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Ogawa Integral Das auch nicht kausales stochastisches Integral ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht adaptier

Ogawa-Integral

Das Ogawa-Integral (auch nicht-kausales stochastisches Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden. Um den entsprechenden Kalkül von dem des Skorochod-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral und vom vorwegnehmenden (englisch anticipating) Kalkül beim Skorochod-Integral. Mit dem Begriff Kausalität meint man hier die Adaptiertheit an die natürliche Filtration des Wiener-Prozesses und dessen physikalische Interpretation. Ein nicht-adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukünftigen Realisationen des Wiener-Prozesses abhängen. Ein anschauliches Beispiel für letzteres aus der Finanzmathematik wäre der Insiderhandel. Der Trader weiß im Voraus, wohin sich der Wiener-Prozess bewegt. Ein weiteres Beispiel wäre das Integral

wobei der Wiener-Prozess ist. Dies ist kein Itō-Integral, da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann.

Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingeführt.

Ogawa-Integral Bearbeiten

Sei

Mit bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse , welche -messbar und fast sicher in sind, das bedeutet

Ogawa-Integral Bearbeiten

Sei eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes .

Ein Prozess heißt -integrierbar, falls die zufällige Reihe

in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis .

Falls bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von -integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).

Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren -Prozessen (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden

sofern die Integrale

definiert sind.

Erläuterungen Bearbeiten

  • Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab.
  • Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in () finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.

Regularität der Orthonormalbasis Bearbeiten

Eine Orthonormalbasis heißt regulär, falls

Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle eine endliche -Norm besitzen.

Folgende Resultate sind bekannt:

  • Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann -integrierbar, wenn regulär ist.
  • Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für existiert.

Weiterführendes Bearbeiten

  • Es existiert eine nicht-kausale Itō-Formel, eine nicht-kausale Partielle-Integrations-Formel und eine nicht-kausaler Satz von Girsanow.
  • Das Ogawa-Integral für mehrdimensionale Wiener-Prozesse wird in () untersucht.

