Die Itō Formel auch Itō Doblin Formel selten auch Lemma von Itō benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung fur stochastische Prozesse die Funktionen eines Wiener Prozesses sind Es entspricht damit der Kettenregel bzw Substitutionsregel der klassischen Differential und Integralrechnung Ito publizierte 1951 einen Beweis 1 Inhaltsverzeichnis 1 Version fur Wiener Prozesse 2 Version fur Itō Prozesse 2 1 Mehrdimensionale Version 3 Version fur Semimartingale 3 1 Bemerkung 3 2 Fur das Stratonowitsch Integral 4 Version fur Funktionen mit beschrankter quadratischer Variation 5 Beispiele 6 Unendlich dimensionale Itō Formeln 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseVersion fur Wiener Prozesse BearbeitenSei W t t 0 displaystyle W t t geq 0 nbsp ein Standard Wiener Prozess und h R R displaystyle h colon mathbb R to mathbb R nbsp eine zweimal stetig differenzierbare Funktion Dann gilt h W t h W 0 0 t h W s d W s 1 2 0 t h W s d s displaystyle h W t h W 0 int 0 t h W s rm d W s frac 1 2 int 0 t h W s rm d s nbsp Dabei ist das erste Integral als Itō Integral und das zweite Integral als ein gewohnliches Riemann Integral uber die stetigen Pfade des Integranden zu verstehen Fur den durch Y t h W t displaystyle Y t h W t nbsp fur t 0 displaystyle t geq 0 nbsp definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise d Y t h W t d W t 1 2 h W t d t displaystyle rm d Y t h W t rm d W t frac 1 2 h W t rm d t nbsp Version fur Itō Prozesse BearbeitenEin stochastischer Prozess X t t 0 displaystyle X t t geq 0 nbsp heisst Itō Prozess falls X t X 0 0 t a s d s 0 t b s d W s displaystyle X t X 0 int 0 t a s rm d s int 0 t b s rm d W s nbsp fur zwei stochastische Prozesse a s displaystyle a s nbsp b s displaystyle b s nbsp gilt genaueres dazu unter stochastische Integration In Differentialschreibweise d X t a t d t b t d W t displaystyle rm d X t a t rm d t b t rm d W t nbsp Ist h R R R displaystyle h colon mathbb R times mathbb R to mathbb R nbsp eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion so ist auch der durch Y t h t X t displaystyle Y t h t X t nbsp definierte Prozess ein Itō Prozess und es gilt 2 d Y t h t t X t d t h x t X t d X t 1 2 2 h x 2 t X t d X t 2 h x t X t a t h t t X t 1 2 2 h x 2 t X t b t 2 d t h x t X t b t d W t displaystyle begin aligned rm d Y t amp frac partial h partial t t X t rm d t frac partial h partial x t X t rm d X t frac 1 2 frac partial 2 h partial x 2 t X t rm d X t 2 amp left frac partial h partial x t X t a t frac partial h partial t t X t frac 1 2 frac partial 2 h partial x 2 t X t b t 2 right rm d t frac partial h partial x t X t b t rm d W t end aligned nbsp Hierbei bezeichnen h t displaystyle tfrac partial h partial t nbsp und h x displaystyle tfrac partial h partial x nbsp die partiellen Ableitungen der Funktion h displaystyle h nbsp nach der ersten bzw zweiten Variablen Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von d X t 2 b t 2 d t displaystyle rm d X t 2 b t 2 rm d t nbsp und Zusammenfassen der d t displaystyle rm d t nbsp und d W t displaystyle rm d W t nbsp Terme Mehrdimensionale Version Bearbeiten Die Formel lasst sich auf n displaystyle n nbsp Itō Prozesse X X 1 X n displaystyle X X 1 dots X n nbsp verallgemeinern Sei h 0 R n displaystyle h 0 infty times mathbb R n nbsp in C 1 displaystyle C 1 nbsp in der ersten und C 2 displaystyle C 2 nbsp in den restlichen Variablen Definiere Y t h t X t displaystyle Y t h t X t nbsp dann gilt d Y t