Folge Mathematik Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung Familie von endlich oder unendlich vielen
Folge (Mathematik)
Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit der Nummer , man sagt hier auch: mit dem Index, wird -tes Glied oder -te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die Analysis.
Ist die Anzahl der Glieder einer endlichen Folge, so spricht man von einer Folge der Länge , einer -gliedrigen Folge oder von einem -Tupel. Die Folge ohne Glieder, deren Index-Bereich also leer ist, wird leere Folge, 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel genannt.
BeispieleBearbeiten
Kurven der ersten 5 Glieder der Funktionenfolge
SchreibweiseBearbeiten
Allgemein schreibt man für eine endliche Folge , also , und bei unendlichen Folgen , also . Das steht dabei für ein beliebiges Folgenglied; die runde Klammer fasst diese zu einer Folge zusammen, dann wird der Laufbereich des Index dargestellt (dieser darf fehlen, wenn er implizit klar ist). Statt der runden Klammern werden manchmal auch spitze verwendet (also ); statt der Kommas können Semikola verwendet werden, wenn eine Verwechslungsgefahr mit dem Dezimaltrennzeichen besteht.
Der Unterschied zu der Menge der Folgenglieder oder besteht darin, dass es auf die Reihenfolge der ankommt und dass mehrere Folgenglieder denselben Wert haben können.
Formale DefinitionBearbeiten
Eine unendliche Folge wird formal als eine Abbildung
definiert, die jedem Index aus der als Indexmenge verwendeten Menge der natürlichen Zahlen ein Folgenglied aus der Zielmenge zuordnet. Die Wahl des Anfangsindex ist jedoch letztlich willkürlich. In der Schulmathematik und in den häufigsten Anwendungsfällen ist die Menge der reellen Zahlen. Es werden aber auch zum Beispiel Folgen von Mengen und Funktionenfolgen betrachtet.
Für eine endliche Folge (Tupel) mit Gliedern definiert man den Index statt aus aus einer endlichen Menge, üblicherweise entweder aus der Menge oder aus der Menge . Gelegentlich findet sich für derartige Indexmengen die Notation .
Eine Reihe ist eine spezielle Folge von Zahlen, deren -tes Glied sich aus der Summe der ersten Glieder einer anderen Zahlenfolge ergibt. Zum Beispiel ergibt sich die Reihe (1, 3, 6, 10, 15, …) aus der Folge (1, 2, 3, 4, 5, …). Reihen finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung. Siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik).
Bildungsgesetz einer FolgeBearbeiten
Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Folge anzugeben:
Nennen aller Folgenglieder (nur für endliche Folgen möglich)
Funktionsgleichung
Reihe
Rekursion
Algorithmus
Eine endliche Folge kann man angeben, indem man sämtliche Folgenglieder nennt. Bei einer unendlichen Folge geht das nicht, stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen.
Folgen, deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lässt, werden zuweilen regelmäßige Folgen genannt.
Angabe von AnfangsgliedernBearbeiten
Die in manchen „Intelligenztests“ gestellte Aufgabe, eine Folge fortzusetzen, deren erste Glieder gegeben sind, ist aus mathematischer Sicht unsinnig. Auch durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt. Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen, die aber im Auge des Betrachters liegen und weder „richtig“ noch „falsch“ sind, sondern willkürlich sind. Um zu zeigen, dass eine Folge von Zahlen auf eine bestimmt Weise sich fortsetzt, muss man die Bildungsvorschrift der bekannten Glieder kennen und nicht nur mutmaßen. Das steht diesen „Intelligenztests“ aber entgegen.
Gegeben ist 0, 1, 2, 3, …. Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4, 5, 6, …, also die Folge aller natürlichen Zahlen. Möglich ist aber auch die Fortsetzung 0, 1, 2, 3, 0, …, und zwar als die periodische Folge der kleinsten positiven Reste der natürlichen Zahlen modulo 4. In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit im Zweierkomplement, also als die absolut kleinsten Reste modulo 232 dargestellt. Beim sukzessiven Erhöhen eines Registers (ohne Überlauftest) durchläuft man dann die Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, …, 2147483647, −2147483648, −2147483647, …, −1 und periodisch weiter.
Aus Lagrange-Polynomen gewonnene Bildungsvorschriften für 10 verschiedene Fortsetzungen der Folge 1, 2, 3. Die Kurven zeigen den Verlauf der Polynome. Zu gegebenen n Folgengliedern kann man ein beliebiges Folgenglied hinzufügen und ein Polynom n. Grades dadurch legen. Damit kann man eine gegebene Folge beliebig fortsetzen und eine plausible mathematisch Bildungsvorschrift angeben.
Für die Zahlenfolge 3, 1, 4, 1, 5, … ist eine plausible Fortsetzung 1, 6, 1, 7, … Andere würden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl wiedererkennen und die Fortsetzung 9, 2, 6, … vorschlagen.
Eine sehr interessante Zahlenfolge sind die Werte der Borwein-Integrale. Diese sind lange Zeit exakt , um nach vielen Gliedern auf einmal den Wert zu ändern.
Eine weitere legendäre Zahlenfolge ist 1, 2, 4, 8, 16, …, für die es mittlerweile mehr als 10 Beispiele für Folgen gibt, die nicht mit 32, 64, … weitergehen und die die Lösungen normaler Aufgaben sind. Am bekanntesten ist das Mosersche Kreisflächenproblem, auch als Pizza-Problem bekannt (Folge A000127 in OEIS).
Für viele, aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift
als eine geschlossene Gleichung angeben.
In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge zugrunde:
Die Folge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, … Dieses Beispiel ist speziell, weil die Werte von Folgenglied und Index übereinstimmen. Die Funktionsvorschrift lautet einfach
Die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, … hat die Funktionsvorschrift
Die Folge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, …
Daran anknüpfende AufgabenBearbeiten
Das Problem, zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen, ist einfach lösbar. Man nimmt nacheinander die Werte , , usw., setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder , , usw. Zweck dieser Rechnung ist es, sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen. Aber Achtung: Eine Folge kann für wirklich große Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten war. Beispiel: die Folge , die bis monoton zunimmt, dann aber wieder abnimmt, wie man durch Einsetzen höherer Zehnerpotenzen überprüfen kann.
Die Umkehraufgabe, zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen, ist dagegen deutlich schwieriger. Streng genommen kann es gar keine eindeutige Lösung geben, denn jeder Folgenanfang lässt sich wie oben beschrieben in verschiedener Weise fortsetzen. In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur für Folgen gestellt, deren Glieder , , usw. in einigermaßen überschaubarer Weise vom Index abhängen. Im Einzelnen können folgende Eigenschaften überprüft werden:
Ist die Folge alternierend? Wenn ja, bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor in der Funktionsvorschrift. Beispiel: 0, −1, 2, −3, 4, … hat die Vorschrift .
