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Partielle Spur Die partielle Spur auch Partialspur oder Teilspur bezeichnet in der linearen Algebra und Funktionalanalys

Partielle Spur

Die partielle Spur, auch Partialspur oder Teilspur, bezeichnet in der linearen Algebra und Funktionalanalysis eine lineare Abbildung, die der Spur verwandt ist. Ist ein linearer Operator auf dem Tensorprodukt von zwei Vektorräumen definiert, so lässt sich seine Spur in zwei Schritten bestimmen, die sich auf die zwei Faktoren beziehen. Im ersten Schritt wird die Partialspur erzeugt, der zweite ist eine Spur nach der üblichen Definition. Verwendung findet die Partialspur in der Quantenmechanik. Mit ihrer Hilfe lässt sich aus dem Dichteoperator eines Gesamtsystems der Dichteoperator eines beliebigen Teilsystems bestimmen. Anders gesagt wird aus dem (reinen oder inkohärent gemischten) Zustand des Gesamtsystems der entsprechende Zustand des Teilsystems ermittelt.

Definition Bearbeiten

Endlichdimensionaler Fall Bearbeiten

Es seien und endlichdimensionale Vektorräume, , dazu die linearen Räume der linearen Operatoren auf diesen, etc. Dann ist die ‚partielle Spur über ' definiert als die lineare Abbildung von nach mit der Identität auf und der Spur der Operatoren .

Für ein Operatorenprodukt mit bedeutet das

Ein beliebiger Operator hat stets Darstellungen der Form

das setzt die lineare Abbildung fort auf ganz :

Die Bezeichnung als partielle Spur bezieht sich darauf, dass die (totale) Spur der die Verkettung ist, sowie analog .

Für konkrete Rechnungen benutzt man gewöhnlich Koordinaten. Bilden Vektoren und Orthonormalbasen in beziehungsweise , so bilden die Produkte eine solche Basis für . Ein Operator wird dann durch eine vierdimensionale Matrix dargestellt, die partiellen Spuren durch die zweidimensionalen Matrizen und die man durch Summieren über beziehungsweise erhält: für und für .

Unendlichdimensionaler Fall Bearbeiten

Wie die Spur lässt sich auch die Partialspur auf Operatoren auf unendlichdimensionalen Räumen verallgemeinern. Sie ist dann für Spurklasseoperatoren auf Tensorprodukthilberträumen in natürlicher Weise definiert und für einen Spurklasseoperator auf ist

wobei eine Orthonormalbasis von ist. Auch hier ist das Ergebnis der Konstruktion basisunabhäng für separable Hilberträume ( Spurklasse, beschränkt).

Relevanz in der Quantenmechanik Bearbeiten

Wird eine Observable, dargestellt durch den Operator , eines quantenmechanischen Systems gemessen, so wird der Erwartungswert des Messwertes bestimmt durch den Zustand des Systems in dem weiten Sinn, der reine und inkohärent gemischte Zustände umfasst. Ein solcher Zustand wird vollständig beschrieben durch den Dichteoperator , einen linearen Operator auf dem Hilbertraum des Systems. Der gesuchte Erwartungswert ist .

Ist das System aus Komponenten, Teilsystemen zusammengesetzt, , so ist sein Hilbertraum das Tensorprodukt der Hilberträume der Teilsysteme, . Für die Messung einer Observablen der Komponente ist der Dichteoperator auf ebenso zuständig, wie auf für . Zwischen beiden besteht dann die Beziehung

Die partielle Spur über ‚reduziert‘ den Dichteoperator des Gesamtsystems auf den Dichteoperator des Teilsystems . Information, die das komplementäre Teilsystem betrifft, wird ‚ausgespurt‘. Anders gesagt: Mit Hilfe des Dichteoperators bestimmt die partielle Spur aus dem Zustand des Systems den Zustand eines beliebigen Teilsystems. Das ist insbesondere dann wichtig, wenn Information über das komplementäre Teilsystem ignoriert werden kann, was im Rahmen der klassischen Quantenmechanik aufgrund der Invarianz der Partialspur immer insofern möglich ist, dass sich durch die Partialspur konsistente Vorhersagen ergeben. Dies ist nützlich, da Information über das komplementäre Teilsystem oft nicht zugänglich ist. (Bei Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten gilt dies nicht, dort kann eine unterschiedliche Wahl des Komplementärsystems zu unterschiedlichen Vorhersagen führen.)

