) System ist und die Partialspur über das Teilsystem bezeichnet. Dieses Maß stimmt (bei einem reinen Gesamtzustand) insbesondere mit den weiter unten definierten Maßen „Relative Entropie der Verschränkung“, „Verschränkungskosten“ und „Destillierbare Verschränkung“ überein.

Das Maß lässt sich über eine convex roof construction von reinen auf gemischte Zustande verallgemeinern. Dann erhält man die weiter unten definierte „Formationsverschränkung“.

Relative Entropie der Verschränkung Bearbeiten

Die Relative Entropie der Verschränkung für reine und gemischte Zustände ist

mit der bedingte Von-Neumann-Entropie S.

Concurrence Bearbeiten

Die Concurrence beträgt Null für alle separablen Zustände und Eins für einen maximal verschränkten 2-Qubit Zustand. Für reine 2-Qubit Zustände ist die Concurrence analytisch definiert als

Für allgemeinere gemischte 2-Qubit Zustände existiert die Definition

wobei in absteigender Reihenfolge die Eigenwerte der Matrix sind mit der Pauli-y Matrix .

Formationsverschränkung Bearbeiten

Die Formationsverschränkung misst, wie viel Verschränkungsentropie im Mittel nötig ist, um den Zustand durch Mischung reiner Zustände zu erzeugen. Dieses Maß ist als konvexes Dach der Verschränkungsentropie definiert

Für den wichtigen Spezialfall von zwei Qubits, lässt sich als eine einfache, monotone Funktion der Concurrence ausdrücken:

mit der binären Entropiefunktion .

Verschränkungskosten Bearbeiten

Die Verschränkungskosten für einen Zustand bezeichnen das Verhältnis im Limit großer Zahlen, wie viele maximal verschränkten Qubit-Paare benötigt würden um Exemplare des Zustandes herzustellen.

Negativität Bearbeiten

Die Negativität ist ein einfach berechenbares Verschränkungsmaß. bedeutet, dass ein Zustand verschränkt ist, wobei es für größere Systeme als zwei Qubits auch verschränkte Zustände mit gibt. Für einen allgemeinen Zustand gilt

Hierbei ist die Spurnorm (Summe der Beträge aller Eigenwerte) und bezeichnet die partiell (das heißt im Unterraum eines betrachteten Teilsystems) transponierte Matrix. Die Negativität schließt somit direkt an das Peres–Horodecki-Verschränktheits-Kriterium an.

Logarithmische Negativität Bearbeiten

Die Logarithmische Negativität ist analog zur Negativität definiert als

Dies hat den Vorteil gegenüber der Negativität, dass sie für Tensorprodukte additiv ist: . Die Logarithmische Negativität ist eine obere Schranke für die Destillierbare Verschränkung.

Destillierbare Verschränkung Bearbeiten

Die Destillierbare Verschränkung ist definiert als die (asymptotische) Anzahl an maximal verschränkten Qubit-Paaren, die aus dem Zustand mittels LOCC-Operationen hergestellt (destilliert) werden können.

Verschränkungsrobustheit Bearbeiten

Die Verschränkungsrobustheit misst, wie viel Rauschen hinzugefügt werden müsste, um einen Zustand separabel zu machen. Die Verschränkungsrobustheit

ist definiert als das kleinste für das der Zustand

separabel ist mit einem beliebigen separablen Zustand .

Squashed Entanglement Bearbeiten

Die Squashed Entanglement (etwa „zerdrückte Verschränkung“), auch CMI-Verschränkung (für Bedingte Transinformation, engl. Conditional Mutual information), ist aus der klassischen Informationstheorie hergeleitet. Die Squashed Entanglement zwischen zwei Subsystemen A und B ist definiert als

Mit K als die Menge aller Dichtematrizen so dass die Partialspur über das dritte Subsystem wieder dem bipartiten System entspricht . Hierbei ist die Quanten Bedingte Transinformation, definiert als

und ist die Von-Neumann-Entropie einer Dichtematrix , je nach Indizes des gesamten Systems oder eines Teilsystems nach Bildung der Partialspur über die jeweils anderen Subsysteme.

Für reine Zustände stimmt die Squashed Entanglement mit der Formationsverschränkung überein.