Sind die Folgenglieder Brüche? Wenn ja, konstruiere man unabhängig voneinander Funktionsvorschriften für Zähler und Nenner. Beispiel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, … hat die Vorschrift .
Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen zu (oder ab, mit )? Wenn ja, hat man eine arithmetische Folge . Beispiel: 1, 3, 5, 7, … hat die Vorschrift .
Genügen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Gliedern einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgenglieder selbst? Wenn ja, kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten). Beispiel: Für 1, 3, 6, 10, 15, … lauten die Differenzen 1, 2, 3, 4, …
Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhältnis zueinander? Wenn ja, hat man eine geometrische Folge . Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51,2; … nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0,8 ab; also lautet die Vorschrift .
Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch, dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen. Das liegt daran, dass ein Summand 0, ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben, sondern sofort ausgerechnet werden. In der gekürzten Form 1, 1, 3/4, 1/2, … ist dem oben genannten Beispiel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, … die Funktionsvorschrift schwer anzusehen.
Angabe als ReiheBearbeiten
Eine Folge , deren -tes Glied die Summe der ersten Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe:
Der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck ist also eine Abkürzung für den Ausdruck . Innerhalb und außerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden. Dass speziell und gewählt wurden, entspricht einer weit verbreiteten Konvention, ist aber nicht zwingend.
Um als konkreten Zahlenwert zu berechnen, muss ein konkreter Zahlenwert für den Index vorgegeben werden. Im Gegensatz dazu ist der Index kein (von außen) vorzugebender Wert, sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt. Welches auch immer gegeben ist, für den Laufindex müssen nacheinander die Werte 0, 1, …, eingesetzt und die Summe der zugehörigen , , …, berechnet werden.
Man kann jede Folge als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine zugehörige Folge
konstruiert. Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen. Viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht.
Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien. Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe (d. h., in obiger Schreibweise, der Konvergenz von ) immer darauf schließen, dass die Folge der Summanden (in obiger Schreibweise also die Folge ) gegen Null konvergiert.
Angabe einer Rekursion Bearbeiten
Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden. Dazu nennt man Anfangswerte (mit ; meistens ist oder ) sowie eine Vorschrift, wie ein Folgenglied aus den vorhergehenden Gliedern berechnet werden kann.
Das bekannteste Beispiel für eine Folge, die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lässt, ist die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Für sie ist , gegeben sind die zwei Anfangsglieder und sowie die Rekursionsvorschrift
Die explizite Formel von Moivre und Binet für die Folgenglieder
steht in engem Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt und der Goldenen Zahl . Man beachte, dass die alle ganzzahlig sind, da sich die ungeraden Potenzen der heraussubtrahieren.
Für manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten. Zum Beispiel folgt für die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift
die Rekursionsvorschrift
Die Rekursion
definiert die Folge rationaler Zahlen 2, 3/2, 17/12, …, die gegen konvergiert.
Angabe über einen AlgorithmusBearbeiten
Für manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift (Algorithmus), aber keine Funktionsvorschrift. Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, … Bereits den alten Griechen (möglicherweise auch Indern) war es bekannt, wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet. Eine Möglichkeit ist, das Sieb des Eratosthenes anzuwenden. Es gibt jedoch keine Methode, zu einem gegebenen die -te Primzahl anzugeben, ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur -ten Primzahl zu bestimmen. Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste, sondern die -te Primzahl wissen möchte, erhöht dies den Rechenaufwand stark.
Die Länge des kürzesten Algorithmus, der eine Folge erzeugt, heißt ihre Kolmogorow-Komplexität (manchmal wird diese Bezeichnung in einem engen Sinn nur für Zeichenfolgen, d. h. endliche Folgen mit endlichen Zielmengen verwendet). Sie hängt zwar von der verwendeten Programmiersprache ab; nach dem Invarianztheorem differieren die Längen für unterschiedliche Sprachen jedoch nur um eine nur sprachabhängige additive Konstante.
Charakterisierung von FolgenBearbeiten
Wie Funktionen kann man auch Zahlenfolgen über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren.
Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleich bleibt oder zunimmt, wenn also für alle aus gilt: . Die Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle aus gilt: . Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert. Der Begriff der Monotonie ist jedoch nicht auf reelle Zahlen beschränkt: Jede geordnete Menge erlaubt eine sinnvolle Verwendung des Begriffs.
Nachweis der MonotonieBearbeiten
Vermutet man, dass eine Folge nicht monoton (bzw. streng monoton) ist, setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein, berechnet die zugehörigen Folgenglieder und hofft, ein Gegenbeispiel zu finden. Beispiel: Die durch gegebene Folge ist nicht monoton, denn aber .
Wenn man beispielsweise vermutet, dass eine Folge streng monoton fällt, schreibt man , wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus (indem man auf der rechten Seite anstelle von in die Vorschrift einsetzt), und überprüft die so entstandene Ungleichung, indem man sie durch Äquivalenzumformungen vereinfacht. Beispiel: führt auf , das ist äquivalent zu bzw. zur wahren Aussage .
Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten, einfacheren Folge zerlegen, deren Steigungsverhalten schon bekannt ist. Beispiel: . Wenn man weiß, dass streng monoton fällt, kann man schließen, dass streng monoton steigt. Weil der Term 2 konstant ist, steigt auch streng monoton.
BeschränktheitBearbeiten
Die beschränkte Folge mit eingezeichneten Schranken.
BegriffBearbeiten
Eine Folge reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke besitzt, so dass für alle aus gilt: . Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum. Die Begriffe nach unten beschränkt, untere Schranke und Infimum sind analog definiert. Eine Folge, die zugleich nach oben und nach unten beschränkt ist, heißt beschränkt.
Nachweis der Beschränktheit und Bestimmung einer SchrankeBearbeiten
Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht möglich, denn mit auch noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen, dass es nicht irgendeine sehr große bzw. sehr kleine Zahl gibt, durch die die Folge beschränkt ist.
Es muss also angenommen werden, dass es eine Schranke gibt. Nun wird die passende Ungleichung angesetzt, d. h. für eine obere Schranke also . Auf der linken Seite der Ungleichung wird die Funktionsvorschrift angewandt und dann nach aufgelöst. Dadurch erhält man (mit etwas Glück) ein Ergebnis der Form oder , wobei für einen von abhängigen Term steht. Im ersten Fall hat man herausgefunden, dass die Folge nicht nach oben beschränkt ist (egal wie groß ist, es ist immer möglich, ein noch größeres zu finden, das die Ungleichung verletzt). Im zweiten Fall versucht man ein zu finden, für das ist. Für dieses ist immer erfüllt und somit ist der Nachweis gelungen, dass eine obere Schranke ist.