h t t X t d t i 1 n h i t X t d X i t 1 2 i j 1 n 2 h i j t X t d X i X j t displaystyle rm d Y t frac partial h partial t t X t rm d t sum limits i 1 n frac partial h partial i t X t rm d X i t frac 1 2 sum limits i j 1 n frac partial 2 h partial i partial j t X t rm d X i X j t nbsp Version fur Semimartingale BearbeitenSei X t t 0 X t 1 X t d t 0 displaystyle X t t geq 0 X t 1 dotsc X t d t geq 0 nbsp ein R d displaystyle mathbb R d nbsp wertiges Semimartingal und sei F C 2 R d R displaystyle F in C 2 mathbb R d mathbb R nbsp Dann ist F X t t 0 displaystyle F X t t geq 0 nbsp wieder ein Semimartingal und es gilt F X t F X 0 j 1 d 0 t F x j X s d X s j 1 2 j k 1 d 0 t 2 F x j x k X s d X j X k s c 0 lt s t F X s F X s j 1 d F x j X s D X s j displaystyle begin aligned F X t F X 0 amp sum j 1 d int 0 t frac partial F partial x j X s rm d X s j frac 1 2 sum j k 1 d int 0 t frac partial 2 F partial x j partial x k X s rm d X j X k s c amp sum 0 lt s leq t left F X s F X s sum j 1 d frac partial F partial x j X s Delta X s j right end aligned nbsp Hierbei ist X s lim u s X u displaystyle textstyle X s lim u uparrow s X u nbsp der linksseitige Grenzwert und D X s j X s j X s j displaystyle Delta X s j X s j X s j nbsp der zugehorige Sprungprozess Mit X j X k c displaystyle X j X k c nbsp wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten X j displaystyle X j nbsp und X k displaystyle X k nbsp bezeichnet Falls X displaystyle X nbsp ein stetiges Semimartingal ist verschwindet die letzte Summe in der Formel und es gilt X j X k c X j X k displaystyle X j X k c X j X k nbsp Bemerkung Bearbeiten Schreibt man den Ausdruck X j X k t c X j X k t s t D X s j D X s k displaystyle X j X k t c X j X k t sum limits s leq t Delta X s j Delta X s k nbsp aus so erhalt man fur eine Funktion f C 2 R d R displaystyle f in C 2 mathbb R d mathbb R nbsp die Form f X t f X 0 j 1 d 0 t f x j X s d X s j 1 2 j k 1 d 0 t 2 f x j x k X s d X j X k s 0 lt s t D f X s j 1 d f x j X s D X s j 1 2 k j 1 d 2 f x j x k X s D X s j D X s k displaystyle begin aligned f X t f X 0 amp sum j 1 d int 0 t frac partial f partial x j X s rm d X s j frac 1 2 sum j k 1 d int 0 t frac partial 2 f partial x j partial x k X s rm d X j X k s amp sum 0 lt s leq t left Delta f X s sum j 1 d frac partial f partial x j X s Delta X s j frac 1 2 sum k j 1 d frac partial 2 f partial x j partial x k X s Delta X s j Delta X s k right end aligned nbsp wobei D f X s f X s f X s displaystyle Delta f X s f X s f X s nbsp Das Integrationsgebiet 1 0 t displaystyle 1 0 t nbsp bedeutet 1 0 t displaystyle 1 0 t nbsp Fur das Stratonowitsch Integral Bearbeiten Hauptartikel Stratonowitsch Integral Itō Formeln Sei X X 1 X n displaystyle X X 1 dots X n nbsp ein R n displaystyle mathbb R n nbsp Semimartingal und f C 2 R n R displaystyle f in C 2 mathbb R n mathbb R nbsp dann ist f X displaystyle f X nbsp ein Semimartingal und es gilt 3 f X t f X 0 i 1 n 0 t f x i X s d X s i 0 lt s t f X s f X s i 1 n f x i X s D X s i displaystyle f X t f X 0 sum limits i 1 n int 0 t frac partial f partial x i X s circ dX s i sum limits 0 lt s leq t left f X s f X s sum limits i 1 n frac partial f partial x i X s Delta X s i right nbsp Version fur Funktionen mit beschrankter quadratischer Variation BearbeitenHans Follmer erweiterte die Formel von Itō auf deterministische Funktionen mit beschrankter quadratischer Variation 4 Sei f C 2 displaystyle f in C 2 nbsp eine reell wertige Funktion und x 0 