Die Navier Cauchy Navier oder Navier Lame Gleichungen nach Claude Louis Marie Henri Navier Augustin Louis Cauchy und Gabriel Lame sind ein mathematisches Modell der Bewegung inklusive Deformation von elastischen Festkorpern Bei der Herleitung der Modellgleichungen wird sowohl geometrische als auch physikalische Linearitat lineare Elastizitat vorausgesetzt Die Gleichungen lauten koordinatenunabhangig vektoriell ϱ u G D u 1 1 2 n u ϱ k G D u 1 1 2 n g r a d d i v u ϱ k displaystyle begin aligned varrho ddot vec u amp G left Delta vec u frac 1 1 2 nu nabla nabla cdot vec u right varrho vec k amp G left Delta vec u frac 1 1 2 nu rm grad big div vec u big right varrho vec k end aligned oder in kartesischen Koordinaten ϱ 2 u i t 2 G k 1 3 2 u i x k 2 1 1 2 n 2 u k x i x k ϱ k i i 1 2 3 displaystyle varrho frac partial 2 u i partial t 2 G sum k 1 3 left frac partial 2 u i partial x k 2 frac 1 1 2 nu frac partial 2 u k partial x i partial x k right varrho k i quad i 1 2 3 Es handelt sich um ein partielles Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung in drei unbekannten Verschiebungen u x t displaystyle vec u vec x t die im Allgemeinen sowohl vom Ort x displaystyle vec x als auch von der Zeit t abhangen Verschiebungen sind die Wege die die Partikel eines Korpers bei einer Bewegung inklusive Deformation zurucklegen Die Materialparameter ϱ G und n sind die Dichte der Schubmodul bzw die Querkontraktionszahl D 2 grad und div der Nabla Laplace Gradienten bzw Divergenzoperator und ϱ k displaystyle varrho vec k reprasentiert eine volumenverteilte Kraft wie die Schwerkraft eine ist Jedes Material im festen Aggregatzustand hat einen mehr oder weniger ausgepragten linear elastischen Bereich zumindest bei kleinen und langsamen Verformungen die bei vielen Anwendungen vor allem im technischen Bereich vorliegen Inhaltsverzeichnis 1 Historisches 2 Herleitung 3 Koordinaten der Navier Cauchy Gleichungen 3 1 Kartesische Koordinaten 3 2 Zylinderkoordinaten 3 3 Kugelkoordinaten 4 Randbedingungen 5 Losungsmethoden 6 Spezialfalle 6 1 Ebene Probleme 6 2 Harmonische Schwerkraft 6 3 Inkompressibilitat 6 4 Wellengleichungen 7 Beispiel 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 Fussnoten 11 Einzelnachweise 12 LiteraturHistorisches BearbeitenClaude Louis Marie Henri Navier leitete diese nach ihm benannte Gleichung 1821 aus einem molekularen Modell ab das auf Materialien mit identischen ersten und zweiten Lame Konstanten beschrankt ist Die allgemeinere hier vorgestellte Gleichung mit zwei verschiedenen Elastizitatskonstanten erschien erstmals in einer Arbeit von Cauchy 1828 L 1 Herleitung BearbeitenAusgangspunkt ist das erste Cauchy Euler sche Bewegungsgesetz bei kleinen Verschiebungen ϱ u s ϱ k displaystyle varrho ddot vec u nabla cdot boldsymbol sigma varrho vec k nbsp das der Impulsbilanz entspricht Zusatzlich zu den eingangs beschriebenen Variablen tritt hier der infolge des Drallsatzes symmetrische Spannungstensor s auf Dessen Abhangigkeit von den Verschiebungen ergibt sich mit dem linearisierten Verzerrungstensor e 1 2 u u 1 2 grad u grad u displaystyle boldsymbol varepsilon frac 1 2 nabla otimes vec u nabla otimes vec u top frac 1 2 operatorname grad vec u top operatorname