Gestoppter Prozess Ein gestoppter Prozess ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezieller stochastischer Prozess de

Gestoppter Prozess

Ein gestoppter Prozess ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezieller stochastischer Prozess, der zu einem gewissen zufälligen Zeitpunkt angehalten wird. Formal geschieht dies durch eine Stoppzeit. Gestoppte Prozesse werden beispielsweise bei der Untersuchung von Spielabbruchstrategien verwendet. Dort entspricht das Stoppen des Prozesses dem Spielabbruch. Eine theoretischere Anwendung finden gestoppte Prozesse bei der Lokalisierung von Prozessklassen, durch die beispielsweise die Martingale um die lokalen Martingale erweitert werden.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein stochastischer Prozess mit höchstens abzählbarer Indexmenge und eine Stoppzeit mit Werten in . Dann heißt der Prozess

der gestoppte Prozess bezüglich . Dabei ist

Rein formell wird der Prozess also nicht angehalten, sondern er verändert seinen Wert nach dem Zeitpunkt nicht mehr.

Erläuterung Bearbeiten

Ist ein stochastischer Prozess gegeben, so entsteht der gestoppte Prozess wie folgt:

Es ist , da im nullten Zeitschritt ein Anhalten des Prozesses keinen Unterschied macht.
Im ersten Zeitschritt bleibt der Prozess auf der Menge angehalten, verhält sich ansonsten aber wie der ursprüngliche Prozess, es ist also

Im zweiten Zeitschritt bleibt der gestoppte Prozess auf der Menge weiterhin unverändert, wird aber zusätzlich noch auf der Menge angehalten. Somit ist

Somit ist die n-te Zufallsvariable im gestoppten Prozess gegeben durch

Betrachtet man einen gestoppten Prozess nur auf der Menge für ein , so verhält er sich auf dieser Menge bis zum k-ten Schritt wie der eigentliche Prozess und verändert danach seine Werte nicht mehr.

Bemerkung Bearbeiten

Der gestoppte Prozess sollte nicht mit der „gesampelten“ Zufallsvariable

eines stochastischen Prozesses verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht eindeutig ist.

Aussagen über gestoppte Prozesse Bearbeiten

Zu den wichtigsten Aussagen über gestoppte Prozesse gehören das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem. Sie untersuchen, wie sich gestoppte (Sub-/Super-)Martingale verhalten und welche Aussagen man über die Erwartungswerte der gestoppten Prozesse treffen kann.

Literatur Bearbeiten

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 05:17 am

Ein gestoppter Prozess ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezieller stochastischer Prozess der zu einem gewissen zufalligen Zeitpunkt angehalten wird Formal geschieht dies durch eine Stoppzeit Gestoppte Prozesse werden beispielsweise bei der Untersuchung von Spielabbruchstrategien verwendet Dort entspricht das Stoppen des Prozesses dem Spielabbruch Eine theoretischere Anwendung finden gestoppte Prozesse bei der Lokalisierung von Prozessklassen durch die beispielsweise die Martingale um die lokalen Martingale erweitert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erlauterung 3 Bemerkung 4 Aussagen uber gestoppte Prozesse 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein stochastischer Prozess X X t t T displaystyle X X t t in T nbsp mit hochstens abzahlbarer Indexmenge T displaystyle T nbsp und eine Stoppzeit t displaystyle tau nbsp mit Werten in T displaystyle T nbsp Dann heisst der Prozess X t X t t t T X min t t t T displaystyle X tau X t wedge tau t in T X min t tau t in T nbsp der gestoppte Prozess bezuglich t displaystyle tau nbsp Dabei ist X min t t w X min t t w w X t w wenn t w gt t X t w w wenn t w t displaystyle X min t tau colon omega mapsto X min t tau omega omega begin cases X t omega amp text wenn tau omega gt t X tau omega omega amp text wenn tau omega leq t end cases nbsp Rein formell wird der Prozess also nicht angehalten sondern er verandert seinen Wert nach dem Zeitpunkt t displaystyle tau nbsp nicht mehr Erlauterung BearbeitenIst ein stochastischer Prozess X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp gegeben so entsteht der gestoppte Prozess wie folgt Es ist X 0 X 0 t displaystyle X 0 X 0 tau nbsp da im nullten Zeitschritt ein Anhalten des Prozesses keinen Unterschied macht Im ersten Zeitschritt bleibt der Prozess auf der Menge t 0 displaystyle tau 0 nbsp angehalten verhalt sich ansonsten aber wie der ursprungliche Prozess es ist alsoX 1 t X 1 1 t 1 X 0 1 t 0 displaystyle X 1 tau X 1 mathbf 1 tau geq 1 X 0 mathbf 1 tau 0 nbsp Im zweiten Zeitschritt bleibt der gestoppte Prozess auf der Menge t 0 displaystyle tau 0 nbsp weiterhin unverandert wird aber zusatzlich noch auf der Menge t 1 displaystyle tau 1 nbsp angehalten Somit istX 2 t X 2 1 t 2 X 1 1 t 1 X 0 1 t 0 displaystyle X 2 tau X 2 mathbf 1 tau geq 2 X 1 mathbf 1 tau 1 X 0 mathbf 1 tau 0 nbsp Somit ist die n te Zufallsvariable im gestoppten Prozess gegeben durchX n t X n 1 t n i 0 n 1 X i 1 t i displaystyle X n tau X n mathbf 1 tau geq n sum i 0 n 1 X i mathbf 1 tau i nbsp Betrachtet man einen gestoppten Prozess nur auf der Menge t k displaystyle tau k nbsp fur ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp so verhalt er sich auf dieser Menge bis zum k ten Schritt wie der eigentliche Prozess und verandert danach seine Werte nicht mehr Bemerkung BearbeitenDer gestoppte Prozess X t displaystyle X tau nbsp sollte nicht mit der gesampelten Zufallsvariable X t n 0 1 t n X n displaystyle X tau sum n 0 infty mathbf 1 tau n X n nbsp eines stochastischen Prozesses X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp verwechselt werden insbesondere da die Notation in der Literatur nicht eindeutig ist Aussagen uber gestoppte Prozesse BearbeitenZu den wichtigsten Aussagen uber gestoppte Prozesse gehoren das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem Sie untersuchen wie sich gestoppte Sub Super Martingale verhalten und welche Aussagen man uber die Erwartungswerte der gestoppten Prozesse treffen kann Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gestoppter Prozess amp oldid 227818851