Die Malliavin Ableitung auch stochastische Ableitung genannt ist ein Begriff aus dem Malliavin Kalkul und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezuglich des Ergebnisparameters w W displaystyle omega in Omega Da Zufallsvariablen meistens fast sicher definiert sind und W displaystyle Omega im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt versagen klassische Ableitungsbegriffe wie zum Beispiel die Frechet Ableitung und es muss ein neuer Differenzierungsoperator unabhangig von der topologischen Struktur definiert werden Die Malliavin Ableitung ist nach dem franzosischen Mathematiker Paul Malliavin benannt Der adjungierte Operator der Malliavin Ableitung ist der Divergenz Operator betrachtet man einen L2 Raum und weisses Rauschen dann nennt man diesen Skorochod Integral Inhaltsverzeichnis 1 Malliavin Ableitung 1 1 Erlauterungen 1 2 Beispiele 2 Partielle Integration 3 Literatur 4 EinzelnachweiseMalliavin Ableitung BearbeitenMit C p R n displaystyle C p infty mathbb R n nbsp notieren wir den Raum der glatten Funktionen deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen d h f k x C 1 x n displaystyle f k x leq C 1 x n nbsp fur alle k displaystyle k nbsp und ein n displaystyle n nbsp Sei W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp ein vollstandiger Wahrscheinlichkeitsraum und W displaystyle W nbsp ein isonormaler Gauss Prozess auf einem separablen Hilbert Raum H displaystyle H nbsp und F s W displaystyle mathcal F sigma W nbsp Definiere die Klasse S L 2 W R displaystyle mathcal S subset L 2 Omega mathbb R nbsp glatter Zufallsvariablen der Form F f W h 1 W h n displaystyle F f W h 1 dots W h n nbsp fur h 1 h n H f C p R n R displaystyle h 1 dots h n in H f in C p infty mathbb R n mathbb R nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp Die Malliavin Ableitung einer Zufallsvariable F S displaystyle F in mathcal S nbsp ist die H displaystyle H nbsp wertige Zufallsvariable D F i 1 n i f W h 1 W h n h i displaystyle DF sum limits i 1 n partial i f W h 1 dots W h n otimes h i nbsp Die Richtungsableitung nach h H displaystyle h in H nbsp ist dann definiert als 1 D h F D F h H lim e 0 1 e f W h 1 e h 1 h H W h n e h n h H f W h 1 W h n displaystyle D h F langle DF h rangle H lim limits varepsilon to 0 frac 1 varepsilon f W h 1 varepsilon langle h 1 h rangle H dots W h n varepsilon langle h n h rangle H f W h 1 dots W h n nbsp Erlauterungen Bearbeiten Die Ableitung hangt nicht von der Darstellung von F displaystyle F nbsp ab Der Operator D displaystyle D nbsp ist abschliessbar von L p W displaystyle L p Omega nbsp nach L p W H displaystyle L p Omega H nbsp fur p 1 displaystyle p geq 1 nbsp und dieser eindeutige Abschluss wird wieder mit D displaystyle D nbsp notiert 2 Wir definieren die k displaystyle k nbsp te Ableitung als die H k displaystyle H otimes k nbsp wertige Zufallsvariable durch die Iteration D k F D D k 1 F displaystyle D k F DD k 1 F nbsp Die Domane von D k displaystyle D k nbsp in L p W displaystyle L p Omega nbsp d h die Vervollstandigung von S displaystyle mathcal S nbsp bezuglich der Malliavin Sobolew Norm definiert durch F k p E F p j 1 k E D j F H j p 1 p displaystyle F k p left mathbb E F p sum limits j 1 k mathbb E D j F H otimes j p right 1 p nbsp dd notieren wir mit D k p displaystyle mathbb D k p nbsp Der Raum wird manchmal auch als Watanabe Sobolew Raum bezeichnet Falls g C p R d R