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Skorochod Integral Das auch Hitsuda ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin Kalküls D

Skorochod-Integral

Das Skorochod-Integral (auch Hitsuda-Skorochod-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin-Kalküls. Das Integral ist eine Erweiterung des Itō-Integrals bezüglich der brownschen Bewegung für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz. Das Skorochod-Integral ist der Divergenz-Operator des Malliavin-Kalküls im Falle des weißen Rauschens, d. h. wenn der zugrundeliegende Hilbert-Raum ein σ-endlicher L2-Raum ist, und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperators. Bei allgemeinen Hilbert-Räumen spricht man vom Divergenz-Operator, statt vom Skorochod-Integral. Alternativ lässt sich das Skorochod-Integral auch über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Das Skorochod-Integral ist kein klassisches Integral, da es viele der üblichen Integral-Eigenschaften nicht mehr besitzt, wenn der Integrand allerdings adaptiert ist, dann stimmt es mit dem Itō-Integral überein.

Um den entsprechenden Kalkül von dem des Ogawa-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom vorwegnehmenden Kalkül oder vorausschauenden Kalkül (englisch anticipating calculus) beim Skorochod-Integral und vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral.

Das Hitsuda-Skorochod-Integral wurde 1972 () von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhängig davon 1975 () von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingeführt.

Skorochod-Integral Bearbeiten

Sei

Für ein definiere

  • und .

Betrachte nun den Fall des weißen Rauschens , wobei σ-endlich und atomlos auf dem messbaren Raum ist.

Definition über die Malliavin-Ableitung Bearbeiten

Sei der Malliavin-Ableitungsoperator. Der Divergenz-Operator oder das Skorochod-Integral besitzt als Domäne alle Zufallsvariablen , so dass

für alle gilt, wobei eine Konstante ist, welche von abhängt.

Das Skorochod-Integral ist der unbeschränkte Operator definiert für ein durch

welches für alle gilt.

Die Domäne ist der Malliavin-Sobolew-Raum (oder Watanabe-Sobolew-Raum). Sei ein Prozess, man verwendet für das Skorochod-Integral auch folgende Integral-Notation

Bemerkung Bearbeiten

In Integral-Notation wird die Definition über die Malliavin-Ableitung zu

Das Skorochod-Integral lässt sich auch als Prozess darstellen .

Ist an adaptiert, so stimmt das Integral mit dem Itō-Integral überein.

Definition über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung Bearbeiten

Sei der -fache symmetrische Tensorproduktraum von ausgestattet mit der Norm . Weiter sei die Wiener-Chaos-Zerlegung, das -te Wiener-Chaos und ein Multiindex mit . Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung die lineare Isometrie definiert durch

wobei das -te Hermite-Polynom ist. Nach der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung gilt für einen Prozess die Zerlegung

wobei symmetrisch in den ersten Variablen ist. Sei nun

die vollständige Symmetrisierung von , dann ist das Skorochod-Integral definiert als

und diese Reihe konvergiert genau dann in wenn .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Sei und so, dass . Weiter sei . Dann gilt und