Auch hier lässt sich der Nachweis einfacher gestalten wenn es gelingt, die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen.
SonstigeBearbeiten
Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, wird konstante Folge genannt.
Eine Folge, deren Glieder alle ab einem bestimmten Glied übereinstimmen, wird stationäre Folge genannt
Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge.
Eine Folge, wird abbrechend genannt, falls sie ab einem bestimmten Glied 0 ist, d. h. eine stationäre Nullfolge.
Eine Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch. Es gibt eine Periodenlänge , und für alle aus gilt: . Teilfolge ist hier als Folge von in die gewählte Menge zu verstehen.
Eine interessante Aufgabe aus der Analysis besteht darin, zu ermitteln, ob eine Folge konvergiert, und im Falle der Konvergenz, gegen welchen Grenzwert. Eine unendliche Folge, die nicht konvergiert, kann nichtsdestoweniger Häufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge −1/2, 3/4, −5/6, 7/8, … besitzt die Häufungspunkte −1 und 1). Insbesondere hat jede beschränkte Folge in der Menge der reellen Zahlen mindestens einen Häufungspunkt (Satz von Bolzano-Weierstraß).
Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen, zu bestimmen, ob und falls gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Besonders nützlich ist hierbei das Monotoniekriterium, nach dem eine monoton steigende, nach oben beschränkte Folge in der Menge der reellen Zahlen stets konvergiert, wobei ihr Grenzwert mit ihrem Supremum übereinstimmt (Beispiel: die Folge 0, 1/2, 2/3, 3/4, … konvergiert gegen ihr Supremum 1). Entsprechend konvergiert eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge gegen ihr Infimum.
Die Charakterisierungskriterien Monotonie und Beschränktheit lassen sich verallgemeinern für alle Folgen, deren Zielmenge geordnet ist. Konstante, stationäre und periodische Folgen lassen sich für beliebige Zielbereiche, konvergente Folgen für einen beliebigen metrischen Raum als Zielbereich definieren.
Wichtige FolgenBearbeiten
Die meisten bekannten Folgen ganzer Zahlen können in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) von Neil Sloane nachgeschlagen werden. Diese Datenbank enthielt im Februar 2009 über 155.000 Beschreibungen von Zahlenfolgen.
Weitere oft genannte Zahlenfolgen sind etwa die konstanten Folgen mit der Funktionsvorschrift mit einer für alle festen Zahl und die durch () definierte harmonische Folge.
Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Beispiele sind die häufig verwendeten Folgen der geraden Zahlen 2, 4, 6, … mit der Funktionsvorschrift
und die der ungeraden Zahlen mit der Funktionsvorschrift
Allgemein lautet die Funktionsvorschrift
wobei die konstante Differenz bezeichnet.
Folgen, die sich auf arithmetische Folgen zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. So ist die Folge der Dreieckszahlen eine arithmetische Folge 2. Ordnung.
Folge:
1. Differenzfolge:
2. Differenzfolge:
Arithmetische Folgen -ter Ordnung sind genau diejenigen Folgen, die sich durch ein Polynom-ten Grades beschreiben lassen. Dieses Polynom lässt sich durch Lagrange-Interpolation aus beliebigen Folgenglieder finden. Die Dreieckzahlen gehorchen z. B. dem Bildungsgesetz .
Die Folge der Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, … hat die Funktionsvorschrift . Die Folge der Quadratzahlen ist ebenfalls eine arithmetische Folge 2. Ordnung, da sie sich als Reihe auffassen lässt, der die Folge der ungeraden Zahlen zugrunde liegt.
Die Folge der Kubikzahlen 0, 1, 8, 27, … besitzt die Vorschrift
was man für -te Potenzen der natürlichen Zahlen zu
verallgemeinern kann, wobei eine beliebige reelle Zahl sein darf. Mit erhält man die Folge der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen,
Bei negativen Exponenten ist zu beachten, dass nicht existiert. Beispielsweise ist es nicht möglich, mit und der Funktionsvorschrift
zu berechnen. Man kann den Index 0 ausschließen, sich also auf die Indexmenge beschränken. Oft ist es jedoch zweckmäßiger, die Indexmenge unverändert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in
abzuändern. Dann lauten die ersten Folgenglieder 1, 1/2, 1/3, 1/4, … In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift für beliebige Exponenten aufstellen:
So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben, so stehen in einer geometrischen Folge
aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten Verhältnis zueinander, . Zum Beispiel ergibt sich mit und die Folge der Zweierpotenzen
also zum Beispiel für die ersten zehn Glieder die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (jedes Glied ist doppelt so groß wie das vorangegangene). Wichtig ist diese Folge speziell für die Umwandlung von den in der Informatik verwendeten Dualzahlen in Dezimalzahlen (und umgekehrt). Eine geometrische Folge mit konvergiert gegen Null, wie beispielsweise die Folge 1; 0,1; 0,01; … zu :
Wenn erhält man die triviale Folge 1, 1, 1, …; wenn , erhält man aus
die fundamentale alternierende Folge 1, −1, 1, −1, …
Ein Beispiel für die Alltagsanwendung der geometrischen Folge ist die gleichstufige Stimmung der musikalischen Tonleiter – die aufeinanderfolgenden Glieder, hier Halbtonschritte, besitzen zueinander ein konstantes Frequenzverhältnis.
VerallgemeinerungenBearbeiten
In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge.
Ebenso wie bei Funktionen kann man neben den hier definierten Folgen mit Werten in Mengen auch Folgen mit Werten in einer echten Klasse definieren, also beispielsweise Folgen von Mengen oder Gruppen.
FolgenräumeBearbeiten
Aus Folgen können die Folgenräume gebildet werden, die vor allem in der Funktionalanalysis zur Konstruktion von Beispielen herangezogen werden.
LiteraturBearbeiten
Bourbaki: Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles. II/III. Paris 1970
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Teubner Verlag, Stuttgart
Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer Verlag 1964
WeblinksBearbeiten
Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Folge – Lern- und Lehrmaterialien
Folgen. In: Encyclopaedia of Mathematics, Springer; edited by Michiel Hazewinkel
EinzelnachweiseBearbeiten
M. Li, P.M.B. Vitányi: Kolmogorov Complexity and its Applications. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Algorithms and Complexity (= Handbook of Theoretical Computer Science, Band A). Elsevier, 1990, S. 187–254, hier: S. 198.
Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung Familie von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten beispielsweise Zahlen bezeichnet Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten Das Objekt mit der Nummer i displaystyle i man sagt hier auch mit dem Index i displaystyle i wird i displaystyle i tes Glied oder i displaystyle i te Komponente der Folge genannt Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik Mit unendlichen Folgen deren Glieder Zahlen sind beschaftigt sich vor allem die Analysis Ist n displaystyle n die Anzahl der Glieder einer endlichen Folge so spricht man von einer Folge der Lange n displaystyle n einer n displaystyle n gliedrigen Folge oder von einem n displaystyle n Tupel Die Folge ohne Glieder deren Index Bereich also leer ist wird leere Folge 0 gliedrige Folge oder 0 Tupel genannt Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Schreibweise 3 Formale Definition 4 Anwendungen 5 Bildungsgesetz einer Folge 5 1 Angabe von Anfangsgliedern 5 2 Angabe einer Funktionsvorschrift 5 3 Daran anknupfende Aufgaben 5 4 Angabe als Reihe 5 5 Angabe einer Rekursion 5 6 Angabe uber einen Algorithmus 6 Charakterisierung von Folgen 6 1 Monotonie 6 1 1 Begriff 6 1 2 Nachweis der Monotonie 6 2 Beschranktheit 6 2 1 Begriff 6 2 2 Nachweis der Beschranktheit und Bestimmung einer Schranke 6 3 Sonstige 7 Wichtige Folgen 7 1 Arithmetische Folgen und Reihen 7 2 Folgen auf Basis der Potenzfunktion 7 3 Geometrische Folgen 8 Verallgemeinerungen 9 Folgenraume 10 Literatur 11 Weblinks 12 EinzelnachweiseBeispiele Bearbeiten nbsp Kurven der ersten 5 Glieder der Funktionenfolge f n x x 2 n displaystyle f n x tfrac x 2 n nbsp 1 0 0 2 1 displaystyle 1 0 0 2 1 nbsp 5 Tupel von ganzen Zahlen sin cos tan cot displaystyle sin cos tan cot nbsp 4 Tupel trigonometrischer Funktionen 2 3 5 7 11 13 displaystyle 2 3 5 7 11 13 dotsc nbsp Folge der Primzahlen 1 1 2 1 2 3 displaystyle 1 1 2 1 2 3 dotsc nbsp Unendliche Folge von Mengen x 0 x 1 x 2 x 3 displaystyle x 0 x 1 x 2 x 3 dotsc nbsp Allgemeine unendliche Folge deren Terme fortlaufend indiziert sind Als Indizierungsbeginn ist hier die Null gewahlt Schreibweise BearbeitenAllgemein schreibt man fur eine endliche Folge a i i 1 n displaystyle left a i right i 1 dots n nbsp also a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 dotsc a n nbsp und bei unendlichen Folgen a i i N displaystyle left a i right i in mathbb N nbsp also a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 dotsc nbsp Das a i displaystyle a i nbsp steht dabei fur ein beliebiges Folgenglied die runde Klammer fasst diese zu einer Folge zusammen dann wird der Laufbereich des Index dargestellt dieser darf fehlen wenn er implizit klar ist Statt der runden Klammern werden manchmal auch spitze verwendet also a i i displaystyle left langle a i right rangle i nbsp statt der Kommas konnen Semikola verwendet werden wenn eine Verwechslungsgefahr mit dem Dezimaltrennzeichen besteht Der Unterschied zu der Menge der Folgenglieder a i i N displaystyle lbrace a i mid i in mathbb N rbrace nbsp oder a i i N displaystyle left lbrace a i right rbrace i in mathbb N nbsp besteht darin dass es auf die Reihenfolge der a n displaystyle a n nbsp ankommt und dass mehrere Folgenglieder denselben Wert haben konnen Beispiel Die Folge 0 1 0 2 0 4 0 8 hat die Bildmenge oder unterliegende Menge 0 1 2 4 8 Die Folge 1 0 2 0 0 4 0 0 0 0 8 hat dieselbe Bildmenge In beiden Folgen tritt der Wert 0 mehrfach auf Formale Definition BearbeitenEine unendliche Folge wird formal als eine Abbildung a N X i a i displaystyle begin matrix a colon amp mathbb N amp to amp X amp i amp mapsto amp a i end matrix nbsp definiert die jedem Index i displaystyle i nbsp aus der als Indexmenge verwendeten Menge der naturlichen Zahlen N displaystyle mathbb N nbsp ein Folgenglied a i displaystyle a i nbsp aus der Zielmenge X displaystyle X nbsp zuordnet Die Wahl des Anfangsindex ist jedoch letztlich willkurlich In der Schulmathematik und in den haufigsten Anwendungsfallen ist X displaystyle X nbsp die Menge der reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp Es werden aber auch zum Beispiel Folgen von Mengen und Funktionenfolgen betrachtet Fur eine endliche Folge Tupel mit n displaystyle n nbsp Gliedern definiert man den Index statt aus N displaystyle mathbb N nbsp aus einer endlichen Menge ublicherweise entweder aus der Menge 0 n 1 displaystyle 0 dotsc n 1 nbsp oder aus der Menge 1 n displaystyle 1 dotsc n nbsp Gelegentlich findet sich fur derartige Indexmengen die Notation n m i n n m a x displaystyle langle n mathrm min n mathrm max rangle nbsp Anwendungen BearbeitenUnendliche Folgen konnen gegen einen Grenzwert konvergieren Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen die Definition der Ableitung Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten und der riemannsche Integralbegriff Wichtige Folgen erhalt man als Koeffizienten von Taylorreihen analytischer Funktionen Manche elementare Funktionen fuhren dabei auf besondere Folgen so die Tangens Funktion auf die bernoullischen oder der Secans hyperbolicus auf die eulerschen Zahlen Zum Beweis der Konvergenz einer Folge ist die Methode der vollstandigen Induktion ein nutzliches Hilfsmittel Eine Reihe ist eine spezielle Folge von Zahlen deren i displaystyle i nbsp tes Glied sich aus der Summe der ersten i displaystyle i nbsp Glieder einer anderen Zahlenfolge ergibt Zum Beispiel ergibt sich die Reihe 1 3 6 10 15 aus der Folge 1 2 3 4 5 Reihen finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung Siehe dazu den Artikel Reihe Mathematik Bildungsgesetz einer Folge BearbeitenEs gibt mehrere Moglichkeiten eine Folge anzugeben Nennen aller Folgenglieder nur fur endliche Folgen moglich Funktionsgleichung Reihe Rekursion AlgorithmusEine endliche Folge kann man angeben indem man samtliche Folgenglieder nennt Bei einer unendlichen Folge geht das nicht stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen Folgen deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lasst werden zuweilen regelmassige Folgen genannt Angabe von Anfangsgliedern Bearbeiten Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe eine Folge fortzusetzen