Optional Stopping Theorem Das ist ein mathematischer Satz über Martingale eine spezielle Klasse von stochastischen Proze

Optional Stopping Theorem

Das Optional Stopping Theorem ist ein mathematischer Satz über Martingale, eine spezielle Klasse von stochastischen Prozessen, und damit der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Der Satz geht auf Joseph L. Doob zurück und hat weitreichende Auswirkungen für die Existenz von für den Spieler vorteilhaften Spielstrategien, die auf einem Spielausstieg des Spielers beruhen.

Rahmenbedingungen Bearbeiten

Gegeben ist ein stochastischer Prozess , der das Kapital des Spielers formalisiert. Dieser Prozess kann nun entweder

ein Martingal sein, was einem fairen Spiel entspricht,
ein Supermartingal sein, was einem Verlustspiel für den Spieler entspricht oder
ein Submartingal sein, was einem vorteilhaften Spiel für den Spieler entspricht.

Die Ausstiegsstrategie entspricht mathematisch einer Stoppzeit , die angibt, wann das Spiel verlassen wird.

Das Spiel, kombiniert mit der Ausstiegsstrategie, ergibt den gestoppten Prozess , der dann die langfristige Entwicklung bei Verwendung der Ausstiegsstrategie abgibt.

Nun stellt sich die Frage, ob man durch die Wahl einer geeigneten Stoppzeit die oben beschriebenen Prozessklassen ändern kann. Im Interesse des Spielers wäre eine Stoppzeit, die aus einem Martingal nach Stoppen ein Submartingal macht oder aus einem Supermartingal ein (Sub-)Martingal macht.

Der Satz beantwortet diese Frage negativ: Es gibt keine Stoppzeit, so dass der gestoppte Prozess in einer anderen Klasse liegt als der ursprüngliche Prozess.

Aussage Bearbeiten

Es sei abkürzend . Gegeben sei eine Filtrierung und eine Stoppzeit . Bezeichne die σ-Algebra der Vergangenheit der Stoppzeit und definiere die Filtrierung

Dann gilt:

Des Weiteren gilt:

Die beiden obigen Aussagen gelten ebenso für Submartingale, wenn das Gleichheitszeichen durch ein ersetzt wird. Genauso gelten sie auch für Supermartingale, wenn das Gleichheitszeichen durch ein ersetzt wird.

Die Aussage wird in der Literatur nicht immer in demselben Umfang formuliert. Teils wird auch bloß die Stabilitätseigenschaft von (Sub/Super)Martingalen unter dem gestoppten Prozess als Optional Stopping Theorem bezeichnet.

Herleitung Bearbeiten

Die Herleitung der Hauptaussage erfolgt mittels der Martingaltransformation, man setzt dann . Daraus folgt, dass , und entsprechend der Martingaltransformation ist dies wieder ein (Sub-/Super-)Martingal. Die detaillierte Ausführung findet sich im Artikel zur Martingaltransformation als Beispiel.

Beziehung zum Optional Sampling Theorem Bearbeiten

Der wesentliche Unterschied zwischen dem Optional Stopping Theorem und dem Optional Sampling Theorem ist, dass bei dem Optional Stopping Theorem der gestoppte Prozess untersucht wird, wohingegen bei dem Optional Sampling Theorem die gesampelten Zufallsvariablen

für verschiedene Stoppzeiten untersucht werden.

Eine Überschneidung zwischen gestopptem Prozess und ergibt sich, da beispielsweise bei fast sicher endlichen Stoppzeiten

gilt. Daher wird der zweite Teil der oben aufgeführten Aussage auch als Spezialfall des Optional Sampling Theorems bezeichnet. Dieses liefert für zwei Stoppzeiten mit , die σ-Algebra der σ-Vergangenheit und einem Martingal die Aussage

und damit nach Bildung des Erwartungswertes

Setzt man hier aber die Stoppzeit , so ist dies genau die obige Aussage.