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Masuyuki Hitsuda: Formula for Brownian partial derivatives. In: Second Japan-USSR Symp. Probab. Th.2. 1972, S. 111–114.
  2. Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod: On a generalization of a stochastic integral. In: Th. Probab. Appl. Band 20, 1975, S. 219–233.
  3. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  4. Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.
  5. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4–41, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  6. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 39, doi:10.1007/3-540-28329-3.
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Das Skorochod Integral auch Hitsuda Skorochod Integral ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin Kalkuls Das Integral ist eine Erweiterung des Itō Integrals bezuglich der brownschen Bewegung fur nicht adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz Das Skorochod Integral ist der Divergenz Operator des Malliavin Kalkuls im Falle des weissen Rauschens d h wenn der zugrundeliegende Hilbert Raum ein s endlicher L2 Raum ist und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin Ableitungsoperators Bei allgemeinen Hilbert Raumen spricht man vom Divergenz Operator statt vom Skorochod Integral Alternativ lasst sich das Skorochod Integral auch uber die Wiener Itō Chaos Zerlegung definieren Das Skorochod Integral ist kein klassisches Integral da es viele der ublichen Integral Eigenschaften nicht mehr besitzt wenn der Integrand allerdings adaptiert ist dann stimmt es mit dem Itō Integral uberein Um den entsprechenden Kalkul von dem des Ogawa Integrals zu unterscheiden spricht man vom vorwegnehmenden Kalkul oder vorausschauenden Kalkul englisch anticipating calculus beim Skorochod Integral und vom nicht kausalen Kalkul beim Ogawa Integral Das Hitsuda Skorochod Integral wurde 1972 1 von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhangig davon 1975 2 von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingefuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Skorochod Integral 1 1 Definition uber die Malliavin Ableitung 1 1 1 Bemerkung 1 2 Definition uber die Wiener Itō Chaos Zerlegung 2 Eigenschaften 3 EinzelnachweiseSkorochod Integral BearbeitenSei W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp ein vollstandiger Wahrscheinlichkeitsraum H displaystyle H nbsp ein separabler Hilbertraum e n n 1 displaystyle e n n geq 1 nbsp eine vollstandige Orthonormalbasis von H displaystyle H nbsp W h h H displaystyle W h h in H nbsp ein isonormaler Gauss Prozess F s W displaystyle mathcal F sigma W nbsp L displaystyle Lambda nbsp der Raum der Folgen mit endlichen Gliedern ungleich Null Fur ein a L displaystyle a in Lambda nbsp definiere a i 1 a i displaystyle a prod limits i 1 infty a i quad nbsp und a i 1 a i displaystyle quad a sum limits i 1 infty a i nbsp Betrachte nun den Fall des weissen Rauschens H L 2 T B m displaystyle H L 2 T mathcal B mu nbsp wobei m displaystyle mu nbsp s endlich und atomlos auf dem messbaren Raum T B displaystyle T mathcal B nbsp ist Definition uber die Malliavin Ableitung Bearbeiten Sei D D 1 2 L 2 W H displaystyle D mathbb D 1 2 to L 2 Omega H nbsp der Malliavin Ableitungsoperator Der Divergenz Operator oder das Skorochod Integral besitzt als Domane alle Zufallsvariablen X L 2 W H displaystyle X in L 2 Omega H nbsp so dass E D U X H c U L 2 W displaystyle mathbb E langle DU X rangle H leq c U L 2 Omega nbsp fur alle U D 1 2 displaystyle U in mathbb D 1 2 nbsp gilt wobei c displaystyle c nbsp eine Konstante ist welche von U displaystyle U nbsp abhangt Das Skorochod Integral ist der unbeschrankte Operator d L 2 W H L 2 W R displaystyle delta L 2 Omega H to L 2 Omega mathbb R nbsp definiert fur ein X dom d displaystyle X in operatorname dom delta nbsp durch E U d X E D U X H displaystyle mathbb E U delta X mathbb E langle DU X rangle H nbsp welches fur alle U D 1 2 displaystyle U in mathbb D 1 2 nbsp gilt 3 Die Domane D 1 2 