deren erste Glieder gegeben sind ist aus mathematischer Sicht unsinnig Auch durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen die aber im Auge des Betrachters liegen und weder richtig noch falsch sind sondern willkurlich sind Um zu zeigen dass eine Folge von Zahlen auf eine bestimmt Weise sich fortsetzt muss man die Bildungsvorschrift der bekannten Glieder kennen und nicht nur mutmassen Das steht diesen Intelligenztests aber entgegen BeispieleGegeben ist 0 1 2 3 Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4 5 6 also die Folge aller naturlichen Zahlen Moglich ist aber auch die Fortsetzung 0 1 2 3 0 und zwar als die periodische Folge der kleinsten positiven Reste der naturlichen Zahlen modulo 4 In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit im Zweierkomplement also als die absolut kleinsten Reste modulo 232 dargestellt Beim sukzessiven Erhohen eines Registers ohne Uberlauftest durchlauft man dann die Zahlenfolge 0 1 2 3 2147483647 2147483648 2147483647 1 und periodisch weiter nbsp Aus Lagrange Polynomen gewonnene Bildungs vorschriften fur 10 verschiedene Fortsetzungen der Folge 1 2 3 Die Kurven zeigen den Verlauf der Polynome Zu gegebenen n Folgengliedern kann man ein beliebiges Folgenglied hinzufugen und ein Polynom n Grades dadurch legen Damit kann man eine gegebene Folge beliebig fortsetzen und eine plausible mathematisch Bildungsvorschrift angeben Fur die Zahlenfolge 3 1 4 1 5 ist eine plausible Fortsetzung 1 6 1 7 Andere wurden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp wiedererkennen und die Fortsetzung 9 2 6 vorschlagen Eine sehr interessante Zahlenfolge sind die Werte der Borwein Integrale Diese sind lange Zeit exakt p 2 displaystyle pi 2 nbsp um nach vielen Gliedern auf einmal den Wert zu andern Eine weitere legendare Zahlenfolge ist 1 2 4 8 16 fur die es mittlerweile mehr als 10 Beispiele fur Folgen gibt die nicht mit 32 64 weitergehen und die die Losungen normaler Aufgaben sind Am bekanntesten ist das Mosersche Kreisflachenproblem auch als Pizza Problem bekannt Folge A000127 in OEIS Die Online Enzyklopadie der Zahlenfolgen OEIS enthalt zehntausende mathematisch relevanter Folgen Darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen Angabe einer Funktionsvorschrift Bearbeiten Fur viele aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift i a i displaystyle i mapsto a i nbsp als eine geschlossene Gleichung angeben In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp zugrunde Die Folge der naturlichen Zahlen 0 1 2 3 Dieses Beispiel ist speziell weil die Werte von Folgenglied und Index ubereinstimmen Die Funktionsvorschrift lautet einfacha i i displaystyle a i i nbsp Die Folge der ungeraden Zahlen 1 3 5 7 hat die Funktionsvorschrifta i 2 i 1 displaystyle a i 2i 1 nbsp Die Folge der Zweierpotenzen 1 2 4 8 a i 2 i displaystyle a i 2 i nbsp Daran anknupfende Aufgaben Bearbeiten Das Problem zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen ist einfach losbar Man nimmt nacheinander die Werte i 0 displaystyle i 0 nbsp i 1 displaystyle i 1 nbsp i 2 displaystyle i 2 nbsp usw setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder a 0 displaystyle a 0 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp usw Zweck dieser Rechnung ist es sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen Aber Achtung Eine Folge kann fur wirklich grosse Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten war Beispiel die Folge a i 1 1 i 1000 2 displaystyle a i 1 1 i 1000 2 nbsp die bis i 1000 displaystyle i 1000 nbsp monoton zunimmt dann aber wieder abnimmt wie man durch Einsetzen hoherer Zehnerpotenzen uberprufen kann Die Umkehraufgabe zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen ist dagegen deutlich schwieriger Streng genommen kann es gar keine eindeutige Losung geben denn jeder Folgenanfang lasst sich wie oben beschrieben in verschiedener Weise fortsetzen In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur fur Folgen gestellt deren Glieder a 0 displaystyle a 0 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp usw in einigermassen uberschaubarer Weise vom Index i 0 1 2 displaystyle i 0 1 2 dotsc nbsp abhangen Im Einzelnen konnen folgende Eigenschaften uberpruft werden Ist die Folge alternierend Wenn ja bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor 1 i displaystyle 1 i nbsp in der Funktionsvorschrift Beispiel 0 1 2 3 4 hat die Vorschrift a i 1 i i displaystyle a i 1 i cdot i nbsp Sind die Folgenglieder Bruche Wenn ja konstruiere man unabhangig voneinander Funktionsvorschriften fur Zahler und Nenner Beispiel 1 1 2 2 3 4 4 8 hat die Vorschrift a i i 1 2 i displaystyle a i i 1 2 i nbsp Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen d displaystyle d nbsp zu oder ab mit d lt 0 displaystyle d lt 0 nbsp Wenn ja hat man eine arithmetische Folge a i a 0 d i displaystyle a i a 0 d cdot i nbsp Beispiel 1 3 5 7 hat die Vorschrift a i 1 2 i displaystyle a i 1 2i nbsp Genugen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Gliedern einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgenglieder selbst Wenn ja kann man die Folge als eine Reihe auffassen siehe dazu unten Beispiel Fur 1 3 6 10 15 lauten die Differenzen 1 2 3 4 Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhaltnis 1 q displaystyle 1 q nbsp zueinander Wenn ja hat man eine geometrische Folge a i a 0 q i displaystyle a i a 0 cdot q i nbsp Beispiel Die Folge 100 80 64 51 2 nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0 8 ab also lautet die Vorschrift a i 100 0 8 i displaystyle a i 100 cdot 0 8 i nbsp Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder zu den Indizes 0 und 1 oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen Das liegt daran dass ein Summand 0 ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben sondern sofort ausgerechnet werden In der gekurzten Form 1 1 3 4 1 2 ist dem oben genannten Beispiel 1 1 2 2 3 4 4 8 die Funktionsvorschrift schwer anzusehen Angabe als Reihe Bearbeiten Eine Folge s n n N displaystyle left s n right n in mathbb N nbsp deren n displaystyle n nbsp tes Glied die Summe der ersten n displaystyle n nbsp Glieder einer anderen Folge a i i N displaystyle left a i