Literatur Bearbeiten

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise Bearbeiten

Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 214.
Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 317.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 05:18 am

Das Optional Stopping Theorem ist ein mathematischer Satz uber Martingale eine spezielle Klasse von stochastischen Prozessen und damit der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen Der Satz geht auf Joseph L Doob zuruck und hat weitreichende Auswirkungen fur die Existenz von fur den Spieler vorteilhaften Spielstrategien die auf einem Spielausstieg des Spielers beruhen Inhaltsverzeichnis 1 Rahmenbedingungen 2 Aussage 3 Herleitung 4 Beziehung zum Optional Sampling Theorem 5 Literatur 6 EinzelnachweiseRahmenbedingungen BearbeitenGegeben ist ein stochastischer Prozess X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp der das Kapital des Spielers formalisiert Dieser Prozess kann nun entweder ein Martingal sein was einem fairen Spiel entspricht ein Supermartingal sein was einem Verlustspiel fur den Spieler entspricht oder ein Submartingal sein was einem vorteilhaften Spiel fur den Spieler entspricht Die Ausstiegsstrategie entspricht mathematisch einer Stoppzeit t displaystyle tau nbsp die angibt wann das Spiel verlassen wird Das Spiel kombiniert mit der Ausstiegsstrategie ergibt den gestoppten Prozess X t X min n t n N displaystyle X tau X min n tau n in mathbb N nbsp der dann die langfristige Entwicklung bei Verwendung der Ausstiegsstrategie t displaystyle tau nbsp abgibt Nun stellt sich die Frage ob man durch die Wahl einer geeigneten Stoppzeit t displaystyle tau nbsp die oben beschriebenen Prozessklassen andern kann Im Interesse des Spielers ware eine Stoppzeit die aus einem Martingal X displaystyle X nbsp nach Stoppen ein Submartingal X t displaystyle X tau nbsp macht oder aus einem Supermartingal X displaystyle X nbsp ein Sub Martingal X t displaystyle X tau nbsp macht Der Satz beantwortet diese Frage negativ Es gibt keine Stoppzeit so dass der gestoppte Prozess in einer anderen Klasse liegt als der ursprungliche Prozess Aussage BearbeitenEs sei abkurzend min n t t n displaystyle min n tau tau wedge n nbsp Gegeben sei eine Filtrierung F F n n N displaystyle mathbb F 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Martingaltransformation als Beispiel Beziehung zum Optional Sampling Theorem BearbeitenDer wesentliche Unterschied zwischen dem Optional Stopping Theorem und dem Optional Sampling Theorem ist dass bei dem Optional Stopping Theorem der gestoppte Prozess X t displaystyle X tau nbsp untersucht wird wohingegen bei dem Optional Sampling Theorem die gesampelten Zufallsvariablen X t X t w w displaystyle X tau X tau omega omega nbsp fur verschiedene Stoppzeiten untersucht werden Eine Uberschneidung zwischen gestopptem Prozess und X t displaystyle X tau nbsp ergibt sich da beispielsweise bei fast sicher endlichen Stoppzeiten lim n X t n X t displaystyle lim n to infty X tau wedge n X tau nbsp fast sichergilt Daher wird der zweite Teil der oben aufgefuhrten Aussage auch als Spezialfall des Optional Sampling Theorems bezeichnet Dieses liefert fur zwei Stoppzeiten s t displaystyle sigma tau nbsp mit s t displaystyle sigma leq tau nbsp die s Algebra der s Vergangenheit F s displaystyle mathcal F sigma nbsp und einem Martingal X displaystyle X nbsp die Aussage X s E X t F s displaystyle X sigma operatorname E X tau mathcal F sigma nbsp und damit nach Bildung des Erwartungswertes E X t E X s displaystyle operatorname E X tau operatorname E X sigma nbsp Setzt man hier aber die Stoppzeit s 0 displaystyle sigma 0 nbsp so ist dies genau die obige Aussage Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Christian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Einzelnachweise Bearbeiten Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 214 Meintrup Schaffler Stochastik 2005 S 317 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Optional Stopping Theorem amp oldid 229381600