Invarianz der Partialspur Bearbeiten

ist invariant unter allen möglichen spurerhaltenden Quantenoperation (vollständig positiven Abbildungen) auf , insbesondere auch unter Messungen. Man kann daher den reduzierten Zustand auch als den Zustand auffassen, den man erhält, wenn im System eine vollständige Messung durchgeführt, das Ergebnis aber ignoriert wird: ist das statistische Mittel über zu den verschiedenen Messergebnissen gehörenden bedingten Zustände. Zum Beispiel im Fall einer Von-Neumann-Messung der Observable gilt , wobei der auf definierte, nicht-normierte Operator die folgenden Eigenschaften hat: ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das Messergebnis auftritt und ist der auf das Messergebnis konditionierte Dichteoperator. Ebenso ist invariant unter einer Randomisierung des Systems , z. B. unter der Abbildung

wobei die identische Abbildung und ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Gruppe der unitären Abbildungen auf darstellt. Wählt man für das normierte Haarmaß über der unitären Gruppe, so kommutiert mit allen Operatoren der Form und es gilt .

Partialspur als Quantenkanal Bearbeiten

Die Abbildung ist vollständig positiv und stellt damit eine spurerhaltende erlaubte Quantenoperation (einen Quantenkanal) dar, deren Kraus-Darstellung durch

wobei eine Orthonormalbasis im System und die Identität auf den anderen Teilsystemen ist.

Partialspur und Verschränkung Bearbeiten

Wenn man einen reinen Zustand eines zusammengesetzten Systems betrachtet, kann die Partialspur als ein einfaches Verschränktheitskriterium verwendet werden: ist genau dann verschränkt, wenn nicht rein ist.

