Stratonowitsch Integral Das auch Fisk ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō Integral B

Stratonowitsch-Integral

Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt

nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes

Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.

Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.

Stratonowitsch-Integral Bearbeiten

Seien und Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum und . Dann ist das Stratonowitsch-Integral von bezüglich definiert als

Hier ist das Itō-Integral und der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation. Ferner sind die die Sprungstellen des Prozesses.

Für stetige Semimartingale Bearbeiten

Wenn und stetige Semimartingale sind, dann ist

oder in Differentialschreibweise

Erläuterungen Bearbeiten

Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.

Herleitung Bearbeiten

Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei eine Partition von und stetige Semimartingale. Dann gilt

Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral Bearbeiten

Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen

Wenn und stetige Semimartingale sind, dann gilt

Itō-Formeln Bearbeiten

Sei ein -Semimartingal und , dann ist ein Semimartingal und es gilt

Für stetige Semimartingale Bearbeiten

Sei ein stetiges -Semimartingal und , dann ist ein Semimartingal und es gilt

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.

Das Ogawa-Integral verallgemeinert das Stratonowitsch-Integral.

Literatur Bearbeiten

Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 349–544.
Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4.
Bernt K. Øksendal, Bernt K.: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Hrsg.: Springer, Berlin. 2003, ISBN 3-540-04758-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 82.
Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 16:11 pm

Das Stratonowitsch Integral auch Fisk Stratonowitsch Integral ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative fur das Itō Integral Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren Im Unterschied zu dem Itō Integral wo man fur die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benotigt Y t i 1 X t i X t i 1 displaystyle sum Y t i 1 X t i X t i 1 nutzt man beim Stratonowitsch Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes 1 2 Y t i Y t i 1 X t i X t i 1 displaystyle sum tfrac 1 2 Y t i Y t i 1 X t i X t i 1 Der Vorteil des Stratonowitsch Integrals gegenuber dem Itō Integral ist dass die Itō Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt Das Fisk Stratonowitsch Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt Inhaltsverzeichnis 1 Stratonowitsch Integral 1 1 Fur stetige Semimartingale 1 2 Erlauterungen 1 3 Herleitung 1 4 Beziehung zwischen dem Itō und Stratonowitsch Integral 2 Itō Formeln 2 1 Fur stetige Semimartingale 3 Verallgemeinerungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseStratonowitsch Integral BearbeitenSeien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum W F P F t t 0 displaystyle Omega mathcal F P mathcal F t t geq 0 nbsp und t 0 displaystyle t geq 0 nbsp Dann ist das Stratonowitsch Integral von Y displaystyle Y nbsp bezuglich X displaystyle X nbsp definiert als 1 0 t Y s d X s 0 t Y s d X s 1 2 Y X t 1 2 s t D Y s D X s 0 t Y s d X s 1 2 Y X t c displaystyle begin aligned int 0 t Y s circ dX s amp int 0 t Y s dX s tfrac 1 2 Y X t tfrac 1 2 sum limits s leq t Delta Y s Delta X s amp int 0 t Y s dX s tfrac 1 2 Y X t c end aligned nbsp Hier ist 0 t Y s d X s displaystyle textstyle int 0 t Y s dX s nbsp das Itō Integral und X Y t c displaystyle X Y t c nbsp der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation Ferner sind die D Y s Y s Y s displaystyle Delta Y s Y s Y s nbsp die Sprungstellen des Prozesses Fur stetige Semimartingale Bearbeiten Wenn X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp stetige Semimartingale sind dann ist 0 t Y s d X s 0 t Y s d X s 1 2 Y X t Y X t 1 2 Y X t displaystyle begin aligned int 0 t Y s circ dX s amp int 0 t Y s dX s tfrac 1 2 Y X t amp Y cdot X t tfrac 1 2 Y X t end aligned nbsp oder in Differentialschreibweise Y t d X t Y t d X t 1 2 d Y X t displaystyle Y t circ dX t Y t dX t tfrac 1 2 d Y X t nbsp Erlauterungen Bearbeiten Die Definition des Stratonowitsch Integrales lasst sich verallgemeinern so dass Y displaystyle Y nbsp nicht mehr ein Semimartingal ist sondern lediglich adaptiert und cadlag Herleitung Bearbeiten Das Stratonowitsch Integral erhalt man wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt Sei D displaystyle Delta nbsp eine Partition von 0 t displaystyle 0 t nbsp und X Y displaystyle X Y nbsp stetige Semimartingale Dann gilt 0 t Y s d X s lim D 0 i 1 n Y t i Y t i 1 2 X t i X t i 1 displaystyle begin aligned int 0 t Y s circ dX s lim limits Delta to 0 sum limits i 1 n frac Y t i Y t i 1 2 X t i X t i 1 end aligned nbsp Beziehung zwischen dem Itō und Stratonowitsch Integral Bearbeiten Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen 0 t Y s d X s 0 t Y s d X s 1 2 Y X t c displaystyle int 0 t Y s dX s int 0 t Y s circ dX s tfrac 1 2 Y X t c nbsp Wenn X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp stetige Semimartingale sind dann gilt Y X t 0 t Y s d X s 1 2 Y X t displaystyle Y cdot X t int 0 t Y s circ dX s tfrac 1 2 Y X t nbsp Itō Formeln BearbeitenSei X X 1 X n displaystyle X X 1 dots X n nbsp ein R n displaystyle mathbb R n nbsp Semimartingal und f C 2 R n R displaystyle f in C 2 mathbb R n mathbb R nbsp dann ist f X displaystyle f X nbsp ein Semimartingal und es gilt 2 f X t f X 0 i 1 n 0 t f x i X s d X s i 0 lt s t f X s f X s i 1 n f x i X s D X s i displaystyle f X t f X 0 sum limits i 1 n int 0 t frac partial f partial x i X s circ dX s i sum limits 0 lt s leq t left f X s f X s sum limits i 1 n frac partial f partial x i X s Delta X s i right nbsp Fur stetige Semimartingale Bearbeiten Sei X X 1 X n displaystyle X X 1 dots X n nbsp ein stetiges R n displaystyle mathbb R n nbsp Semimartingal und f C 2 R n R displaystyle f in C 2 mathbb R n mathbb R nbsp dann ist f X displaystyle f X nbsp ein Semimartingal und es gilt f X t f X 0 i 1 n 0 t f x i X s d X s i displaystyle f X t f X 0 sum limits i 1 n int 0 t frac partial f partial x i X s circ dX s i nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEine Verallgemeinerung fur Semimartingale mit Sprungen ist das Marcus Integral welches man durch Umschreiben des Sprung Terms erhalt Das Ogawa Integral verallgemeinert das Stratonowitsch Integral Literatur BearbeitenWolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier Stochastische Analysis Eine Einfuhrung in die Theorie der stetigen Semimartingale Hrsg Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden ISBN 978 3 519 02229 9 S 349 544 Philip E Protter Stochastic Integration and Differential Equations Hrsg Springer 2004 ISBN 3 540 00313 4 Bernt K Oksendal Bernt K Stochastic Differential Equations An Introduction with Applications Hrsg Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 04758 1 Einzelnachweise Bearbeiten Philip E Protter Stochastic Integration and Differential Equations Hrsg Springer 2004 ISBN 3 540 00313 4 S 82 Philip E Protter Stochastic Integration and Differential Equations Hrsg Springer 2004 ISBN 3 540 00313 4 S 277 278 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stratonowitsch Integral amp oldid 237553626