Beziehungen zu anderen Integralbegriffen Bearbeiten

  • Stratonowitsch-Integral: Sei ein stetiges -adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein.
  • Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in () untersucht.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Shigeyoshi Ogawa: Sur le produit direct du bruit blanc par lui-même. In: Gauthier-Villars (Hrsg.): C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A. Band 288, 1979, S. 359–362.
  2. ↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 238, doi:10.1142/9789812770493_0016.
  3. Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 239–241, doi:10.1142/9789812770493_0016.
  4. Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 242–243, doi:10.1142/9789812770493_0016.
  5. Pietro Majer und Maria Elvira Mancino: A counter-example concerning a condition of Ogawa integrability. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 31, 1997, S. 198–206 (numdam.org).
  6. Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 250, doi:10.1142/9789812770493_0016.
  7. Shigeyoshi Ogawa: BPE and a Noncausal Girsanov’s Theorem. In: Sankhya A. Band 78, 2016, S. 304–323, doi:10.1007/s13171-016-0087-x.
  8. Nicolò Cangiotti und Sonia Mazzucchi: Notes on the Ogawa integrability and a condition for convergence in the multidimensional case. 2008, arxiv:1809.01370 [abs].
  9. David Nualart und Moshe Zakai: On the Relation Between the Stratonovich and Ogawa Integrals. In: The Annals of Probability. Band 17, Nr. 4, 1989, S. 1536–1540, doi:10.1214/aop/1176991172.
  10. David Nualart und Moshe Zakai: Generalized stochastic integrals and the Malliavin calculus. In: Probability Theory and Related Fields. Band 73, Nr. 2, 1986, S. 255–280.
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Das Ogawa Integral auch nicht kausales stochastisches Integral ist ein stochastischer Integralbegriff fur nicht adaptierte Prozesse als Integranden Um den entsprechenden Kalkul von dem des Skorochod Integrals zu unterscheiden spricht man vom nicht kausalen Kalkul beim Ogawa Integral und vom vorwegnehmenden englisch anticipating Kalkul beim Skorochod Integral Mit dem Begriff Kausalitat meint man hier die Adaptiertheit an die naturliche Filtration des Wiener Prozesses und dessen physikalische Interpretation Ein nicht adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukunftigen Realisationen des Wiener Prozesses abhangen Ein anschauliches Beispiel fur letzteres aus der Finanzmathematik ware der Insiderhandel Der Trader weiss im Voraus wohin sich der Wiener Prozess bewegt Ein weiteres Beispiel ware das Integral 0 1 W 1 d W t displaystyle int 0 1 W 1 dW t wobei W t t 0 1 displaystyle W t t in 0 1 der Wiener Prozess ist Dies ist kein Itō Integral da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingefuhrt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Ogawa Integral 1 1 Ogawa Integral 1 1 1 Erlauterungen 1 1 2 Regularitat der Orthonormalbasis 2 Weiterfuhrendes 2 1 Beziehungen zu anderen Integralbegriffen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseOgawa Integral BearbeitenSei W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum W W t t 0 T displaystyle W W t t in 0 T nbsp ein eindimensionaler Standard Wienerprozess mit T R displaystyle T in mathbb R nbsp F t W s W s 0 s t F displaystyle mathcal F t W sigma W s 0 leq s leq t subset mathcal F nbsp und F W F t W t 0 displaystyle mathbf F W mathcal F t W t geq 0 nbsp die naturliche Filtration B 0 T displaystyle mathcal B 0 T nbsp die borelsche s Algebra f d W t displaystyle int f dW t nbsp ist das Itō Integral resp Wiener Integral d t displaystyle dt nbsp das Lebesgue Mass Mit H displaystyle mathbf H nbsp bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse X 0 T W R displaystyle X colon 0 T times Omega to mathbb R nbsp welche B 0 T F displaystyle mathcal B 0 T times mathcal F nbsp messbar und fast sicher in L 2 0 T d t displaystyle L 2 0 T dt nbsp sind das bedeutet P 0 T X t w 2 d t lt 1 displaystyle P left int 0 T X t omega 2 dt lt infty right 1 nbsp Ogawa Integral Bearbeiten Sei f n n N displaystyle varphi n n in mathbb N nbsp eine vollstandige Orthonormalbasis des Hilbert Raumes L 2 0 T d t displaystyle L 2 0 T dt nbsp Ein Prozess X H displaystyle X in mathbf H nbsp heisst f displaystyle varphi nbsp integrierbar falls die zufallige Reihe 0 T X t d f W t n 1 0 T X t f n t d t 0 T f n t d W t displaystyle int 0 T X t d varphi W t sum limits n 1 infty left int 0 T X t varphi n t dt right int 0 T varphi n t dW t nbsp in Wahrscheinlichkeit konvergiert