Literatur Bearbeiten

  • Michael Nielsen und Isaac Chuang: Quantum Computation and Quantum information. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9, S. 105 (englisch).
  • Michael Wilde: Quantum Information Theory. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2013, ISBN 978-1-107-03425-9, S. 116, arxiv:1106.1445 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Stephane Attal: Lectures in Quantum Noise Theory. Kap. 2 (englisch, univ-lyon1.fr [abgerufen am 19. Dezember 2016]).
  2. N. D. Birrell, P. C. W. Davies: Quantum Fields in Curved Space (= Cambridge Monographs on Mathematical Physics). Cambridge University Press, Cambridge 1982, ISBN 978-0-521-27858-4 (cambridge.org [abgerufen am 11. Juni 2023]).
  3. R., P., M. und K. Horodecki: Quantum Entanglement. In: Rev. Mod. Phys. Band 81, Juni 2009, S. 865, doi:10.1103/RevModPhys.81.865, arxiv:quant-ph/0702225 (englisch).
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Die partielle Spur auch Partialspur oder Teilspur bezeichnet in der linearen Algebra und Funktionalanalysis eine lineare Abbildung die der Spur verwandt ist Ist ein linearer Operator auf dem Tensorprodukt von zwei Vektorraumen definiert so lasst sich seine Spur in zwei Schritten bestimmen die sich auf die zwei Faktoren beziehen Im ersten Schritt wird die Partialspur erzeugt der zweite ist eine Spur nach der ublichen Definition Verwendung findet die Partialspur in der Quantenmechanik Mit ihrer Hilfe lasst sich aus dem Dichteoperator eines Gesamtsystems der Dichteoperator eines beliebigen Teilsystems bestimmen Anders gesagt wird aus dem reinen oder inkoharent gemischten Zustand des Gesamtsystems der entsprechende Zustand des Teilsystems ermittelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Endlichdimensionaler Fall 1 2 Unendlichdimensionaler Fall 2 Relevanz in der Quantenmechanik 3 Invarianz der Partialspur 3 1 Partialspur als Quantenkanal 3 2 Partialspur und Verschrankung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEndlichdimensionaler Fall Bearbeiten Es seien U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp endlichdimensionale Vektorraume W U V displaystyle W U otimes V nbsp dazu L U displaystyle L U nbsp L V displaystyle L V nbsp L W displaystyle L W nbsp die linearen Raume der linearen Operatoren auf diesen A u U U displaystyle A u U to U nbsp etc Dann ist die displaystyle nbsp partielle Spur uber V displaystyle V nbsp definiert als die lineare Abbildung tr V Id u tr v displaystyle operatorname tr V operatorname Id u otimes operatorname tr v nbsp von L W displaystyle L W nbsp nach L U displaystyle L U nbsp mit der Identitat Id u displaystyle operatorname Id u nbsp auf L U displaystyle L U nbsp und der Spur tr v displaystyle operatorname tr v nbsp der Operatoren A v L V displaystyle A v in L V nbsp Fur ein Operatorenprodukt A A u A v displaystyle A A u otimes A v nbsp mit A u L U A v L V displaystyle A u in L U A v in L V nbsp bedeutet das tr V A Id u tr v A u 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Koordinaten Bilden Vektoren e i displaystyle e i nbsp und f j displaystyle f j nbsp Orthonormalbasen in U displaystyle U nbsp beziehungsweise V displaystyle V nbsp so bilden die Produkte e i f j displaystyle e i otimes f j nbsp eine solche Basis fur W U V displaystyle W U otimes V nbsp Ein Operator A L W displaystyle A in L W nbsp wird dann durch eine vierdimensionale Matrix a i i j j i i j j displaystyle a ii jj i i j j nbsp dargestellt die partiellen Spuren tr V tr U displaystyle operatorname tr V operatorname tr U nbsp durch die zweidimensionalen Matrizen b i i i i displaystyle b ii i i nbsp und c j j j j displaystyle c jj j j nbsp die man durch Summieren uber j j displaystyle j j nbsp beziehungsweise i i displaystyle i i nbsp erhalt b i i j a i i j j displaystyle b ii textstyle sum j a ii jj nbsp fur tr V displaystyle operatorname tr V nbsp und c j j i a i i j j displaystyle c jj textstyle sum i a iijj nbsp fur tr U displaystyle operatorname tr U nbsp Unendlichdimensionaler Fall Bearbeiten Wie die Spur lasst sich auch die Partialspur auf Operatoren auf unendlichdimensionalen Raumen verallgemeinern 1 Sie ist dann fur Spurklasseoperatoren auf Tensorprodukthilbertraumen in naturlicher Weise definiert und fur einen Spurklasseoperator r displaystyle rho nbsp auf H K displaystyle mathcal H otimes mathcal K nbsp ist tr K r k K k r k K displaystyle operatorname tr mathcal K rho sum k mathcal K langle k rho k rangle mathcal K nbsp wobei k K displaystyle left k rangle mathcal K right nbsp eine Orthonormalbasis von K displaystyle mathcal K nbsp ist Auch hier ist das Ergebnis der Konstruktion basisunabhang fur separable Hilbertraume A displaystyle A nbsp Spurklasse B displaystyle B nbsp beschrankt Relevanz in der Quantenmechanik BearbeitenWird eine Observable dargestellt durch den Operator X displaystyle X nbsp eines quantenmechanischen Systems gemessen so wird der Erwartungswert des Messwertes