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Semimartingal Als e werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet die insbesondere für die Definition eines all

Semimartingal

Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) oder den Poisson-Prozess.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum mit zugehöriger Filtration .

Wir nehmen an, dass die Filtration

Das Semimartingal besitzt durch den Satz von Bichteler-Dellacherie zwei äquivalente Definitionen.

Definition 1 Bearbeiten

Ein Prozess heißt einfach-vorhersehbar, falls von der Form

für eine endliche Folge von Stoppzeiten ist und für alle fast sicher sowie .

Der Raum der einfach-vorherbaren Prozesse zusammen mit der durch die gleichmässigen Konvergenz in induzierten Topologie bezeichnen wir als .

Für einen Prozess und für einen einfach-vorhersehbaren Prozess definieren wir die lineare Abbildung durch

Ein stochastischer Prozess heißt Semimartingal, falls für jedes der gestoppte Prozess càdlàg und adaptiert ist und die Abbildung stetig ist.

Definition 2 Bearbeiten

Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess mit Werten in mit:

  • ist an adaptiert,
  • die Pfade/Trajektorien von sind càdlàg, also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren,
  • es existiert eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:

    wobei fast sicher endlich und -messbar, ein lokales Martingal und ein FV-Prozess ist, das heißt ein adaptierter Càdlàg-Prozess mit endlicher Variation auf jedem kompakten Interval in .

Eigenschaften Bearbeiten

Stochastische Integration Bearbeiten

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von Integratoren dar, für die ein Integral der Form

sinnvoll definiert werden kann. stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten vorhersagbaren Prozesse.

Stabilität unter Transformationen Bearbeiten

Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem „Wechsel der Zeit“ oder einem Übergang zu einem neuen absolut stetigen Maß bleiben Semimartingale erhalten.

Beispiele Bearbeiten

Martingale Bearbeiten

Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.

Außerdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal, sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist.

Sprungprozesse Bearbeiten

Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson-Prozesse sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.

Ito-Prozesse Bearbeiten

Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito-Prozesse eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als

wobei der letzte Term ein Ito-Integral mit Volatilitätsprozess bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.

Literatur Bearbeiten

  • Jean Jacod, Albert N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. 2. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43932-3.
  • Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 51–52.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet die insbesondere fur die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener Prozess Brownsche Bewegung oder den Poisson Prozess Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition 1 1 2 Definition 2 2 Eigenschaften 2 1 Stochastische Integration 2 2 Stabilitat unter Transformationen 3 Beispiele 3 1 Martingale 3 2 Sprungprozesse 3 3 Ito Prozesse 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein vollstandiger Wahrscheinlichkeitsraum W F F P displaystyle Omega mathcal F mathbb F mathbb P nbsp mit zugehoriger Filtration F F t displaystyle mathbb F mathcal F t nbsp Wir nehmen an dass die Filtration vollstandig ist das heisst alle P displaystyle mathbb P nbsp Nullmengen sind F 0 displaystyle mathcal F 0 nbsp messbar F displaystyle mathbb F nbsp ist rechtsstetig das heisst F t e gt 0 F t e displaystyle mathcal F t bigcap varepsilon gt 0 mathcal F t varepsilon nbsp fur alle 0 t lt displaystyle 0 leq t lt infty nbsp Das Semimartingal besitzt durch den Satz von Bichteler Dellacherie zwei aquivalente Definitionen Definition 1 Bearbeiten Ein Prozess H displaystyle H nbsp heisst einfach vorhersehbar falls H displaystyle H nbsp von der Form H t H 0 1 0 t i 1 n H i 1 T i T i 1 t displaystyle H t H 0 1 0 t sum limits i 1 n H i 1 T i T i 1 t nbsp fur eine endliche Folge von Stoppzeiten 0 T 1 T n 1 lt displaystyle 0 leq T 1 leq cdots leq T n 1 lt infty nbsp ist und fur alle 0 i n displaystyle 0 leq i leq n nbsp fast sicher H i F T i displaystyle H i in mathcal F T i nbsp sowie H i lt displaystyle H i lt infty nbsp Der Raum der einfach vorherbaren Prozesse zusammen mit der durch die gleichmassigen Konvergenz in t w displaystyle t omega nbsp induzierten Topologie bezeichnen wir als S displaystyle mathbf S nbsp Fur einen Prozess X displaystyle X nbsp und fur einen einfach vorhersehbaren Prozess H displaystyle H nbsp definieren wir die lineare Abbildung I X S L 0 displaystyle I X mathbf S to L 0 nbsp durch I X H H 0 X 0 i 1 n H i X T i 1 X T i displaystyle I X H H 0 X 0 sum limits i 1 n H i X T i 1 X T i nbsp Ein stochastischer Prozess X displaystyle X nbsp heisst Semimartingal falls fur jedes T 0 displaystyle T in 0 infty nbsp der gestoppte Prozess X T X t T t 0 displaystyle X T X t wedge T t geq 0 nbsp cadlag und adaptiert ist und die Abbildung I X T displaystyle I X T nbsp stetig ist 1 Definition 2 Bearbeiten Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess X displaystyle X nbsp mit Werten in R d displaystyle mathbb R d nbsp mit X displaystyle X nbsp ist an F displaystyle mathbb F nbsp adaptiert die Pfade Trajektorien von X displaystyle X nbsp sind cadlag also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren es existiert eine nicht notwendig eindeutige Darstellung X X 0 M A displaystyle X X 0 M A nbsp wobei X 0 displaystyle X 0 nbsp fast sicher endlich und F 0 displaystyle mathcal F 0 nbsp messbar M displaystyle M nbsp ein lokales Martingal und A displaystyle A nbsp ein FV Prozess ist das heisst ein adaptierter Cadlag Prozess mit endlicher Variation auf jedem kompakten Interval in R displaystyle mathbb R nbsp Eigenschaften BearbeitenStochastische Integration Bearbeiten Wie bereits in der Einleitung angedeutet lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren Semimartingale stellen die grosste Klasse von Integratoren dar fur die ein Integral der Form H X t 0 t H s d X s displaystyle H cdot X t int 0 t H s dX s nbsp sinnvoll definiert werden kann H displaystyle H nbsp stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschrankten vorhersagbaren Prozesse Stabilitat unter Transformationen Bearbeiten Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal auch unter Lokalisierung einem Wechsel der Zeit oder einem Ubergang zu einem neuen absolut stetigen Mass bleiben Semimartingale erhalten Beispiele BearbeitenMartingale Bearbeiten Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist Ausserdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist Sprungprozesse Bearbeiten Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson Prozesse sind Semimartingale da sie von beschrankter Variation sind Ito Prozesse Bearbeiten Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito Prozesse eine zentrale Rolle Diese sind darstellbar als X t X 0 0 t b s d s 0 t s s d W s displaystyle X t X 0 int 0 t b s rm d s int 0 t sigma s rm d W s nbsp wobei der letzte Term ein Ito Integral mit Volatilitatsprozess s s displaystyle sigma s nbsp bezeichnet Dieser Term ist ein lokales Martingal Literatur BearbeitenJean Jacod Albert N Shiryaev Limit Theorems for Stochastic Processes 2 Auflage Springer Berlin 2002 ISBN 3 540 43932 3 Philip Protter Stochastic Integration and Differential Equations 2 Auflage Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 00313 4 Einzelnachweise Bearbeiten Philip Protter Stochastic Integration and Differential Equations In Springer Verlag Hrsg Stochastic Modelling and Applied Probability ISBN 3 540 00313 4 S 51 52 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Semimartingal amp oldid 230360333