right i in mathbb N nbsp ist heisst eine Reihe s n a 0 a 1 a n i 0 n a i displaystyle s n a 0 a 1 dotsb a n sum i 0 n a i nbsp Der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck i 0 n a i displaystyle sum nolimits i 0 n a i nbsp ist also eine Abkurzung fur den Ausdruck a 0 a 1 a n displaystyle a 0 a 1 dotsb a n nbsp Innerhalb und ausserhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden Dass speziell n displaystyle n nbsp und i displaystyle i nbsp gewahlt wurden entspricht einer weit verbreiteten Konvention ist aber nicht zwingend Um s n i 0 n a i displaystyle s n sum nolimits i 0 n a i nbsp als konkreten Zahlenwert zu berechnen muss ein konkreter Zahlenwert fur den Index n displaystyle n nbsp vorgegeben werden Im Gegensatz dazu ist der Index i displaystyle i nbsp kein von aussen vorzugebender Wert sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt Welches n displaystyle n nbsp auch immer gegeben ist fur den Laufindex i displaystyle i nbsp mussen nacheinander die Werte 0 1 n displaystyle n nbsp eingesetzt und die Summe der zugehorigen a 0 displaystyle a 0 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp a n displaystyle a n nbsp berechnet werden Man kann jede Folge s n n N displaystyle left s n right n in mathbb N nbsp als eine Reihe auffassen indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine zugehorige Folge a i s 0 wenn i 0 s i s i 1 sonst displaystyle a i begin cases s 0 amp text wenn i 0 s i s i 1 amp text sonst end cases nbsp konstruiert Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen Viele Erklarungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte sondern deren zeitliche Veranderungen was fur die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe wenn man die Summation fur beliebige n displaystyle n nbsp ausfuhren kann Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt fur die arithmetische Reihe und die geometrische Reihe Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert Fur unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe d h in obiger Schreibweise der Konvergenz von s n n N displaystyle left s n right n in mathbb N nbsp immer darauf schliessen dass die Folge der Summanden in obiger Schreibweise also die Folge a n n N displaystyle left a n right n in mathbb N nbsp gegen Null konvergiert Angabe einer Rekursion Bearbeiten Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden Dazu nennt man m displaystyle m nbsp Anfangswerte mit m 1 displaystyle m geq 1 nbsp meistens ist m 1 displaystyle m 1 nbsp oder m 2 displaystyle m 2 nbsp sowie eine Vorschrift wie ein Folgenglied a i displaystyle a i nbsp aus den vorhergehenden m displaystyle m nbsp Gliedern a i m a i 1 displaystyle a i m dotsc a i 1 nbsp berechnet werden kann Das bekannteste Beispiel fur eine Folge die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lasst ist die Fibonacci Folge 0 1 1 2 3 5 8 Fur sie ist m 2 displaystyle m 2 nbsp gegeben sind die zwei Anfangsglieder a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp und a 1 1 displaystyle a 1 1 nbsp sowie die Rekursionsvorschrift a i a i 2 a i 1 displaystyle a i a i 2 a i 1 nbsp Die explizite Formel von Moivre und Binet fur die Folgenglieder a i 1 5 1 5 2 i 1 5 2 i F i F i F F displaystyle a i frac 1 sqrt 5 left left frac 1 sqrt 5 2 right i left frac 1 sqrt 5 2 right i right frac Phi i bar Phi i Phi bar Phi nbsp steht in engem Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt und der Goldenen Zahl F displaystyle Phi nbsp Man beachte dass die a i displaystyle a i nbsp alle ganzzahlig sind da sich die ungeraden Potenzen der 5 displaystyle sqrt 5 nbsp heraussubtrahieren Fur manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten Zum Beispiel folgt fur die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift a i a 0 q i displaystyle a i a 0 cdot q i nbsp die Rekursionsvorschrift a i q a i 1 displaystyle a i q cdot a i 1 nbsp Die Rekursion a 1 2 a i 1 a i 2 1 a i displaystyle a 1 2 quad a i 1 frac a i 2 frac 1 a i nbsp definiert die Folge rationaler Zahlen 2 3 2 17 12 die gegen 2 displaystyle sqrt 2 nbsp konvergiert Angabe uber einen Algorithmus Bearbeiten Fur manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift Algorithmus aber keine Funktionsvorschrift Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2 3 5 7 11 Bereits den alten Griechen moglicherweise auch Indern war es bekannt wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet Eine Moglichkeit ist das Sieb des Eratosthenes anzuwenden Es gibt jedoch keine Methode zu einem gegebenen i displaystyle i nbsp die i displaystyle i nbsp te Primzahl anzugeben ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur i 1 displaystyle i 1 nbsp ten Primzahl zu bestimmen Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste sondern die 10 20 displaystyle 10 20 nbsp te Primzahl wissen mochte erhoht dies den Rechenaufwand stark Die Lange des kurzesten Algorithmus der eine Folge erzeugt heisst ihre Kolmogorow Komplexitat manchmal wird diese Bezeichnung in einem engen Sinn nur fur Zeichenfolgen d h endliche Folgen mit endlichen Zielmengen X displaystyle X nbsp verwendet Sie hangt zwar von der verwendeten Programmiersprache ab nach dem Invarianztheorem 1 differieren die Langen fur unterschiedliche Sprachen jedoch nur um eine nur sprachabhangige additive Konstante Charakterisierung von Folgen BearbeitenWie Funktionen kann man auch Zahlenfolgen uber ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren Monotonie Bearbeiten Hauptartikel Monotone Folge reeller Zahlen Begriff Bearbeiten Eine Folge heisst monoton steigend wenn sie von Glied zu Glied gleich bleibt oder zunimmt wenn also fur alle i displaystyle i nbsp aus N displaystyle mathbb N nbsp gilt a i a i 1 displaystyle a i leq a i 1 nbsp Die Folge heisst streng monoton steigend wenn sie von Glied zu Glied zunimmt wenn also fur alle i displaystyle i nbsp aus N displaystyle mathbb N nbsp gilt a i lt a i 1 displaystyle a i lt a i 1 nbsp Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert Der Begriff der Monotonie ist jedoch nicht auf reelle Zahlen beschrankt Jede geordnete Menge erlaubt eine sinnvolle Verwendung des Begriffs Nachweis der Monotonie Bearbeiten Vermutet man