Schmidt-Zahl Bearbeiten

Im Gegensatz zu den anderen hier genannten Maßen ist die Schmidt-Zahl ein diskretes Verschränkungsmaß. Der Name leitet sich von der Schmidt-Zerlegung reiner Zustände eines bipartiten Systems (mit Hilbertraum ) ab. Für solche Zustände ist die Schmidt-Zahl definiert als der Rang der reduzierten Dichtematrix in einem der beiden Teilsysteme. Das heißt, , wobei gleich der kleineren der Dimensionen von und ist. Für Produktzustände gilt . Für reine Zustände spricht man auch vom Schmidt-Rang.

Für gemischte Zustände charakterisiert man jede Zerlegung (mit und ) in ein Gemisch reiner Zustände durch den maximalen Schmidt-Rang unter allen und setzt

das heißt, is gleich dem kleinsten maximalen Schmidt-Rang, der in einer Zerlegung von auftreten muss. Dass es sich bei der Schmidt-Zahl um ein Verschränkungsmaß handelt, wurde 1999 von Terhal und Horodecki gezeigt. Für separable Zustände gilt , da sie als Mischung von Produktzuständen geschrieben werden können.

hat einige ungewöhnliche Eigenschaften. Zum Beispiel muss das Maß für zwei Kopien eines Zustands nicht größer sein als für eine allein (maximal nicht-additiv). Bei der Frage nach dem Zusammenhang von Verschränkung und den Speedup von Quantencomputern bewies Vidal, dass ein begrenzter Schmidt-Rang eine effiziente Simulation eines Quantencomputers ermöglicht (sofern die betrachteten Zustände rein bleiben) und van den Nest zeigte, dass es damit im Gegensatz zu den meisten anderen (stetigen) Verschränkungsmaßen steht, bei denen eine polynomial kleine Menge an Verschränkung für einen Quanten-Speedup genügt. Das Mass hat sich auch als Basis für eine Verallgemeinerung zur Mehrparteienverschränkung als nützlich erwiesen.

Verschränkung mehrerer Systeme Bearbeiten

Die Quantifizierung der Verschränkung zwischen drei und mehr Teilsystemen ist grundsätzlich ein komplexes mathematisches Thema und Gegenstand aktueller Forschung. Bekannt ist, dass es verschiedene Typen von Verschränkung gibt, beispielsweise paarweise Verschränkung zwischen je zwei Teilsystemen oder Verschränkung zwischen allen Teilsystemen, die dann aber weniger stark zwischen Paaren ist.

Tangle Bearbeiten

Der Tangle beschreibt die Verschränkung dreier Systeme A,B,C

mit Hilfe der 2-Tangles auf der rechten Seite, die jeweils das Quadrat der Concurrence sind.

Formationsverschränkung Bearbeiten

Für beliebige Zustände ist die Formationsverschränkung definiert als:

Für bipartite Systeme Vereinfacht sich diese Definition zur oben genannten analytischen Formel.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu, B. Schumacher: Concentrating partial entanglement by local operations. In: Phys. Rev. A. Band 53, 1996, S. 2046–2052, doi:10.1103/PhysRevA.53.2046, arxiv:quant-ph/9511030.
  2. Es gibt zwar zahlreiche weitere Maße, aber die Verschränkungsentropie ist das einzige, dass die von solchen Maßen erwünschten Additivitäts-, Monotonitäts- und Stetigkeitseigenschaften hat, vgl. G. Vidal: On the continuity of asymptotic measures of entanglement. 2002, arxiv:quant-ph/0203107. und R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki: Quantum entanglement. In: Rev. Mod. Phys. Band 81, 2009, S. 865, S. 912f, Abschnitte XV.D und XV.E, arxiv:quant-ph/0702225.
  3. A. Uhlmann: Fidelity and Concurrence of conjugated states. In: Phys. Rev. A. Band 62, 2000, S. 032307, arxiv:quant-ph/9909060. und R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki: Quantum entanglement. In: Rev. Mod. Phys. Band 81, 2009, S. 865, Abschnitt XV.C.2, S. 911, arxiv:quant-ph/0702225.
  4. Hill, S., Wooters, W. K.: Entanglement of a Pair of Quantum Bits. In: Physical Review Lett. Nr. 78, 1997, S. 5022–5025. arxiv:quant-ph/9703041.
  5. C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, J. A. Smolin, W. K. Wootters: Mixed-state entanglement and quantum error correction. In: Phys. Rev. A. Band 54, 1996, S. 3824, arxiv:quant-ph/9604024.
  6. Vidal, G., & Tarrach, R.: Robustness of entanglement. In: Physical Review A. Nr. 59, 1999, S. 141–155. arxiv:quant-ph/9806094
  7. Cerf, N. J., Adami, C.: Quantum Mechanics of Measurement. arxiv:quant-ph/9605002.
  8. Barbara M. Terhal, Pawel Horodecki: A Schmidt number for density matrices. In: Phys. Rev. A. Band 61, 2000, S. 040301, doi:10.1103/PhysRevA.61.040301, arxiv:quant-ph/9911117.
  9. G. Vidal: Efficient Simulation of One-Dimensional Quantum Many-Body Systems. In: Phys. Rev. Lett. Band 93, 2004, S. 040502, doi:10.1103/PhysRevLett.93.040502, arxiv:quant-ph/0310089.
  10. Maarten Van den Nest: Universal quantum computation with little entanglement. In: Phys. Rev. Lett. Band 110, 201, S. 060504, doi:10.1103/PhysRevLett.110.060504, arxiv:1204.3107.
  11. Jens Eisert, Hans J. Briegel: Schmidt measure as a tool for quantifying multiparticle entanglement. In: Phys. Rev. A. Band 64, 2001, S. 022306, doi:10.1103/PhysRevA.64.022306, arxiv:quant-ph/0007081.
  12. Coffman, V., Kundu, J., Wootters, W. K.: Distributed entanglement. In: Physical Review A. Nr. 61, 2000, 052306. arxiv:quant-ph/9907047.
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Verschrankungsmasse quantifizieren in der Quantenmechanik wie viel Verschrankung in einem Quantenzustand enthalten ist Formell ist ein Verschrankungsmass jede nichtnegative Funktion eines Zustandes die sich unter lokalen Operationen und klassischer Kommunikation LOCC nicht vergrossern kann sogenannte Monotonie und fur separable nicht verschrankte Zustande null ist Im allgemeinen Fall gemischter Zustande ist ein Verschrankungsmass eine Funktion der Dichtematrix des Zustandes Inhaltsverzeichnis 1 Klassifizierung 2 Verschrankung zwischen zwei Systemen 2 1 Verschrankungsentropie 2 2 Relative Entropie der Verschrankung 2 3 Concurrence 2 4 Formationsverschrankung 2 5 Verschrankungskosten 2 6 Negativitat 2 7 Logarithmische Negativitat 2 8 Destillierbare Verschrankung 2 9 Verschrankungsrobustheit 2 10 Squashed Entanglement 2 11 Schmidt Zahl 3 Verschrankung mehrerer Systeme 3 1 Tangle 3 2 Formationsverschrankung 4 EinzelnachweiseKlassifizierung BearbeitenVerschrankung ist eine reichhaltige und komplexe Eigenschaft Daher gibt es verschiedene Verschrankungsmasse die teilweise verschiedene Arten von Verschrankung charakterisieren Auch gibt es verschiedene Arten Verschrankungsmasse zu definieren Zum einen gibt es operative Verschrankungsmasse wie zum Beispiel die destillierbare Verschrankung oder die Verschrankungskosten Des Weiteren gibt es abstrakt definierte Masse wie zum Beispiel solche die auf konvexen Dach