Der Malliavin-Kalkül (auch stochastische Variationsrechnung) ist ein Teilgebiet der stochastischen Analysis und ein unendlich-dimensionaler Differentialkalkül auf einem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum (beispielsweise einem abstrakter Wiener-Raum). Mit Hilfe der Techniken des Malliavin-Kalküls können die Existenz und Glattheit von Wahrscheinlichkeitsdichten von Wiener-Funktionalen bewiesen werden, dies können zum Beispiel Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen oder stochastische Integrale sein. Der Malliavin-Kalkül wird auch als stochastische Variationsrechnung für Wiener-Funktionale bezeichnet.
Der Malliavin-Kalkül hat seinen Ursprung in zwei Publikationen des französischen Mathematikers Paul Malliavin von 1976. Im Kern ist der Malliavin-Kalkül ein unendlich-dimensionales Analog der Sobolew-Theorie. Der Malliavin-Kalkül kann auch im Rahmen der White-Noise-Analysis formuliert werden, einem Analog der Distributionstheorie auf unendlich-dimensionalen Räumen.
Neben der Anwendung in der Theorie der stochastischen Differentialgleichungen etablierte sich der Malliavin-Kalkül auch erfolgreich in weiteren Gebieten, darunter in der Finanzmathematik, in der Theorie der stochastischen Filterung sowie in der Theorie der partiellen stochastischen Differentialgleichungen. In der Finanzmathematik wird der Kalkül unter anderem zur Berechnung von Hedging-Strategien und der Sensitivität des Optionspreises (in der Finanzwirtschaft auch die Griechen genannt) verwendet. Insbesondere findet der Kalkül auch Anwendung bei Finanzmärkten mit Sprüngen.
Malliavin lieferte als Anwendung seiner Techniken einen probabilistischen Beweis des Satzes von Hörmander über Hypoelliptizität von Differentialoperatoren. Da eine Verbindung zwischen partiellen Differentialgleichungen und stochastischen Differentialgleichungen existiert (Feynman-Kac-Formel), bestand damals ein Interesse unter Stochastikern einen rein probabilistischen Beweis zu entwickeln.
Sei eine -dimensionale brownsche Bewegung, die Stratonowitsch-Integration und das Wiener-Maß. Die zugrundeliegende Idee von Malliavin war es, die Übergangswahrscheinlichkeit einer Lösung einer stochastischen Differentialgleichung
als Bildmaß des Wiener-Maßes einer nicht-linearen Transformation (auch Itō-Abbildung genannt) zu verstehen, welche durch die stochastische Differentialgleichung generiert wird. Damit überträgt sich die Untersuchung der Regularität in den Wiener-Raum, wo man die partielle Integration gegen ein gaußsches Maß anwenden kann. Das Problem an diesem Ansatz ist, dass eine solche Transformation in der Regel weder differenzierbar (im Sinne von Fréchet und Gâteaux) noch stetig ist, weshalb ein neuer Differentialkalkül benötigt wird. Unter Ausnützung der Quasi-Invarianz des gaußschen Maßes unter Translationen eines geeigneten Unterraumes, definierte Malliavin einen schwachen Ableitungsbegriff und dazugehörige Sobolew-Räume. Man kann nun zeigen, dass eine Abbildung von einem Wiener-Raum existiert, welche glatt im Sinne der neuen Ableitung ist, die jedoch keine stetige Modifikation bezüglich der zugehörigen Banach-Norm besitzt.
Mathematiker erkannten das mächtige Potential der von Malliavin eingeführten Methoden und entwickelten sie daraufhin in verschiedene Richtungen weiter, darunter der funktionalanalytische Ansatz von Daniel Stroock (durch einen symmetrischen linearen Operator) und der Ansatz über den Satz von Girsanow von Jean-Michel Bismut. Weitere Entwicklungen erfolgten durch Shigeo Kusuoka, Shinzō Watanabe, Ichirō Shigekawa, Paul-André Meyer, Moshe Zakai, David Nualart und viele weitere.
