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Negativität Die bezeichnet in der Quantenmechanik und Quanteninformatik ein einfach zu berechnendes Verschränkungsmaß In

Negativität

Die Negativität bezeichnet in der Quantenmechanik und Quanteninformatik ein einfach zu berechnendes Verschränkungsmaß.

Definition Bearbeiten

Die Negativität ist eine Funktion, die jedem (reinen oder gemischten) Zustand eines zusammengesetzten Quantensystems (mit Hilbertraum ) eine nicht-negative Zahl zuordnet, nämlich die Summe der Beträge der negativen Eigenwerte der partiell transponierten Dichtematrix:

wobei die Spurnorm bezeichnet. Die logarithmische Negativität ist definiert durch

Für Dichtematrizen auf ist die partielle Transposition als die lineare Abbildung definiert, die jeder Dichtematrix der Form die Matrix zuordnet und für beliebige Matrizen auf mittels Linearität definiert ist. Da die Transposition eine positive, aber nicht vollständig positive Abbildung ist, ist die partielle Transposition nicht positiv und für manche Dichtematrizen gilt und somit .

Die Negativität ist genau für die Zustände nicht Null, die durch das Peres-Horodecki-Kriterium als verschränkt erkannt werden und also gleich Null für alle separablen Zustände, aber auch die PPT-verschränkten Zustände.

Das Maß wurde 1998 von Życzkowski et al. eingeführt und seine wesentlichen Eigenschaften wurden von Vidal und Werner bewiesen.