Konstruktionen basieren z B Concurrence und Formationsverschrankung oder basierend auf dem Abstand zu separablen Zustanden wie z B die Relative Verschrankungsentropie oder Verschrankungsrobustheit Verschrankung zwischen zwei Systemen BearbeitenDie Verschrankung zwischen zwei Systemen bipartite Verschrankung ist der grundlegende best untersuchte Fall Nur zwischen zwei Systemen ist eine maximale Verschrankung moglich Monogamie der Verschrankung Bisher ist eine Vielzahl unterschiedlicher Verschrankungsmasse zwischen zwei Systemen bekannt Diese sind im Allgemeinen nicht linear geordnet das heisst es gibt Verschrankungsmasse VM1 und VM2 und Zustande r und s so dass VM1 r lt VM2 r displaystyle operatorname VM1 rho lt operatorname VM2 rho nbsp und VM1 s gt VM2 s displaystyle operatorname VM1 sigma gt operatorname VM2 sigma nbsp Verschrankungsentropie Bearbeiten Fur einen reinen Zustand r ps ps displaystyle rho psi rangle langle psi nbsp eines Systems aus zwei Teilsystemen ist die Verschrankungsentropie V E displaystyle V E nbsp engl entropy of entanglement 1 das Standardmass 2 fur Verschrankung Sie ist gegeben durch die Von Neumann Entropie mit log 2 displaystyle log 2 nbsp dem Matrixlogarithmus zur Basis 2 S r Tr r log 2 r displaystyle S rho operatorname Tr left rho log 2 rho right nbsp angewandt auf das reduzierte Zustandsgemisch des einen Teilsystems nach Eliminierung des anderen V E r A B S r A S r B displaystyle V E rho AB S rho A S rho B nbsp wobei r A Tr B r A B displaystyle rho A operatorname Tr B rho AB nbsp der reduzierte Zustand im ersten bzw r B Tr A r A B displaystyle rho B operatorname Tr A rho AB nbsp im zweiten System ist und Tr x displaystyle operatorname Tr x nbsp die Partialspur uber das Teilsystem x A B displaystyle x A B nbsp bezeichnet Dieses Mass stimmt bei einem reinen Gesamtzustand insbesondere mit den weiter unten definierten Massen Relative Entropie der Verschrankung Verschrankungskosten und Destillierbare Verschrankung uberein 1 Das Mass lasst sich uber eine convex roof construction von reinen auf gemischte Zustande verallgemeinern Dann erhalt man die weiter unten definierte Formationsverschrankung 3 Relative Entropie der Verschrankung Bearbeiten Die Relative Entropie der Verschrankung 1 fur reine und gemischte Zustande r displaystyle rho nbsp ist E R r inf s S r s displaystyle E R rho inf sigma S rho sigma nbsp mit der bedingte Von Neumann Entropie S Concurrence Bearbeiten Die Concurrence 4 betragt Null fur alle separablen Zustande und Eins fur einen maximal verschrankten 2 Qubit Zustand Fur reine 2 Qubit Zustande ps a b g d displaystyle psi rangle alpha uparrow uparrow rangle beta uparrow downarrow rangle gamma downarrow uparrow rangle delta downarrow downarrow rangle nbsp ist die Concurrence analytisch definiert als C 2 a d b g displaystyle mathcal C 2 alpha delta beta gamma nbsp Fur allgemeinere gemischte 2 Qubit Zustande r displaystyle rho nbsp existiert die Definition C max l 1 l 2 l 3 l 4 0 displaystyle mathcal C max sqrt lambda 1 sqrt lambda 2 sqrt lambda 3 sqrt lambda 4 0 nbsp wobei l i displaystyle lambda i nbsp in absteigender Reihenfolge die Eigenwerte der Matrix ϱ r s y s y r s y s y displaystyle varrho rho cdot sigma y otimes sigma y cdot rho cdot sigma y otimes sigma y nbsp sind mit der Pauli y Matrix s y 0 i i 0 displaystyle sigma y begin pmatrix 0 amp i i amp 0 end pmatrix nbsp Formationsverschrankung Bearbeiten Die Formationsverschrankung misst wie viel Verschrankungsentropie im Mittel notig ist um den Zustand durch Mischung reiner Zustande zu erzeugen Dieses Mass ist als konvexes Dach der Verschrankungsentropie definiert 5 E F r i n f i p i V E ps i ps i r i p i ps i ps i p i 0 displaystyle E F rho mathrm inf left sum i p i V E psi i rangle langle psi i rho sum i p i psi i rangle langle psi i p i geq 0 right nbsp Fur den wichtigen Spezialfall von zwei Qubits lasst sich E F displaystyle E F nbsp als eine einfache monotone Funktion der Concurrence C displaystyle mathcal C nbsp ausdrucken E F h 1 C 2 displaystyle E F h left frac 1 sqrt mathcal C 2 right nbsp mit der