grad vec u nbsp aus dem Hooke schen Gesetz s 2 G e n 1 2 n S p e 1 G u u n 1 2 n S p u u 1 G u u 2 n 1 2 n u 1 displaystyle begin aligned boldsymbol sigma amp 2G left boldsymbol varepsilon frac nu 1 2 nu mathrm Sp boldsymbol varepsilon mathbf 1 right amp G left nabla otimes vec u nabla otimes vec u top frac nu 1 2 nu mathrm Sp left nabla otimes vec u nabla otimes vec u top right mathbf 1 right amp G left nabla otimes vec u nabla otimes vec u top frac 2 nu 1 2 nu nabla cdot vec u mathbf 1 right end aligned nbsp Das Superskript steht fur die Transposition des dyadischen Produkts 1 fur den Einheitstensor und der Operator Sp extrahiert die von der Transposition unbeeinflusste Spur die bei dem Gradient eines Vektorfeldes gleich der Divergenz desselben ist Die im ersten Cauchy Eulerschen Bewegungsgesetz auftretende Divergenz wird bereitgestellt F 1 s G D u u 2 n 1 2 n u 1 G D u 1 1 2 n u displaystyle begin aligned nabla cdot boldsymbol sigma amp G left Delta vec u nabla nabla cdot vec u frac 2 nu 1 2 nu nabla cdot big nabla cdot vec u mathbf 1 big right amp G left Delta vec u frac 1 1 2 nu nabla nabla cdot vec u right end aligned nbsp In Kombination mit dem obigen Bewegungsgesetz ϱ u s ϱ k displaystyle varrho ddot vec u nabla cdot boldsymbol sigma varrho vec k nbsp fuhrt das auf die Navier Cauchy Gleichungen ϱ u G D u 1 1 2 n u ϱ k m D u l m u ϱ k displaystyle begin aligned varrho ddot vec u amp G left Delta vec u frac 1 1 2 nu nabla nabla cdot vec u right varrho vec k amp mu Delta vec u lambda mu nabla nabla cdot vec u varrho vec k end aligned nbsp In der letzten Gleichung wurden alternativ die erste und zweite Lame Konstante l und m eingesetzt Gelegentlich ist es bequem noch die Identitat D u u u displaystyle Delta vec u nabla nabla cdot vec u nabla times nabla times vec u nbsp auszunutzen ϱ u l 2 m u m u ϱ k displaystyle varrho ddot vec u lambda 2 mu nabla nabla cdot vec u mu nabla times nabla times vec u varrho vec k nbsp Das Kreuzprodukt mit dem Nabla Operator bildet die Rotation eines Vektorfeldes Koordinaten der Navier Cauchy Gleichungen BearbeitenDie Navier Cauchy Gleichungen sind in kartesischen zylinder und Kugelkoordinaten bekannt L 2 Kartesische Koordinaten Bearbeiten ϱ u x m D u x l m x u x x u y y u z z ϱ k x ϱ u y m D u y l m y u x x u y y u z z ϱ k y ϱ u z m D u z l m z u x x u y y u z z ϱ k z displaystyle begin aligned varrho ddot u x amp mu Delta u x lambda mu frac partial partial x left frac partial u x partial x frac partial u y partial y frac partial u z partial z right varrho k x varrho ddot u y amp mu Delta u y lambda mu frac partial partial y left frac partial u x partial x frac partial u y partial y frac partial u z partial z right varrho k y varrho ddot u z amp mu Delta u z lambda mu frac partial partial z left frac partial u x partial x frac partial u y partial y frac partial u z partial z right varrho k z end aligned nbsp mit D f 2 f x 2 2 f y 2 2 f z 2 displaystyle Delta f frac partial 2 f partial x 2 frac partial 2 f partial y 2 frac partial 2 f partial z 2 nbsp Zylinderkoordinaten Bearbeiten ϱ u r m D u r u r r 2 2 r 2 u f f l m r 1 r r r u r 1 r u f f u z z ϱ k r ϱ u f m D u f u f r 2 2 r 2 u r f l m 1 r f 1 r r r u r 1 r u f f u