Eigenschaften Bearbeiten

  • ist ein Verschränkungsmaß, d. h. insbesondere, dass es monoton unter lokalen Operationen ist: wann immer aus durch lokale Operationen und klassische Kommunikation (LOCC) erzeugt werden kann. Das gilt ebenso für logarithmische Negativität.
  • Die Funktion ist konvex, aber nicht.
  • Es gibt verschränkte Zustände , für die (die „PPT-verschränkten“ Zustände).
  • ist notwendige Bedingung dafür, dass der Zustand destillierbar ist, d. h. durch LOCC in einen reinen verschränkten Zustand transformiert werden kann. Darüber hinaus gilt, dass eine obere Schranke für die mit erreichbare Verschränkungsdestillationsrate ist. D. h., aus Systemen im Zustand lassen sich durch LOCC nicht mehr als reine Bell-Zustände gewinnen. Somit ist auch eine obere Schranke für die Destillierbare Verschränkung.
  • Die Negativität liefert auch eine untere Schranke dafür, wie nah der Zustand durch LOCC dem maximal verschränkten Zustand in gebracht werden kann: der Spurnormabstand zwischen und dem lokal transformierten Zustand ist immer , wobei die Dimension des kleineren der beiden Hilberträume bezeichnet: . Daraus folgt auch, dass sich nach oben abschätzen lässt, wie gut die beste mit erreichbare Quantenteleportation ist: für die Fidelität , mit der ein -dimensionaler maximal verschränkter Zustand teleportiert werden kann, gilt .
  • Die logarithmische Negativität ist additiv, d. h., dass für ein Tensorprodukt von bipartiten Zuständen gilt, dass .
  • Negativität und logarithmische Negativität lassen sich einfach aus den Eigenwerten der partiell transponierten Dichtematrix berechnen. Dies steht im Gegensatz zu den meisten anderen Verschränkungsmaßen, für deren Berechnung das Auffinden eines Optimums über einen hochparametrigen Raum notwendig ist (z. B. Formationsverschränkung oder destillierbare Verschränkung) oder deren Berechnung die Lösung eines NP-schweren Problems beinhaltet (wie alle treuen Verschränkungsmaße, die nur für separable Zustände gleich 0 sind). Daher werden und insbesondere oft bei der numerischen Beschreibung von hochdimensionalen Systemen verwendet, zum Beispiel in der Vielteilchenphysik zur Charakterisierung von Quantenphasenübergängen.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Karol Życzkowski, Paweł Horodecki, Anna Sanpera, Maciej Lewenstein: Volume of the set of separable states. In: Phys. Rev. A. Band 58, S. 883, doi:10.1103/PhysRevA.58.883, arxiv:quant-ph/9804024 (englisch).
  2. ↑ Guifré Vidal, Reinhard F. Werner: Computable measure of entanglement. In: Phys. Rev. A. Band 65, 2002, S. 032314, doi:10.1103/PhysRevA.65.032314, arxiv:quant-ph/0102117.
  3. Martin B. Plenio: Logarithmic Negativity: A Full Entanglement Monotone that is not Convex. In: Phys. Rev. Lett. Band 95, 2005, S. 090503, arxiv:quant-ph/0505071.
  4. Hier bezeichnet den Projektor auf den maximal verschränkten Zustand .
  5. Vgl. z. B. Luigi Amico, Rosario Fazio, Andreas Osterloh, Vlatko Vedral: Entanglement in Many-Body Systems. In: Rev.Mod.Phys. Band 80, 2008, S. 517–576, doi:10.1103//RevModPhys.80.517, arxiv:quant-ph/0703044. oder Shengqi Sang, Yaodong Li, Tianci Zhou, Xiao Chen, Timothy H. Hsieh, Matthew P. A. Fisher: Entanglement Negativity at Measurement-Induced Criticality. In: PRX Quantum. Band 2, 2021, S. 030313, doi:10.1103/PRXQuantum.2.030313.
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Die Negativitat bezeichnet in der Quantenmechanik und Quanteninformatik ein einfach zu berechnendes Verschrankungsmass Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Negativitat N displaystyle N nbsp ist eine Funktion die jedem reinen oder gemischten Zustand r displaystyle rho nbsp eines zusammengesetzten Quantensystems mit Hilbertraum H H A H B displaystyle cal H cal H A otimes cal H B nbsp eine nicht negative Zahl zuordnet namlich die Summe der Betrage der negativen Eigenwerte der partiell transponierten Dichtematrix N r 1 2 r T A 1 1 displaystyle N rho frac 1 2 left rho T A 1 1 right nbsp wobei 1 displaystyle cdot 1 nbsp die Spurnorm bezeichnet Die logarithmische Negativitat E N r displaystyle E N rho nbsp ist definiert durch E N r log 2 r T A 1 log 2 2 N r 1 displaystyle E N rho log 2 rho T A 1 log 2 left 2N rho 1 right nbsp Fur Dichtematrizen auf H displaystyle cal H nbsp ist die partielle Transposition T A displaystyle T A nbsp als die lineare Abbildung definiert die jeder Dichtematrix der Form r A r B displaystyle rho A otimes rho B nbsp die Matrix r A r B T A r A T r B displaystyle rho A otimes rho B T A rho A T otimes rho B nbsp zuordnet und fur beliebige Matrizen auf H displaystyle cal H nbsp mittels Linearitat definiert ist Da die Transposition r r T displaystyle rho mapsto rho T nbsp eine positive aber nicht vollstandig positive Abbildung ist ist die partielle Transposition nicht positiv und fur manche Dichtematrizen gilt r T A 0 displaystyle rho T A not geq 0 nbsp und somit N r gt 0 displaystyle N rho gt 0 nbsp Die Negativitat ist genau fur die Zustande nicht Null die durch das Peres