bestimmt durch den Zustand des Systems in dem weiten Sinn der reine und inkoharent gemischte Zustande umfasst Ein solcher Zustand wird vollstandig beschrieben durch den Dichteoperator r displaystyle rho nbsp einen linearen Operator auf dem Hilbertraum H displaystyle mathcal H nbsp des Systems Der gesuchte Erwartungswert ist tr r X displaystyle operatorname tr rho X nbsp Ist das System aus Komponenten Teilsystemen zusammengesetzt S S S displaystyle mathcal S mathcal S mathcal S nbsp so ist sein Hilbertraum das Tensorprodukt der Hilbertraume der Teilsysteme H H H displaystyle mathcal H mathcal H otimes mathcal H nbsp Fur die Messung einer Observablen X displaystyle X nbsp der Komponente S displaystyle mathcal S nbsp ist der Dichteoperator r displaystyle rho nbsp auf H displaystyle mathcal H nbsp ebenso zustandig wie r displaystyle rho nbsp auf H displaystyle mathcal H nbsp fur X displaystyle X nbsp Zwischen beiden besteht dann die Beziehung r tr H r displaystyle rho operatorname tr mathcal H rho nbsp dd dd Die partielle Spur uber H displaystyle mathcal H nbsp reduziert den Dichteoperator des Gesamtsystems auf den Dichteoperator des Teilsystems S displaystyle mathcal S nbsp Information die das komplementare Teilsystem S displaystyle mathcal S nbsp betrifft wird ausgespurt Anders gesagt Mit Hilfe des Dichteoperators bestimmt die partielle Spur aus dem Zustand des Systems den Zustand eines beliebigen Teilsystems Das ist insbesondere dann wichtig wenn Information uber das komplementare Teilsystem ignoriert werden kann was im Rahmen der klassischen Quantenmechanik aufgrund der Invarianz der Partialspur immer insofern moglich ist dass sich durch die Partialspur konsistente Vorhersagen ergeben Dies ist nutzlich da Information uber das komplementare Teilsystem oft nicht zuganglich ist Bei Quantenfeldtheorien auf gekrummten Raumzeiten gilt dies nicht dort kann eine unterschiedliche Wahl des Komplementarsystems zu unterschiedlichen Vorhersagen fuhren 2 Invarianz der Partialspur Bearbeitenr j displaystyle rho j nbsp ist invariant unter allen moglichen spurerhaltenden Quantenoperation vollstandig positiven Abbildungen auf H j displaystyle mathcal H j nbsp insbesondere auch unter Messungen Man kann daher den reduzierten Zustand r j displaystyle rho j nbsp auch als den Zustand auffassen den man erhalt wenn im System j displaystyle j nbsp eine vollstandige Messung durchgefuhrt das Ergebnis aber ignoriert wird r j displaystyle rho j nbsp ist das statistische Mittel uber zu den verschiedenen Messergebnissen gehorenden bedingten Zustande Zum Beispiel im Fall einer Von Neumann Messung der Observable X l X l l l displaystyle X sum l X l l rangle langle l nbsp gilt r j l l l r l displaystyle rho j sum l l langle l rho l rangle nbsp wobei der auf i j H i displaystyle bigotimes i not j mathcal H i nbsp definierte nicht normierte Operator R l l l r l displaystyle R l l langle l rho l rangle nbsp die folgenden Eigenschaften hat tr R l displaystyle operatorname tr R l nbsp ist die Wahrscheinlichkeit mit der das Messergebnis X l 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Abbildung T r j r tr j r displaystyle Tr j colon rho mapsto operatorname tr j rho nbsp ist vollstandig positiv und stellt damit eine spurerhaltende erlaubte Quantenoperation einen Quantenkanal dar deren Kraus Darstellung durch T r j r l I l l r I l l displaystyle Tr j rho sum l I otimes l rangle langle l rho I otimes l rangle langle l nbsp wobei l displaystyle l rangle nbsp eine Orthonormalbasis im System j displaystyle j nbsp und I displaystyle I nbsp die Identitat auf den anderen Teilsystemen ist Partialspur und Verschrankung Bearbeiten Wenn man einen reinen Zustand r ps ps displaystyle rho psi rangle langle psi nbsp eines zusammengesetzten Systems betrachtet kann die Partialspur als ein einfaches Verschranktheitskriterium verwendet werden ps H 1 H 2 displaystyle psi rangle in mathcal H 1 otimes mathcal H 2 nbsp ist genau dann verschrankt wenn tr H 1 r displaystyle operatorname tr mathcal H 1 rho nbsp nicht rein ist 3 Literatur BearbeitenMichael Nielsen und Isaac Chuang Quantum Computation and Quantum information 1 Auflage Cambridge University Press Cambridge 2000 ISBN 0 521 63503 9 S 105 englisch Michael Wilde Quantum Information Theory 1 Auflage Cambridge University Press Cambridge 2013 ISBN 978 1 107 03425 9 S 116 arxiv 1106 1445 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Stephane Attal Lectures in Quantum Noise Theory Kap 2 englisch univ lyon1 fr abgerufen am 19 Dezember 2016 N D Birrell P C W Davies Quantum Fields in Curved Space Cambridge Monographs on Mathematical Physics Cambridge University Press Cambridge 1982 ISBN 978 0 521 27858 4 cambridge org abgerufen am 11 Juni 2023 R P M und K Horodecki Quantum Entanglement In Rev Mod Phys Band 81 Juni 2009 S 865 doi 10 1103 RevModPhys 81 865 arxiv quant ph 0702225 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Partielle Spur amp oldid 234525181