z z ϱ k f ϱ u z m D u z l m z 1 r r r u r 1 r u f f u z z ϱ k z displaystyle begin aligned varrho ddot u rho amp mu left Delta u rho frac u rho rho 2 frac 2 rho 2 frac partial u varphi partial varphi right amp lambda mu frac partial partial rho left frac 1 rho frac partial partial rho rho u rho frac 1 rho frac partial u varphi partial varphi frac partial u z partial z right varrho k rho varrho ddot u varphi amp mu left Delta u varphi frac u varphi rho 2 frac 2 rho 2 frac partial u rho partial varphi right amp lambda mu frac 1 rho frac partial partial varphi left frac 1 rho frac partial partial rho rho u rho frac 1 rho frac partial u varphi partial varphi frac partial u z partial z right varrho k varphi varrho ddot u z amp mu Delta u z amp lambda mu frac partial partial z left frac 1 rho frac partial partial rho rho u rho frac 1 rho frac partial u varphi partial varphi frac partial u z partial z right varrho k z end aligned nbsp mit D f 1 r r r f r 1 r 2 2 u f f 2 2 u z z 2 displaystyle Delta f frac 1 rho frac partial partial rho left rho frac partial f partial rho right frac 1 rho 2 frac partial 2 u varphi partial varphi 2 frac partial 2 u z partial z 2 nbsp Kugelkoordinaten Bearbeiten Die Formulierung benutzt den Sinus und Cosinus sin bzw cos und den Tangens tan ϱ u r m D u r 2 u r r 2 2 r 2 sin ϑ u f f 2 u ϑ r 2 tan ϑ 2 r 2 u ϑ ϑ ϱ k r l m r 1 r 2 r r 2 u r 1 r sin ϑ ϑ u ϑ sin ϑ 1 r sin ϑ u f f ϱ u ϑ m D u ϑ 2 r 2 u r ϑ u ϑ r 2 sin 2 ϑ 2 cos ϑ r 2 sin 2 ϑ u f f ϱ k ϑ l m r ϑ 1 r 2 r r 2 u r 1 r sin ϑ ϑ u ϑ sin ϑ 1 r sin ϑ u f f ϱ u f m D u f u f r 2 sin 2 ϑ 2 r 2 sin ϑ u r f 2 cos ϑ r 2 sin 2 ϑ u ϑ f ϱ k f l m r sin ϑ f 1 r 2 r r 2 u r 1 r sin ϑ ϑ u ϑ sin ϑ 1 r sin ϑ u f f displaystyle begin aligned varrho ddot u r amp mu left Delta u r frac 2u r r 2 frac 2 r 2 sin vartheta frac partial u varphi partial varphi frac 2u vartheta r 2 tan vartheta frac 2 r 2 frac partial u vartheta partial vartheta right varrho k r amp lambda mu frac partial partial r left frac 1 r 2 frac partial partial r r 2 u r frac 1 r sin vartheta frac partial partial vartheta big u vartheta sin vartheta big frac 1 r sin vartheta frac partial u varphi partial varphi right varrho ddot u vartheta amp mu left Delta u vartheta frac 2 r 2 frac partial u r partial vartheta frac u vartheta r 2 sin 2 vartheta 2 frac cos vartheta r 2 sin 2 vartheta frac partial u varphi partial varphi right varrho k vartheta amp frac lambda mu r frac partial partial vartheta left frac 1 r 2 frac partial partial r r 2 u r frac 1 r sin vartheta frac partial partial vartheta big u vartheta sin vartheta big frac 1 r sin vartheta frac partial u varphi partial varphi right varrho ddot u varphi amp mu left Delta u varphi frac u varphi r 2 sin 2 vartheta frac 2 r 2 sin vartheta frac partial u r partial varphi frac 2 cos vartheta r 2 sin 2 vartheta frac partial u vartheta partial varphi right varrho k varphi amp frac lambda mu r sin vartheta frac partial partial varphi left frac 1 r 2 frac partial partial r r 2 u r frac 1 r sin vartheta frac partial partial vartheta big u vartheta sin vartheta big frac 1 r sin vartheta frac partial u varphi partial varphi right end aligned nbsp mit D f 2 f r 2 2 r f r 1 r 2 sin ϑ ϑ sin ϑ f ϑ 