dass eine Folge nicht monoton bzw streng monoton ist setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein berechnet die zugehorigen Folgenglieder und hofft ein Gegenbeispiel zu finden Beispiel Die durch a i 2 i 3 i 1 displaystyle a i 2 i 3i 1 nbsp gegebene Folge ist nicht monoton denn a 0 1 gt a 2 4 7 displaystyle a 0 1 gt a 2 4 7 nbsp aber a 2 lt a 5 32 16 displaystyle a 2 lt a 5 32 16 nbsp Wenn man beispielsweise vermutet dass eine Folge streng monoton fallt schreibt man a i gt a i 1 displaystyle a i gt a i 1 nbsp wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus indem man auf der rechten Seite i 1 displaystyle i 1 nbsp anstelle von i displaystyle i nbsp in die Vorschrift einsetzt und uberpruft die so entstandene Ungleichung indem man sie durch Aquivalenzumformungen vereinfacht Beispiel a i 1 i displaystyle a i tfrac 1 i nbsp fuhrt auf 1 i gt 1 i 1 displaystyle textstyle frac 1 i gt frac 1 i 1 nbsp das ist aquivalent zu i 1 gt i displaystyle i 1 gt i nbsp bzw zur wahren Aussage 1 gt 0 displaystyle 1 gt 0 nbsp Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten einfacheren Folge zerlegen deren Steigungsverhalten schon bekannt ist Beispiel a i 2 i 1 i 1 2 i 1 1 i 1 2 1 i 1 displaystyle textstyle a i frac 2i 1 i 1 frac 2 i 1 1 i 1 2 frac 1 i 1 nbsp Wenn man weiss dass 1 i 1 displaystyle 1 i 1 nbsp streng monoton fallt kann man schliessen dass 1 i 1 displaystyle 1 i 1 nbsp streng monoton steigt Weil der Term 2 konstant ist steigt auch a i displaystyle a i nbsp streng monoton Beschranktheit Bearbeiten nbsp Die beschrankte Folge a n 1 n 1 1 n displaystyle a n 1 n 1 cdot tfrac 1 n nbsp mit eingezeichneten Schranken Begriff Bearbeiten Eine Folge reeller Zahlen heisst nach oben beschrankt wenn sie eine obere Schranke S displaystyle S nbsp besitzt so dass fur alle i displaystyle i nbsp aus N displaystyle mathbb N nbsp gilt a i S displaystyle a i leq S nbsp Die kleinste obere Schranke einer Folge heisst auch ihr Supremum Die Begriffe nach unten beschrankt untere Schranke und Infimum sind analog definiert Eine Folge die zugleich nach oben und nach unten beschrankt ist heisst beschrankt Nachweis der Beschranktheit und Bestimmung einer Schranke Bearbeiten Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht moglich denn mit auch noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen dass es nicht irgendeine sehr grosse bzw sehr kleine Zahl gibt durch die die Folge beschrankt ist Es muss also angenommen werden dass es eine Schranke gibt Nun wird die passende Ungleichung angesetzt d h fur eine obere Schranke also a i S displaystyle a i leq S nbsp Auf der linken Seite der Ungleichung wird die Funktionsvorschrift angewandt und dann nach i displaystyle i nbsp aufgelost Dadurch erhalt man mit etwas Gluck ein Ergebnis der Form i f S displaystyle i leq f S nbsp oder i f S displaystyle i geq f S nbsp wobei f S displaystyle f S nbsp fur einen von S displaystyle S nbsp abhangigen Term steht Im ersten Fall hat man herausgefunden dass die Folge nicht nach oben beschrankt ist egal wie gross f S displaystyle f S nbsp ist es ist immer moglich ein noch grosseres i displaystyle i nbsp zu finden das die Ungleichung verletzt Im zweiten Fall versucht man ein S displaystyle S nbsp zu finden fur das f S 0 displaystyle f S leq 0 nbsp ist Fur dieses S displaystyle S nbsp ist i f S displaystyle i geq f S nbsp immer erfullt und somit ist der Nachweis gelungen dass S displaystyle S nbsp eine obere Schranke ist Auch hier lasst sich der Nachweis einfacher gestalten wenn es gelingt die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen Sonstige Bearbeiten Eine Folge deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind heisst alternierend Eine Folge deren Glieder alle ubereinstimmen wird konstante Folge genannt Eine Folge deren Glieder alle ab einem bestimmten Glied ubereinstimmen wird stationare Folge genannt Eine Folge die gegen 0 konvergiert heisst Nullfolge Eine Folge wird abbrechend genannt falls sie ab einem bestimmten Glied 0 ist d h eine stationare Nullfolge Eine Folge die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht heisst periodisch Es gibt eine Periodenlange n displaystyle n nbsp und fur alle i displaystyle i nbsp aus N displaystyle mathbb N nbsp gilt a i a i n displaystyle a i a i n nbsp Teilfolge ist hier als Folge von 0 n displaystyle 0 n nbsp in die gewahlte Menge zu verstehen Eine interessante Aufgabe aus der Analysis besteht darin zu ermitteln ob eine Folge konvergiert und im Falle der Konvergenz gegen welchen Grenzwert Eine unendliche Folge die nicht konvergiert kann nichtsdestoweniger Haufungspunkte besitzen Beispiel die Folge 1 2 3 4 5 6 7 8 besitzt die Haufungspunkte 1 und 1 Insbesondere hat jede beschrankte Folge in der Menge der reellen Zahlen mindestens einen Haufungspunkt Satz von Bolzano Weierstrass Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge uber ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen zu bestimmen ob und falls gegen welchen Grenzwert sie konvergiert Besonders nutzlich ist hierbei das Monotoniekriterium nach dem eine monoton steigende nach oben beschrankte Folge in der Menge der reellen Zahlen stets konvergiert wobei ihr Grenzwert mit ihrem Supremum ubereinstimmt Beispiel die Folge 0 1 2 2 3 3 4 konvergiert gegen ihr Supremum 1 Entsprechend konvergiert eine monoton fallende nach unten beschrankte Folge gegen ihr Infimum Die Charakterisierungskriterien Monotonie und Beschranktheit lassen sich verallgemeinern fur alle Folgen deren Zielmenge X displaystyle X nbsp geordnet ist Konstante stationare und periodische Folgen lassen sich fur beliebige Zielbereiche konvergente Folgen fur einen beliebigen metrischen Raum als Zielbereich definieren Wichtige Folgen BearbeitenDie meisten bekannten Folgen ganzer Zahlen konnen in der On Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS von Neil Sloane nachgeschlagen werden Diese Datenbank enthielt im Februar 2009 uber 155 000 Beschreibungen von Zahlenfolgen Weitere oft genannte Zahlenfolgen sind etwa die konstanten Folgen mit der Funktionsvorschrift a n a displaystyle a n a nbsp mit einer fur alle n displaystyle n nbsp festen Zahl a displaystyle a nbsp und die durch a n 1 n displaystyle