Motivation: der Satz von Hörmander Bearbeiten
Eine wichtige Fragestellung der Theorie der partiellen Differentialgleichungen ist folgende:
Gegeben sind glatte Vektorfelder auf und ein Differentialoperator
Welche Bedingungen müssen die erfüllen, damit das folgende Cauchy-Problem
eine glatte Fundamentallösung besitzt, das heißt eine Funktion , so dass
- für jedes glatt auf ist,
- die Gleichung
Hörmander gab 1967 eine Bedingung für die Lie-Algebra
an, unter der der Operator hypoelliptisch ist und somit eine glatte Fundamentallösung existiert.
Dieses Cauchy-Problem hat eine Verbindung zur Theorie der stochastischen Differentialgleichungen. Sei eine -dimensionale Standard-brownsche Bewegung und ein Markow-Prozess gegeben durch die stochastische Differentialgleichung
Durch Anwendung der Itō-Formel sehen wir, dass der infinitesimale Generator des Prozesses ist. Des Weiteren erfüllt die Übergangswahrscheinlichkeit die Kolmogorov-Vorwärtsgleichung (auch Fokker-Planck-Gleichung genannt)
im distributionellen Sinne, wobei hier der adjungierte Operator von bezüglich des -Skalarproduktes ist. Es folgt somit, dass die Übergangswahrscheinlichkeit von eine -Dichte besitzt, so fern der Operator hypoelliptisch ist respektive Hörmanders-Bedingung erfüllt ist.
Der Satz von Hörmander hat somit eine probabilistische Formulierung
Malliavin-Kalkül Bearbeiten
Das Spielmodell des Malliavin-Kalkül ist der irreduzible gaußsche Wahrscheinlichkeitsraum . Dies ist ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einem abgeschlossenen Unterraum von zentrierten normalverteilten Zufallsvariablen, so dass . Der Raum ist in der Regel unendlich-dimensional und man nennt ihn auch das erste Wiener-Chaos. Sei , dann meinen wir mit eine Abbildung von . Für einen beliebigen separablen Hilbert-Raum existiert immer ein kanonischer irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum , welcher Segal-Modell genannt wird.
Wählt man eine Basis für , so nennt man auch numerisches Modell. Ein numerisches Modell ist der Raum , wobei das kanonische eindimensionale gaußsche Maß ist.
Wir werden stets annehmen, dass ein separabler Hilbert-Raum und ein isonormaler Gauß-Prozess (ein unitärer Operator) existieren, so dass . Fixieren wir eine Basis von , dann lässt sich ein isometrischer Isomorphismus von in den Folgenraum finden.
Das Ziel wird es sein, einen Kalkül auf sogar dann zu definieren, wenn weder ein topologischer Vektorraum noch ein Vektorraum ist. Der Malliavin-Kalkül besteht im Wesentlichen aus drei fundamentalen Operatoren:
- dem Ableitungsoperator ,
- dem Divergenzoperator ,
- dem Ornstein-Uhlenbeck-Operator ,
wobei gerade der adjungierter Operator von ist.
Ein Weg, um die Malliavin-Ableitung oder stochastische Ableitung zu definieren, ist über die Wiener-Chaos-Zerlegung.
Wir führen folgende Funktionenräume ein
- ist der Raum der glatten Funktionen, deren partielle Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen.
- , der Raum aller Endomorphismen über .
Quasi-invarianz des gaußschen Maßes und der Satz von Cameron-Martin Bearbeiten
Betrachte und notiere die Translation um ein Element mit .
Eine Variante des Satzes von Cameron-Martin lautet wie folgt:
Sei , dann sagt der Satz also, falls , dann sind die beiden Maße äquivalent . Wenn , dann sind die Maße singulär wegen des Satzes von Feldman-Hájek. Wir nennen den Cameron-Martin-Raum von .