1 r 2 sin 2 ϑ 2 f f 2 displaystyle Delta f frac partial 2 f partial rho 2 frac 2 r frac partial f partial rho frac 1 r 2 sin vartheta frac partial partial vartheta left sin vartheta frac partial f partial vartheta right frac 1 r 2 sin 2 vartheta frac partial 2 f partial varphi 2 nbsp Randbedingungen Bearbeiten Hauptartikel Randbedingung Im konkreten Berechnungsfall der Navier Cauchy Gleichungen sind Randbedingungen zu definieren Als geometrische oder Dirichlet Randbedingungen werden in den Auflagern die Verschiebung vorgegeben oftmals ganz unterdruckt Die dynamischen oder Neumann Randbedingungen entsprechen flachenverteilten Kraften t displaystyle vec t nbsp Vektoren mit der Dimension Kraft pro Flache die auf Oberflachen des Korpers wirken Losungsmethoden BearbeitenFur einfache Falle siehe das Beispiel unten gerade Stabe und ebene Scheiben konnen analytische Losungen angegeben werden Bei unregelmassig geformten Korpern bietet sich als numerisches Werkzeug die Verschiebungsmethode in der Finite Elemente Methode an Spezialfalle BearbeitenEbene Probleme Bearbeiten Analytische Losungen fur die dreidimensionalen Navier Cauchy Gleichungen sind schwer aufzufinden Die meisten erlangten Losungen basieren auf 2 dimensionalen Modellen L 3 Ebener Verzerrungszustand Hier verschwindenden alle Verzerrungen in Dickenrichtung was bei sehr dicken oder langen zylindrischen Korpern vorkommt Ebener Spannungszustand Bei ihm verschwindenden Spannungen in Dickenrichtung was in dunnen Flachentragern vorkommt Im Inneren von Korpern kann dieser Zustand bei ortsabhangigen Spannungen nur naherungsweise erfullt sein Verallgemeinerter ebener Spannungszustand Wegen dieses Mangels des ebenen Spannungszustands wurde eine Theorie entwickelt die mit uber die Dicke gemittelten Grossen arbeitet Antiebener Verzerrungszustand Dieses Modell setzt ausschliesslich Verschiebungen in Dickenrichtung voraus Axialsymmetrischer Verzerrungszustand Dies ist die Formulierung in Zylinderkoordinaten wo eine Abhangigkeit von der Umfangsrichtung f entfallt Der ebene Verzerrungszustand und der ebene Spannungszustand sind die fundamentalen ebenen Theorien und liefern sehr ahnliche Feldgleichungen Diese konnen auf nur eine Gleichung in einer unbekannten die Airy sche Spannungsfunktion zuruckgefuhrt werden Die weitreichenden Eigenschaften komplexwertiger Funktionen konnen mit dem Ansatz U u iv ausgenutzt werden wo i die imaginare Einheit ist Im statischen Fall fuhrt dieser Ansatz auf 2 m 2 U z z l m z U z U z 0 displaystyle 2 mu frac partial 2 U partial bar z partial z lambda mu frac partial partial bar z left frac partial U partial z frac partial bar U partial z right 0 nbsp Darin stellt der Uberstrich den konjugiert komplexen Wert dar Die allgemeine Losung dieser Gleichung lasst sich mit zwei zu bestimmenden Funktionen F und PS darstellen 2 m U g F z z F z PS z displaystyle 2 mu U gamma Phi z z overline Phi z overline Psi z nbsp Der Parameter g hangt von der Querkontraktionszahl ab g 3 4 n im ebenen Spannungszustand 3 n 1 n im ebenen Verzerrungszustand displaystyle gamma begin cases 3 4 nu amp text im ebenen Spannungszustand frac 3 nu 1 nu amp text im ebenen Verzerrungszustand end cases nbsp Siehe Airysche Spannungsfunktion