binaren Entropiefunktion h x x log 2 x 1 x log 2 1 x displaystyle h x x log 2 x 1 x log 2 1 x nbsp Verschrankungskosten Bearbeiten Die Verschrankungskosten fur einen Zustand r displaystyle rho nbsp bezeichnen das Verhaltnis m n displaystyle m n nbsp im Limit grosser Zahlen wie viele maximal verschrankten Qubit Paare m displaystyle m nbsp benotigt wurden um n displaystyle n nbsp Exemplare des Zustandes r displaystyle rho nbsp herzustellen E c r inf E ϵ gt 0 d gt 0 m n L E m n d und D L P m 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Negativitat E N displaystyle E N nbsp ist analog zur Negativitat definiert als E N r log 2 r p t 1 log 2 N r 1 displaystyle E N rho log 2 rho pt 1 log 2 mathcal N rho 1 nbsp Dies hat den Vorteil gegenuber der Negativitat dass sie fur Tensorprodukte additiv ist E N r s E N r E N s displaystyle E N rho otimes sigma E N rho E N sigma nbsp Die Logarithmische Negativitat ist eine obere Schranke fur die Destillierbare Verschrankung Destillierbare Verschrankung Bearbeiten Die Destillierbare Verschrankung ist definiert als die asymptotische Anzahl an maximal verschrankten Qubit Paaren die aus dem Zustand mittels LOCC Operationen hergestellt destilliert werden konnen Verschrankungsrobustheit Bearbeiten Die Verschrankungsrobustheit 6 misst wie viel Rauschen hinzugefugt werden musste um einen Zustand separabel zu machen Die Verschrankungsrobustheit R r s displaystyle R rho s nbsp ist definiert als das kleinste s displaystyle s nbsp fur das der Zustand 3 1 1 s r s s displaystyle xi frac 1 1 s rho s sigma nbsp separabel ist mit einem beliebigen separablen Zustand s displaystyle sigma nbsp Squashed Entanglement Bearbeiten Die Squashed Entanglement 7 etwa zerdruckte Verschrankung auch CMI Verschrankung fur Bedingte Transinformation engl Conditional Mutual information ist aus der klassischen Informationstheorie hergeleitet Die Squashed Entanglement zwischen zwei Subsystemen A und B ist definiert als E C M I r A B 1 2 min r A B L K S A B L displaystyle E mathrm CMI rho A B frac 1 2 min rho A B Lambda in K S A B Lambda nbsp Mit K als die Menge aller Dichtematrizen r A B L displaystyle rho A B Lambda nbsp so dass die Partialspur uber das dritte Subsystem L displaystyle Lambda nbsp wieder dem bipartiten System entspricht r A B Tr L r A B L displaystyle rho A B operatorname Tr Lambda rho A B Lambda nbsp Hierbei ist S A B L displaystyle S A B Lambda nbsp die Quanten Bedingte Transinformation definiert als S A B L S r A L S r B L S r L S r A B L displaystyle S A B Lambda S rho A Lambda S rho B Lambda S rho Lambda S rho A B Lambda nbsp und S r displaystyle S rho nbsp ist die Von Neumann Entropie einer Dichtematrix S r Tr r log 2 r displaystyle S rho operatorname Tr rho log 2 rho nbsp je nach Indizes des gesamten Systems oder eines Teilsystems nach Bildung der Partialspur uber die jeweils anderen Subsysteme Fur reine Zustande stimmt die Squashed Entanglement mit der Formationsverschrankung uberein Schmidt Zahl Bearbeiten Im Gegensatz zu den anderen hier genannten Massen ist die Schmidt Zahl E S c h m displaystyle E mathrm Schm nbsp ein diskretes Verschrankungsmass Der Name leitet sich von der Schmidt Zerlegung reiner Zustande eines bipartiten Systems mit Hilbertraum ps H H A H B displaystyle psi in mathcal H mathcal H A otimes mathcal H B nbsp ab Fur solche Zustande ist die Schmidt Zahl definiert als der Rang der reduzierten Dichtematrix in einem der beiden Teilsysteme Das heisst E S c h m ps ps R a n g t r B ps ps 1 2 d displaystyle E mathrm Schm psi rangle langle psi 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nbsp das heisst E S c h m r displaystyle E mathrm Schm rho nbsp is gleich dem kleinsten maximalen Schmidt Rang der in einer Zerlegung von r displaystyle rho nbsp auftreten muss Dass es sich bei der Schmidt Zahl um ein Verschrankungsmass handelt wurde 1999 von Terhal und Horodecki gezeigt 8 Fur separable Zustande gilt E S c h m r 1 displaystyle E mathrm Schm rho 1 nbsp da sie als Mischung von Produktzustanden geschrieben werden konnen E S c h m r displaystyle E mathrm