R displaystyle x 0 infty to mathbb R nbsp eine Cadlag Funktion mit endlicher quadratischer Variation Dann gilt f x t f x 0 0 t f x s d x s 1 2 0 t f x s d x x s 0 s t f x s f x s f x s D x s 1 2 f x s D x s 2 displaystyle begin aligned f x t amp f x 0 int 0 t f x s mathrm d x s frac 1 2 int 0 t f x s d x x s amp sum 0 leq s leq t left f x s f x s f x s Delta x s frac 1 2 f x s Delta x s 2 right end aligned nbsp Beispiele BearbeitenFur Y t sin W t displaystyle Y t sin W t nbsp gilt d Y t cos W t d W t 1 2 sin W t d t displaystyle rm d Y t cos W t rm d W t tfrac 1 2 sin W t rm d t nbsp Mit Hilfe der Formel kann man einfach beweisen dass die geometrische brownsche BewegungS t S 0 e r t 1 2 s 2 t s W t displaystyle S t S 0 e rt frac 1 2 sigma 2 t sigma W t nbsp dd eine Losung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholesd S t r S t d t s S t d W t displaystyle rm d S t rS t rm d t sigma S t rm d W t nbsp dd ist Hierzu wahlt man X t W t displaystyle X t W t nbsp also a t 0 b t 1 displaystyle a t 0 b t 1 nbsp Dann ergibt die Formel mit h t x S 0 e r t 1 2 s 2 t s x displaystyle h t x S 0 e rt frac 1 2 sigma 2 t sigma x nbsp d S t r s 2 2 s 2 2 S 0 e r t 1 2 s 2 t s W t d t s S 0 e r t 1 2 s 2 t s W t d W t r S t d t s S t d W t displaystyle rm d S t left left r frac sigma 2 2 frac sigma 2 2 right S 0 e rt frac 1 2 sigma 2 t sigma W t right rm d t left sigma S 0 e rt frac 1 2 sigma 2 t sigma W t right rm d W t rS t rm d t sigma S t rm d W t nbsp dd Ist W t t 0 displaystyle mathbf W t t geq 0 nbsp ein d displaystyle d nbsp dimensionaler Wiener Prozess und F R d R displaystyle F colon mathbb R d to mathbb R nbsp zweimal stetig differenzierbar dann gilt fur Y t F W t displaystyle Y t F mathbf W t nbsp d Y t F W t T d W t 1 2 D F W t d t displaystyle mathrm d Y t nabla F mathbf W t mathsf T cdot mathrm d mathbf W t frac 1 2 Delta F mathbf W t mathrm d t nbsp dd wobei F displaystyle nabla F nbsp den Gradienten und D F displaystyle Delta F nbsp den Laplace Operator von F displaystyle F nbsp bezeichnen Unendlich dimensionale Itō Formeln BearbeitenEs gibt verschiedene Varianten von Itō Formeln fur unendlich dimensionale Raume z B Pardoux 5 Gyongy Krylow 6 Brzezniak van Neerven Veraar Weis 7 Siehe auch BearbeitenEuler Maruyama VerfahrenLiteratur BearbeitenPhilip E Protter Stochastic Integration and Differential Equations 2nd edition Springer 2004 ISBN 3 540 00313 4 Einzelnachweise Bearbeiten Kiyoshi Ito On a formula concerning stochastic differentials In Nagoya Math J Band 3 1951 S 55 65 projecteuclid org Hui Hsiung Kuo Introduction to Stochastic Integration Springer 2006 ISBN 978 0387 28720 1 S 103 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Philip E Protter Stochastic Integration and Differential Equations Hrsg Springer 2004 ISBN 3 540 00313 4 S 277 278 Hans Follmer Calcul d Ito sans probabilites In Seminaire de probabilites de Strasbourg Band 15 1981 S 143 144 numdam org E Pardoux E Equations aux derivees partielles stochastiques de type monotone In Seminaire Jean Leray Nr 3 1974 numdam org I Gyongy und N V Krylov Ito formula in banach spaces In Springer Berlin Heidelberg Hrsg Arato M Vermes D Balakrishnan A V eds Stochastic Differential Systems Band 36 1981 doi 10 1007 BFb0006409 Z Brzezniak J M A M van Neerven M C Veraar und L Weis Ito s formula in UMD Banach spaces and regularity of solutions of the Zakai equation 2008 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Itō Formel amp oldid 237056119