Darstellung mit komplexen Funktionen Harmonische Schwerkraft Bearbeiten Im Gleichgewicht schreiben sich die Navier Cauchy Gleichungen 0 l 2 m u m u ϱ k displaystyle vec 0 lambda 2 mu nabla nabla cdot vec u mu nabla times nabla times vec u varrho vec k nbsp Die Divergenz und Rotation dieser Gleichung liefern F 2 l 2 m D u l 2 m D u ϱ k m D u ϱ k displaystyle begin aligned lambda 2 mu Delta nabla cdot vec u lambda 2 mu nabla cdot Delta vec u amp nabla cdot varrho vec k mu nabla times Delta vec u amp nabla times varrho vec k end aligned nbsp Wenn die Schwerkraft ϱ k displaystyle varrho vec k nbsp sowohl divergenz als auch rotationsfrei ist dann resultiert D u 0 und D u 0 displaystyle nabla cdot Delta vec u 0 quad text und quad nabla times Delta vec u vec 0 nbsp Ein Vektorfeld dessen Divergenz und Rotation verschwinden ist harmonisch so dass im Gleichgewicht von ϱ k 0 displaystyle nabla cdot varrho vec k 0 nbsp und rot ϱ k 0 displaystyle operatorname rot varrho vec k vec 0 nbsp auf D D u 0 displaystyle Delta Delta vec u vec 0 nbsp geschlossen werden kann Letzteres ist die sogenannte biharmonische Differentialgleichung Inkompressibilitat Bearbeiten Bei Inkompressibilitat verschwindet die Spur des Verzerrungstensors denn sie gibt die Volumendehnung an Sp e 1 2 Sp u u Sp u u 0 displaystyle operatorname Sp boldsymbol varepsilon frac 1 2 operatorname Sp nabla otimes vec u nabla otimes vec u top operatorname Sp nabla otimes vec u nabla cdot vec u 0 nbsp Bei Inkompressibilitat ist der Kugel Anteil des Spannungstensors unbestimmt und wird zum Drucktensor zusammengefasst s p 1 2 G e p 1 G u G u displaystyle boldsymbol sigma p mathbf 1 2G boldsymbol varepsilon p mathbf 1 G nabla otimes vec u G nabla otimes vec u top nbsp Der Skalar p ist der Druck der sich erst im konkreten Berechnungsfall aus den Randbedingungen und Naturgesetzen ergibt Fur die Divergenz des Spannungstensors hat dies die Konsequenz siehe die obigen Anmerkungen F 1 s p 1 G u G u p G D u G u p G D u displaystyle begin aligned nabla cdot boldsymbol sigma amp nabla cdot p mathbf 1 G nabla cdot nabla otimes vec u G nabla cdot nabla otimes vec u top amp nabla p G Delta vec u G nabla nabla cdot vec u amp nabla p G Delta vec u end aligned nbsp Das erste Cauchy Euler sche Bewegungsgesetz schreibt sich dann ϱ u s ϱ k p G D u ϱ k displaystyle varrho ddot vec u nabla cdot boldsymbol sigma varrho vec k nabla p G Delta vec u varrho vec k nbsp Zu diesen drei Gleichungen in den vier Unbekannten p u displaystyle p vec u nbsp wird noch u 0 displaystyle nabla cdot vec u 0 nbsp zum Abschluss benotigt Wellengleichungen Bearbeiten Division der Navier Cauchy Gleichung mit Rotation durch die Dichte ergibt bei vernachlassigbarer Schwerkraft u l 2 m ϱ u m ϱ u c l 2 u c t 2 u displaystyle begin aligned ddot vec u amp frac lambda 2 mu varrho nabla nabla cdot vec u frac mu varrho nabla times nabla times vec u amp c l 2 nabla nabla cdot vec u c t 2 nabla times nabla times vec u end aligned nbsp Die Faktoren cl und ct haben die Dimension einer Geschwindigkeit Gemass dem Helmholtz Theorem lasst sich jedes reale Verschiebungsfeld eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen u u l u t displaystyle vec u vec u l vec u t