Horodecki Kriterium als verschrankt erkannt werden und also gleich Null fur alle separablen Zustande aber auch die PPT verschrankten Zustande Das Mass wurde 1998 von Zyczkowski et al eingefuhrt 1 und seine wesentlichen Eigenschaften wurden von Vidal und Werner bewiesen 2 Eigenschaften BearbeitenN displaystyle N nbsp ist ein Verschrankungsmass d h insbesondere dass es monoton unter lokalen Operationen ist N r N r displaystyle N rho leq N rho nbsp wann immer r displaystyle rho nbsp aus r displaystyle rho nbsp durch lokale Operationen und klassische Kommunikation LOCC erzeugt werden kann 2 Das gilt ebenso fur logarithmische Negativitat 3 Die Funktion N displaystyle N nbsp ist konvex aber E N displaystyle E N nbsp nicht 2 Es gibt verschrankte Zustande r displaystyle rho nbsp fur die N r E N r displaystyle N rho E N rho nbsp die PPT verschrankten Zustande N r gt 0 displaystyle N rho gt 0 nbsp ist notwendige Bedingung dafur dass der Zustand r displaystyle rho nbsp destillierbar ist d h durch LOCC in einen reinen verschrankten Zustand transformiert werden kann Daruber hinaus gilt dass E N r displaystyle E N rho nbsp eine obere Schranke fur die mit r displaystyle rho nbsp erreichbare Verschrankungsdestillationsrate ist D h aus M displaystyle M nbsp Systemen im Zustand r displaystyle rho nbsp lassen sich durch LOCC nicht mehr als M E N r displaystyle ME N rho nbsp reine Bell Zustande gewinnen Somit ist E N displaystyle E N nbsp auch eine obere Schranke fur die Destillierbare Verschrankung 2 Die Negativitat liefert auch eine untere Schranke dafur wie nah der Zustand r displaystyle rho nbsp durch LOCC dem maximal verschrankten Zustand P displaystyle P nbsp in H displaystyle mathcal H nbsp gebracht werden kann 4 der Spurnormabstand zwischen P displaystyle P nbsp und dem lokal transformierten Zustand P r displaystyle P rho nbsp ist immer 2 1 1 2 N r d displaystyle geq 2 1 frac 1 2N rho d nbsp wobei d displaystyle d nbsp die Dimension des kleineren der beiden Hilbertraume bezeichnet d m i n d i m H A d i m H B displaystyle d mathrm min mathrm dim cal H A mathrm dim cal H B nbsp Daraus folgt auch dass sich nach oben abschatzen lasst wie gut die beste mit r displaystyle rho nbsp erreichbare Quantenteleportation ist fur die Fidelitat F m a x displaystyle F mathrm max nbsp mit der ein d displaystyle d nbsp dimensionaler maximal verschrankter Zustand teleportiert werden kann gilt F m a x 1 2 N r d displaystyle F mathrm max leq 1 2N rho d nbsp 2 Die logarithmische Negativitat ist additiv d h dass fur ein Tensorprodukt von bipartiten Zustanden r r 1 r 2 displaystyle rho rho 1 otimes rho 2 nbsp gilt dass E N r E N r 1 E N r 2 displaystyle E N rho E N rho 1 E N rho 2 nbsp 2 Negativitat und logarithmische Negativitat lassen sich einfach aus den Eigenwerten der partiell transponierten Dichtematrix berechnen Dies steht im Gegensatz zu den meisten anderen Verschrankungsmassen fur deren Berechnung das Auffinden eines Optimums uber einen hochparametrigen Raum notwendig ist z B Formationsverschrankung oder destillierbare Verschrankung oder deren Berechnung die Losung eines NP schweren Problems beinhaltet wie alle treuen Verschrankungsmasse die nur fur separable Zustande gleich 0 sind Daher werden N displaystyle N nbsp und E N displaystyle E N nbsp insbesondere oft bei der numerischen Beschreibung von hochdimensionalen Systemen verwendet zum Beispiel in der Vielteilchenphysik zur Charakterisierung von Quantenphasenubergangen 5 Literatur BearbeitenGuifre Vidal Reinhard F Werner Computable measure of entanglement In Phys Rev A Band 65 2002 S 032314 doi 10 1103 PhysRevA 65 032314 arxiv quant ph 0102117 R Horodecki P Horodecki M Horodecki K Horodecki Quantum entanglement In Rev Mod Phys Band 81 2009 S 865 942 S 912 doi 10 1103 RevModPhys 81 865 arxiv quant ph 0702225 Einzelnachweise Bearbeiten Karol Zyczkowski Pawel Horodecki Anna Sanpera Maciej Lewenstein Volume of the set of separable states In Phys Rev A Band 58 S 883 doi 10 1103 PhysRevA 58 883 arxiv quant ph 9804024 englisch a b c d e f Guifre Vidal Reinhard F Werner Computable measure of entanglement In Phys Rev A Band 65 2002 S 032314 doi 10 1103 PhysRevA 65 032314 arxiv quant ph 0102117 Martin B Plenio Logarithmic Negativity A Full Entanglement Monotone that is not Convex In Phys Rev Lett Band 95 2005 S 090503 arxiv quant ph 0505071 Hier bezeichnet P displaystyle P nbsp den Projektor auf den maximal verschrankten Zustand 1 d j 1 d j A j B displaystyle frac 1 sqrt d sum j 1 d j rangle A otimes j rangle B nbsp Vgl z B Luigi Amico Rosario Fazio Andreas Osterloh Vlatko Vedral Entanglement in Many Body Systems In Rev Mod Phys Band 80 2008 S 517 576 doi 10 1103 RevModPhys 80 517 arxiv quant ph 0703044 oder Shengqi Sang Yaodong Li Tianci Zhou Xiao Chen Timothy H Hsieh Matthew P A Fisher Entanglement Negativity at Measurement Induced Criticality In PRX Quantum Band 2 2021 S 030313 doi 10 1103 PRXQuantum 2 030313 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Negativitat amp oldid 233775410