Wir nennen dieses Summe das Ogawa Integral bezuglich der Basis f n displaystyle varphi n nbsp Falls X displaystyle X nbsp bezuglich jeder vollstandigen Orthonormalbasis von L 2 0 T d t displaystyle L 2 0 T dt nbsp f displaystyle varphi nbsp integrierbar ist und die Werte der Integrale ubereinstimmen dann nennt man X displaystyle X nbsp universell Ogawa integerierbar oder u integrierbar 2 Das Ogawa Integral kann auch bezuglich allgemeineren L 2 W P displaystyle L 2 Omega P nbsp Prozessen Z t displaystyle Z t nbsp wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung gebildet werden 0 T X t d f Z t n 1 0 T X t f n t d t 0 T f n t d Z t displaystyle int 0 T X t d varphi Z t sum limits n 1 infty left int 0 T X t varphi n t dt right int 0 T varphi n t dZ t nbsp sofern die Integrale 0 T f n t d Z t displaystyle int 0 T varphi n t dZ t nbsp definiert sind 2 Erlauterungen Bearbeiten Die Konvergenz der Reihe hangt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab Es existieren verschiedene aquivalente Definition welche sich in 3 finden lassen Eine Moglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō Nisio Regularitat der Orthonormalbasis Bearbeiten Eine Orthonormalbasis f n n N displaystyle varphi n n in mathbb N nbsp heisst regular falls sup n 0 T i 1 n f i t 0 t f i s d s 2 d t lt displaystyle sup limits n int 0 T left sum limits i 1 n varphi i t int 0 t varphi i s ds right 2 dt lt infty nbsp Der Ausdruck in der Klammer muss also fur alle n displaystyle n nbsp eine endliche L 2 0 T d t displaystyle L 2 0 T dt nbsp Norm besitzen Folgende Resultate sind bekannt Jedes Semimartingal kausal oder nicht ist genau dann f displaystyle varphi nbsp integrierbar wenn f n displaystyle varphi n nbsp regular ist 4 Es wurde gezeigt dass eine nicht regulare Basis fur L 2 0 1 d t displaystyle L 2 0 1 dt nbsp existiert 5 Weiterfuhrendes BearbeitenEs existiert eine nicht kausale Itō Formel 6 eine nicht kausale Partielle Integrations Formel und eine nicht kausaler Satz von Girsanow 7 Das Ogawa Integral fur mehrdimensionale Wiener Prozesse wird in 8 untersucht Beziehungen zu anderen Integralbegriffen Bearbeiten Stratonowitsch Integral Sei X displaystyle X nbsp ein stetiges F W displaystyle mathbf F W nbsp adaptiertes Semimartingal und universell Ogawa integrierbar bezuglich des Wienerprozesses dann existiert auch das Stratonowitsch Integral und es stimmt mit dem Ogawa Integral uberein 9 Skorochod Integral Die Beziehungen zwischen dem Ogawa Integral und dem Skorochod Integral werden in 10 untersucht Literatur BearbeitenShigeyoshi Ogawa Noncausal Stochastic Calculus Hrsg Springer Tokyo 2017 doi 10 1007 978 4 431 56576 5 Einzelnachweise Bearbeiten Shigeyoshi Ogawa Sur le produit direct du bruit blanc par lui meme In Gauthier Villars Hrsg C R Acad Sci Paris Ser A Band 288 1979 S 359 362 a b Shigeyoshi Ogawa Noncausal stochastic calculus revisited around the so called Ogawa integral In Advances in Deterministic and Stochastic Analysis 2007 ISBN 978 981 270 550 1 S 238 doi 10 1142 9789812770493 0016 Shigeyoshi Ogawa Noncausal stochastic calculus revisited around the so called Ogawa integral In Advances in Deterministic and Stochastic Analysis 2007 ISBN 978 981 270 550 1 S 239 241 doi 10 1142 9789812770493 0016 Shigeyoshi Ogawa Noncausal stochastic calculus revisited around the so called Ogawa integral In Advances in Deterministic and Stochastic Analysis 2007 ISBN 978 981 270 550 1 S 242 243 doi 10 1142 9789812770493 0016 Pietro Majer und Maria Elvira Mancino A counter example concerning a condition of Ogawa integrability In Seminaire de probabilites de Strasbourg Band 31 1997 S 198 206 numdam org Shigeyoshi Ogawa Noncausal stochastic calculus revisited around the so called Ogawa integral In Advances in Deterministic and Stochastic Analysis 2007 ISBN 978 981 270 550 1 S 250 doi 10 1142 9789812770493 0016 Shigeyoshi Ogawa BPE and a Noncausal Girsanov s Theorem In Sankhya A Band 78 2016 S 304 323 doi 10 1007 s13171 016 0087 x Nicolo Cangiotti und Sonia Mazzucchi Notes on the Ogawa integrability and a condition for convergence in the multidimensional case 2008 arxiv 1809 01370 abs David Nualart und Moshe Zakai On the Relation Between the Stratonovich and Ogawa Integrals In The Annals of Probability Band 17 Nr 4 1989 S 1536 1540 doi 10 1214 aop 1176991172 David Nualart und Moshe Zakai Generalized stochastic integrals and the Malliavin calculus In Probability Theory and Related Fields Band 73 Nr 2 1986 S 255 280 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ogawa Integral amp oldid 235798283