Kanonische Darstellung der additiven Gruppe Bearbeiten
Betrachte nun und wähle eine Orthonormalbasis für mit der Abbildung so, dass Basis auf Basis abgebildet wird. Definiere weiter
dann überträgt sich der Satz von Cameron-Martin durch die kanonischen Abbildung
definiert durch
Für ein bedeutet dies für ein neues . nennt man auch kanonische Darstellung der additiven Gruppe von .
Weiter lässt sich zeigen, dass
sowie die Abschätzung
und der infinitesimalen Erzeuger
die Multiplikation mit der Zufallsvariable ist.
Weißes Rauschen Bearbeiten
Der wichtige Fall wenn und ist, wobei mit , ein messbarer Raum und σ-endliches und atomlos Maß ist, nennt man weißes Rauschen über . In diesem Fall werden wir mit den Unterraum der symmetrischen Funktionen notieren.
Zur Unterscheidung werden wir vom allgemeinen Fall sprechen, wenn wir keine zusätzliche Struktur für annehmen.
Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung Bearbeiten
Die Wiener-Chaos-Zerlegung sagt, dass zu jedem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum eine stark stetige Halbgruppe von Kontraktionen mit existiert, so dass sich der in eine Hilbertraum-Summe von Eigenräumen des infinitesimalen Generators dieser Gruppe zerlegen lässt, den sogenannten Wiener-Chaos.
Im Falle des weißen Rauschens existiert eine lineare Isometrie zwischen dem symmetrischen Tensorprodukraum und dem -ten Wiener-Chaos , dann ist dies das multiple stochastische Integrale .
Sei eine eindimensionale brownsche Bewegung und ein -Simplex. Für ein ist das iterierte stochastische Integral über gegeben als
Für jedes existieren eindeutige, symmetrische Kerne und eine Zerlegung der Form
wobei .
Malliavin-Ableitung Bearbeiten
Sei , dann ist die stochastische Ableitung oder Malliavin-Ableitung einer Funktion eine Abbildung der Form . Für einen separablen Hilbert-Raum lässt sich die Ableitung durch Tensorierung sofort auf und verallgemeinern. Höhere Ableitungen definieren wir durch die Iteration .
Die Malliavin-Ableitung erfüllt für
Über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung Bearbeiten
Der Malliavin-Ableitungoperator reduziert den Grad des Chaos. Wir betrachten des Fall des weißen Rauschens, damit wir eine Zerlegung in multiple stochastische Integrale haben und später den Zusammenhang zum Skorochod-Integral besser verstehen. Das Vorgehen im allgemeinen Fall ist aber analog. Mit notieren wir das -te multiple stochastische Integral bezüglich , das heißt wird fixiert und nicht integriert.
Sei mit einer Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung der Form
Wir nehmen an, dass gilt.
Für ein definieren wir
Die Malliavin-Ableitung ist die Abbildung, so dass für alle
gilt.
Im Falle des weißen Rauschens gilt zudem , deshalb können wir die Ableitung als Prozess interpretieren. Der dazugehörige Ableitungsprozess ist
Über einen isonormalen Gauß-Prozess Bearbeiten
Wir betrachten nun wieder den allgemeinen Fall, das heißt wir nehmen keine zusätzliche Struktur für an.
Definiere die Klasse glatter Zufallsvariablen der Form
für und .
Die Malliavin-Ableitung für ein lässt sich nun als die -wertige Zufallsvariable
definieren.
Dann ergibt sich auch eine Interpretation als Richtungsableitung
mit und . Definiere den mehrdimensionalen Shift
dann
für alle . Betrachten wir andererseits den Pfadraum und , dann gilt auch
Dies zeigt, dass die Definition der Malliavin-Ableitung unabhängig von der Darstellung von ist. Für gilt auch . Wir können als Ableitung entlang der Cameron-Martin-Richtung verstehen.
Watanabe-Sobolow-Räume Bearbeiten
Wir definieren die Norm
und bezeichnen den Abschluss der Variablen in bezüglich dieser Norm mit .
Räume höherer Ordnung definieren wir durch
Sei ein separabler Hilbert-Raum, analog definiert man für -wertige Funktionen und .