displaystyle mathbb D 1 2 nbsp ist der Malliavin Sobolew Raum oder Watanabe Sobolew Raum Sei X dom d L 2 W T L 2 W H displaystyle X in operatorname dom delta subset L 2 Omega times T cong L 2 Omega H nbsp ein Prozess man verwendet fur das Skorochod Integral auch folgende Integral Notation d X T X s d W s displaystyle delta X int T X s delta W s nbsp Bemerkung Bearbeiten In Integral Notation wird die Definition uber die Malliavin Ableitung zu E U T X s d W s E T D t U X t d t displaystyle mathbb E left U int T X s delta W s right mathbb E left int T D t UX t dt right nbsp Das Skorochod Integral lasst sich auch als Prozess darstellen d x 1 0 t t 0 T displaystyle delta x1 0 t t in 0 T nbsp 4 Ist x displaystyle x nbsp an F t W s W s s t displaystyle mathcal F t W sigma W s s leq t nbsp adaptiert so stimmt das Integral mit dem Itō Integral uberein Definition uber die Wiener Itō Chaos Zerlegung Bearbeiten Sei H n displaystyle H widehat otimes n nbsp der n displaystyle n nbsp fache symmetrische Tensorproduktraum von H displaystyle H nbsp ausgestattet mit der Norm n H n displaystyle sqrt n cdot H otimes n nbsp Weiter sei H n 0 H n displaystyle H bigoplus limits n 0 infty mathcal H n nbsp die Wiener Chaos Zerlegung H n displaystyle mathcal H n nbsp das n displaystyle n nbsp te Wiener Chaos und a L displaystyle a in Lambda nbsp ein Multiindex mit a n displaystyle a n nbsp Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung n displaystyle n nbsp die lineare Isometrie I n H n H n displaystyle I n H hat otimes n to mathcal H n nbsp definiert durch I n symm i 1 e i a i 1 a i 1 H a i W e i displaystyle I n operatorname symm otimes i 1 infty e i otimes a i frac 1 sqrt a prod limits i 1 infty H a i W e i nbsp wobei H a i displaystyle H a i nbsp das a i displaystyle a i nbsp te Hermite Polynom ist Nach der Wiener Itō Chaos Zerlegung gilt fur einen Prozess X X t t T L 2 T W displaystyle X X t t in T in L 2 T times Omega nbsp die Zerlegung X t n 0 I n f n t 1 t n t displaystyle X t sum limits n 0 infty I n f n t 1 dots t n t nbsp wobei f n L 2 T n 1 displaystyle f n in L 2 T n 1 nbsp symmetrisch in den ersten n displaystyle n nbsp Variablen ist Sei nun f n t 1 t n t 1 n 1 f n t 1 t n t i 1 n f n t 1 t i 1 t t i 1 t n t i displaystyle tilde f n t 1 dots t n t frac 1 n 1 left f n t 1 dots t n t sum limits i 1 n f n t 1 dots t i 1 t t i 1 dots t n t i right nbsp die vollstandige Symmetrisierung von f n displaystyle f n nbsp dann ist das Skorochod Integral definiert als d X T X t d W t n 0 I n 1 f n displaystyle delta X int T X t delta W t sum limits n 0 infty I n 1 tilde f n nbsp und diese Reihe konvergiert genau dann in L 2 W displaystyle L 2 Omega nbsp wenn X dom d displaystyle X in operatorname dom delta nbsp 5 Eigenschaften BearbeitenSei F D 1 2 displaystyle F in mathbb D 1 2 nbsp und U dom d displaystyle U in operatorname dom delta nbsp so dass F U L 2 W H displaystyle FU in L 2 Omega H nbsp Weiter sei F d U D F U H L 2 W displaystyle F delta U langle DF U rangle H in L 2 Omega nbsp Dann gilt F U dom d displaystyle FU in operatorname dom delta nbsp undd F U F d U D F U H displaystyle delta FU F delta U langle DF U rangle H nbsp 6 dd Einzelnachweise Bearbeiten Masuyuki Hitsuda Formula for Brownian partial derivatives In Second Japan USSR Symp Probab Th 2 1972 S 111 114 Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod On a generalization of a stochastic integral In Th Probab Appl Band 20 1975 S 219 233 David Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 S 36 37 doi 10 1007 3 540 28329 3 Dominique Michel und Etienne Pardoux An introduction to Malliavin calculus and some of its applications in Recent advances in stochastic calculus College Park MD 1987 65 104 Progr Automat Info Systems Springer New York 1990 David Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 S 4 41 doi 10 1007 3 540 28329 3 David Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 S 39 doi 10 1007 3 540 28329 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Skorochod Integral amp oldid 236734345