nbsp mit u l 0 displaystyle nabla times vec u l vec 0 nbsp und u t 0 displaystyle nabla cdot vec u t 0 nbsp Fur den rotationsfreien Anteil gibt es ein Skalarpotential dessen Gradientenfeld er ist und fur den divergenzfreien Anteil existiert ein Vektorfeld dessen Rotation er ist u l f u t a u f a displaystyle begin aligned vec u l amp nabla varphi quad vec u t nabla times vec a vec u amp nabla varphi nabla times vec a end aligned nbsp Dies in die Navier Cauchy Gleichung eingesetzt u 2 t 2 f 2 t 2 a c l 2 f c t 2 a displaystyle ddot vec u frac partial 2 partial t 2 nabla varphi frac partial 2 partial t 2 nabla times vec a c l 2 nabla nabla cdot nabla varphi c t 2 nabla times nabla times nabla times vec a nbsp zeigt mit f f D f displaystyle nabla times nabla times vec f nabla nabla cdot vec f Delta vec f nbsp und D 2 2 t 2 f 2 t 2 a c l 2 D f c t 2 a c t 2 D a c l 2 D f c t 2 D a displaystyle begin aligned frac partial 2 partial t 2 nabla varphi frac partial 2 partial t 2 nabla times vec a amp c l 2 nabla Delta varphi c t 2 nabla nabla cdot nabla times vec a c t 2 Delta nabla times vec a amp c l 2 nabla Delta varphi c t 2 nabla times Delta vec a end aligned nbsp oder umgestellt mithilfe vom Satz von Schwarz der die Reihenfolge der Ableitungen freigibt 2 f t 2 c l 2 D f 2 a t 2 c t 2 D a 0 displaystyle nabla left frac partial 2 varphi partial t 2 c l 2 Delta varphi right nabla times left frac partial 2 vec a partial t 2 c t 2 Delta vec a right vec 0 nbsp Diese Gleichung wird gewiss erfullt wenn die in den Klammern stehenden Terme verschwinden die Wellengleichungen darstellen 2 f t 2 c l 2 D f 0 2 a t 2 c t 2 D a 0 displaystyle begin aligned frac partial 2 varphi partial t 2 c l 2 Delta varphi amp 0 frac partial 2 vec a partial t 2 c t 2 Delta vec a amp vec 0 end aligned nbsp Die obere Gleichung beschreibt Longitudinalwellen die sich mit der Geschwindigkeit c l l 2 m ϱ displaystyle c l sqrt frac lambda 2 mu varrho nbsp ausbreiten und die untere Transversalwellen die sich mit der Geschwindigkeit c t m ϱ displaystyle c t sqrt frac mu varrho nbsp fortpflanzen Wegen c l gt c t displaystyle c l gt c t nbsp werden Longitudinalwellen als P Wellen Primarwellen und die Transversalwellen als S Wellen Sekundarwellen bezeichnet denn diese treffen spater ein Beispiel Bearbeiten nbsp Longitudinalwellen eines elastischen Stabes in den ersten beiden ModenBei der Longitudinalwelle des geraden Stabes der in 1 Richtung liegt im Bild waagerecht bewegen sich alle Querschnittsflachen parallel zur 1 Richtung und Schubverzerrungen treten nicht auf Unter Vernachlassigung der Schwerebeschleunigung lautet die Navier Cauchy Gleichung in 1 Richtung r 2 u 1 t 2 G 2 u 1 x 1 2 2 u 1 x 2 2 2 u 1 x 3 2 1 1 2 n 2 u 1 x 1 x 1 2 u 2 x 1 x 2 2 u 3 x 1 x 3 displaystyle begin aligned rho frac partial 2 u 1 partial t 2 amp G Bigg frac partial 2 u 1 partial x 1 2 frac partial 2 u 1 partial x 2 2 frac partial 2 u 1 partial x 3 2 amp qquad frac 1 1 2 nu left frac partial 2 u 1 partial x 1 partial x 1 frac partial 2 u 2 partial x 1 partial x 2 frac partial 2 u 3 partial x 1 partial x 3 right Bigg end aligned nbsp Aus der Querdehnung in k Richtung k 2 3 e k k n e 11 u k x k n u 1 x 1 2 u k x 1 x k n 2 u 1 x 1 