Diskretes stochastisches Integral Das diskrete stochastische Integral ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Möglich

Diskretes stochastisches Integral

Das diskrete stochastische Integral ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Möglichkeit, zwei stochastische Prozesse in diskreter Zeit zu verknüpfen, um aus ihnen einen weiteren stochastischen Prozess zu erstellen. Ist insbesondere einer der beiden Prozesse ein Martingal, so spricht man auch von der Martingaltransformation.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung und ein reeller Prozess , der -adaptiert ist. Sei außerdem ein weiterer reeller Prozess, der -vorhersagbar ist. Dann heißt der für durch

definierte stochastische Prozess das diskrete stochastische Integral von bezüglich . Ist ein Martingal, so heißt die Martingaltransformierte von .

Beispiel: gestoppter Prozess Bearbeiten

Gegeben sei ein reeller stochastischer Prozess mit erzeugter Filtrierung und eine Stoppzeit bezüglich . Dann ist der Prozess auch -vorhersagbar. Das diskrete stochastische Integral ist dann

Das ist dann genau der gestoppte Prozess bezüglich .

Eigenschaften Bearbeiten

Sei ein adaptierter, reeller Prozess mit . Dann gilt:

ist genau dann ein (Sub-)Supermartingal, wenn ein (Sub-)Supermartingal ist für jedes vorhersagbare , das lokal beschränkt ist, für das also für alle gilt.
ist genau dann ein Martingal, wenn ein Martingal ist für jedes vorhersagbare , das lokal beschränkt ist, für das also für alle gilt.

Diese Aussage wird auch als Martingal-Transformationssatz bezeichnet.

Folgerungen Bearbeiten

Aus der obigen Aussage über die Stabilität von Martingalen unter dem diskreten stochastischen Integral lässt sich folgender Schluss ziehen: Nimmt man als Spieler an einem fairen Spiel über mehrere Runden Teil mit einer Spielstrategie , die darin besteht, in der Runde einen Einsatz von zu setzen, so gibt es keine unter diesen Strategien, die für den Spieler vorteilhafter als andere wäre. Das faire Spiel entspricht einem Martingal, der Gewinn nach der n-ten Runde ist dann die Martingaltransformierte von und . Da es sich hierbei aber stets wieder um ein Martingal handelt, kann das Spiel nicht durch eine Spielstrategie so verändert werden, dass es für den Spieler vorteilhaft wäre, was einem Submartingal entspräche.

Vergleichbare Aussagen über eine mögliche Verbesserung des Gesamtgewinns durch Abbruchstrategien liefert das Optional Stopping Theorem.

Literatur Bearbeiten

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 20:09 pm

Das diskrete stochastische Integral ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Moglichkeit zwei stochastische Prozesse in diskreter Zeit zu verknupfen um aus ihnen einen weiteren stochastischen Prozess zu erstellen Ist insbesondere einer der beiden Prozesse ein Martingal so spricht man auch von der Martingaltransformation Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel gestoppter Prozess 3 Eigenschaften 4 Folgerungen 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Filtrierung F F n n N displaystyle mathbb F mathcal F n n in mathbb N nbsp und ein reeller Prozess X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp der F displaystyle mathbb F nbsp adaptiert ist Sei ausserdem H n n N displaystyle H n n in mathbb N nbsp ein weiterer reeller Prozess der F displaystyle mathbb F nbsp vorhersagbar ist Dann heisst der fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp durch H X n m 1 n H m X m X m 1 displaystyle H cdot X n sum m 1 n H m X m X m 1 nbsp definierte stochastische Prozess H X displaystyle H cdot X nbsp das diskrete stochastische Integral von H displaystyle H nbsp bezuglich X displaystyle X nbsp Ist X displaystyle X nbsp ein Martingal so heisst H X displaystyle H cdot X nbsp die Martingaltransformierte von X displaystyle X nbsp Beispiel gestoppter Prozess BearbeitenGegeben sei ein reeller stochastischer Prozess X displaystyle X nbsp mit erzeugter Filtrierung F displaystyle mathbb F nbsp und eine Stoppzeit t displaystyle tau nbsp bezuglich F displaystyle mathbb F nbsp Dann ist der Prozess H n 1 t n displaystyle H n mathbf 1 tau geq n nbsp auch F displaystyle mathbb F nbsp vorhersagbar Das diskrete stochastische Integral ist dann H X n X 0 m 1 n 1 t m X m X m 1 X n falls n lt t X t falls n t displaystyle H cdot X n X 0 sum m 1 n mathbf 1 tau geq m X m X m 1 begin cases X n amp text falls n lt tau X tau amp text falls n geq tau end cases nbsp Das ist dann genau der gestoppte Prozess X min n t n displaystyle X min n tau n nbsp bezuglich t displaystyle tau nbsp Eigenschaften BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein adaptierter reeller Prozess mit E X 0 lt displaystyle operatorname E X 0 lt infty nbsp Dann gilt X displaystyle X nbsp ist genau dann ein Sub Supermartingal wenn H X displaystyle H cdot X nbsp ein Sub Supermartingal ist fur jedes vorhersagbare H 0 displaystyle H geq 0 nbsp das lokal beschrankt ist fur das also 0 H n lt displaystyle 0 leq H n lt infty nbsp fur alle n displaystyle n nbsp gilt X displaystyle X nbsp ist genau dann ein Martingal wenn H X displaystyle H cdot X nbsp ein Martingal ist fur jedes vorhersagbare H displaystyle H nbsp das lokal beschrankt ist fur das also H n lt displaystyle H n lt infty nbsp fur alle n displaystyle n nbsp gilt Diese Aussage wird auch als Martingal Transformationssatz bezeichnet Folgerungen BearbeitenAus der obigen Aussage uber die Stabilitat von Martingalen unter dem diskreten stochastischen Integral lasst sich folgender Schluss ziehen Nimmt man als Spieler an einem fairen Spiel X displaystyle X nbsp uber mehrere Runden Teil mit einer Spielstrategie H displaystyle H nbsp die darin besteht in der Runde n displaystyle n nbsp einen Einsatz von H n displaystyle H n nbsp zu setzen so gibt es keine unter diesen Strategien die fur den Spieler vorteilhafter als andere ware Das faire Spiel entspricht einem Martingal der Gewinn nach der n ten Runde ist dann die Martingaltransformierte von H displaystyle H nbsp und X displaystyle X nbsp Da es sich hierbei aber stets wieder um ein Martingal handelt kann das Spiel nicht durch eine Spielstrategie so verandert werden dass es fur den Spieler vorteilhaft ware was einem Submartingal entsprache Vergleichbare Aussagen uber eine mogliche Verbesserung des Gesamtgewinns durch Abbruchstrategien liefert das Optional Stopping Theorem Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Christian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diskretes stochastisches Integral amp oldid 228843312