Außerdem definiert man
und
Der Raum ist der Dualraum von und seine Elemente nennt man verallgemeinerte Funktionale.
Eine Abhandlung verschiedener Normen findet sich bei Sugita.
Die Sobolew-Räume werden manchmal auch Malliavin-Sobolew-Räume oder Stroock-Sobolew-Räume genannt.
Divergenz-Operator Bearbeiten
Der Divergenz-Operator ist der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperator . Im Falle des weißen Rauschens wird er auch Skorochod-Integral genannt. Der Divergenz-Operator besitzt als Definitionsbereich alle Zufallsvariablen , so dass
für alle gilt, wobei eine Konstante ist.
Der Divergenz-Operator ist der unbeschränkte Operator definiert für ein durch
welches für alle gilt.
Das Skorochod-Integral kann man nun auch wieder über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Sei mit der Zerlegung
wobei symmetrisch in den ersten Variablen ist. Sei die vollständige Symmetrisierung von , dann ist das Skorochod-Integral gegeben durch
Literatur Bearbeiten
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1.
- Denis R. Bell: The Malliavin Calculus. Hrsg.: Dover Publications Inc. 2006, ISBN 0-486-44994-7.
- David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer (= Probability and Its Applications). Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28328-5.
- Wladimir I. Bogatschow: Differentiable Measures and the Malliavin Calculus. In: Springer (Hrsg.): Journal of Mathematical Sciences. Band 87, 2010, ISBN 978-0-8218-4993-4, S. 3577–3731.
- Nobuyuki Ikeda und Shinzo Watanabe: An Introduction to Malliavin's Calculus. In: Elsevier (Hrsg.): North-Holland Mathematical Library. Band 32, 1984, ISBN 0-444-87588-3, S. 1–52, doi:10.1016/S0924-6509(08)70387-8.
- Martin Hairer: Introduction to Malliavin Calculus. (Vorlesungsnotizen).
- Paul Malliavin und Anton Thalmaier: Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance. Hrsg.: Springer (= Springer Finance). Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-540-43431-3.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Paul Malliavin: Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators. In: Proceedings of the International Conference on Stochastic Differential Equations, Kyoto. 1976, S. 195–263.
- Paul Malliavin: -hypoellipticity with degeneracy. In: Academic Press (Hrsg.): Stochastic Analysis, Friedman A. und Pinsky M. (eds). 1978, S. 199–214.
- Nobuyuki Ikeda und Shinzo Watanabe: An Introduction to Malliavin's Calculus. In: Elsevier (Hrsg.): North-Holland Mathematical Library. Band 32, 1984, ISBN 0-444-87588-3, S. 1–52, doi:10.1016/S0924-6509(08)70387-8.
- Jean-Michel Bismut. (1982). An introduction to the stochastic calculus of variations. In: Kohlmann, M., Christopeit, N. (eds) Stochastic Differential Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol 43. Springer, Berlin, Heidelberg. doi:10.1007/BFb0044286
- Denis R. Bell: The Malliavin Calculus. Hrsg.: Dover Publications Inc. 2006, ISBN 0-486-44994-7.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 16.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 14.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 20.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 20–22.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 150.
- Wladimir I. Bogatschow: Differentiable Measures and the Malliavin Calculus. Hrsg.: American Mathematical Society. 2010, ISBN 978-0-8218-4993-4, S. 3658.
- David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 24–32, doi:10.1007/3-540-28329-3.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 35.
- Paul Malliavin: Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 47.
- Shinzo Watanabe: Analysis of Wiener Functionals (Malliavin Calculus) and its Applications to Heat Kernels. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 15, Nr. 1, 1987, S. 4–5, doi:10.1214/aop/1176992255.
- Hiroshi Sugita: Sobolev spaces of Wiener functionals and Malliavin’s calculus. In: Journal of Mathematics of Kyoto University. Band 25, Nr. 1, 1985, S. 31–48.
- David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3.
- David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 40–41, doi:10.1007/3-540-28329-3.