2 displaystyle varepsilon kk nu varepsilon 11 quad rightarrow frac partial u k partial x k nu frac partial u 1 partial x 1 quad rightarrow frac partial 2 u k partial x 1 partial x k nu frac partial 2 u 1 partial x 1 2 nbsp und der Abwesenheit von Schubverzerrungen e 1 k 1 2 u 1 x k u k x 1 0 2 u 1 x k 2 2 u k x 1 x k n 2 u 1 x 1 2 displaystyle varepsilon 1k frac 1 2 left frac partial u 1 partial x k frac partial u k partial x 1 right 0 quad rightarrow frac partial 2 u 1 partial x k 2 frac partial 2 u k partial x 1 partial x k nu frac partial 2 u 1 partial x 1 2 nbsp folgt mit dem Elastizitatsmodul E 2 G 1 n displaystyle E 2G 1 nu nbsp r 2 u 1 t 2 G 2 u 1 x 1 2 2 n 2 u 1 x 1 2 1 1 2 n 2 u 1 x 1 2 2 n 1 2 n 2 u 1 x 1 2 E 2 u 1 x 1 2 displaystyle rho frac partial 2 u 1 partial t 2 G left frac partial 2 u 1 partial x 1 2 2 nu frac partial 2 u 1 partial x 1 2 frac 1 1 2 nu frac partial 2 u 1 partial x 1 2 frac 2 nu 1 2 nu frac partial 2 u 1 partial x 1 2 right E frac partial 2 u 1 partial x 1 2 nbsp Senkrecht zur Stabachse werden die Navier Cauchy Gleichungen verletzt weswegen diese Naherung nur fur schlanke Stabe gultig ist Mit u u 1 x x 1 displaystyle u u 1 x x 1 nbsp und der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c E r displaystyle c sqrt E rho nbsp ergibt sich die Schwingungsgleichung fur den geraden Stab 2 u t 2 c 2 2 u x 2 displaystyle frac partial 2 u partial t 2 c 2 frac partial 2 u partial x 2 nbsp Der Produktansatz u x t a T t U x C displaystyle u x t aT t U x C nbsp mit freien Parametern a und C die in der Schwingungsgleichung heraus fallen und der Anpassung an Randbedingungen dienen sowie zwei noch zu bestimmenden Funktionen T und U ergibt T U c 2 T U T T c 2 U U displaystyle ddot T U c 2 TU quad rightarrow quad frac ddot T T c 2 frac U U nbsp Der Strich gibt wie ublich die Ableitung nach der x Koordnate wieder Weil die Funktionen auf der linken Seite der letzten Gleichung nur von der Zeit und die auf der rechten Seite nur von der x Koordinate abhangen sind die Bruche Konstanten T T w 2 T t sin w t a U U l 2 U x u sin l x b w 2 c 2 l 2 w c l displaystyle begin aligned frac ddot T T amp omega 2 rightarrow amp T t amp sin omega t alpha frac U U amp lambda 2 rightarrow amp U x amp u sin lambda x beta omega 2 amp c 2 lambda 2 rightarrow amp omega amp pm c lambda end aligned nbsp Die Amplitude der Funktion T und der Faktor a werden der Amplitude u der Funktion U zugeschlagen Die Amplitude u die Verschiebung C die Kreisfrequenzen w und l sowie die Phasenwinkel a und b mussen an die Anfangs und Randbedingungen angepasst werden Bei fester Einspannung bei x0 ist U x 0 u sin l x 0 b 0 b l x 0 displaystyle U x 0 u sin lambda x 0 beta 0 quad rightarrow quad beta lambda x 0 nbsp Andere Werte fur b sind zwar moglich fuhren aber auf gleichwertige Losungen und Translationen werden mit dem Parameter C realisiert An einem freien Ende bei x x0 wird die Normalkraft N E A U x0 vorgegeben wo der Faktor E der Elastizitatsmodul und A die Querschnittsflache des Stabes ist So wird mit der Kraft die Ableitung der Funktion U am freien Ende festgelegt U x 0 u l cos l x 0 b N E A displaystyle U x 0 u lambda cos lambda x 0 beta frac N EA nbsp Im konkreten Fall hier wird