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Lokales Martingal Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess X t t 0 displaystyle X

Lokales Martingal

Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum , so dass eine aufsteigende Folge von Stoppzeiten mit fast sicher existiert, so dass der gestoppte Prozess

für alle ein -Martingal ist.

Der Begriff des lokalen Martingals ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Martingalbegriffes. Es handelt sich also um eine Lokalisierung des Martingalbegriffs. Lokale Martingale spielen eine Rolle in der Theorie der stochastischen Integration, genauer entspricht die Klasse der möglichen Integratoren den Semimartingalen, Summen von lokalen Martingalen und adaptierten Prozessen von endlicher Variation.

Lokale Martingale vs. Martingale Bearbeiten

Beschränkte lokale Martingale sind Martingale. Es gibt Beispiele von gleichmäßig integrierbaren lokalen Martingalen, welche aber keine Martingale sind. Allgemein gilt:

Definiere die Klasse derjenigen adaptierteren -Prozessen, so dass für alle und alle Stoppzeiten mit die Familie gleichmäßig integrierbar ist. Ein lokales Martingal ist genau dann ein Martingal, wenn es in der Klasse liegt.

Ein Beispiel für ein lokales Martingal, das kein Martingal ist, ist der folgende Prozess . Seien und stochastisch unabhängig mit und und Rademacher-verteilt, sprich . Die Filtration ist gegeben durch , und . Definiere und . ist dann kein Martingal, weil nicht integrierbar ist, aber ein lokales Martingal mit der Lokalisierungsfolge .

Literatur Bearbeiten

  • Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999, S. 119–137 (englisch).
  2. Christoph Kühn: Vorlesungsskript ,,Stochastische Finanzmathematik”. Mai 2023, S. 54–55 (uni-frankfurt.de [PDF]).
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Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess X t t 0 displaystyle X t t geq 0 auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum W A P F t t 0 displaystyle Omega mathcal A P mathcal F t t geq 0 so dass eine aufsteigende Folge T n n N displaystyle T n n in mathbb N von Stoppzeiten mit lim n T n displaystyle lim n to infty T n infty fast sicher existiert so dass der gestoppte Prozess X min t T n I T n gt 0 t 0 displaystyle X min t T n mathrm I T n gt 0 t geq 0 fur alle n displaystyle n ein F t displaystyle mathcal F t Martingal ist Der Begriff des lokalen Martingals ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Martingalbegriffes Es handelt sich also um eine Lokalisierung des Martingalbegriffs Lokale Martingale spielen eine Rolle in der Theorie der stochastischen Integration genauer entspricht die Klasse der moglichen Integratoren den Semimartingalen Summen von lokalen Martingalen und adaptierten Prozessen von endlicher Variation Lokale Martingale vs Martingale BearbeitenBeschrankte lokale Martingale sind Martingale Es gibt Beispiele von gleichmassig integrierbaren lokalen Martingalen welche aber keine Martingale sind Allgemein gilt Definiere die Klasse D L displaystyle DL nbsp derjenigen adaptierteren R displaystyle mathbb R nbsp Prozessen so dass fur alle a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp und alle Stoppzeiten T displaystyle T nbsp mit T lt a displaystyle T lt a nbsp die Familie X T I T lt displaystyle X T I T lt infty nbsp gleichmassig integrierbar ist Ein lokales Martingal ist genau dann ein Martingal wenn es in der Klasse D L displaystyle DL nbsp liegt 1 Ein Beispiel fur ein lokales Martingal das kein Martingal ist ist der folgende Prozess X t t 0 1 2 displaystyle X t t 0 1 2 nbsp Seien Y 1 displaystyle Y 1 nbsp und Y 2 displaystyle Y 2 nbsp stochastisch unabhangig mit P Y 1 0 1 displaystyle P Y 1 geq 0 1 nbsp und E Y 1 displaystyle E Y 1 infty nbsp und Y 2 displaystyle Y 2 nbsp Rademacher verteilt sprich P Y 2 1 1 P Y 2 1 1 2 displaystyle P Y 2 1 1 P Y 2 1 1 2 nbsp Die Filtration ist gegeben durch F 0 W displaystyle mathcal F 0 emptyset Omega nbsp F 1 s Y 1 displaystyle mathcal F 1 sigma Y 1 nbsp und F 2 s Y 1 Y 2 displaystyle mathcal F 2 sigma Y 1 Y 2 nbsp Definiere X 0 X 1 0 displaystyle X 0 X 1 0 nbsp und X 2 Y 1 Y 2 displaystyle X 2 Y 1 Y 2 nbsp X displaystyle X nbsp ist dann kein Martingal weil X 2 displaystyle X 2 nbsp nicht integrierbar ist aber ein lokales Martingal mit der Lokalisierungsfolge T n 1 falls Y 1 gt n 2 falls Y 1 n displaystyle T n begin cases 1 text falls Y 1 gt n 2 text falls Y 1 leq n end cases nbsp 2 Literatur BearbeitenDaniel Revuz Marc Yor Continuous Martingales and Brownian motion Springer Verlag New York 1999 ISBN 3 540 64325 7 Einzelnachweise Bearbeiten Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 S 119 137 englisch Christoph Kuhn Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik Mai 2023 S 54 55 uni frankfurt de PDF Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lokales Martingal amp oldid 236790809