displaystyle g in C p infty mathbb R d mathbb R nbsp und Z Z 1 Z d displaystyle Z Z 1 dots Z d nbsp mit j 1 d Z j D 1 2 displaystyle forall j 1 dots d Z j in mathbb D 1 2 nbsp dann gilt g Z D 1 2 displaystyle g Z in mathbb D 1 2 nbsp und die KettenregelD g Z i 1 d i g Z D Z i displaystyle Dg Z sum limits i 1 d partial i g Z DZ i nbsp dd Fur H L 2 T displaystyle H L 2 T nbsp ist die Ableitung ein Prozess wegen der Identifikation L 2 W H L 2 T W displaystyle L 2 Omega H cong L 2 T times Omega nbsp und haufig als D t F t T displaystyle D t F t in T nbsp respektive allgemeiner fur F D k p displaystyle F in mathbb D k p nbsp mit der Identifikation L 2 W H k L 2 T k W displaystyle L 2 Omega H otimes k cong L 2 T k times Omega nbsp als D t 1 t k k F t i T displaystyle D t 1 dots t k k F t i in T nbsp notiert 3 Der adjungierte Operator von D displaystyle D nbsp wird Divergenzoperator genannt und ublicherweise mit d displaystyle delta nbsp notiert Im L 2 displaystyle L 2 nbsp Fall fur weissem Rauschen nennt man diesen Skorochod Integral Durch Tensorierung konnen wir die Definition auf Hilbert wertige Variablen S V S V displaystyle mathcal S V mathcal S otimes V nbsp erweitern und erhalten eine Abbildung S V L p W V displaystyle mathcal S V subset L p Omega V nbsp nach L p W H k V displaystyle L p Omega H otimes k otimes V nbsp Es existiert auch eine Erweiterung zu einem Banach wertigen Operator D D k p L p W g H E displaystyle D mathbb D k p to L p Omega gamma H E nbsp wobei g H E displaystyle gamma H E nbsp das Operator Ideal der g displaystyle gamma nbsp radonifizierten Operatoren ist Beispiele Bearbeiten Wir betrachten das kanonische Modell W C 0 0 1 R displaystyle Omega C 0 0 1 mathbb R nbsp und H L 2 0 1 R displaystyle H L 2 0 1 mathbb R nbsp undF f W t 1 W t n f C p R n 0 t 1 lt lt t n 1 displaystyle F f W t 1 dots W t n quad f in C p infty mathbb R n quad 0 leq t 1 lt cdots lt t n leq 1 nbsp dd mit weissem RauschenW t i W 1 0 t i 0 t i d W t displaystyle W t i W 1 0 t i int 0 t i mathrm d W t nbsp dd dann ist die Ableitung in Richtung h H displaystyle h in H nbsp gegeben durch D F h H i 1 n i f W h 1 W h n 0 t i h s d s d d e F w e 0 h s d s e 0 displaystyle begin aligned langle DF h rangle H amp sum limits i 1 n partial i f W h 1 dots W h n int 0 t i h s mathrm d s amp frac mathrm d mathrm d varepsilon F left omega varepsilon int 0 cdot h s mathrm d s right bigg varepsilon 0 end aligned nbsp dd Partielle Integration BearbeitenSei F G S displaystyle F G in mathcal S nbsp und h H displaystyle h in H nbsp dann gilt E D F h H E F W h displaystyle mathbb E langle DF h rangle H mathbb E FW h nbsp und daraus folgt E G D F h H E F D G h H F G W h displaystyle mathbb E G langle DF h rangle H mathbb E F langle DG h rangle H FGW h nbsp Literatur BearbeitenDavid Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 doi 10 1007 3 540 28329 3 Olav Kallenberg Foundations of Modern Probability Hrsg Springer 2021 S 465 486 doi 10 1007 978 3 030 61871 1 Einzelnachweise Bearbeiten David Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 doi 10 1007 3 540 28329 3 Olav Kallenberg Foundations of Modern Probability Hrsg Springer 2021 S 465 486 doi 10 1007 978 3 030 61871 1 David Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 doi 10 1007 3 540 28329 3 Kapitel 1 2 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Malliavin Ableitung amp oldid 235964536