anfanglich maximale Auslenkung mit T 0 sin a 1 a p 2 T t cos w t displaystyle T 0 sin alpha 1 quad rightarrow quad alpha frac pi 2 quad rightarrow quad T t cos omega t nbsp feste Einspannung in C x 0 ein unbelastetes freies Ende bei x L und anfangliche Auslenkung R am freien Ende angenommen U 0 0 b 0 U L u l cos l L 0 l 2 n 1 p 2 L w c U L R u sin 2 n 1 p 2 1 n 1 u displaystyle begin aligned U 0 amp 0 quad rightarrow quad beta 0 U L amp u lambda cos lambda L equiv 0 quad rightarrow quad lambda frac 2n 1 pi 2L frac omega c U L amp R u sin left frac 2n 1 pi 2 right 1 n 1 u end aligned nbsp Der Zahler n 1 2 beziffert den Schwingungsmode Die finale Form der Bewegungsfunktion ist somit u x t 1 n 1 R cos 2 n 1 p 2 c t L sin 2 n 1 p 2 x L displaystyle u x t 1 n 1 R cos left frac 2n 1 pi 2 frac ct L right sin left frac 2n 1 pi 2 frac x L right nbsp Das Bild zeigt die mit den Parametern aus der Tabelle berechnete Losung Parameter Lange L Endverschiebung R Mode n Wellengeschw cEinheit mm mm mm sWert 100 10 1 2 1Wegen 2 2 1 2 1 1 3 displaystyle tfrac 2 cdot 2 1 2 cdot 1 1 3 nbsp schwingt die zweite Mode dreimal schneller als die erste Siehe auch BearbeitenEulersche Gleichungen Stromungsmechanik Navier Stokes Gleichungen Formelsammlung Tensoranalysis Formelsammlung TensoralgebraWeblinks BearbeitenLame Navier sche Gleichungen Universitat Stuttgart abgerufen am 30 Oktober 2015 Fussnoten Bearbeiten a b Ausgenutzt werden die Identitaten u u displaystyle nabla cdot nabla otimes vec u top nabla nabla cdot vec u nbsp u D u displaystyle nabla cdot nabla otimes vec u Delta vec u nbsp und f 1 f displaystyle nabla cdot f mathbf 1 nabla f nbsp also u 1 u displaystyle nabla cdot big nabla cdot vec u mathbf 1 big nabla nabla cdot vec u nbsp Ausgenutzt wird dass ein Rotationsfeld immer divergenzfrei ein Gradientenfeld immer rotationsfrei ist und D f f displaystyle Delta f nabla cdot nabla f nbsp mit f u displaystyle f nabla cdot vec u nbsp Mit der bereits oben verwendeten Identitat D u u u displaystyle Delta vec u nabla nabla cdot vec u nabla times nabla times vec u nbsp folgt D u u displaystyle nabla times Delta vec u nabla times big nabla times nabla times vec u big nbsp Einzelnachweise Bearbeiten M E Gurtin 1972 S 90 Sadd 2004 S 440 f Sadd 2004 S 123 ff Literatur BearbeitenHolm Altenbach Kontinuumsmechanik Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen 2 Auflage Springer Vieweg Berlin u a 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2000 ISBN 3 540 66114 X Ralf Greve Kontinuumsmechanik Springer 2003 ISBN 3 540 00760 1 W H Muller Streifzuge durch die Kontinuumstheorie Springer 2011 ISBN 978 3 642 19869 4 S 106 ff Hier taucht in einem Beispiel der Name Lame Naviersche Gleichungen auf Martin H Sadd Elasticity Theory applications and numerics Elsevier Butterworth Heinemann 2005 ISBN 0 12 605811 3 S 440 f die Winkel f und ϑ haben dort die Bedeutung von 8 und ϕ M E Gurtin The Linear Theory of Elasticity In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VI2 a Bandherausgeber C Truesdell Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 Normdaten Sachbegriff GND 4822757 2 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Navier Cauchy Gleichungen amp oldid 218891643