Schm rho nbsp hat einige ungewohnliche Eigenschaften Zum Beispiel muss das Mass fur zwei Kopien eines Zustands nicht grosser sein als fur eine allein maximal nicht additiv Bei der Frage nach dem Zusammenhang von Verschrankung und den Speedup von Quantencomputern bewies Vidal 9 dass ein begrenzter Schmidt Rang eine effiziente Simulation eines Quantencomputers ermoglicht sofern die betrachteten Zustande rein bleiben und van den Nest zeigte dass es damit im Gegensatz zu den meisten anderen stetigen Verschrankungsmassen steht bei denen eine polynomial kleine Menge an Verschrankung fur einen Quanten Speedup genugt 10 Das Mass hat sich auch als Basis fur eine Verallgemeinerung zur Mehrparteienverschrankung als nutzlich erwiesen 11 Verschrankung mehrerer Systeme BearbeitenDie Quantifizierung der Verschrankung zwischen drei und mehr Teilsystemen ist grundsatzlich ein komplexes mathematisches Thema und Gegenstand aktueller Forschung Bekannt ist dass es verschiedene Typen von Verschrankung gibt beispielsweise paarweise Verschrankung zwischen je zwei Teilsystemen oder Verschrankung zwischen allen Teilsystemen die dann aber weniger stark zwischen Paaren ist Tangle Bearbeiten Der Tangle 12 beschreibt die Verschrankung dreier Systeme A B C t A B C t A B C t A B t A C displaystyle tau A B C tau A BC tau AB tau AC nbsp mit Hilfe der 2 Tangles auf der rechten Seite die jeweils das Quadrat der Concurrence sind Formationsverschrankung Bearbeiten Fur beliebige Zustande r displaystyle rho nbsp ist die Formationsverschrankung E F displaystyle E F nbsp definiert als E F r inf p k ϕ k k p k S r A k displaystyle E F rho inf p k phi k rangle sum k p k S rho A k nbsp Fur bipartite Systeme Vereinfacht sich diese Definition zur oben genannten analytischen Formel Einzelnachweise Bearbeiten a b c C H Bennett H J Bernstein S Popescu B Schumacher Concentrating partial entanglement by local operations In Phys Rev A Band 53 1996 S 2046 2052 doi 10 1103 PhysRevA 53 2046 arxiv quant ph 9511030 Es gibt zwar zahlreiche weitere Masse aber die Verschrankungsentropie ist das einzige dass die von solchen Massen erwunschten Additivitats Monotonitats und Stetigkeitseigenschaften hat vgl G Vidal On the continuity of asymptotic measures of entanglement 2002 arxiv quant ph 0203107 und R Horodecki P Horodecki M Horodecki K Horodecki Quantum entanglement In Rev Mod Phys Band 81 2009 S 865 S 912f Abschnitte XV D und XV E arxiv quant ph 0702225 A Uhlmann Fidelity and Concurrence of conjugated states In Phys Rev A Band 62 2000 S 032307 arxiv quant ph 9909060 und R Horodecki P Horodecki M Horodecki K Horodecki Quantum entanglement In Rev Mod Phys Band 81 2009 S 865 Abschnitt XV C 2 S 911 arxiv quant ph 0702225 Hill S Wooters W K Entanglement of a Pair of Quantum Bits In Physical Review Lett Nr 78 1997 S 5022 5025 arxiv quant ph 9703041 C H Bennett D P DiVincenzo J A Smolin W K Wootters Mixed state entanglement and quantum error correction In Phys Rev A Band 54 1996 S 3824 arxiv quant ph 9604024 Vidal G amp Tarrach R Robustness of entanglement In Physical Review A Nr 59 1999 S 141 155 arxiv quant ph 9806094 Cerf N J Adami C Quantum Mechanics of Measurement arxiv quant ph 9605002 Barbara M Terhal Pawel Horodecki A Schmidt number for density matrices In Phys Rev A Band 61 2000 S 040301 doi 10 1103 PhysRevA 61 040301 arxiv quant ph 9911117 G Vidal Efficient Simulation of One Dimensional Quantum Many Body Systems In Phys Rev Lett Band 93 2004 S 040502 doi 10 1103 PhysRevLett 93 040502 arxiv quant ph 0310089 Maarten Van den Nest Universal quantum computation with little entanglement In Phys Rev Lett Band 110 201 S 060504 doi 10 1103 PhysRevLett 110 060504 arxiv 1204 3107 Jens Eisert Hans J Briegel Schmidt measure as a tool for quantifying multiparticle entanglement In Phys Rev A Band 64 2001 S 022306 doi 10 1103 PhysRevA 64 022306 arxiv quant ph 0007081 Coffman V Kundu J Wootters W K Distributed entanglement In Physical Review A Nr 61 2000 052306 arxiv quant ph 9907047 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verschrankungsmass amp oldid 217665930