a n 1 n nbsp n 1 displaystyle n geq 1 nbsp definierte harmonische Folge Arithmetische Folgen und Reihen Bearbeiten Hauptartikel Arithmetische Folge nbsp Die arithmetische Folge a n n displaystyle a n n nbsp Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern Beispiele sind die haufig verwendeten Folgen der geraden Zahlen 2 4 6 mit der Funktionsvorschrift a i 2 i displaystyle a i 2i nbsp und die der ungeraden Zahlen mit der Funktionsvorschrift a i 1 2 i displaystyle a i 1 2i nbsp Allgemein lautet die Funktionsvorschrift a i a 0 i d displaystyle a i a 0 i cdot d nbsp wobei d displaystyle d nbsp die konstante Differenz bezeichnet Folgen die sich auf arithmetische Folgen zuruckfuhren lassen nennt man arithmetische Folgen hoherer Ordnung So ist die Folge der Dreieckszahlen eine arithmetische Folge 2 Ordnung Folge 1 displaystyle 1 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 15 displaystyle 15 nbsp displaystyle dotso nbsp 1 Differenzfolge 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp displaystyle dotso nbsp 2 Differenzfolge 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle dotso nbsp Arithmetische Folgen g displaystyle g nbsp ter Ordnung sind genau diejenigen Folgen die sich durch ein Polynom g displaystyle g nbsp ten Grades beschreiben lassen Dieses Polynom lasst sich durch Lagrange Interpolation aus g displaystyle g nbsp beliebigen Folgenglieder finden Die Dreieckzahlen gehorchen z B dem Bildungsgesetz a i i 2 2 i 2 displaystyle a i frac i 2 2 frac i 2 nbsp Folgen auf Basis der Potenzfunktion Bearbeiten Eine Potenzfolge ist eine Folge fur die die Potenzfunktion die Glieder liefert Erzeugende Funktion Die Folge der Quadratzahlen 0 1 4 9 hat die Funktionsvorschrift a i i 2 displaystyle a i i 2 nbsp Die Folge der Quadratzahlen ist ebenfalls eine arithmetische Folge 2 Ordnung da sie sich als Reihe auffassen lasst der die Folge der ungeraden Zahlen zugrunde liegt Die Folge der Kubikzahlen 0 1 8 27 besitzt die Vorschrift a i i 3 displaystyle a i i 3 nbsp was man fur s displaystyle s nbsp te Potenzen der naturlichen Zahlen zu a i i s displaystyle a i i s nbsp verallgemeinern kann wobei s displaystyle s nbsp eine beliebige reelle Zahl sein darf Mit s 1 2 displaystyle s 1 2 nbsp erhalt man die Folge 0 1 2 3 2 5 displaystyle 0 1 sqrt 2 sqrt 3 2 sqrt 5 dotsc nbsp der Quadratwurzeln der naturlichen Zahlen a i i 0 5 i displaystyle a i i 0 5 sqrt i nbsp Bei negativen Exponenten s lt 0 displaystyle s lt 0 nbsp ist zu beachten dass 0 s displaystyle 0 s nbsp nicht existiert Beispielsweise ist es nicht moglich mit s 1 displaystyle s 1 nbsp und der Funktionsvorschrift a i i 1 1 i displaystyle a i i 1 frac 1 i nbsp das Folgenglied zum Index i 0 displaystyle i 0 nbsp zu berechnen Man kann den Index 0 ausschliessen sich also auf die Indexmenge N displaystyle mathbb N nbsp beschranken Oft ist es jedoch zweckmassiger die Indexmenge N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp unverandert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in a i i 1 1 1 i 1 displaystyle a i i 1 1 frac 1 i 1 nbsp abzuandern Dann lauten die ersten Folgenglieder 1 1 2 1 3 1 4 In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift fur beliebige Exponenten s displaystyle s nbsp aufstellen a i i 1 s displaystyle a i i 1 s nbsp Geometrische Folgen Bearbeiten Hauptartikel Geometrische Folge nbsp Die geometrische Folge a n 2 n displaystyle a n 2 n nbsp So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben so stehen in einer geometrischen Folge a i a 0 q i displaystyle a i a 0 cdot q i nbsp aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten Verhaltnis zueinander a i 1 a i q displaystyle a i 1 a i q nbsp Zum Beispiel ergibt sich mit q 2 displaystyle q 2 nbsp und a 0 1 displaystyle a 0 1 nbsp die Folge der Zweierpotenzen a i 2 i displaystyle a i 2 i nbsp also zum Beispiel fur die ersten zehn Glieder die Folge 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 jedes Glied ist doppelt so gross wie das vorangegangene Wichtig ist diese Folge speziell fur die Umwandlung von den in der Informatik verwendeten Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt Eine geometrische Folge mit q lt 1 displaystyle vert q vert lt 1 nbsp konvergiert gegen Null wie beispielsweise die Folge 1 0 1 0 01 zu q 0 1 displaystyle q 0 1 nbsp a i 1 10 i displaystyle a i left frac 1 10 right i nbsp Wenn q 1 displaystyle q 1 nbsp erhalt man die triviale Folge 1 1 1 wenn q 1 displaystyle q 1 nbsp erhalt man aus a i 1 i displaystyle a i 1 i nbsp die fundamentale alternierende Folge 1 1 1 1 Ein Beispiel fur die Alltagsanwendung der geometrischen Folge ist die gleichstufige Stimmung der musikalischen Tonleiter die aufeinanderfolgenden Glieder hier Halbtonschritte besitzen zueinander ein konstantes Frequenzverhaltnis Verallgemeinerungen BearbeitenIn der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge Ebenso wie bei Funktionen kann man neben den hier definierten Folgen mit Werten in Mengen auch Folgen mit Werten in einer echten Klasse definieren also beispielsweise Folgen von Mengen oder Gruppen Folgenraume BearbeitenAus Folgen konnen die Folgenraume gebildet werden die vor allem in der Funktionalanalysis zur Konstruktion von Beispielen herangezogen werden Literatur BearbeitenBourbaki Elements de mathematique Theorie des Ensembles II III Paris 1970 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 Teubner Verlag Stuttgart Konrad Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen Springer Verlag 1964Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Folge Lern und Lehrmaterialien nbsp Wikibooks M A T H E m a T R i x displaystyle begin smallmatrix mathbf MATHE mu alpha T mathbb R ix end smallmatrix nbsp Mathematik fur die Schule Online Enzyklopadie der Zahlenfolgen Zahlenfolgen fur Schuler erklart Folgen In Encyclopaedia of Mathematics Springer edited by Michiel HazewinkelEinzelnachweise Bearbeiten M Li P M B Vitanyi Kolmogorov Complexity and its Applications In Jan van Leeuwen Hrsg Algorithms and Complexity Handbook of Theoretical Computer Science Band A Elsevier 1990 S 187 254 hier S 198 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Folge Mathematik amp oldid 236870680 Sonstige
