Eine Partition eines Intervalls ist in der Mathematik eine endliche streng aufsteigende Folge die das Intervall in Teilintervalle aufteilt so dass deren Vereinigung wieder das ursprungliche Intervall ergibt Der Begriff ist fundamental fur die Definition der Variation Inhaltsverzeichnis 1 Partition eines Intervalls 1 1 Norm 1 2 Verfeinerung einer Partition 1 3 Folge von Partitionen 1 3 1 Mit konstanter Lange 1 3 2 Mit wachsender Lange 2 EinzelnachweisePartition eines Intervalls BearbeitenDie Partition eines reellen kompakten Intervalls a b displaystyle a b nbsp wobei a b R displaystyle a b in mathbb R cup pm infty nbsp ist eine endliche Folge P n t 0 t 1 t n displaystyle Pi n t 0 t 1 dots t n nbsp so dass a t 0 lt t 1 lt lt t n b displaystyle a t 0 lt t 1 lt dots lt t n b nbsp gilt 1 Ein Intervall der Form t i t i 1 displaystyle t i t i 1 nbsp fur t i t i 1 P n displaystyle t i t i 1 in Pi n nbsp mit i 0 n 1 displaystyle i 0 dots n 1 nbsp nennt man Teilintervall der Partition P n displaystyle Pi n nbsp Norm Bearbeiten Die Lange des grossten Teilintervalls P n displaystyle Pi n nbsp nennt man Norm oder Maschenweite von P n displaystyle Pi n nbsp d h P n sup t i 1 t i t i 1 t i P n displaystyle Pi n sup t i 1 t i t i 1 t i in Pi n nbsp Verfeinerung einer Partition Bearbeiten Hat man zwei Partitionen P n displaystyle Pi n nbsp und P m displaystyle Pi m nbsp des gleichen Intervalls a b displaystyle a b nbsp so dass P n P m displaystyle Pi n subseteq Pi m nbsp dann ist P m displaystyle Pi m nbsp eine Verfeinerung von P n displaystyle Pi n nbsp Das heisst also P m displaystyle Pi m nbsp ist von der Form P m P n t i n 1 t i n 2 t i m displaystyle Pi m Pi n cup t i n 1 t i n 2 dots t i m nbsp wobei im Fall m n displaystyle m n nbsp naturlich P m P n displaystyle Pi m Pi n nbsp gilt Folge von Partitionen Bearbeiten In der Regel betrachtet man Folgen von Partitionen desselben Intervalls a b displaystyle a b nbsp Mit konstanter Lange Bearbeiten Folgen von Partitionen P n N N displaystyle Pi n N N nbsp derselben Tupellange n displaystyle n nbsp das heisst t 0 t n displaystyle t 0 dots t n nbsp notiert man als a t 0 N lt t 1 N lt lt t n N b displaystyle a t 0 N lt t 1 N lt dots lt t n N b nbsp Mit wachsender Lange Bearbeiten Haufig interessiert man sich fur Folgen von Verfeinerungen P n N P m N 1 displaystyle dots subseteq Pi n N subseteq Pi m N 1 subseteq dots nbsp so dass lim N P n N N 0 displaystyle lim limits N to infty Pi n N N 0 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Philip E Protter Stochastic Integration and Differential Equations Hrsg Springer 2004 ISBN 3 540 00313 4 S 116 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Partition eines Intervalls amp oldid 230447174
